Klassifikation von Signifikanztests

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Klassifikation von Signifikanztests"

Transkript

1 Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen über die Verteilung gemacht (z.b. NV) und Hypothesen über Parameter dieser Verteilung getestet. Bei nichtparametrischen Tests wird dagegen keine spezielle Verteilung vorausgesetzt (aber gegebenenfalls Voraussetzungen wie: stetige Verteilung ) i.a. weniger mächtig, d.h. Unterschiede werden seltener aufgedeckt (H 0 seltener abgelehnt) aber: schwächere Voraussetzungen im Modell (bei Ablehnung Aussage über Population zuverlässiger) nach der Anzahl der Stichproben: eine, zwei, k Stichprobe(n), Einstichprobenprobleme,... Einstichprobenprobleme: der einfache t-test der Gauß-Test 1

2 Art der Erhebung der Stichproben (abhängig oder unabhängig): abhängige (gepaarte, verbundene) Stichprobe 2 (oder mehr) ZV X, Y über der Grundgesamtheit n Versuche ω (X, Y ) (X 1,..., X n ), (Y 1,..., Y n ) verbundene Stichproben An jedem Objekt werden mehrere Merkmale untersucht. Beispiele: Blutdruck von Patienten vor und nach einer Behandlung mit einem Medikament Einkommen einer Person in den Jahren 1996, 2000, 2002 Bildung und Einkommen einer Person Unabhängige Stichproben Zufallsvariablen X, Y über der Grundgesamtheit n 1 + n 2 Versuche; X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 (X 1,..., X n1 ), (Y 1,..., Y n2 ) unabhängige Stichproben An jedem Objekt nur ein Merkmal untersucht. Beispiele: Blutdruck von Patienten aus zwei unterschiedlich behandelten Gruppen mit unterschiedlichen Personen Einkommen von Männern, Einkommen von Frauen 2

3 Gauß-Test Der einfache t-test Einstichprobenprobleme Der Binomialtest (Einstichprobenproblem, nichtparametrisch) Anliegen: A ein zufälliges Ereignis mit P (A) = p, p [0, 1], unbekannt. Überprüfung einer Hypothese über p anhand von n unabhängigen Versuchen Die mathematische Stichprobe (X 1, X 2,..., X n ) beschreibt, in welchen der n Versuche das Ereignis A eingetreten ist (vgl. Bernoulli-Schema). { 1, falls A eingetreten X = 1. Hypothesen: H 0 : p = p 0 0, falls A nicht eingetreten 2. Testgröße: H A : p p 0 (bei zweiseitiger Fragestellung) n T = i=1 X i = H n (A) T B(n; p) binomialverteilt 3. H 0 wird abgelehnt, wenn t < b α1 oder t > b 1 α2. b α1, b 1 α2... Quantile der BV: B(n; p 0 ) α = α 1 + α 2... Signifikanzniveau. (In der Regel α 1 = α 2.) 3

4 Bemerkung zu großen n: Für große n sind die Quantile der BV ohne Computer kompliziert zu berechnen. gute Approximation durch die Normalverteilung; es gilt für H n B(n; p) und große n (n > 30, n p > 5, n (1 p) > 5): T = H n n p n p (1 p) ist näherungsweise N(0, 1)-verteilt, also für diese Testgröße das entsprechende kritische Gebiet des Gauß Tests benutzen Vereinbarung: Wir werden den Binomialtest immer so durchführen: 1. Hypothese: H 0 : p = p 0 2. Testgröße: T = H n n p 0 n p0 (1 p 0 ) 3. Ablehnung von H 0, falls bei zweiseitiger Alternative H A : p p 0 t > z 1 α 2 einseitiger Alternative H A : p < p 0 t < z 1 α H A : p > p 0 t > z 1 α 4

5 Beispiel: Losverkäufer Hypothesen H 0 : p = 0, 1 H A : p < 0, 1 (einseitige Fragestellung) Testgröße: (zwei Gewinnlose) t = , , 1 0, 9 = 8 3 = 2, 67 < 1, 64 = z 0,95 Ablehnung von H 0. Im Lostopf sind signifikant zu wenige Gewinnlose. Weitere Diskussion dieses Beispiels Internet 5

