1 Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u (x) = cos (2 x), v (x) = 2 x 2 und w (x) = 9 x 1

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1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkt, Quotient, Verkettung Sind die Funktionen u mit u () = und v mit v () = cos () gegeben, so erhält man die Verkettung u v () = u v () dieser beiden Funktionen, indem man in u () = an die Stelle von den Term cos () einsetzt: u v () = cos (). Dabei ist v () = cos () die innere Funktion und u () = die äußere Funktion. Umgekehrt setzt man bei der Verkettung v u () in v () = cos () an die Stelle von den Term ein: v u () = cos ( ). Nun ist u () = die innere Funktion und v () = cos () die äußere Funktion. Weitere Beispiele Mit u () = 9 und v () = + ist die Verkettung u v () = 9 + und v u () = 9 +. Mit u () = und v () = + ist die Verkettung u v () = + und v u () = +. Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u () = cos ( ), v () = und w () = 9 u v () = cos ( ), v u () = ( ), dabei ist u die äußere Funktion und v die innere Funktion, dabei ist die äußere Funktion und die innere Funktion, v w () = ( ), dabei ist v und w, w v () = 9, dabei ist v und w, u w () = cos ( ), dabei ist u und w, w u () = 9, dabei ist u und w. Gegeben sind die Funktionen u, v und w mit u () = 9 +, v () = sin () und w () =. Es ist u v () =, v u () =, u w () =, w u () =, v w () =, w v () =. Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f () =, g () = 5 sin () und h () = +. Wurde hier richtig verkettet? Geben Sie gegebenenfalls die richtige Verkettung an. f g () = 5 sin () g f () = 5 f h () = + h f () = + g h () = 5 sin ( + ) h g () = 5 sin () Die Funktion f mit f () = 9 + kann als Verkettung aufgefasst werden, dabei ist v () = + die innere Funktion und u () = 9 die äußere Funktion. Für die Funktion g mit g () = ( + ) gibt es mehrere Zerlegungsmöglichkeiten.. Innere Funktion v () = +, äußere Funktion u () =.. Innere Funktion v () = ( + ), äußere Funktion u () =. Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

2 Geben Sie Funktionen u und v an, so dass f () = u(v ()) ist. a) f () = ( + 5), u () =, v () =, b) f () = + 5, u () =, v () =, c) f () = sin ( + 8), u () =, v () =. 5 Stellen Sie die Funktion f auf zwei Weisen als Verkettung dar. a) f () = sin (5 ),. Möglichkeit:. Möglichkeit: b) f () = 9 ( 5). Möglichkeit:. Möglichkeit: c) f () = 8 ( + ). Möglichkeit:. Möglichkeit: Aus den Funktionen f und g mit f () = sin () und g () = 9 kann man auf verschiedene Weisen neue Funktionen bilden, Summe: s () = f () + g () = sin () + 9 Differenz: d () = f () g () = sin () 9 Produkt: p () = f () g () = sin () 9 Quotient: q () = f () () = sin g () 9 Verkettung: v () = f g () = sin 9 bzw. v () = g f () = 9 sin (). Umgekehrt kann man die Funktion k mit k () = + auf verschiedene Weisen in Grundfunktionen zerlegen: Produkt: k () = f () g () mit f () = und g () = + Quotient: k () = f () mit f () = und g () = + g () Verkettung: k () = f g () mit f () = und g () = + 6 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f () = und g () = +. Bilden Sie a) die Summe der beiden Funktionen:, b) f () g ():, c) das Produkt der beiden Funktionen:, d) g f () :. 7 a) Schreiben Sie f () = ( + 9) als Summe:, Produkt:, Verkettung:, b) Schreiben Sie g () = c) Schreiben Sie h () = sin () ( + ) als Produkt:, als Produkt:, Verkettung:. 8 Es ist u () = cos ( ) und v () =. Verbessern Sie die Fehler. a) u () v () = cos ( ) b) v u () = cos (8 ) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

