Baustatik und Holzbau. Übungen Technische Mechanik I Lösungen

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1 Prof. Ralf-W. oddenberg austatik und Holzbau Hochschule Wismar Übungen Technische echanik I Lösungen Wintersemester 16/17

2 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Inhalt Inhaltserzeichnis Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme Übungen Ebene zentrale Kräftegruppe Hängende Kugel Zerlegung einer Kraft in der Ebene Räumliche Zerlegung einer Einzelkraft Resultierende einer zentralen Kräftegruppe und erechnung on Stabkräften Lagerreaktionen Übungen Einfeldbalken mit Einzellast Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast, Einzelkraft und Einzelmoment Einfeldbalken mit dreiecksförmiger Streckenlast Einfeldbalken mit trapezförmiger Streckenlast Geneigter Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast Rechteckrahmen mit zwei Einzellasten Rahmentragwerk mit einer Einzellast Rahmentragwerk mit dreiecksförmigen Streckenlasten Fachwerke Übungen Fachwerk 1 nach Knotenpunkterfahren Fachwerk nach Knotenpunkterfahren Fachwerk 3 nach Knotenpunkterfahren Fachwerk 4 nach Knotenpunkterfahren Fachwerk 1 durch Rittersches Schnitterfahren Fachwerk durch Rittersches Schnitterfahren Fachwerk 3 durch Rittersches Schnitterfahren Fachwerk 4 durch Rittersches Schnitterfahren Schnittgrößen Übungen Einfeldbalken mit Einzellast Einfeldbalken mit Einzellasten und Einzelmoment reiteiliger Gelenkträger mit Einzellasten Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast Geneigter Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast Zweiteiliger Träger mit dreiecksförmiger Streckenlast und Einzellast Rechteckrahmen mit zwei Einzellasten Rahmentragwerk mit einer Einzellast Rahmentragwerk mit dreiecksförmigen Streckenlasten Rahmentragwerk mit schrägem Stiel Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

3 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme Zentrale Kraftsysteme Übungen.1 Ebene zentrale Kräftegruppe a) Zeichnerische Lösung 1 k R 5,1 k 1 k F 1 F 5 F F 3 F 4 b) Lösung mit Hilfe der Vektorrechnung 1,5 3 7,5 3 F1 ; ; 3 ; 4 ; 5 F F F F,5,5 6 1,537,53 5 R F F F3 F4 F5,5,56 1 R ,1 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

4 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme. Hängende Kugel a) grafische Lösung S y S x G 1, 5 k G 1 k G 1, 5 k S 1, 59 k,53 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

5 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme b) rechnerische Lösung Vektorrechnung: h 6 h 6 56,57 cm G ; 1,5 1 n (beliebiger Vektor in Richtung ) an S b s s (beliebiger Vektor in Richtung S) 56,57 G S Ganbs anbsg 1 a b 56,57 1,5 1 ab 1,5 56,57b 1,5 b,65 56,57 in 1 a,65,53 1 an,53,53 1,53 k S bs,65 S S,65 56,57 1,59 k 56,57 lternatie rechnerische Lösung über ähnliche reiecke: G 1,5,53 k G 565,7 565,7 565,7 S S G 1,5 1,59 k G 565,7 565,7 565,7 565,7 6 sehr einfache Lösung! G S Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

6 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme.3 Zerlegung einer Kraft in der Ebene a) zeichnerische Lösung 1 k 1 k F 6,73 k Fb 4,53 k F 3,39 k a b) Lösung mit Hilfe der Vektorrechnung Richtungsektoren, in Richtung on ab, und Vektor F 8,, 4, 5 ; ; F ; Fa a ; Fb b 1, 5 7, 5 5, F F F ab F a b llgemeine Lösung: Unser eispiel: x x Fx a b F y y y x y y x xfy y Fx a xfy y Fx b 8,, 4, 5 a 1, 5 b 7,5 5, 8, 7,5 1,5, 57,, 5, 7,54,5 3,75 a, , 57, 8, 5, 1,5 4,5 33, 5 b, , 8, Fa a F F 1, 5, Fb b F F 7,5,4167 a a, ,5 3,39 k,5833 b b,5833, 7,5 4,53 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