6 Der χ 2 -Homogenitätstest Zweistichprobenprobleme Anliegen: Vergleich der Verteilungen zweier unabhängiger Stichproben für (kategoriale) Daten, nichtparametrischer Test Die Variablen X und Y nehmen jede nur r diskrete Werte an. Die zufälligen Häufigkeiten des Auftretens dieser Werte werden für beide Stichproben ermittelt und in folgende Tabelle eingetragen. Kategorie Stichprobe 1 (X) Stichprobe 2 (Y ) Σ 1 N 11 N 12 N 1 2 N 21 N 22 N r N r1 N r2 N r N 1 N 2 N = N Hypothesen: H 0 : p i1 = p i2, i = 1,..., r (Verteilungen sind identisch.) H A : p i1 p i2 für mindestens ein i Dabei ist: p i1 = P (X = x i ), p i2 = P (Y = x i ) 6

7 Testgröße: T = 2 j=1 r i=1 ( N ij N i N j n N i N j n ) 2 H 0 wird abgelehnt, wenn t > χ 2 r 1,1 α Bemerkungen: Der konkrete Wert der Testgröße ist der χ 2 Wert für die Stichprobe. Stichprobenumfang n insgesamt sollte mindestens 60 betragen. Die erwarteten Häufigkeiten N i N j n davon sollten > 5 sein. sollten > 1 und 80% 7

8 Beispiel: ALLBUS, Einkommensquelle nach Geschlecht H 0 bedeutet, die Einkommensquellen sind in beiden SP gleich verteilt, d.h. die %-Werte in jeder Zeile sind Schätzungen für die gleiche Wahrscheinlichkeit. Bemerkung: Interpretiert man die Zugehörigkeit zu einer der Stichproben (= Geschlecht) als ein beobachtetes Merkmal des Probanden, dann entspricht die obige Hypothese der Hypothese: Die Zufallsvariablen X (für Einkommensquelle) und Y (für Geschlecht) sind unabhängig. Je nach Interpretation der Kontingenztafel testen wir also entweder, ob sich die verschiedenen Stichproben etwa gleich zusammensetzen (Homogenität) oder, ob die Einkommensquelle vom Geschlecht abhängt (Unabhängigkeit). 8

9 Der doppelte t-test, parametrisch Anliegen: Überprüfung von Hypothesen über die Gleichheit der Erwartungswerte zweier unabhängiger normalverteilter ZV bei unbekannten, aber gleichen Varianzen (Varianzhomogenität), parametrischer Test Voraussetzungen: (X 1,..., X n ), (Y 1,..., Y m ) unabhängige Stichproben X i N(µ X, σ 2 X ), Y j N(µ Y, σ 2 Y ), σ 2 X = σ2 Y unbekannt Hypothesen: i = 1,..., n j = 1,..., m H 0 : µ X = µ Y H A : µ X µ Y 1) 2. Testgröße T = X Ȳ µ X < µ Y 2) µ X > µ Y 3) (n 1)S 2 X + (m 1)S 2 Y n + m 2 Ablehnung von H 0, falls t > t n+m 2, 1 α 2 bei 1) t < t n+m 2, 1 α bei 2) t > t n+m 2, 1 α bei 3) nm n + m 9

10 Beispiel: ALLBUS, nach Geschlecht monatliches Haushalts Nettoeinkommen Vergleich der Erwartungswerte für die Zufallsvariablen X und Y, die das monatliche Haushaltsnettoeinkommen von Frauen bzw. Männern beschreiben. X und Y unabhängig, µ X = EX, µ Y = EY X und Y seien normalverteilt, Varianzen sind unbekannt. α = 0, 05 Bemerkung: NV sicher keine gute Modellannahme, X und Ȳ sind aber näherungsweise normalverteilt (ZGWS). H 0 : µ X = µ Y Durchschnitts-HH-Nettoeinkommen gleich H A : µ X < µ Y Männer verdienen mehr T = X Ȳ (n 1)S 2 X + (m 1)S 2 Y n + m 2 nm n + m X, Ȳ... arithmetisches Mittel der SP SX 2, S2 Y... empirische Varianz der SP n, m... Stichprobenumfang der SP X 1,..., X n, Y 1,..., Y m 10