3 Lerneinheit Kettenregel Eine Funktion f wie z. B. f () =, die als Verkettung geschrieben werden kann, leitet man so ab:. Innere und äußere Funktion festlegen und deren Ableitung bilden: Innere Funktion v mit v () =, Ableitung v '() =. Äußere Funktion u mit u () =, Ableitung u' () =.. u' v () bilden: u' v () = ( ).. Ableitung f ' mithilfe der Kettenregel bilden: f '() = u' (v ()) v '() = ( ) ( ) = 8 Weitere Beispiele a) f () = sin ( ). Innere Funktion v mit v () =, Ableitung v '() = Äußere Funktion u mit u () = sin (), Ableitung u' () = cos (). u' v () = cos ( ). f ' () = u' v () v ' () = cos ( ) = 8 cos ( ) b) f () = Innere Funktion v mit v () = + 5, Ableitung v ' () = 0 Äußere Funktion u mit u () = 9,. u' v () = f ' () = u' v () v ' () = = 5 Ableitung u' () = ( ) Füllen Sie die Tabelle für f () = u v () aus. f () v () v ' () u () u' () u' v () f ' () sin ( + ) + sin ( + 9) cos ( ) cos ( ) Was gehört zusammen? Ergänzen Sie. a) f () = 0,5 cos (5 ) b) f () = v () v ' () u () u' () u' v () v () v ' () u () u' () u' v () 0,5 sin (5 ) 5 0,5 sin () 5 0,5 cos () Damit ist f ' () =. Damit ist f ' () =. Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

4 Ergänzen Sie. a) f () = sin ( ) f ' () = cos ( ) b) g () = cos (5 ) g ' () = 0 c) h () = 8 9 h' () = 8 d) i () = + 5 i '() = Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis. a) f () = 8 sin (5 ) b) g () = c) h () = + 7 d) i() = 5 ( + 7) 5 Wo steckt der Fehler? Verbessern Sie. a) f () = ( + ) +, f ' () = 6 b) g () = 8 sin ( + ), g'() = 6 cos () 6 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f () =, g () = ( ) und h () = ( ). rdnen Sie jedem Graphen einen passenden Funktionsterm f, f ', g, g', h oder h' zu. Fig. Fig. Fig. Fig. Mithilfe der. Ableitung f ' kann man verschiedene Eigenschaften der Funktion f und des Graphen von f bestimmen, z. B.: ( + ) Für f () = + ( D = R \ { 0 ; }) ist f '() = ( + ). a) Steigung bestimmen: Der Graph von f hat in P ( + ) die Steigung f '() = ( + ) = 9. b) Punkt mit waagerechter Tangente bestimmen: Es ist f ' () = 0 für ( + ) = 0, also =. D. h. der Graph von f hat im Punkt P ( ) eine waagerechte Tangente. c) Monotonieverhalten von f untersuchen: Überprüfe f ' (): Der Nenner von f ' ist stets positiv, da ( + ) > 0 ist für alle * D. Für den Zähler von f ' gilt: ( + ) > 0 für < ; damit ist f ' () > 0 für alle < ( ). Also ist f streng monoton wachsend für < ( ). 7 Gegeben sind die Funktionen f und g mit f () = ( 5) und g () = a) Berechnen Sie f ' (0), f ' (), f ' ( ) und g ' (), g ' ( ). b) In welchen Punkten hat der Graph von f die Steigung? c) In welchen Punkten hat der Graph von f eine waagerechte Tangente? d) Für welche * D g ist g streng monoton fallend? e) Untersuchen Sie die Funktion g mithilfe der. Ableitung auf Etremstellen. 8 Welche der Funktionen f bis f haben die Ableitung f ' mit f ' () = cos (0,5 + )? ( D g = R \ { ; }). f () = sin (0,5 + ) ; f () = sin (0,5 + ) ; f () = sin (0,5 + ) + ; f () = 0,5 sin ( + ). Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