7 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme.4 Räumliche Zerlegung einer Einzelkraft Richtungsektoren,, in Richtung on S, S, S ; 1 ; 3 ( und sind Einheitsektoren) 5 x S 1 S y Gleichgewichtsbedingung: S a; S b; S c 1 3 S S S F 1 3 abc F S 3 F 5 k z Lösung: 1 4 a b 1 c :1ab4c :a1b3c 3 :ab5c 5c 1 b c a c in : in 1 : Stab- und Seilkräfte: 1 S1 a 4 S1 S1 a 4, k S b 3 1 S S b 3, k 4 S c S S , 7 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

8 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme.5 Resultierende einer zentralen Kräftegruppe und erechnung on Stabkräften a) grafische Lösung R S 1 S S 11, S1 7, R 9,15 F 3 F F 1 b) Lösung mit Hilfe der Vektorrechnung Richtungsektoren und in Richtung on S und S 3 4 ; y F F1 ; F ; F3 R F F 1 x S 1 S Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

9 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Zentrale Kraftsysteme Gleichgewichtsbedingung: S S R 1 abr ab R llgemeine Lösung: Unser eispiel: F a x x x b y y F y xy yx xfy y Fx a xfy yfx b a 4 b a 5, b, , S1 5, , 1,6 4 1,6 S S 7, k (Zug) 4 8,8 S, S S 8,8 6, 6 3 6,6 11, k (ruck) c) Lösung durch ufstellung der Gleichgewichtsbedingungen der x- und y-komponenten der Kräfte 1 F1x Fx F3x S1x Sx S1x Sx S1x Sx 5 F1y Fy F3y S1y Sy 51S1y Sy S1y Sy 15 S1x 3 3 S1x S1y S1 y 4 4 Sx 4 4 Sx Sy S y und 4 in 1 : S1y Sy 5 Sy 5 S1y S1y in : S1y S1y 15 S1y S1y 1,6 k Vorzeichen 3 in 3 : S1x S1y S1x 16, k 4 bezogen auf 1 : S1x Sx 5 Sx 5 16, Sx 8,8 k Zeichnung oben : S1y Sy 15 Sy 15 1,6 Sy 6, 6 k S S S 16, 1,6 7, k (Zug) 1 1x 1y S S S 8,8 6,6 11, k (ruck) x y S 1 y S 1x S 1y F 3 S x S y S F F 1 x Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

10 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen 4 Lagerreaktionen Übungen 4.1 Einfeldbalken mit Einzellast Schnittdarstellung: 4 k 3, m 4, m h Gleichgewichtsbedingungen: H : 1 : ,71 k V : 4 4,9 k 7 7 Kontrolle: h 16 : Kontrolle erfolgreich 7 Ergebnisdarstellung: 4 k, 9 k 1, 71 k 4. Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast Schnittdarstellung: F 1, 5, 5 3, 75 k h 1,5 m,5 m 7, m 3,5 m Gleichgewichtsbedingungen: H : 9,375 : 3,75,5 7 1,34 k 7 V : 3,75 3,75 3,751,34,41 k Kontrolle: : 73,754,5,4173,754,5 16,87 16,875 Kontrolle erfolgreich h Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

11 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen Ergebnisdarstellung: q 1, 5 k/m, 41 k 1, 34 k 4.3 Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast, Einzelkraft und Einzelmoment Schnittdarstellung: 4 k cos45 sin45 51 k 3 k 4 km h, m, m 6, m 1, m 1, m Gleichgewichtsbedingungen: H : cos45 cos 451,41 k 1 : sin ,83148,14 k 6 V : 4 sin ,418,14 1,7 k Kontrolle: h 18,41 8,14 : 646sin , , , Kontrolle erfolgreich Ergebnisdarstellung: h 4 k 45 k q 5 k/m 3 k 4 km 1, 41 k 1,7 k 8,14 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

