Gleichungen höheren Grades und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal als Motivation für komplexe Zahlen

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1 1 Gleichungen höheren Grades und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal als Motivation für komplexe Zahlen Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) url: HU Berlin, 7. April 013; Tag der Mathematik

2 Einführung Themen Zahlenbereichserweiterungen Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades Einführung der komplexen Zahlen Algebra Geometrie Algebraisches geometrisches Lösen von Gleichungen

3 Einführung 3 Erweiterung der Zahlenbereiche Zahlenbereiche: N, Z, Q, R und C, das war s. Natürlich sind nur die natürlichen Zahlen. Alle anderen Zahlen versteht man eigentlich nur formal. Was sind Zahlen? Objekte mit denen man rechnen kann D.h., + und und Rechengesetze (Kommut., Assoz., Distr.) Sehr nützlich aber nicht intuitiv. Was sind negative Zahlen? 5 ( 3) = ( 3) 5 = 15 Was sind rationale Zahlen? Was ist 8 /3? Was sind irrationale Zahlen? Lückenfüller. Wir rechnen mit Zahlen nach ihren Regeln ohne sie intuitiv zu verstehen.

4 Komplexe Zahlen 4 (Schlechte) Einführung der Komplexen Zahlen I Übliche Motivation für Zahlenbereichserweiterungen: Der Wunsch neue Gleichung zu lösen. Wir würden gern x = 1 lösen! Es sei i = 1. Was bringt das? Lösung der Gleichung x 0 = 5? Intuitive Einführung scheint besser.

5 Komplexe Zahlen 5 (Bessere) Einführung der Komplexen Zahlen II Summe der geometrischen Folge 1 + x + x + x x n 1 = 1 xn 1 x Summe der geometrischen Reihe für x < x + x + x = 1 1 x Warum Konvergenz nur für x < 1? Polstelle bei x = 1. Weitere geometrische Reihe (mit Quotient x ) x + x 4 x 6 + x = x Warum Konvergenz nur für x < 1? Keine Polstelle! 0.6

6 Vom Lösen von Gleichungen 6 Eine lineare Gleichung Gleichung ax = b. Allgemeiner? Geometrische Verallgemeinerung: Systeme linearer Gleichungen ax + by = A cx + dy = B Schnittpunkt von zwei Geraden Weiter:... Schnittpunkt von vier Räumen Rationale Zahlen reichen aus. a 11 x + a 1 y + a 13 z = b 1 a 1 x + a y + a 3 z = b a 31 x + a 3 y + a 33 z = b 3 Schnittpunkt von drei Ebenen Algebraische Verallgemeinerung: Gleichungen höheren Grades

7 Quadratische Gleichungen 7 Algebraische Lösung einer quadratischen Gleichung Wir lösen die Gleichung x + px + q = 0 Lösung ist (p, q-formel) x 1, = p ± p 4q Gleichungen höheren Grades: Z.B. Biquadratische (nichts Neues) Wie löst man echte Gleichungen höheren Grades? Eine Lösung erraten, dann Polynomdivision.

8 Lösung durch Konstruktion 8 Geometrisches Lösen einer quadratischen Gleichung Geometrisches Wurzelziehen: c = a + b oder a = c b mit Satz des Pythagoras. h = p q Höhensatz Mit Zirkel und Lineal konstruierbar z.b., 4 Konstruktion der Lösungen der Gleichungen x + px + q = 0 = x 1, = p ± p 4q x + ax + b = 0 x + ax b = 0 Es sind die Längen a + 4b bzw. a 4b zu konstruieren.

9 Lösung durch Konstruktion 9 Nicht konstruierbar mit Zirkel und Lineal Zwei berühmte nicht lösbare Probleme aus der Antike Würfelverdopplung = x 3 =, Konstruktion von 3. Winkeldreiteilung: Gegeben ϕ, gesucht α = ϕ/3 sin ϕ = sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α = x x sin ϕ = 0 Nicht konstruierbar weil Gleichung dritten Grades!