5 Lerneinheit Produktregel Eine Funktion f wie z. B. f () = 8 sin (), die als Produkt von zwei Faktoren u und v geschrieben werden kann, leitet man so ab:. Die beiden Faktoren festlegen und ableiten: u () = 8, u' () = 6, v () = sin (), v ' () = cos (). Die Ableitung f ' mithilfe der Produktregel bilden: f ' () = u' () v () + u () v ' () = 6 sin () + 8 cos () Weiteres Beispiel f () = ( + ) 9. Die beiden Faktoren festlegen und ableiten: u () = +, u' () =, v () = 9, v '() = 9. Die Ableitung f ' mithilfe der Produktregel bilden: f '() = u' () v () + u () v '() = 9 + ( + ) 9 Füllen Sie die Tabelle aus. f () u () u' () v () v ' () f ' () ( ) sin () ( ) cos () ( ) 9 sin () ( 5) 9 Ergänzen Sie. a) f () = ( ) cos (), f ' () = cos () b) g () = ( ) 9, g ' () = 9 + c) h () = 5 sin (), h'() = 0 d) i() = 5 sin (), i'() = Geben Sie zuerst u () und v () an. Leiten Sie anschließend ab. a) f () = ( ) cos (), u () = v () = b) g () =, u () = v () = c) h () = sin (), u () = v () = d) i() = 9 ( + ), u () = v () = Der Funktionsterm f () = sin ( + 8) hat die Faktoren u () = und v () = sin ( + 8). Dabei ist v eine Verkettung. Beim Ableiten von f braucht man daher die Produkt- und die Kettenregel.. Die beiden Faktoren festlegen und ableiten Kettenregel beachten: u () =, u'() =, v () = sin ( + 8), v ' () = cos ( + 8) (Kettenregel!). Die Ableitung f ' mithilfe der Produktregel bilden: f ' () = u' () v () + u () v ' () = sin ( + 8) + cos ( + 8) = sin ( + 8) + cos ( + 8) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 5

6 Es ist f () = u () v (). Kreuzen Sie zuerst an, welcher Faktor eine Verkettung ist. Leiten Sie anschließend ab. a) f () = ( ) cos () u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung b) f () = ( + ) c) f () = 9 d) f () = u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung + u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung ( ) sin () u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung 5 Lesen Sie die vorliegende Lösung durch. Welche Ableitungsregeln wurden angewendet? a) f () = (5 ) cos () + f '() = (5 ) cos () (5 ) sin () + Summenregel Kettenregel Produktregel Potenzregel Faktorregel b) g () = ( ) sin g '() = 9 ( ) sin + ( ) cos Summenregel Kettenregel Produktregel Potenzregel Faktorregel 6 Leiten Sie die Funktion f mit f () = sin () zweimal ab. Wie oft brauchen Sie die Produktregel? 7 Hier wurde falsch abgeleitet. Suchen Sie die Fehler und verbessern Sie diese. a) f () = sin () Falsche Ableitung: f '() = cos () Richtige Ableitung: f '() = b) g () = cos () Falsche Ableitung: g '() = sin ( ) + cos () Richtige Ableitung: g '() = 8 Gegeben ist die Funktion f mit f () = ( + ) 9. a) Leiten Sie die Funktion f ab. b) Berechnen Sie die Steigung des Graphen in den Punkten P f (), Q f () und R 9 f (9). 9 Gegeben ist die Funktion f mit f () = ( ). a) Leiten Sie die Funktion f ab. b) Berechnen Sie die Nullstellen von f. Bestimmen Sie die Ableitung an diesen Stellen. c) An welchen Stellen ist die Ableitung der Funktion f Null? 0 a) Die Funktion f mit f () = g () sin () hat die Faktoren u () = g () und v () = sin () mit u' () = g ' () und v ' () = cos (). Damit ist f ' () = u' () v () + u () v ' () = g ' (). b) Die Funktion h mit h () = g () hat die Faktoren u () = g () und v () = mit u' () = g '() und v '() =. Damit ist f '() = u' () v () + u () v '() =. 6 Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