12 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen 4.4 Einfeldbalken mit dreiecksförmiger Streckenlast Schnittdarstellung:,5/3 1,5,5 F =1,875 k h, m,5 m, m 6,5 m Gleichgewichtsbedingungen: H : 1 1 : 1,875,5 6,5 5,31,817 k 3 6,5 V : 1,875 1,875 1,875,817 1,58 k Kontrolle: : 6,5 1,875,5 3 1,586,5 1,8753,667 6,877 6,875, Kontrolle erfolgreich Ergebnisdarstellung: q 1, 5 k/m h 1,58 k,817 k 4.5 Einfeldbalken mit trapezförmiger Streckenlast Schnittdarstellung: 3, F1 3 k F 3, 6 k h,75 m 1, m,5 m 1,5 m 7, m 3,5 m Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

13 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen Gleichgewichtsbedingungen: H : h 1 : F11,75 F,5 7 31,75 6,5,68 k 7 V : F1 F 3 6 9, 68 6,3 k Kontrolle: : 7F15,5 F 4,75 6,3 7 35,5 6 4,75 44,4 44,5,1 Kontrolle erfolgreich Ergebnisdarstellung: q1 4 k/m q k/m 6,3 k,68 k 4.6 Geneigter Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast h gtan 5, tan 3,89 m l g 5, cos cos3 5, 77 m Schnittdarstellung: F F F h l = 5,77 m h =,89 m 3 h g = 5, m Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

14 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen Gleichgewichtsbedingungen: F ql F 55,77 8,87 k F Fcos ql cos qg F 5 5, 5, k g Fh Fsin ql sin qh Fh 5,89 14, 43 k h H : F F 14,43 k h h h h 5, , 77 : F 5 8,87 16,67 k 5 alternati:,89 5 1,89 : Fh F 5 14, 43 5,5 16,67 k 5 V : F 516,678,33 k Kontrolle:,89 5, 77 5, 77 : h 5 F 14, 43,89 8, 335 8,87, 6 Kontrolle erfolgreich Ergebnisdarstellung: q 5 k/m 16,67 k 14,43 k 8,33 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

15 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen 4.7 Rechteckrahmen mit zwei Einzellasten Schnittdarstellung: Gleichgewichtsbedingungen: F F h 3,5 cos61,75 k 3,5 sin 63,3 k F1 k,4 m,4 m F F h H : F F h 1 h F F 1,75,5 k h 1 h :,4 F,4 F,4 F,4 1 h F F F 3,31,753,8 k 1 h V : F F 3,3 3,8,5 k h 3,6 m Kontrolle :,4 1, 3,6 F 3,6? h h,5,4,5 1, 7, 1,75 3,6 Kontrolle erfolgreich Ergebnisdarstellung: F1 k F 3,5 k 6, 5 k, 5 k 3, 8 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

16 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen 4.8 Rahmentragwerk mit einer Einzellast F Schnitt II Schnitt I S F 5,5 k,75 m 1,5 m h : S1,5 F,75S,5F,55,5,75 k H : S S,75 k h V : F F 5,5 k Kontrolle: zeigt die Resultierende aus in Richtung des geknickten Pendelstabes? h 1,5 5,5 h h und,75,75,5?,5 Kontrolle erfolgreich h h 1,5 m,75 k 1,5 m,75 m h :,75,75,75 h,5 h,917 k 3 H :,75,75 h h h h,75 h,75,75 1,833 k 3 3 Resultierende aus und in Richtung gerader Pendelstab:,917 k h V :,917 k Kontrolle: Resultierende aus h und in Richtung des geknickten Pendelstabes? 1, 5 1,833? Kontrolle erfolgreich h,75,917 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

17 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen Ergebnisdarstellung: 1,833 k,917 k F 5,5 k,917 k,75 k,917 k 5,5 k 4.9 Rahmentragwerk mit dreiecksförmigen Streckenlasten E Schnitt II Schnitt I F Schnitt I h,53 m F 1, k 1,7 m S 1,6 m V : F S S F 1, k : 1,6 F h1, 6 F S1, 6 h F F,8 k H :,8 k h h h h h 1,6 m Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

