Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am

Transkript

1 HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : Der Winterdienst einer Stadt hat einen Fuhrpark von 2 Fahrzeugen zur Verfügung. Diese Fahrzeuge können Schnee schieben, Salz oder Split streuen oder mehrere dieser Tätigkeiten ausführen. Nur 8 der Fahrzeuge sind für alle drei Tätigkeiten ausgerüstet. Fahrzeuge können nur Split streuen und weder Schnee schieben noch Salz streuen. 7 dieser Fahrzeuge können Schnee schieben und Salz streuen, aber keinen Split. Insgesamt 1 dieser Fahrzeuge können Salz streuen, insgesamt 13 können Split streuen und insgesamt 20 sind zum Schneeschieben ausgerüstet. (a) Wieviele der Fahrzeuge können nur Schnee schieben und weder Salz noch Split streuen? (b) Wieviele der Fahrzeuge sind nicht zum Salz streuen ausgerüstet? (c) Wieviele Fahrzeuge haben wenigstens eine der Ausrüstungen zum Split oder Salz streuen? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms. Aufgabe 2 : Herr Alt soll 1 Jahre lang ab Januar 2012 monatlich nachschüssig eine Rente von jeweils e ausgezahlt bekommen. Für die folgenden Berechnungen wird ein Zinssatz von % p.a. angenommen. Die folgenden Fragen sind unabhängig voneinander zu beantworten. (a) Berechnen Sie den Barwert der Rente. (b) Herr Alt hat wahlweise die Möglichkeit, sich die oben angegebene Rente bis einschließlich Dezember 2021 auszahlen zu lassen und den Restwert insgesamt am zu erhalten. Mit welchem Betrag kann er bei dieser Variante am rechnen? (c) Herr Alt möchte statt der oben angegebenen monatlichen Auszahlungen lieber 1 Jahre lang jeweils zu Beginn des Jahres eine entsprechende Auszahlung (erstmalig am ) erhalten. Wie hoch sind die jährlichen Raten?

2 Aufgabe 3 : Herr Schuster will sich ein neues Auto kaufen. Er hat sich für einen SUV mit Allradantrieb zum Preis von e entschieden. Die aktuelle Lieferzeit dieses Modells beträgt 6 Monate. Er hat das Auto am bestellt. Zu diesem Zeitpunkt war der Kontostand des für die Autofinanzierung vorgesehenen Tagesgeldkontos e. Der Zinssatz für dieses Konto ist 1,8% p.a. Den fehlenden Betrag will er am entweder durch eine Finanzierung des Autohauses oder einen Kredit bei einem Freund beschaffen. (a) Welchen Betrag hat er am Liefertag ( ) auf seinem Konto für die Anzahlung zur Verfügung? Welchen Betrag muß er sich zusätzlich beschaffen? (b) Für den fehlenden Betrag bietet ihm das Autohaus eine Finanzierung mit folgenden Bedingungen an: monatlich (nachschüssige) Zahlung einer konstanten Rate R über einen Zeitraum von 36 Monaten und einem effektiven Jahreszins von 3,49 %. Wie hoch ist die monatliche Rate R? (c) Sein Freund würde ihm den fehlenden Betrag leihen und möchte das Geld in zwei Jahresraten von je 300 e am und am zurückbezahlt bekommen. Wie hoch ist der effektive Jahreszins für dieses Angebot? (d) Sollte Herr Schuster das Finanzierungsangebot des Autohauses nutzen, oder das Geld lieber bei seinem Freund leihen? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 4 : In einer Firma werden aus 3 Rohstoffen R 1, R 2, R 3 über 3 Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3 die 2 Endprodukte E 1 und E 2 hergestellt. Tabelle A gibt an, wieviele Mengeneinheiten (ME) vom Rohstoff R i in jeweils eine ME des Zwischenproduktes Z j eingehen, Tabelle B gibt an, wieviele ME des Rohstoffes R i zusätzlich direkt in jeweils eine ME des Endproduktes E k eingehen und Tabelle C gibt an, wieviele ME des Zwischenproduktes Z j in jeweils eine ME des Endproduktes E k eingehen. A Z 1 Z 2 Z 3 R R R B E 1 E 2 R R 2 48 R C E 1 E 2 Z Z 2 7 Z (a) Wieviele ME der Zwischenprodukte Z 1, Z 2 und Z 3 werden für die Produktion von 100 ME E 1 und 200 ME E 2 benötigt? (b) Berechnen Sie die Matrix D, die angibt wieviele ME von R i (i = 1, 2, 3) jeweils in eine ME von E 1 bzw. E 2 insgesamt (direkt +indirekt) eingehen. Geben Sie den Lösungsweg und dabei insbesondere die Matrizengleichung für D an. Falls Sie Aufgabe (b) nicht lösen können, verwenden Sie im Folgenden D = (c) Es sind noch 300 ME des Rohstoffes R 1, 720 ME des Rohstoffes R 2 und 120 ME des Rohstoffes R 3 auf Lager. Ermitteln Sie, wieviele Mengeneinheiten von E 1 und E 2 daraus produziert werden können, wenn der Lagerbestand vollständig verbraucht werden soll. Geben Sie die Matrizengleichung an und bestimmen Sie alle möglichen Produktionsvektoren (e 1, e 2 ) T, für die e 1 und e 2 beide ganzzahlig sind..