7 Lerneinheit Quotientenregel Ist eine Funktion f wie f () = 8 sin () ein Quotient von zwei Funktionen u und v, dann leitet man f = u so ab:. Die beiden Funktionen u und v ableiten: u () = 8, u'() =6, v () = sin (), v '() = cos (). Die Ableitung f ' mithilfe der Quotientenregel bilden: Weiteres Beispiel f () = + 5 u' () v () u () v '() f '() = v () = 6 sin () 8 cos () sin (). Die beiden Funktionen u und v ableiten: u () =, u' () =, v () = + 5, v ' () =. Die Ableitung f ' mithilfe der Quotientenregel bilden. Wenn möglich, Term vereinfachen: u' () v () u () v '() f '() = v () = ( + 5) ( ) ( + 5) = ( + 5) = ( + 5) v Füllen Sie die Tabelle aus. f () u () u' () v () v ' () f ' () sin () cos () 8 Ergänzen Sie. a) f () = + c) h () = sin (), f ' () = ( + ), h' () = sin () b) g () = 5, g ' () = ( 5) d) i () = 6, i '() = + Leiten Sie ab. a) f () = + sin () b) g () = c) h () = + + d) i() = + + Zum Ableiten der Funktion f mit f () = eine Verkettung ist. da v () = sin sin. Die beiden Funktionen u und v ableiten: u () =, u' () =, v () = sin, v ' () = braucht man die Quotientenregel und die Kettenregel, cos (Kettenregel!). f ' mithilfe der Quotientenregel bilden: f '() = sin cos sin = sin cos sin Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 7

8 Es ist f () = u (). Suchen Sie zuerst die Verkettungen. Leiten Sie anschließend ab. a) f () = ( ) sin () b) f () = cos () c) f () = + (+ ) sin () d) f () = v () u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung Ist ein Funktionsterm ein Quotient, dann kann man ihn umschreiben, so dass man beim Ableiten die Quotientenregel nicht braucht. cos (). Jeden Quotienten kann man als Produkt schreiben: f () = = cos (). Ableiten mithilfe der Produktregel: f ' () = sin () cos ().. Manche Quotienten lassen sich als Verkettung schreiben: g () = + 5 = + 5. Ableiten mithilfe der Kettenregel: g () = = Manche Quotienten lassen sich als Summe schreiben: h () = + 6 = +. Ableiten mithilfe der Summenregel: h' () =. 6 5 Wurde hier richtig umgeformt? cos () a) f () = = + ja nein c) h () = ( + 5) = + ja nein d) i () = = ( + 5) ja nein 6 Leiten Sie ohne Verwendung der Quotientenregel ab. Welche Ableitungsregel verwenden Sie? = cos () cos () ja nein b) g () = + Produktregel Produktregel Produktregel a) f () = Kettenregel b) f () = Kettenregel c) f () = Kettenregel 7 Wahr oder falsch? Summenregel Summenregel Summenregel a) f mit f () = 5 sin (8) leitet man mit der Kettenregel ab. b) g mit g () = 8 ( + 9) kann man nur mit der Quotientenregel ableiten. c) h mit h () = 8 kann man nicht mit der Quotientenregel ableiten. d) i mit i () = kann man sowohl mit der Kettenregel als auch mit der Quotientenregel ableiten. e) k mit k () = 7cos () kann man nicht mit der Produktregel ableiten. 8 Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

9 5 Lerneinheit Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung Die natürliche Eponentialfunktion f mit f () = e hat die Ableitung f ' () = e. Wird die natürliche Eponentialfunktion mit anderen Funktionen durch addieren, multiplizieren usw. zusammengesetzt, so braucht man beim Ableiten die zugehörigen Ableitungsregeln. Summe: f () = e + Produkt: f () = e Quotient: f () = e Verkettung: f () = e Summenregel: f '() = e + Produktregel: f '() = e + e Quotientenregel: f '() = e e = Kettenregel: f ' () = e ( e ) e Bestimmen Sie zuerst, ob f eine Summe (S), ein Produkt (P), ein Quotient (Q) oder eine Verkettung (V) ist. Leiten Sie dann ab. S P Q V S P Q V f () = e g () = e h () = e + 8 k () = e + m () = e + n () = ( + ) e v () = e w () = cos () e Leiten Sie zweimal ab. a) f () = e + b) f () = ( + ) e c) f () = e + d) f () = e + sin () Geben Sie eine Funktion f an, deren Ableitung f '() ist. a) f '() = e b) f '() = e + e c) f '() = e e d) f '() = e + + ft müssen mehrere Ableitungsregeln kombiniert werden. f () = e + cos () Summenregel und Kettenregel liefern: f '() = e sin () g () = e 5 Produktregel und Kettenregel liefern: g '() = e 5 + e 5 = e 5 ( + ) Leiten Sie ab. a) f () = e 5 + b) f () = e 5 c) f () = e 5 ( + ) d) f () = ( + 7) e Mithilfe der ersten Ableitung f ' kann man verschiedene Eigenschaften des Graphen von f bestimmen, z. B.: f () = e ; f '() = e + e = e +. Tangentengleichung: Es ist f() = e und f '() = e + e = e; also hat der Graph von f im Punkt P ( e) eine Tangente mit der Gleichung = e ( ) + e bzw. = e e.. Normalengleichung: Die Normale im Punkt P hat die Steigung m = f '() = e. Die Gleichung der Normalen im Punkt P ( e) ist somit = e( ) + e.. Etrempunkte: Es ist f '() = e + = 0 für = mit f ( ) = e. Für hat f '() einen VZW von nach +, also ist T der Tiefpunkt des Graphen von f. e Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 9