18 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Lagerreaktionen Schnitt II F 1, k 1, k,53 m 1,7 m E h 3, m V :1, 1,F F,4 k F : 1, 1,6 1, 1,6 Eh 3, 3 1, 6 5 Eh 1, 1, k 3, 3 H : E F F E 1, k h h h h F Kontrolle: : 1, 1, 6 1, 1, 6 Fh 3,? 3 5 1, 1, 6 1, 3, Kontrolle erfolgreich 3 F h F Ergebnisdarstellung: q 1,5 k/m 1, k q 1, 5 k/m,8 k,8 k, 4 k 1, k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

19 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke 5 Fachwerke Übungen 5.1 Fachwerk 1 nach Knotenpunkterfahren 15 h 15 1,7 m 3,4 m 3 1, m! 6,8 m : 3 3, ,7 1, 1,5 k V : 3 1,5 17,5 k Kontrolle : 17,51, 3 6,8 151,7 Kontrolle erfolgreich Knotengleichgewichte: Knoten ,5 1 1h U 1 1 V : 17,5 17,5 1 1h Geometrie: 1h , ,4 17, ,13 H : 15U1 1h U1 5, 35 1 lternatie Lösung durch Vektorgrafik (hier exemplarisch): 17,5 1 Knoten 15 V1 3 U 1 1h 1 1 1h ,5 3, 4 1h , 7 1 1h 17, ,13 U U Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

20 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke Knoten 5 39, ,5 5 O1 3 h V : 17,5 3 1,5 h Geometrie: h 5 1 H : 35O1 h O ,5 5 7,95 Knoten 3: 5 1,5 7,95 V H : 5 5 U U 5, 3 3 V 1,5 5 3 U3 Knoten 4: 3 U 3 4 1,5 1, ,5 5 7,95 als erfolgreiche Kontrolle dient hier auch die Tatsache, dass 3h 3 ist! 1 Ergebnisdarstellung: , ,5 3-7,95 +1,5-7, ,5 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

21 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke 5. Fachwerk nach Knotenpunkterfahren Knoten 1: U U1 U tan 6U 5,77 tan sin ,55 sin ,55 5,77 1 Knoten 4: O 1 11, , 55 gleichseitiges reieck: 11,55 11,55 O 11,55 O 11, O 1 Knoten : 1 11,55 3 5,77 6 5,77 U 6 6 3h 3 V : h Geometrie: tan 3 3h 3 tan 3 17,3 3 3 H : 5, 77 5, 77 3h U U 8, ,3 34,64 17,3 Knoten 5: 11,55 34, , h O 4 V : 3 4 4h Geometrie: tan 3 4h 3 tan 3 17, ,3 34,64 H : 11,55 17,3 4h O O 46,19 17,3 Ergebnisdarstellung: +11,55 +46, ,19 +11,55-11,55 +34,64-34, ,77-8, ,19 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

22 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke 5.3 Fachwerk 3 nach Knotenpunkterfahren uflagerkräfte: ,5 m ,5 m 3,5 m 3,5 m 14, m 3,5 m H : 18 k : , k V : k Kontrolle : 18 3, ,5 18 3,5 Kontrolle erfolgreich! h Knoten 1: 18 V h 1 H : 18 1h , V : 9V1 1 V Knoten : 7 U ,18 U 1 U 1 7 Knoten 6: 6 O1 7 O V V V O 1 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

23 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke Knoten 3: h U 3 V : ,73 3h 3 3 H : h U U Knoten 7: O V : h 4 9 4h 4 H O 9 4h O ,73 : Knoten 8: k V 3 5 V ,64 5 V Knoten 5: U als erfolgreiche Kontrolle: U ist horizontal U 3 45 U 3 Ergebnisdarstellung: , , ,73-1, , Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