3 Aufgabe : Dem berühmten gallischen Druiden Miraculix ist es gelungen, Rezepte für drei verschiedene Zaubertränke zu finden. Neben den vielen geheimen Zutaten enthält jeder der Zaubertränke Misteln (die mit einer goldenen Sichel geschnitten sein müssen), Hummer, einigermaßen frischen Fisch und Steinöl. In der nebenstehenden Tabelle hat Miraculix die Zutaten in Mengeneinheiten (ME) pro Liter Zaubertrank notiert. Misteln Hummer Fisch Steinöl Trank Trank Trank Da Asterix und seinen Freunden in Kürze wieder eine Begegnung mit den Römern bevorsteht, hat Miraculix den Auftrag, innerhalb von zwei Tagen so viel wie möglich Zaubertrank herzustellen. Von den Misteln hat Miraculix noch 36 ME am Lager und könnte zusätzlich 100 ME selbst schneiden. Hummer und Fisch muß er bei Verleihnix einkaufen. Eine ME Hummer kostet 0,2 Sesterzen und eine ME Fisch 0,0 Sesterzen. Für die Einkäufe hat er insgesamt 26 Sesterzen zur Verfügung. Steinöl kann nicht so schnell nachgeordert werden, aber Miraculix hat noch 100 ME auf Lager. Die restlichen Zutaten sind auf jeden Fall ausreichend vorhanden. Damit ergibt sich das folgende lineare Optimierungsproblem und nach einigen Austauschschritten das angegebene Simplextableau. Dabei ist x j die zu produzierende Menge des Trankes j in Litern. Z = x 1 + x 2 + x 3 max 3x 1 + x x (y 1 ) 1.2x x 2 + x 3 26 (y 2 ) x 1 + 2x 2 + x (y 3 ) x 1, x 2, x 3 0 T 3 y 2 x 3 y 1 x x y Z Die folgenden Fragen sind unabhängig voneinander zu beantworten. (a) Wieviel Liter Zaubertrank von jeder Sorte sollte Miraculix herstellen? Wieviele ME Hummer benötigt er dafür? (b) (c) (d) Beim Bereitstellen der Zutaten stellt Miraculix fest, daß statt der erwarteten 100 ME Steinöl nur 8 ME vorhanden sind. Welche Auswirkungen hat dies auf die unter (a) angegebenen Produktionsmengen? Begründen Sie Ihre Antwort. Asterix kann noch 4 Sesterzen beisteuern, so daß insgesamt 30 Sesterzen für den Einkauf zur Verfügung stehen. Wieviel Liter Zaubertrank von welcher Sorte sollte Miraculix in diesem Fall herstellen? Wieviele Sesterzen, wieviele ME Misteln und wieviele ME Steinöl sind nach dieser Produktion noch übrig? Ein befreundeter Druide teilt Miraculix mit, daß der Zaubertrank 1 unerwünschte Nebenwirkungen hat, so daß Miraculix auf die Produktion dieses Trankes verzichten sollte. Kann Miraculix die nun zu produzierenden Mengen von Trank 2 und Trank 3 aus obigem Tableau berechnen? Begründen Sie Ihre Aussage. Geben Sie eine Berechnungsvorschrift (gegebenenfalls ein neues Starttableau) an. Die Berechnung selbst ist nicht gefordert.