10 5 Gegeben ist die Funktion f mit f () = e +. a) Bestimmen Sie f ' () und f '' (). b) Berechnen Sie die Tangentensteigung in den Punkten P f (), Q 0 f (0) und R f ( ). c) Geben Sie die Tangentengleichung im Punkt P an und die Normalengleichung im Punkt Q. d) Besitzt der Graph von f Etrempunkte? Begründen Sie Ihre Antwort. Beim Verschieben, Spiegeln bzw. Strecken des Graphen der natürlichen Eponentialfunktion erhält man wieder einen Graphen einer Eponentialfunktion.. Spiegeln an der -Achse. Spiegeln an der -Achse. Verschieben in -Richtung um f () = e f () = e f () = e +. Strecken in -Richtung 5. Verschieben in -Richtung mit Streckfaktor um f () = e f () = e ( + ) Da f () = e ( + ) = e e ist, ist das Verschieben 5 in -Richtung um dasselbe wie das Strecken in -Richtung mit dem Streckfaktor e. 6 Gegeben ist der Graph der natürlichen Eponentialfunktion. Geben Sie jeweils den veränderten Funktionsterm, wenn der Graph a) um in -Richtung verschoben wird:. b) um in -Richtung verschoben wird:. c) mit dem Faktor 0,5 in -Richtung gestreckt wird:. d) mit dem Faktor in -Richtung gestreckt und um 0,5 in -Richtung verschoben wird: Wie entsteht der Graph der Funktion f aus dem Graphen der natürlichen Eponentialfunktion? a) f () = e 5 6 b) f () = e c) f () = e d) f () = e + e) f) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

11 6 Lerneinheit Eponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus. Die Eponentialgleichung e = hat die Lösung = ln (). Dabei heißt ln () der natürliche Logarithmus von.. Die Gleichung e = 5 löst man so: = ln (5), also = ln (5). Weitere Beispiele. e = 8 hat die Lösung = ln (8). e =,5 hat die Lösung = ln (,5).. e = 5, also e =,5 ; damit ist = ln (,5). Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösung mithilfe des ln an. a) e = 5 b) e = 8,5 c) e = 9 d) e = e) e = 8 f) e = g) e = 6 h) + e = 5 Es ist e ln (a) = a und ln ( e b ) = b. Damit kann man manche Terme vereinfachen. Beispiel Beispiel a) e ln () =, ln ( e ) = ; e ln () = b) e ln =, ln ( e ) = ; c) e ln () =, ln (e) = ln( e ) = e = ln () ; ln e = ln ( e ) = Vereinfachen Sie. a) e ln (,) = b) e ln (6) = c) e ln = d) e ln () = e) e ln () = f) ln ( e 5 ) = g) ln e = Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner. h) ln ( e ) = a) e 0,5 = b) e 0,5 = c) ln (0,5) = d) ln (7) = Enthält eine Gleichung e und e, so sind folgende Lösungsstrategien häufig nützlich:. e e = 0 Strategie: e ausklammern. e e + = 0 Strategie: Substituieren e ( e ) = 0 Substituiere e = u:. e = 0 u u + = 0 Keine Lösung u = ; u =. e = 0 Rücksubstitution liefert = ln (). e =, = ln (). e =, = ln () = 0 Enthält eine Gleichung e und e, so sind folgende Lösungsstrategien häufig nützlich:. e e = 0 Strategie: Multiplizieren mit e. e e + = 0 Strategie: Multiplizieren mit e e = 0 e + e = 0 Strategie: Substituieren = ln () Substituiere e = u: u + u = 0 u = ; u = Rücksubstitution liefert. e =, = 0. e =, keine Lösung Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