10 Lösung durch Konstruktion 10 Winkeldreiteilung nach Archimedes Konstruktionsmethode: α = ϕ/3 A α C r r α r α α ϕ α D M B Warum ist das keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Konstruktion mit Zirkel, Lineal und Stift!

11 Gleichungen dritten Grades 11 Allgemeine Form einer Gleichung dritten Grades Gleichungaufstellen ist leichter als lösen: 0 = (x x 1 )(x x )(x x 3 ) = = x 3 (x 1 + x + x 3 )x + (x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 )x x 1 x x 3 Gesucht Umkehrung: Lösung einer Gleichung der Form f (x) = x 3 + ax + bx + c = 0 Beispiele für f (x):

12 Gleichungen dritten Grades 1 Normalform (Beseitigung des Gliedes zweiten Grades) Allgemeine Gleichung: x 3 + ax + bx + c = 0 Normalform: x 3 + px + q = 0 Durch Transformation x x a/ = Summe der Nullstellen ergibt 0. Entspricht quadratischer Ergänzung: Transformation x x a/ ( x + ax + b = 0 = x a ) ( a ) 4 b = 0 40

13 Gleichungen dritten Grades 13 Algebraische Lösung einer Gleichung dritten Grades Gesucht: Lösung der Gleichung x 3 + px + q = 0 Lösungsformel von Cardano ( ) und Tartaglia ( ) x = 3 q p q q p q 4 Drauf kommen ist schwer. Keine Übungsaufgabe. Trick: Kubische Ergänzung x = u v x 3 + p x + q = 0 (u v) 3 + 3uv(u v) + v 3 u 3 = 0

14 Gleichungen dritten Grades Beispiel: x 3 + 6x = 0 Cardanoformel mit p = 6, q = x = 3 q p q q p q 4 ergibt Lösung x = = Polynomdivision ergibt: (x 3 + 6x ) : (x ) = = x + x( )

15 Gleichungen dritten Grades 15. Beispiel: x 3 + 3x 4 = 0 Lösung raten: x = 1, (x 3 + 3x 4) : (x 1) = (x + x + 4) Cardanoformel mit p = 3, q = 4 x = 3 q p q q p q 4 ergibt Lösung x = Wir stellen fest, daß ( 1 ± 1 ) 3 5 =... = ± 5 Hieraus folgt x = ( 1 5 = + 1 ) ( ) 5 = 1

16 Gleichungen dritten Grades Beispiel: x 3 6x + 4 = 0 Geratene Lösung: x =, ergibt (x 3 6x + 4) : (x ) = x + x Hat drei reelle Lösungen:, 1 + 3, 1 3. Cardanoformel mit p = 6 und q = 4 x = Es sei i so ein Objekt (Zahl?), daß (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i + i 3 = + i = + 4 Das klappt, wenn i = 1, i 3 = i, i = 4 Dann ist x = = = 3 (1 + i) (1 i) 3 = (1 + i) + (1 i) =

17 Gleichungen dritten Grades 17 Eine Gleichung dritten Grades mit drei reellen Lösungen Wir geben uns die Lösungen a, b und a b vor: (x + a + b)(x a)(x b) = x 3 (a + ab + b )x + ab(a + b) = 0 Die Cardanoformel x = 3 q p q q p q 4 ergibt [ p q... =... (a + ab + b ) 3 ab(a + b)] +... = =... 1 [ ]... (a b)(a + b)(a + b) 108 Genau dann, wenn alle Lösungen reell sind, kann man die Lösung ohne komplexe Zahlen nicht ermitteln!

18 Gleichungen vierten Grades 18 Algebraische Lösung einer Gleichung vierten Grades Normalform der Gleichung: x 4 + px + qx + r = 0 Keine Ergänzung 4. Grades, keine Lösungsformel. Aber wir haben Glück: Zusammenhang mit Kombinatorik und Dreiecksgeometrie.