11 T = X Ȳ (n 1)S 2 X + (m 1)S 2 Y n + m 2 nm n + m Wenn H 0 richtig ist, dann gilt: T ist t-verteilt mit n + m 2 = 1349 Freiheitsgraden. für die konkrete Stichprobe: t = 2473, , , , = 4, 314 vergleiche mit: t 1349, 0.95 = , 314 < H 0 wird abgelehnt und entschieden: Das Durchschnitts-HH-Nettoeinkommen von Männern ist signifikant höher als das von Frauen. 11

12 Diskussion des Beispiels: * Ablehnung von α t α d α H nein ja ja ja ja *) d α... die Differenz der Mittelwerte, die (bei gleichem n, m, s X, s Y!) genügt, um H 0 abzulehnen. Der Wert heißt p-wert oder Signifikanz. Stichprobenumfänge n, m: einleuchtend: größere n und m erhöhen die Überzeugungskraft einer beobachteten Abweichung (α = 0.05, α = 0.01) n = m = d 0.05 d Wo beginnt es unsinnig zu werden? Fast alle Gehalts ,43 angaben im Datensatz sind auf ,71 1,00 volle 100DM-Beträge gerundet! 12

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests Nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängig: parametrischer [parametric] Test verteilungsunabhängig: nichtparametrischer [non-parametric] Test Bei parametrischen Tests

Mehr

2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht

2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht 43 Signifikanztests Beispiel zum Gauß-Test Bei einer Serienfertigung eines bestimmten Typs von Messgeräten werden vor der Auslieferung eines jeden Gerätes 10 Kontrollmessungen durchgeführt um festzustellen,

Mehr

Statistische Tests (Signifikanztests)

Statistische Tests (Signifikanztests) Statistische Tests (Signifikanztests) [testing statistical hypothesis] Prüfen und Bewerten von Hypothesen (Annahmen, Vermutungen) über die Verteilungen von Merkmalen in einer Grundgesamtheit (Population)

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2

Mehr

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

Parametrische und nichtparametrische Tests

Parametrische und nichtparametrische Tests XIII. Nichtparametrische Tests Seite 1 Parametrische und nichtparametrische Tests Parametrische Tests: Hier wird eine bestimmte Verteilung vorausgesetzt, und getestet, ob die gewählten Parameter passen.

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-06) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Statistisches Testen

Statistisches Testen Statistisches Testen Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Differenzen Anteilswert Chi-Quadrat Tests Gleichheit von Varianzen Prinzip des Statistischen Tests Konfidenzintervall

Mehr

Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz

Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Grundlage: Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Die Testvariable T = X µ 0 S/ n genügt der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Auf der Basis

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 12. Januar 2011 1 Vergleich zweier Erwartungswerte Was heißt verbunden bzw. unverbunden? t-test für verbundene Stichproben

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

Klausur zur Vorlesung

Klausur zur Vorlesung Institut für Mathematische Stochastik WS 2006/2007 Universität Karlsruhe 12. Februar 2007 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Aufgabe 1 (15 Punkte) Klausur zur Vorlesung Statistik für Biologen

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II Statistik II Statistische Tests Statistik II - 12.5.2006 1 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 10. Vorlesung - 017 Quantil der Ordnung α für die Verteilung des beobachteten Merkmals X ist der Wert z α R für welchen gilt z 1 heißt Median. P(X < z α ) α P(X z α ). Falls X stetige zufällige Variable

Mehr

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Jan Gertheiss LMU München Sommersemester 2011 Vielen Dank an Christian Heumann für das Überlassen von TEX-Code! Testen: Einführung und Konzepte

Mehr

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 19. Januar 2011 1 Nichtparametrische Tests Ordinalskalierte Daten 2 Test für ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen Die Familie der χ (n)-verteilungen Sind Z 1,..., Z m für m 1 unabhängig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so genügt die Summe der quadrierten Zufallsvariablen χ := m Z i = Z 1 +... +

Mehr

Schließende Statistik

Schließende Statistik Schließende Statistik [statistical inference] Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Software oder Tabellen (nicht Thema dieser Veranstaltung).