4 Aufgabe 6 : Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem. Z = x 1 + x 2 max x 1 + x 2 1 x 2 3 x 1 + x 2 x 2 0 (a) Lösen Sie das Problem graphisch und bestimmen Sie ausgehend von Ihrer Skizze die optimalen Werte von x 1, x 2 und Z. Zusatzaufgaben: (b) Geben Sie das Starttableau zur Lösung des linearen Optimierungsproblems mit dem Simplexverfahren (gegebenenfalls 2-Phasen-Methode) an. (c) Markieren Sie im Starttableau alle möglichen Pivotelemente. (d) Welches Pivotelement würden Sie zur effektiven Lösung des LOP wählen? Begründen Sie Ihre Wahl. Weitere Tableaus sollen nicht berechnet werden.

5 Aufgabe 1: A - Menge der Fahrzeuge, die zum Salz streuen ausgerüstet sind P - Menge der Fahrzeuge, die zum Split streuen ausgerüstet sind C - Menge der Fahrzeuge, die zum Schnee schieben ausgerüstet sind A C P (a) (b) (c) der Fahrzeuge können nur Schnee schieben und weder Salz noch Split streuen? 10 der Fahrzeuge sind nicht zum Salz streuen ausgerüstet? 20 Fahrzeuge haben wenigstens eine der Ausrüstungen zum Split oder Salz streuen? Aufgabe 2: (a) Geg: n = 12 1 = 180, q = 1.0, q m = , R = 1 000, ges.: R 0 R 0 = 1 R qn m 1 qm n q m = , 16 e 1 (b) Die Differenz beträgt 10 Jahre=120 Monate Rechnung analog (a) mit n = 60 oder R = R 0 qm 120 R q120 m 1 q m = 3 133, 84 e 1 Der Restwert der Rente am beträgt 3 133, 84 e. (c) Geg.: Planungszeitpunkt: R = R 0 q = , 20 e n = 1, ges.: R R = R q 1 q 1 = , 17 e q 1 1 Die jährlich vorschüssigen Raten wären , 17 e. Aufgabe 3: (a) Geg.: K = 1 400, q = 1.018, q m = 12 q, ges.: K K = K qm 6 = 1 41, 80 e K Rest = , 80 = , 20 e Am Liefertag hat er auf seinem Konto 1 41,80 e zur Verfügung. Er muß noch , 20 e beschaffen. (b) Geg.: K Rest = , 20, q m = , n = 36, ges.: R R = K Rest qm 36 qm 1 = 300, 00 e qm 36 1 Die monatlichen Raten betragen 300 e. (c) Geg.: K Rest = , 20, R = 300, n = 2, ges. : q K Rest = R + R , 2 q q 300 = 0 q = q q 2 Der Effektivzinssatz für dieses Angebot beträgt 2,28 %. (d) Er sollte das Geld bei seinem Freund leihen, weil der Effektivzinssatz niedriger ist. Aufgabe 4: z ( ) (a) z 2 = 7 = z Es werden ME Z 1, ME Z 2 und ME Z 3 benötigt (b) D = A C + B = =

6 0 100 ( (c) e 1 e 2 ) = e 1 e 2 y y y 1 e 2 e y d.h. e 1 + 2e 2 = 6 also y y ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} e ,,, e Aufgabe : (a) Miraculix sollte 7 Liter vom Trank 1, 23 Liter vom Trank 2 und keinen Trank 3 herstellen. Er benötigt dafür 76 ME Hummer. (b) y 3 : BV, t = 1 [ 19, ), d.h. die verminderte Steinölmenge hat keinen Einfluß auf die obigen Produktionsmengen. (c) y 2 : NBV, t = 4 (23, 7, 19) T + 4( 3/4, /4, 19/4) T = (20, 12, 0) T Miraculix sollte in diesem Fall 12 Liter vom Trank 1, 20 Liter vom Trank 2 und keinen Trank 3 herstellen. Danach sind keine Sesterzen, kein Steinöl und keine Misteln mehr übrig. (d) x 1 : BV, t = 1 (1/2, 3/4, 1/8) (/4, /8, 3/16) = ( 3/4, 11/8, /16), d.h. t ist nicht im zulässigen Intervall. x 2 x 3 y Neues Starttableau: y y Z Aufgabe 6: x 2 7 x 11 x 12 x 2 y 1 6 Z = 0 h y y Z Z x x 2 = 1 x 1 = 3 x 1 = 2, x 2 = 3, Z = Der Tausch h 1 - x 2 führt schneller zum Ziel: -) in der graphischen Lösung sieht man, daß man danach nur noch einen Schritt bis zum optimalen Eckpunkt braucht, beim Tausch h 1 x 11 sind es mindestens 2 Schritte -) der Zielfunktionwert (von Z) steigt bei diesem Tausch, während er bei dem Tausch h 1 x 11 sinkt