24 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke 5.4 Fachwerk 4 nach Knotenpunkterfahren Ermittlung der uflagerkräfte, der ullstäbe und der Stäbe mit gleicher ormalkraft: O O3 O4 O5 V6 5,5 11cos39,53 h U 1 U U3 U4 U5 9,53 11sin 35,5 1,9 m 1,9 m 1,9 m 1,9 m 1,9 m H : 11cos 39,53 k : 3,8 7,6 5,5 9,5 17,875 k V : 17,875 5,5 9,65 k Kontrolle : 9, 65 7, 6 3,8 5, 5 1, 9 Kontrolle erfolgreich! h Knoten 1: 1 9,53 9,65 1 U 1 1h 1 V : 9, 65 9, 65 1h 1 1 9,65 9,65 13,61 H : 9,53 1h U1 U1 19,16 9,65 1 Knoten 8: 8 O 45 O 45 9,65 9,65 9, 65 O 1 9,65 19, 5 9,65 9,65 Knoten 3: 9,65 9, ,16 3 U3 3h V : 9,65 1,375 1,375 3h 3 H : 19,169,65 3h U3 U 3 16, ,375 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

25 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke Knoten 1: 19,5 1,375 1,375 1 O4 4h 4 4 V : 1, ,375 1,375 4h 4 H : 19,51,375O4 4h O4 5,5 1,375 Knoten 5: 1,375 1, h 16,41 U5 17,875 5 V : 1,375 17,875 5,5 5, 5 5, 5 5h 5 H : 1,375 16, 41 5h U5 U5 9,53 5,5 5 5 Ergebnisdarstellung: -19,5-19,5 +5,5 +5, ,61 +13,61 +17,5-17,5-7,78 +5,5 1 9,53 +19,16 +19, , ,41 +9,53 9,65 17, Fachwerk 1 durch Rittersches Schnitterfahren uflagerkräfte identisch 5.1: ,5 3 1,5 5 O ,5 3 3,4 m h U 3 3,4 m 1,7 m Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

26 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke (5) U U : 151,717,53,4 1,7 5 (3) O1 O1 : 17,56,833,4 1,7 1 V : 17,53 1,5 H : 15 O1 U1 h 1,5 5 7, h h 5 Kontrolle aus der Geometrie:! h 3, 4 5 1, 7 1 1,5 Kontrolle erfolgreich 5.6 Fachwerk durch Rittersches Schnitterfahren k k 1,8 m 4 O ,9tan 6 3h U 3 1,8 m 1 k k 1,8 m (5) U U () O1 O1 : 1,7,9,9tan6 8,87 : 11,8,9tan6 11,55 V : 1 3 H O U 3 3 : 1 3h ,3 34,64 11,55 8,87 3h 3h 17,3 Kontrolle aus der Geometrie:! 3 3 1,73 tan 6 1,73 Kontrolle erfolgreich 17,3 3h Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

27 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke 5.7 Fachwerk 3 durch Rittersches Schnitterfahren uflagerkräfte identisch 5.3: O h U 3,5 m 3,5 m 3,5 m 3,5 m (7) U U 3h 3 (3) : ,5 54 : 183,593,5O 3,5 O 7 1 V : H : 18O U 3, 5! h h Kontrolle aus der Geometrie: 1 Kontrolle erfolgreich 3, h O 4 4 4h U 3,5 m ,5 m 3,5 m 45 (4) O O 4h 4 : 3,5183,5453,5 7 V : H : 18O U 4 3, 5! 9 4h h Kontrolle aus der Geometrie: 1 Kontrolle erfolgreich 3, h Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

28 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Fachwerke 5.8 Fachwerk 4 durch Rittersches Schnitterfahren uflagerkräfte identisch 5.4: 9,53 9,65 17, O 9,53 9,65 h U 3 1,9 m 1,9 m 1,9 m (8) : 9,531,99,651,9U 1,9 U 19,16 (3) : 9,65 3,8 O 1,9 O 19, 5 V : 9,65 9,65 H : 9,53O U h 9,53 19, 5 19,16 h h 9,65 9,65 Kontrolle aus der Geometrie:! h 1,9 9,65 1 Kontrolle erfolgreich 1,9 9,65 1 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