Software oder Tabellen (nicht Thema dieser Veranstaltung). p-wert p-wert Der p-wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße den beobachteten Wert oder einen noch extremeren Wert (,,weiter weg von H 0 ) annimmt unter der Bedingung, dass H 0 wahr ist. Bemerkungen

Mehr

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung

Mehr

Test auf den Erwartungswert

Test auf den Erwartungswert Test auf den Erwartungswert Wir interessieren uns für den Erwartungswert µ einer metrischen Zufallsgröße. Beispiele: Alter, Einkommen, Körpergröße, Scorewert... Wir können einseitige oder zweiseitige Hypothesen

Mehr

Modul 141 Statistik. 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests

Modul 141 Statistik. 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests Modul 141 Statistik 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests Inhalt der 11. Sitzung 1. Parametrische Signifikanztests 2. Formulierung der Hypothesen 3. Einseitige oder zweiseitige Fragestellung 4. Signifikanzniveau

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler http://evol.bio.lmu.de/_statgen 7. Juni 2013 1 Binomialverteilung 2 Normalverteilung 3 T-Verteilung

Mehr

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Juni 2014 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden 1/46 Anpassungstests allgemein Gegeben: Häufigkeitsverteilung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung

Mehr

5. Seminar Statistik

5. Seminar Statistik Sandra Schlick Seite 1 5. Seminar 5. Seminar Statistik 30 Kurztest 4 45 Testen von Hypothesen inkl. Übungen 45 Test- und Prüfverfahren inkl. Übungen 45 Repetitorium und Prüfungsvorbereitung 15 Kursevaluation

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 2. November 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Ermitteln Sie auf 2 Dezimalstellen genau die folgenden Kenngrößen der bivariaten Verteilung der Merkmale Weite und Zeit:

Ermitteln Sie auf 2 Dezimalstellen genau die folgenden Kenngrößen der bivariaten Verteilung der Merkmale Weite und Zeit: 1. Welche der folgenden Kenngrößen, Statistiken bzw. Grafiken sind zur Beschreibung der Werteverteilung des Merkmals Konfessionszugehörigkeit sinnvoll einsetzbar? A. Der Modalwert. B. Der Median. C. Das

Mehr

Nachklausur zur Vorlesung

Nachklausur zur Vorlesung Institut für Mathematische Stochastik WS 003/004 Universität Karlsruhe 30. April 004 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Nachklausur zur Vorlesung Statistik für Biologen Musterlösungen Aufgabe 1 Gemessen wurde bei

Mehr

Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003

Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003 Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003. Eine seltene Krankheit trete mit Wahrscheinlichkeit : 0000 auf. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein bei einem Erkrankten durchgeführter

Mehr

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1 Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr 5. Juni 2013 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden- 11. VO 1/48 Anpassungstests allgemein Gegeben:

Mehr

Statistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de

Statistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de rbu leh ch s plu psych Heinz Holling Günther Gediga hogrefe.de Bachelorstudium Psychologie Statistik Testverfahren 18 Kapitel 2 i.i.d.-annahme dem unabhängig. Es gilt also die i.i.d.-annahme (i.i.d = independent

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. Oktober 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version:

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 25. Januar 2013 1 Der χ 2 -Anpassungstest 2 Exakter Test nach Fisher Mendelsche Erbregeln als Beispiel für mehr

Mehr

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 4. Testtheorie 4.. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung ypothesen Annahmen über die Verteilung oder über einzelne arameter der Verteilung eines Merkmals

Mehr

Klausur zur Vorlesung

Klausur zur Vorlesung Institut für Mathematische Stochastik WS 2004/2005 Universität Karlsruhe 14. Februar 2005 Dr. Bernhard Klar Sebastian Müller Aufgabe 1: (15 Punkte) Klausur zur Vorlesung Statistik für Biologen Musterlösungen