19 Gleichungen vierten Grades 19 Seitenabschnitte p A, p B, p C am Inkreis eines Dreiecks p A = a + b + c p B = a b + c p C = a + b c p = a + b + c S = pp A p B p C p C C p B pc r A I A p A r I r r p B p C r A r A A p A I C p B B p C A B

20 Gleichungen vierten Grades 0 Algebraische Lösung einer Gleichung vierten Grades Normalform der Gleichung: x 4 + px + qx + r = 0 Dreieck ABC mit Seiten a, b, c. R-Umkreisradius, S-Flächeninhalt x 4 1 (a + b + c )x + 4RSx + S = 0 Lösung dieser Gleichung sind der negative halber Umfang p und die Seitenabschnitte am Inkreis p A, p B, p C. Aus den Lösungen der Gleichung (3. Grades) 0 = (z + a )(z + b )(z + c ) = = z 3 + (a + b + c )z + (a b + c a + b c )z + a b c kann man einfach die Lösungen der Gleichung 4. Grades bestimmen. Wenn man auch noch die Koeffizienten der Gleichungen ineinander umrechnen könnte...

21 Gleichungen vierten Grades 1 Lösungsmethode von Gleichungen vierten Grades Wir wolen die Gleichungen x 4 + px + qx + r = 0 x 4 + px qx + r = 0 lösen und betrachten hierzu folgende Hilfsgleichung 3. Grades z 3 pz + (p 4r)z + q = 0 und bestimmen die Lösungen z 1, z und z 3. Dann sind die Lösungen der Gleichungen 4. Grades die 8 Zahlen Danach Probe! ± z 1 ± z ± z 3

22 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone Geometrische Lösung von Gleichungen vierten Grades In der Gleichung x 4 = px + qx + r setzen wir x = y und betrachten das Gleichungssystem y py qx = r y = x im zweidimensionalen Koordinatensystem (Einheiten!). Die Lösungsmenge der zweiten Gleichung ist eine Standardparabel. (Zeichnen mit genormter Schablone.) Die Lösungsmenge der ersten Gleichung ist ein Kreis (nach Subtraktion beider Gleichungen). y (p + 1)y + x qx = r Schnittpunkte von Parabel und Kreis

23 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 3 Konstruktion des Kreises Kreisgleichung: (y b) + (x a) = R Kreis um den Punkt (a, b) mit Radius R. b R y (p + 1)y + x qx = r ( y p + 1 ) ( + x q ) = r + 0 ( p + 1 ) ( q ) + Das ( ist die ) Gleichung eines Kreises mit dem Zentrum im Punkt p+1, q und dem Radius ( ) p + 1 ( q ) R = r + + a

24 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 4 Der Fall r = 0 (Gleichung 3. Grades: x 4 = px + qx) y = x y D q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) p+1 R = AE = ( ) p+1 ( + q ) A x

25 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 5 Der Fall r > 0, klein (vier reelle Lösungen) y = x y D q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) + r p+1 R = EH = AE + r 1 A r r H x

26 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 6 Der Fall r > 0, groß (zwei reelle Lösungen) y = x y D p+1 r q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) + r R = EH = AE + r 1 A r H x

27 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 7 Der Fall r < 0 (vier reelle Lösungen) y = x y D q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) r p+1 R = EH = AE r r H A x

28 Wie geht es weiter? 8 Gleichungen höheren Grades Gibt es explizite Lösungen der allgemeinen Gleichungen 0 = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 0 = a 6 x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0. Nein! Theorie von Galois und Abel Keine explizite Lösung von x 5 x + a = 0. Aber: Fundamentalsatz der Algebra Gleichungen n-ten Grades hat n Lösungen im Komplexen.

29 Zusammenfassung 9 Komplexe Zahlen Lösung unlösbarer Konstruktionsaufgaben Z.B. Konstruktion eines Dreiecks aus 3 Winkelhalbierenden Quantenmechanik (Doppelspaltexperiment). Ohne komplexe Zahlen kann man das Experiment nicht verstehen. Die komplexen Zahlen sind nicht anschaulich, aber man kann die Welt ohne sie nicht verstehen. Durch Beobachtung allein kann man die Welt nicht verstehen. Die Welt ist komplex, aber wir beobachten nur ihren Realteil. Eulersche Gleichung (die 5 wichtigsten mathematischen Konstanten in einer Formel): e πi + 1 = 0