Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule

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1 Berufsfeldbezogenes Fachseminar - Zahlentheorie Lisa Laudan Prof. Dr. Jürg Kramer Wintersemester 2014/2015 Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule 1.1 Die natürlichen Zahlen in der Hochschule In der Hochschule gibt es verschiedene Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen zu definieren. Wir definieren sie mit Hilfe von Axiomen, den sogenannten Peano-Axiomen, benannt nach G. Peano. Definition 1.1 (Peano-Axiome). Die Menge N der natürlichen Zahlen wird durch die folgenden Axiome charakterisiert: (i) Die Menge N ist nicht leer: Es gibt ein ausgezeichnetes Element 0 P N. (ii) Zu jedem n P N gibt es ein wohlbestimmtes Element n P N mit n n, das Element n heißt der (unmittelbare) Nachfolger von n, n wird der (unmittelbare) Vorgänger von n genannt. (iii) Es gibt kein Element n P N mit n 0. (iv) Besteht für zwei natürliche Zahlen n 1, n 2 P N die Gleichheit n 1 n 2, so folgt n 1 n 2, d.h. die Nachfolgerbildung induziert eine injektive Abbildung von N nach N. (v) Prinzip der vollständigen Induktion: Ist T eine Teilmenge von N mit der Eigenschaft, dass 0 P T gilt (Induktionsanfang) und dass mit t P T (Induktionsvoraussetzung) auch t P T (Induktionsschritt) ist, so muss T N gelten. Bemerkung. Wir legen die folgende Bezeichnung fest: 1 : 0, 2 : 1 0, 3 : 2 1 0,... Wir erhalten somit die Menge der natürlichen Zahlen als N t0, 1, 2, 3,...u. 1

2 Definition 1.2. Addition bzw. Multiplikation natürlicher Zahlen m, n werden wie folgt induktiv definiert. Addition: bzw. Multiplikation: n ` 0 : n n ` m : pn ` mq, n 0 : 0 n m : pn mq ` n. Lemma 1.1. Es seien n, m, p beliebige natürliche Zahlen. Dann gelten die folgenden Rechengesetze: Assoziativgesetze: Kommutativgesetze: Distributivgesetze: n ` pm ` pq pn ` mq ` p, n pm pq pn mq p. n ` m m ` n, n m m n. pn ` mq p pn pq ` pm pq, p pn ` mq pp nq ` pp mq. Der Beweis erfolgt mittels vollständiger Induktion, wird hier aber nicht ausgeführt. Bemerkung (Subtraktion natürlicher Zahlen). Die Gleichung m ` x n ist in den natürlichen Zahlen genau dann lösbar, wenn m ď n gilt. Die Lösung x bezeichnen wir dann mit n m. Während die Addition und die Multiplikation natürlicher Zahlen uneingeschränkt möglich ist, ist die Subtraktion nur eingeschränkt ausführbar. 2

3 Lemma 1.2 (Prinzip des kleinsten Elements). Ist M Ď N eine nichtleere Teilmenge, so besitzt M ein kleinstes Element m 0, d.h. für alle m P M gilt die Beziehung m ě m 0. Auf den Beweis wird ebenfalls verzichtet. Definition 1.3. Eine natürliche Zahl b 0 teilt eine natürliche Zahl a, falls ein c P N existiert mit a b c. Wir sagen: b ist Teiler von a (in Zeichen b a). Weiter heißt b P N gemeinsamer Teiler von a 1, a 2 P N, falls c 1, c 2 P N existieren mit a j b c j pj 1, 2q. Beispiel ist ein Teiler von 6 (2 6), da Ohne den Beweis zitieren wir folgendes Lemma. Lemma 1.3 (Teilbarkeitsregeln). Für a, b, c, a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c 2 P N gelten die folgenden Regeln. (i) a a pa P N; a 0q. (ii) a 0 pa P N; a 0q. (iii) 1 a pa P Nq. (iv) c b, b a ñ c a pa, b, c P N; b, c 0q. (v) b a ñ b c a c pa, b, c P N; b, c 0q. (vi) b c a c ñ b a pa, b, c P N; b, c 0q. (vii) b 1 a 1, b 2 a 2 ñ b 1 b 2 a 1 a 2 pa 1, a 2, b 1, b 2 P N; b 1, b 2 0q. (viii) b a 1, b a 2 ñ b pc 1 a 1 ` c 2 a 2 q pa 1, a 2, b 1, b 2 P N; b 1, b 2 0q. (ix) b a ñ b a c pa, b, c P N; b 0q. (x) b a, a b ñ a b pa, b P N; a, b 0q. Bemerkung. Nach Lemma 1.3 hat jedes a P N, a 0, die Teiler 1 und a. Wir nennen diese Teiler triviale Teiler von a. Die nicht-trivialen Teiler von a heißen echte Teiler von a. 3