Mehr

Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik

Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik Helge Toutenburg Michael Schomaker Malte Wißmann Christian Heumann Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik Zweite, aktualisierte und erweiterte Auflage 4ü Springer Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz - 1 - Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe Dimension, Umfang Skalierung Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Punktediagramm, Regressionsgerade,

Mehr

Kapitel 10 Mittelwert-Tests Einstichproben-Mittelwert-Tests 10.2 Zweistichproben Mittelwert-Tests

Kapitel 10 Mittelwert-Tests Einstichproben-Mittelwert-Tests 10.2 Zweistichproben Mittelwert-Tests Kapitel 10 Mittelwert-Tests 10.1 Einstichproben-Mittelwert-Tests 10.2 Zweistichproben Mittelwert-Tests 10.1 Einstichproben- Mittelwert-Tests 10.1.1 Einstichproben- Gauß-Test Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung

Mehr

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle:

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Beispiel Wahlprognose: Die Grundgesamtheit hat einen Prozentsatz p der Partei A wählt. Wenn dieser Prozentsatz bekannt ist, dann kann man z.b. ausrechnen,

Mehr

Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 2007

Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 2007 Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik Stochastik Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 007 Prof. Dr. F. Liese Dipl.-Math. M. Helwich Serie Termin: 9. Juni 007 Aufgabe 3 Punkte

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Statistik II. Weitere Statistische Tests. Statistik II

Statistik II. Weitere Statistische Tests. Statistik II Statistik II Weitere Statistische Tests Statistik II - 19.5.2006 1 Überblick Bisher wurden die Test immer anhand einer Stichprobe durchgeführt Jetzt wollen wir die statistischen Eigenschaften von zwei

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Kapitel 15 Statistische Testverfahren 15.1. Arten statistischer Test Klassifikation von Stichproben-Tests Einstichproben-Test Zweistichproben-Test - nach der Anzahl der Stichproben - in Abhängigkeit von

Mehr

Bereiche der Statistik

Bereiche der Statistik Bereiche der Statistik Deskriptive / Exploratorische Statistik Schließende Statistik Schließende Statistik Inferenz-Statistik (analytische, schließende oder konfirmatorische Statistik) baut auf der beschreibenden

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Ein- und Zweistichprobentests

Ein- und Zweistichprobentests (c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Ein- Zweistichprobentests Ein- Zweistichprobentests Worum geht es in diesem Modul? Wiederholung: allgemeines Ablaufschema eines Tests Allgemeine Voraussetzungen

Mehr

Klausur zu Statistik II

Klausur zu Statistik II Goethe-Universität Frankfurt Prof. Dr. Uwe Hassler FB Wirtschaftswissenschaften Sommersemester 2005 Klausur zu Statistik II Version B Bitte tragen Sie hier und auf den Lösungsblättern (oben links) Ihre

Mehr

Musterlösung. Modulklausur Multivariate Verfahren

Musterlösung. Modulklausur Multivariate Verfahren Musterlösung Modulklausur 31821 Multivariate Verfahren 25. September 2015 Aufgabe 1 (15 Punkte) Kennzeichnen Sie die folgenden Aussagen zur Regressionsanalyse mit R für richtig oder F für falsch. F Wenn

Mehr

73 Hypothesentests Motivation Parametertest am Beispiel eines Münzexperiments

73 Hypothesentests Motivation Parametertest am Beispiel eines Münzexperiments 73 Hypothesentests 73.1 Motivation Bei Hypothesentests will man eine gewisse Annahme über eine Zufallsvariable darauf hin überprüfen, ob sie korrekt ist. Beispiele: ( Ist eine Münze fair p = 1 )? 2 Sind

Mehr

Statistik Einführung // Tests auf einen Parameter 8 p.2/74

Statistik Einführung // Tests auf einen Parameter 8 p.2/74 Statistik Einführung Tests auf einen Parameter Kapitel 8 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // Tests