29 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6 Schnittgrößen Übungen 6.1 Einfeldbalken mit Einzellast uflagerkräfte: 3sin 78,19 3cos71,6 h 4, m 7, m 3, m H : 1,6 k : 8, ,11 k,1 V : 8,19 16,11 1,8 k Kontrolle : 1,8 7 8,19 3 Kontrolle erfolgreich Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen?! Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant bzw. Last x q konstant lineare Funktion Einzellast F bei Sprung um F Knick Schnitte: x h Schnitt I Schnitt II h Schnitt I: 1,8 4, m : 1,84 48,3 km V : 1,8 k Schnitt II: 1,6 16,11 H : 1, 6 k V : 16,11 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

30 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Verlauf der Schnittgrößen 3sin 7 8,19 3cos 71, 6 h 4, m 7, m 3, m 1, 6 " " 1,8-8,19 16,11 " " " " 48,33 6. Einfeldbalken mit Einzellasten und Einzelmoment uflagerkräfte: 4 sin 451,414 3 cos 451,414 4, m E, m 1, m 1, m 6, m H : 1, 414 k : 1, ,138 k V : 4 1, ,138 5, 76 k Kontrolle : : 5, , Kontrolle erfolgreich h! h Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

31 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant bzw. Last x q konstant lineare Funktion 3 3 x Einzellast F bei Sprung um F Knick Einzellast F bei Sprung um F Knick Einzelmoment bei E konstant Sprung um + Schnitte: Schnitt I Schnitt II 4 Schnitt IV Schnitt III E h Schnitt I: 4 : 5,764,55 km 5,76, m V : 5, , 76 k Schnitt II: 4 1,414 5, 76 1,414, m, m H : 1,414 k V : 5, , 414,138 k : 5,764441,41,76 km Schnitt III: V E 1,414 E 1, m 3,138 : 3,138 k : 3,1381 3,138 km Schnitt IV: 4 1, m 1,414 3,138 V : 3,138 k E : 3,13814,86 km E Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

32 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Verlauf der Schnittgrößen: 1,414 " " 1,76,138 3,138 " ",86 " ",55,76 3, reiteiliger Gelenkträger mit Einzellasten Tipp: bei Gelenkträgern ist es meist günstig, wenn man sich die einfachste Reihenfolge des Einbaus überlegt und dann die erechnung in umgekehrter Reihenfolge durchführt. Schnitte: Einbau Träger -E E-G G- erechnung Schnitt VI E F G Schnitt V Schnitt IV Schnitt III F Schnitt II Schnitt I h Schnitt I: G 1, m G : V : Schnitt II: 1, m 1 Träger G unbelastet ohne statischen Einfluß V : 1 k F : 1 km F G Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

33 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt III: l E 1,75 m F r 1 E : 1,751 r r 5, 71 k V : 5,71 k l r Schnitt IV: konstant 5,71 k, 75 bei nach Strahlensatz: 1 4, 9 k 1, 75 Schnitt V: 1,5 m 8,5 m 1,5 m 4, 9 :,581,54,9 5, 7 k V : 5,7 8, 8 k Schnitt VI: 5, 7 V : 5,7 k : 5,7 1, 5 7,15 k Verlauf der Schnittgrößen: " " 5, 7 5, 71, 8 1, " " 1, " " 7,15 4, 9 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

34 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6.4 Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast uflagerkräfte: 1,5,5 3, 75 k 1,5 m 1,5 m,5 m 1,5 m 7, m 3,5 m h H : : 3, 75,5 7 1,34 k V : 3, 75 1,34, 41 k Kontrolle,5 :, 417 3, 75 4, 5 Kontrolle erfolgreich Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant bzw. Last ereiche - und -: x h x q konstant lineare Funktion ereich -: q konstant lineare Funktion quadratische Parabel keine Einzellasten kein Sprung kein Knick keine Einzelmomente kein Sprung Schnitte: Schnitt I x Schnitt II h Schnitt bei x Schnitt I:, 41 1,5 m :,411,5 3, 1 km V :,41 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