4 1.2 Division mit Rest Es seien a, b natürliche Zahlen. Wir nehmen an, dass b ď a gilt. Man betrachtet nun die Vielfachen (1 b, 2 b, 3 b,...) von b. Nach endlich vielen Schritten gelangen wir zu einem Vielfachen von b, welches echt größer als a ist. Das bedeutet das vorhergehende Vielfache ist entweder kleiner oder gleich a. Fassen wir das Ganze mit Hilfe einer Formel zusammen, bedeutet dies, dass sich natürliche Zahlen q, r finden, so dass a q b ` r mit 0 ď r ă b gilt. Man spricht von der Division von a durch b mit dem Rest r. Gilt speziell r 0, so ist b ein Teiler von a. Satz 1.4 (Division mit Rest). Es seien a, b P N mit b 0. Dann existieren eindeutig bestimmte natürliche Zahlen q, r mit 0 ď r ă b, so dass die Gleichheit besteht. a q b ` r (1) Beweis. Wir müssen die Existenz und die Eindeutigkeit der natürlichen Zahlen q, r zeigen. Existenz: Für alle natürlichen Zahlen q mit der Eigenschaft q b ď a definieren wir die natürliche Zahl rpqq : a q b. Damit betrachten wir die Menge der natürlichen Zahlen Mpa, bq : trpqq q P N, q b ď au. Für q 0 gilt rp0q a, d.h. a P Mpa, bq und somit ist Mpa, bq eine nichtleere Menge. Nach dem Prinzip des kleinsten Elements (Lemma 1.2) existiert ein q 0 P N derart, dass r 0 : rpq 0 q das kleinste Element von Mpa, bq ist. Es gilt r 0 a q 0 b ðñ a q 0 b ` r 0. (2) Wir zeigen nun, dass 0 ď r 0 ă b gilt, d.h. dass (2) die gesuchte Darstellung ist. Im Gegensatz dazu nehmen wir an, dass r 0 ě b gilt, d.h. es existiert ein r 1 P N mit r 0 b ` r 1. (Beachte: r 1 ă r 0, da b 0 und somit b ą 0). Es gilt dann b ` r 1 r 0 a q 0 b ðñ r 1 a pq 0 ` 1q b. 4

5 Es folgt, dass r 1 P Mpa, bq. Dies führt zu einem Widerspruch, da r 1 ă r 0. Somit muss 0 ď r 0 ă b gelten. Dies beweist die gewünschte Existenz. Eindeutigkeit: Es seien q 1, q 2 P N und r 1, r 2 P N mit 0 ď r 1 ă b, 0 ď r 2 ă b und so dass gilt. O. B. d. A. nehmen wir r 2 ě r 1 an. Dann gilt a q 1 b ` r 1 (3) a q 2 b ` r 2 (4) 0 ď r 2 r 1 ă b. (5) Wenn wir anschließend die Gleichungen (3) und (4) subtrahieren, liefert dies r 2 r 1 pa q 2 bq pa q 1 bq pq 1 q 2 q b. Wäre q 1 q 2, so wäre q 1 q 2 ě 1 also würde r 2 r 1 pq 1 q 2 q b ě b gelten. Dies wäre allerdings ein Widerspruch zu (5). Somit muss q 1 q 2 gelten, woraus r 1 r 2 folgt. Damit ist die Eindeutigkeit bewiesen. Abschließend noch ein paar Beispiele. Beispiel 1.2 (Beispiel für natürliche Zahlen). Sei a 7 und b 2, dann gilt für q 0 ùñ rp0q q 1 ùñ rp1q q 2 ùñ rp2q q 3 ùñ rp3q Somit gilt 0 ď r ă b und die Menge der natürlichen Zahlen beträgt Mp7, 2q t7, 5, 3, 1u.. 5

6 Beispiel 1.3 (weitere Beispiele für Division mit Rest). Für folgende Paare soll die Division mit Rest durchgeführt werden: 773 und 337, und , sowie und 4 8 ` ` 99, p q p q p5 7 ` 1q p q 7 p q ` p q, p2 16 1qp4 8 ` 1q ` 0, da 2 16 ` ` 1 gilt. Beispiel 1.4. Heute ist Montag. Welcher Wochentag ist in einer Million Tagen? Wegen ` 1 wird es ein Dienstag sein, denn eine Woche hat sieben Tage und wenn wir Montag + 1 Tag rechnen, erhalten wir den Dienstag. Hinter dieser Aufgabe verbirgt sich ein interessanter Sachverhalt ` ` ` ` ` ` `1 Wir stellen fest, wenn man eine Zehnerpotenz durch 7 dividiert, bleiben folgende Reste: 1, 3, 2, 6, 4, 5,.... Mit diesem Wissen, hätte man also Beispiel 1.4 auch ohne zu rechnen lösen können.... 6