Mehr

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber Statistik II IV. Hypothesentests Martin Huber 1 / 22 Übersicht Weitere Hypothesentests in der Statistik 1-Stichproben-Mittelwert-Tests 1-Stichproben-Varianz-Tests 2-Stichproben-Tests Kolmogorov-Smirnov-Test

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 13. Juli 017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 8. Juli

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Poisson-Verteilung Diese Verteilung

Mehr

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X Hypothesentests Bisher betrachtet: Punkt- bzw. Intervallschätzung des unbekannten Mittelwerts Hierzu: Verwendung der 1 theoretischen Information über Verteilung von X empirischen Information aus Stichprobenrealisation

Mehr

Softwaretechnik. Prof. Dr. Rainer Koschke. Fachbereich Mathematik und Informatik Arbeitsgruppe Softwaretechnik Universität Bremen

Softwaretechnik. Prof. Dr. Rainer Koschke. Fachbereich Mathematik und Informatik Arbeitsgruppe Softwaretechnik Universität Bremen Softwaretechnik Prof. Dr. Rainer Koschke Fachbereich Mathematik und Informatik Arbeitsgruppe Softwaretechnik Universität Bremen Wintersemester 2010/11 Überblick I Statistik bei kontrollierten Experimenten

Mehr

3. Das Prüfen von Hypothesen. Hypothese?! Stichprobe Signifikanztests in der Wirtschaft

3. Das Prüfen von Hypothesen. Hypothese?! Stichprobe Signifikanztests in der Wirtschaft 3. Das Prüfen von Hypothesen Hypothese?! Stichprobe 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft Prüfung, ob eine (theoretische) Hypothese über die Verteilung eines Merkmals X und ihre Parameter mit einer (empirischen)

Mehr

Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Mehrdimensionale Zufallsvariablen Mehrdimensionale Zufallsvariablen Im Folgenden Beschränkung auf den diskreten Fall und zweidimensionale Zufallsvariablen. Vorstellung: Auswerten eines mehrdimensionalen Merkmals ( ) X Ỹ also z.b. ω Ω,

Mehr

Jost Reinecke. 7. Juni 2005

Jost Reinecke. 7. Juni 2005 Universität Bielefeld 7. Juni 2005 Testtheorie Test für unabhängige Stichproben Test für abhängige Stichproben Testtheorie Die Testtheorie beinhaltet eine Reihe von Testverfahren, die sich mit der Überprüfung

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Stetige Zufallsvariable Verteilungsfunktion: Dichtefunktion: Integralrechnung:

Mehr

Einfaktorielle Varianzanalyse

Einfaktorielle Varianzanalyse Kapitel 16 Einfaktorielle Varianzanalyse Im Zweistichprobenproblem vergleichen wir zwei Verfahren miteinander. Nun wollen wir mehr als zwei Verfahren betrachten, wobei wir unverbunden vorgehen. Beispiel

Mehr

7. Grenzwertsätze. Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012

7. Grenzwertsätze. Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 7. Grenzwertsätze Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Mittelwerte von Zufallsvariablen Wir betrachten die arithmetischen Mittelwerte X n = 1 n (X 1 + X 2 + + X n ) von unabhängigen

Mehr

Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1

Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1 Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1 Aufgabe 1: Wieviele der folgenden Variablen sind quantitativ stetig? Schulnoten, Familienstand, Religion, Steuerklasse, Alter, Reaktionszeit, Fahrzeit,

Mehr

8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests

8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests 8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Beispiel. Sie wollen den durchschnittlichen Fruchtsaftgehalt eines bestimmten Orangennektars

Mehr

Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1

Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1 Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1 Aufgabe 1: Von den Patienten einer Klinik geben 70% an, Masern gehabt zu haben, und 60% erinnerten sich an eine Windpockeninfektion. An mindestens einer

Mehr

Blockpraktikum zur Statistik mit R

Blockpraktikum zur Statistik mit R Blockpraktikum zur Statistik mit R 08. Oktober 2010 Till Breuer, Sebastian Mentemeier und Matti Schneider Institut für Mathematische Statistik Universität Münster WS 2010/11 Gliederung 1 Ein-Stichproben-Fall