35 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt II: : 1,343,5 4,36 km V : 1,34 k 3,5 m erechnung der Stelle x, an der ist 1, 34 mit Hilfe des Strahlensatzes: x,5 x x,41 1,34 1,34 1 1,5 x,41 1,34 1,34 1,16x 1,866 x 1, 61 m besser mit Gleichgewichtsbedingungen im nachfolgenden Schnitt:,41 V :, 41 1, 5 x x 1, 61 1, 5 erechnung des max. omentes bei x, 41 1,5 m 1, 5 x x x x,41 (1,5 x) qx 1,61,41,86 1,5 4,95 km Verlauf der Schnittgrößen bei System 6.4: " " 1, 34 " ", 41 x,5 x " " 3, 1 4,95 4,36 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

36 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6.5 Geneigter Einfeldbalken mit Gleichstreckenlast uflagerkräfte: F F F h h =,89 m 3 h g = 5, m Geometrische eziehungen: g 5 l 5, 77 m cos cos 3 g h sin g tan 5 tan 3,89 m cos g cos g lcos l h sin h lsin l Zur Streckenlast äquialente Einzellast F und ihre horizontale und ertikale Komponente: F ql 55,77 8,87 Fh F sin ql sin qh 5,89 14, 43 k h F F cos ql cos qg 5 5 5, k g H : h Fh h 14,43 k h g : Fh F g,89 14, 43 5,5 5 16, 67 k V : 5 16,67 8,33 k Kontrolle! h g : g h h Fh F,89! 8,335 14, 43,89 14, 43 5,5 Kontrolle erfolgreich,1 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

37 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant Last x q konstant lineare Funktion quadratische Parabel Schnitte: x Schnitt I Schnitt II h Schnitt I: 16, ,67 16, 67 sin 3 8, 33 k 16,67cos3 14, 43 k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

38 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt II: 14,43 8,33 F 8,87 Kräfte zur Stabachse : 14, 44 k Verlauf der Schnittgrößen: " " 14, 43 " " " " 8,33 14,43 ql 8,83 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

39 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6.6 Zweiteiliger Träger mit dreiecksförmiger Streckenlast und Einzellast Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant bzw. Last ereich - q ereich - q linear x uflagerkraft bei Sprung um + Schnitte: x konstant lineare Funktion Parabel. Ordnung Parabel 3. Ordnung Knick q 4 k/m Schnitt IV Schnitt III Schnitt II Schnitt I 5 Schnitt I:, m 1,5 m F 1 3, m F 1, m 1,5 m q q 1 5 q 4 q1 q k/m F q 3, 3 6 kf 3 k 1 1 V : k : 61, km Schnitt II: 3, m 4, m 1, m 1 1 F q l 46 1 k, m 5 : k V : k Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

40 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt III: 9 Schnitt IV: 1 1 F ql 3 3 k, m 1, m 3, m 3, m 9 V : 93 1 k Kontrolle: : km : 93 7 km Verlauf der Schnittgrößen bei System 6.6: waagerechte Tangente " " 14 3 kein Knick 7 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

41 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6.7 Rechteckrahmen mit zwei Einzellasten Schnitte (uflagerkräfte siehe ufgabe 4.7): 3,5 6, 5, 5 3, 8 Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant Last x q konstant lineare Funktion Schnitt Stiel -: x,4,5 k,5 k,5,4,6 km, 5, 5 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

42 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt um Knoten :, 5,6,5 1,75 k,5 k,6 km, 5 us ifferentialbeziehungen folgt für linearen Verlauf der omentenlinie im ereich -: l,6, 5, 4 r l Schnitt um Knoten :, 5 3, 3 1, 75 1, 75,5 3,3 3,8 k 1, 75 1, 75 Verlauf der Schnittgrößen: 1, 75, 5,6, 5 " ", 5 " " " " 3, 8 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