12 Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösung mithilfe des ln an. a) e e = 0 b) e = e c) e e = 0 d) e e = e) e e + = 0 f) e ( 6) = 0 g) ( ) ( e ) = 0 h) e ( e ) = 0 5 Lösen Sie die Gleichung näherungsweise mithilfe des GTR. a) e = 5 b) + 5 = e c) e e = d) e, e = 6 Bestimmen Sie die Koordinaten der eingezeichneten Schnittpunkte mithilfe des GTR. a) b) c) 7 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P mithilfe des GTR. a) Die Graphen der Funktionen f und g mit f () = e + und g () = schneiden sich in den Punkten P ( ) und P ( ). b) Die Steigung des Graphen der Funktion h mit h () = e + im Punkt P h ( ) ist e. c) Der Graph von i mit i () = e hat im Punkt P i ( ) eine waagerechte Tangente. d) Der Graph von i mit i () = e hat im Punkt P k ( ) eine Tangente, die parallel ist zur Geraden mit der Gleichung =. 6 5 = e 8 Ein Schimmelpilz bedeckt zum Zeitpunkt t eine Fläche mit A (t) = a e 0,0t (t in h, A (t) in mm ). a) Zu Beginn der Beobachtung war die Fläche mm groß. Es ist a =. b) Die Fläche hat sich nach Stunden verdoppelt. Nach Stunden hat sie sich verzehnfacht. c) Zu Beginn beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit mm /h. Nach Stunden hat sie sich verdoppelt. Nach 0 Stunden beträt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit mm /h. = e = e 9 Die Einwohnerzahl auf einer Insel kann beschrieben werden durch die Funktion f mit f (t) = e 0,005 t (t in Jahren, f (t) in Tausend). a) Bei Beobachtungsbeginn befinden sich Bewohner auf der Insel. b) Nach 5 Jahren hat die Bevölkerungszahl auf Einwohner abgenommen. c) Nach Jahren hat die Bevölkerungszahl um Einwohner abgenommen. d) Zeigen Sie, dass die Einwohnerzahl ständig abnimmt. Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

13 7 Lerneinheit Funktionenscharen Der Funktionsterm f t () = t + enthält zwei Variable t und. Dabei ist die Funktionsvariable und t der Parameter. Für jeden festen Wert von t, den man in den Funktionsterm f t () einsetzt, erhält man eine Funktion. t = : f () = + t = : f () = + t = : f () = + Stellt man die Graphen dieser Funktionen in einem gemeinsamen Koordinatensstem dar, so kann man Gemeinsamkeiten und Unterschiede erkennen. Alle Graphen dieser Schar sind Parabeln. Alle Graphen dieser Schar gehen durch P (0 ). Für t > 0 sind die Parabeln nach oben geöffnet, P ist der Tiefpunkt Für t < 0 sind die Parabeln nach unten geöffnet, P ist der Hochpunkt. Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede dieser Graphen. 5 Skizzieren Sie die Graphen der Schar für die verschiedenen Werte des Parameters. Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. Wie verändern sich die Graphen, wenn der Parameter erhöht wird? 5 a) f t () = + t b) f t () = t c) f a () = + a t = ; ; 0; ; t = ; ; 0; ; a =,5; ; 0; ;,5 Gemeinsamkeiten und Unterschiede: Erhöhung des Parameters: Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