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine Universität Düsseldorf 13. Januar 2010 Termine Letzte Vorlesung am 28.01.2010 Letzte Übung am 27.01.2010, und zwar für alle Anfangsbuchstaben

Mehr

Statistik II: Signifikanztests /1

Statistik II: Signifikanztests /1 Medien Institut : Signifikanztests /1 Dr. Andreas Vlašić Medien Institut (0621) 52 67 44 vlasic@medien-institut.de Gliederung 1. Noch einmal: Grundlagen des Signifikanztests 2. Der chi 2 -Test 3. Der t-test

Mehr

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe Kapitel 4 Statistische Tests 4.1 Grundbegriffe Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe X 1,..., X n. Wir wollen nun die Beobachtung der X 1,...,

Mehr

k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr

k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr Die so genannte Gütefunktion g gibt allgemein die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Test die Nullhypothese verwirft. Für unser hier entworfenes Testverfahren gilt ( ) k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p

Mehr

Kategoriale und metrische Daten

Kategoriale und metrische Daten Kategoriale und metrische Daten Johannes Hain Lehrstuhl für Mathematik VIII Statistik 1/14 Übersicht Abhängig von der Anzahl der Ausprägung der kategorialen Variablen unterscheidet man die folgenden Szenarien:

Mehr

Tests für Erwartungswert & Median

Tests für Erwartungswert & Median Mathematik II für Biologen 26. Juni 2015 Prolog Varianz des Mittelwerts Beispiel: Waage z-test t-test Vorzeichentest Wilcoxon-Rangsummentest Varianz des Mittelwerts Beispiel: Waage Zufallsvariable X 1,...,X

Mehr

Vertiefung der. Wirtschaftsmathematik. und Statistik (Teil Statistik)

Vertiefung der. Wirtschaftsmathematik. und Statistik (Teil Statistik) Selbstkontrollarbeit 1 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik (Teil Statistik) 18. Januar 2011 Aufgaben Aufgabe 1 Gegeben sei eine binomialverteilte Zufallsvariablen X mit den Parametern N

Mehr

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Korrelationsanalysen Kreuztabellen und χ²-test Themen Korrelation oder Lineare Regression? Korrelationsanalysen - Pearson, Spearman-Rang, Kendall s Tau

Mehr

5. Stichproben und Statistiken

5. Stichproben und Statistiken 5. Stichproben und Statistiken Problem: Es sei X eine ZV, die einen interessierenden Zufallsvorgang repräsentiere Man möchte die tatsächliche Verteilung von X kennenlernen (z.b. mittels der VF F X (x)

Mehr

Grundlagen der Statistik

Grundlagen der Statistik Grundlagen der Statistik Übung 15 009 FernUniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Übersicht über die mit den Übungsaufgaben geprüften Lehrzielgruppen Lehrzielgruppe

Mehr

KATA LOGO Mathematik Statistik Roadmap: Von der Hypothese zum p-wert

KATA LOGO Mathematik Statistik Roadmap: Von der Hypothese zum p-wert KATA LOGO Mathematik Statistik Roadmap: Von der Hypothese zum p-wert 0. Das eigentliche Forschungsziel ist: Beweis der eigenen Hypothese H 1 Dafür muss Nullhypothese H 0 falsifiziert werden können Achtung!

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 9. Dezember 2010 1 Konfidenzintervalle Idee Schätzung eines Konfidenzintervalls mit der 3-sigma-Regel Grundlagen

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert

Mehr

7. Hypothesentests. Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang. X habe die unbekannte VF F X (x)

7. Hypothesentests. Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang. X habe die unbekannte VF F X (x) 7. Hypothesentests Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang X habe die unbekannte VF F X (x) Interessieren uns für einen unbekannten Parameter θ der Verteilung von X 350 Bisher:

Mehr

Kapitel XIII - p-wert und Beziehung zwischen Tests und Konfidenzintervallen

Kapitel XIII - p-wert und Beziehung zwischen Tests und Konfidenzintervallen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XIII - p-wert und Beziehung zwischen Tests und Konfidenzintervallen Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller

Mehr

Lehrinhalte Statistik (Sozialwissenschaften)

Lehrinhalte Statistik (Sozialwissenschaften) Lehrinhalte Technische Universität Dresden Institut für Mathematische Stochastik Dresden, 13. November 2007 Seit 2004 Vorlesungen durch Klaus Th. Hess und Hans Otfried Müller. Statistik I: Beschreibende

Mehr

Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen

Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen A1 Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen Verteilungsfunktion Φ(z) der Standardnormalverteilung Die Tabelle gibt die Werte Φ(z) der Verteilungsfunktion zu vorgegebenem Wert z 0 an; ferner gilt Φ( z)

Mehr

Einfache Varianzanalyse für unabhängige Stichproben

Einfache Varianzanalyse für unabhängige Stichproben Einfache Varianzanalyse für unabhängige Stichproben VARIANZANALYSE Die Varianzanalyse ist das dem t-test entsprechende Mittel zum Vergleich mehrerer (k 2) Stichprobenmittelwerte. Sie wird hier mit VA abgekürzt,

Mehr

2.3 Intervallschätzung

2.3 Intervallschätzung 2.3.1 Motivation und Hinführung Bsp. 2.15. [Wahlumfrage] Der wahre Anteil der rot-grün Wähler unter allen Wählern war 2009 auf eine Nachkommastelle gerundet genau 33.7%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

2.3 Intervallschätzung

2.3 Intervallschätzung 2.3.1 Motivation und Hinführung Bsp. 2.11. [Wahlumfrage] Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 2009 war genau 33.7%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Zufallsstichprobe von 1000 Personen genau

Mehr

Anpassungstests VORGEHENSWEISE

Anpassungstests VORGEHENSWEISE Anpassungstests Anpassungstests prüfen, wie sehr sich ein bestimmter Datensatz einer erwarteten Verteilung anpasst bzw. von dieser abweicht. Nach der Erläuterung der Funktionsweise sind je ein Beispiel

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt 14

Lösungen zum Aufgabenblatt 14 Lösungen zum Aufgabenblatt 14 61. Das Gewicht von Brötchen (gemessen in g) sei zufallsabhängig und werde durch eine normalverteilte Zufallsgröße X N(µ, 2 ) beschrieben, deren Varianz 2 = 49 g 2 bekannt

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Taubertsberg 2 R. 06-206 (Persike) R. 06-214 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/

Mehr

Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, :34 P.M. Page 11. Über die Übersetzerin 9. Einleitung 19

Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, :34 P.M. Page 11. Über die Übersetzerin 9. Einleitung 19 Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, 2016 6:34 P.M. Page 11 Inhaltsverzeichnis Über die Übersetzerin 9 Einleitung 19 Was Sie hier finden werden 19 Wie dieses Arbeitsbuch aufgebaut ist

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 Tabellen (leicht gekürzte Version) Hans Walser: Tabellen ii Inhalt Binomische Verteilung.... Binomische Verteilung (ohne

Mehr

Das Zweistichprobenproblem

Das Zweistichprobenproblem Kapitel 5 Das Zweistichprobenproblem In vielen Anwendungen will man überprüfen, ob sich zwei oder mehr Verfahren, Behandlungen oder Methoden in ihrer Wirkung auf eine Variable unterscheiden. Wir werden

Mehr

Grundidee. χ 2 Tests. Ausgangspunkt: Klasseneinteilung der Beobachtungen in k Klassen. Grundidee. Annahme: Einfache Zufallsstichprobe (X 1,..., X n ).

Grundidee. χ 2 Tests. Ausgangspunkt: Klasseneinteilung der Beobachtungen in k Klassen. Grundidee. Annahme: Einfache Zufallsstichprobe (X 1,..., X n ). Grundidee χ 2 -Anpassungstest χ 2 -Unabhängigkeitstest χ 2 -Homogenitätstest χ 2 Tests Grundidee Ausgangspunkt: Klasseneinteilung der Beobachtungen in k Klassen Annahme: Einfache Zufallsstichprobe (X 1,,

Mehr

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:

Mehr