43 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6.8 Rahmentragwerk mit einer Einzellast Schnitte (uflagerkräfte siehe ufgabe 4.8): 1,833,917 Stab 5,5 E Stab,917,917,75 5,5 Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant Last x q konstant lineare Funktion x Schnitt alken -: 1,833,917 1,5 1,833 k,917 k,917 1,5 1,375 km Schnitt um Knoten :,917 1,833 1,375,917 k 1,833 k 1,375 km Schnitt um Knoten :,917,917 1,97 k,917 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

44 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt Stiel -E: E 5,5 k 1,5,75 k,751,5 4,15 km,75 5,5 Schnitt um Knoten E: 4,15,75,75 k 5,5 k 4,15 km 5,5 Verlauf der Schnittgrößen: 1,833,917, 75 1,97 " " 5,5,917 1,375 1,833 5,5 4,15 " ",75 " " Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

45 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6.9 Rahmentragwerk mit dreiecksförmigen Streckenlasten uflagerkräfte siehe ufgabe 4.9: q 1, 5 k/m E 1, k q 1, 5 k/m,8 k,8 k F, 4 k 1, k Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant ereich Last,, E F q konstant lineare Funktion, E qlineare Funktion Parabel. O. Parabel 3. O. x x Schnitt Stiel -: Schnitt um Knoten 1,6,8 k,81,6 1,8 km,8,8 1, 8 1, 8 km,8 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

46 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt um Teilsystem --: 1,,8 1, k,8 Schnitt um Knoten : Schnitt um Knoten : 1, k 1, k 1, 1, Schnitt um Teilsystem E-F (links on E): Schnitt um Teilsystem E-F (unterhalb on E): 1, E E 3,,4 k 1, 3, 3, km 3,,4 k 1, k 1, 3, 3, km F F, 4 1,, 4 1, Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

47 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Verlauf der Schnittgrößen: 1,, 4 " " 1,, 4 3, 1, " " 1, 1, 8 " ",8 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

48 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen 6.1 Rahmentragwerk mit schrägem Stiel uflagerkräfte: q 4,5 k/m 5 k Stab E 14,968 8, 3 Wie muss der Verlauf der Schnittgrößen, und aussehen? Streckenlast parallel zur alkenachse: px ( ) x ( ) konstant ereich Last,, E q konstant lineare Funktion qkonstant lineare Funktion Parabel. O. Einzellast Sprung Knick x x Schnitt um Teilsystem - (unterhalb on ):,5 8,3,,, 5, sin,8,,8 6,43 k 6,5 3,75 cos,6,,6 4,8 k 6,5,, 6,43 k 4,8 k,5, 8 km, Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

49 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Schnitt um Punkt : 4,8,8 6, 43 F 5 F F 5, sin,8 F,85, 4, k 5 6,5 F 3,75 cos,6 F,6 5, 3, k 5 6,5 6,43 F,43 k 4,8 F 1,8 k, 43 5 k 1, 8,5 1,5 8,3 3,75 5, 1,5 3,87 k 8,3 Schnitt um Knoten : 3,87 1,8, 43 H, 43cos 1,8 sin,,6,8 V,43sin 1,8 cos 3,36 k 3,87 km,8,6 Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

50 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen lternati zum Schnitt um : Schnitt um Teilsystem - (rechts on ): 5 k,5 1,5 3,3 k 8,3 3,75 51,5 3,87 km 8,3 Schnitt um Teilsystem -E (links on ): Stab 14,97 k E 14,968 ullstelle der uerkraft im Riegel - und maximales oment: 3,87 q 4,5 3,3 x max V : 3,3 q x x,674 m 4,5 x : 3,87 q max max 4,89 km Prof. Ralf-W. oddenberg Stand

51 Lösungen zu Übungen Technische echanik I Schnittgrößen Verlauf der Schnittgrößen:, 43 6, 43 " " 14,97,67 14,97 3, 3 1,8 " " 4,8,67 3,87,8 4,89 " " Prof. Ralf-W. oddenberg Stand