7 1.3 Dezimaldarstellung Die Division mit Rest ist der Schlüssel zur Dezimaldarstellung natürlicher Zahlen. Ist n P N, n 0, so existiert ein maximales l P N derart, dass n q l 10 l ` r l mit eindeutig bestimmten natürlichen Zahlen 1 ď q l ď 9 und 0 ď r l ă 10 l gilt. Wir können nun einen Algorithmus ausführen um die eindeutige Dezimaldarstellung zu erhalten. Es gilt n q l 10 l ` r l r l q l 1 10 l 1 ` r l 1... r 1 q ` r 0 r 0 q ` 0 mit eindeutig bestimmten natürlichen Zahlen 0 ď q j ď 9 pj 0,..., lq und q l 0. Setzt man nun jeweils die Reste ein, so erhält man die eindeutige Dezimaldarstellung n q l 10 l ` q l 1 10 l 1 `... ` q ` q mit 0 ď q j ď 9 pj 0,..., lq und q l 0. Dies führt zur Dezimaldarstellung n q l q l 1...q 1 q 0. Bemerkung. Es sei a eine von Null verschiedene Zahl. Wir haben a bereits mit Hilfe mehrfacher Division mit Rest eindeutig in der Form a lÿ q j 10 j j 0 mit natürlichen Zahlen 0 ď q j ď 9 pj 0,..., lq und q l 0 dargestellt. Für die Summe haben wir die Dezimaldarstellung a q l q l 1...q 1 q 0 7

8 eingeführt. Die Dezimalschreibweise überträgt sich unmittelbar auf den Bereich der ganzen Zahlen. Ist die ganze Zahl a nämlich negativ, so gilt a a. Mit der Dezimaldarstellung der natürlichen Zahl a erhalten wir die Dezimaldarstellung von a in der Form a q l q l 1...q 1 q 0, wiederum mit natürlichen Zahlen 0 ď q j ď 9 pj 0,..., lq und q l 0. Beispiel 1.5. Ein Beispiel für n=343. n 343 q ` r ` 43 r 2 43 q ` r ` 3 r 1 3 q ` ` Die ganzen Zahlen in der Hochschule Wir wollen nun diese Thematik der natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen übertragen. In Analogie zu Definition 1.3. legt man fest, dass die ganze Zahl b 0 die ganze Zahl a teilt, wenn eine ganze Zahl c mit a b c existiert. Außerdem übertragen sich die Teilbarkeitsregeln (siehe Lemma 1.3) ebenso auf die ganzen Zahlen mit der Ergänzung, dass 1 und a die trivialen Teiler der ganzen Zahl a sind. Weiterhin nennen wir zwei ganze Zahlen a, b, welche sich nur um ein Vorzeichen voneinander unterscheiden, d.h. für die a b gilt, zueinander assoziiert. Liegt keine Teilbarkeitsbeziehung vor, so kann man wie im Bereich der natürlichen Zahlen eine Division mit Rest vornehmen. Satz 1.5 (Division mit Rest, revisited). Es seien a, b ganze Zahlen mit b 0. Dann finden sich eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r mit 0 ď r ă b, so dass die Gleichung besteht. a q b ` r (6) 8

9 2 Division mit Rest in der Schule Im Gegensatz zur Hochschule werden in der Schule nach der Einführung der natürlichen Zahlen zunächst die Bruchzahlen behandelt. Erst danach behandelt man die ganzen Zahlen. Die Schüler haben dann oft Schwierigkeiten mit den negativen Zahlen. Außerdem verbinden die Schüler mit einer Dezimalzahl häufig die Darstellung eines Bruches als Kommazahl, weniger ist ihnen bewusst, dass auch 343 eine Dezimalzahl ist (siehe Beispiel 1.2.). Betrachten wir einmal ein Beispiel zur Division mit Rest: Beispiel 2.1. Eine Aufgabe könnte lauten: Geben Sie das ganzzahlige Ergebnis der Division von 3562:5 an. Die Lösung würde wie folgt aussehen: ` 2. (7) Also wäre q 712 und r 2. In der Schule schreibt man auch 3562 : Rest 2. Das sieht allerdings wie eine Gleichung aus, ist aber keine. 712 Rest 2 ist mehrdeutig, daher vermeiden wir diese Schreibweise. Betrachten wir das obige Beispiel, dann stellt man sich in der Schule die Frage, wie oft passt die 5 in die 3562, man überlegt also, wie oft passt die Zahl b in die Zahl a hinein. Hingegen wir in der Hochschule die Zahlen q und r finden wollen, sodass die Gleichheit a q b ` r besteht. 9