14 Beim Lösen von Gleichungen und beim Ableiten wird der Parameter wie eine Zahl behandelt. Beispiel Für f t () = t + (t 0) ist f t ' () = t + und f t '' () = t.. Schnittpunkte mit der -Achse: f t () = 0, also t + = 0 bzw. (t + ) = 0 liefert = 0 mit N (0 0) oder = t mit N t 0.. Punkte mit waagerechter Tangente: f t '() = 0, also t + = 0 liefert = t mit f t t = t t t = t t = t. Damit ist P t t der einzige Punkt mit waagerechter Tangente. Lösen Sie die Gleichung. a) t 7 = 0 (t 0) b) + a + 0,5a = 0 c) e a = a (a > 0) d) (e a ) ( a) = 0 Leiten Sie zweimal ab. a) f t () = t e b) f t () = t + c) f t () = sin (t) + t d) f t () = t 5 Wo stecken die Rechenfehler? Korrigieren Sie! a) f a () = e a, f a ' () = a e a b) f a () = a e, f a ' () = a e + a e c) f t () = t + t, f t ' () = t + t d) f t () = e t, f t' () = e t e 6 Skizzieren Sie die Graphen für verschiedene Werte des Parameters. a) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der -Achse und den Schnittpunkt mit der -Achse für f t () = ( t). Hat jeder Graph Schnittpunkte mit der - bzw. -Achse, wenn t * R ist? b) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der -Achse und den Schnittpunkt mit der -Achse für f t () = e t, t > 0. Warum muss t eingeschränkt werden? c) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der -Achse und den Schnittpunkt mit der -Achse für f a () = e a e. Kann a * R sein? 7 a) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = t t (t > 0) auf Etrempunkte. Skizzieren Sie für verschiedene Werte von t die Graphen und markieren Sie die Etrempunkte. Was kann man über die Lage der Punkte im Koordinatensstem sagen? b) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = (t ) e auf Punkte mit waagerechter Tangente. c) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = t e t auf Etrempunkte. Welche besondere Lage haben alle diese Punkte im Koordinatensstem? d) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = e t auf Punkte mit waagerechter Tangente. Für welche Werte von t * R gibt es genau eine Lösung? 8 Bei einer Bakterienkultur nimmt die Anzahl der Bakterien stündlich um % zu. Zu Beginn sind a Bakterien vorhanden. a) Geben Sie eine Eponentialfunktion mit Basis e an, die die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t (t in h nach Beobachtungsbeginn) beschreibt. b) Skizzieren Sie die Graphen für a = 00; 00; 500. Wann haben sich jeweils 000 Bakterien gebildet? c) Für welchen Wert von a haben sich nach 0 Stunden ungefähr 000 Bakterien gebildet? d) Für welchen Wert von a ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beobachtungsbeginn ca. 00 Bakterien/h? (t) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

15 Test Leiten Sie ab. a) f () = e b) g () = e + 5 sin () c) h () = + d) i () = 9 + e) k () = sin ( ) f) l () = + g) m t() = + t h) n t () = t e 5 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f () = 8, g () = sin () und h () = +. a) rdnen Sie den zusammengesetzten Funktionen f g, g f, f g, h fund f + g den richtigen Funktionsterm zu sin () sin () 8 sin ( ) 8 ( sin () ) sin (8 ) b) Leiten Sie die Funktionen f g, g f, f g, h und f + g einmal ab. f Leiten Sie die Funktion f ohne Verwendung der Quotientenregel ab. a) f () = Kreuzen Sie die richtige Antwort an. e ln () = e ln () = ln (e ) = ln (e ) = ln e = ln e = b) f () = ( ) c) f () = sin ( ) 0 5 Lösen Sie die Gleichung. a) + t t = 0, (t > 0) b) ( ) (e ) = 0 c) e e = 0 d) e + e = 5 6 Die Graphen gehören zur Schar mit f a () = a e, (a 0). a) rdnen Sie jedem Graphen den passenden Parameter a = ; bzw. zu. Begründen Sie Ihre Wahl. b) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Schar mit der -Achse. d) Untersuchen Sie, ob die Graphen mit einem Parameter a > 0 Etrempunkte besitzen. e) Zeigen Sie rechnerisch, dass kein Graph der Schar einen Wendepunkt hat. f) Bestimmen Sie den Schnittpunkt des gezeichneten Graphen mit der -Achse mithilfe des GTR. Begründen Sie rechnerisch, dass dieser Graph keinen weiteren Schnittpunkt mit der -Achse haben kann. 5 Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 5

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