Vektoren, Skalarprodukt, Ortslinien

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1 .0 Gegeben sind die Punkte A(0/-4), C(0/4), sowie die Pfeile mit α [ 90 ; 90 ]. 4cosα AB = 4sinα+ 4. Zeichne die drei Punkte B, B und B 3 mit α { 30;0;30 } in ein KOS.. Zeige: 4cosα CB =. 4sinα 4.3 Zeige, dass für α [ 90 ; 90 ] gilt: [AB] [CB]. Auf welcher Linie liegen also alle Punkte B?.4 Bestimme die Koordinaten von B und den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α..5 Für welches Winkelmaß α 0 wird die Dreiecksfläche am größten? Gib diesen maximalen Inhalt an. Wie kann dieses Ergebnis auch durch geometrische Überlegungen gefunden werden? 6sinα cosα.0 Gegeben sind die Pfeile OP = 6sin α mit O ( 0/0) und 0 <α< 90.. Zeichne die Pfeile für α { 30 ; 45 ; 60 } in ein Koordinatensystem.. Im Punkt P wird jeweils die Senkrechte zu [OP] gezeichnet. Diese Senkrechte schneidet die positive x-achse in T. Stelle die Koordinaten von T in Abhängigkeit von α dar. [Ergebnis: T(6 tan α / 0) ].3 Für welches Winkelmaß α 4 ist OP = 3cm?.4 Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks OTP in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: A( α ) = 8tanα sin α cm ].5 Tabellarisiere A( α ) mit α = 0 und zeichne den Graphen. 5cosα 3.0 Gegeben sind die Pfeile AB = und 5sinα und 0 α Zeichne die Pfeile für { 0;30;60;90} 5cos( α + 90 ) AD = mit A(4/-3) 5sin( α + 90 ) α in ein Koordinatensystem. 3. Zeige, dass AB und AD für alle Winkelmaße α orthogonal sind. 3.3 Zeige, dass ABD für alle Werte von α gleichschenklig ist mit [BD] als Basis. Ergänze die Dreiecke ABD zu Quadraten ABCD und bestimme die Koordinaten von C in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: C(4 + 5 cosα 5 sin α/ cosα+ 5 sin α ) ] 3.4 Für welchen Wert α 4 gilt x D = 4? 3.5 Für welchen Wert α 5 liegt D auf der Geraden mit y = 3 x? RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) (0)

2 6cosα 4.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Pfeile AB = und 6sinα 3cosα AD = mit A(0/0) und α [ 0 ; 90 ] gegeben. 3sinα Das Dreieck ABD wird zum Parallelogramm ABCD ergänzt. 4. Zeichne die Pfeile und die Parallelogramme für α { 30 ; 45 ; 60 }. Auf welcher Ortslinie bewegen sich alle Punkte B bzw. D? 4. Bestimme die kartesischen Koordinaten von C in Abhängigkeit von α. 4.3 Bestimme den Flächeninhalt A des Parallelogramms ABCD in Abhängigkeit von α. 4.4 Bestimme das Winkelmaß α 4, für das der Flächeninhalt des Parallelogramms AB 4 C 4 D 4 maximal wird. Zeige rechnerisch, dass das Parallelogramm mit α = 45 ein Rechteck ist. Formuliere das Ergebnis als Satz. sinα Gegeben sind die Punkte A(0/0), B(8/0) und der Pfeil BC = mit sinα α Zeichne die Dreiecke ABC für α { 90; 30;0;60;90 } in ein Koordinatensystem. 5. Berechne die Koordinaten von C in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: C(sin α/ sin α+ 4) ] 5.3 Berechne die Gleichung des Trägergraphen aller Punkte C. Beachte dabei die Definitionsmenge! 5.4 Stelle den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α dar. Bestimme das Winkelmaß, für das der Flächeninhalt des Dreiecks extrem wird und gib den Inhalt an. [Ergebnis: A( α ) = 4(sinα+ 4) FE] 5.5 Für welche Winkelmaße wird der Flächeninhalt höchstens 8 cm? 5.6 Für welche Winkelmaße wird das Dreieck ABC rechtwinklig? 6.0 Gegeben ist das Dreieck ABC (bzw. ACB) mit A(0/0), B(6/) und mit α [90 ;70 ]. C(3 sin α / 9cos α ) 6. Zeichne die Dreiecke ABC mit α { 90 ;0 ;60 } in ein Koordinatensystem. 6. Berechne die Koordinaten des Punktes C 4 mit BAC4 = Es gibt zwei gleichschenklige Dreiecke ABC mit [AB] als Basis. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte C 5 und C Bestimme die Gleichung des Trägergraphen aller Punkte C und zeichne den Graphen ein. Beachte dabei α [90 ; 70 ]. RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) (0)

3 6.5 Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: A( α ) = 3(9cos α sin α ) FE] 6.6 Bestimme das Maß α 7, für das A = 7 cm ist. Berechne die Koordinaten von C 7. 8tanα 7.0 Gegeben sind die Pfeile OA = und OB =. 4 tanα O ist der Koordinatenursprung; α [ 0 ; 90 ]. und OB in ein Koordinatensystem. 7. Zeichne für α { 0 ; 30 ; 60 } die Pfeile OA Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; x 5; y 0 7. Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Ortslinie für alle Punkte A! 7.3 Für welche Werte für α stehen Pfeile OA senkrecht zu dem Pfeil OB? 7.4 Die Pfeile OA und OB spannen Parallelogramme OACB auf. Bestimme die Koordinaten vom Eckpunkt C in Abhängigkeit von α! Ermittle durch Rechnung die Gleichung der Ortslinie für alle Punkte C! 7.5 Berechne den Flächeninhalt A der Parallelogramme OACB in Abhängigkeit von α! 7.6 Für welche Werte für α wird der Flächeninhalt 33 FE groß? 7.7 Berechne das Maß des Winkels zwischen den Pfeilen OA und OB für α= 30! sinα 8.0 Gegeben sind die Pfeile AB = und AD = mit O( 0/0) und α [0 ;80 ]. 4cos α und AD in ein Koordinatensystem. 8. Zeichne für α { 45 ; 90 ;0 ;50 } Pfeile AB Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; x 4 ; y 9 8. Bestimme die Gleichung der Ortslinie für alle Punkte B! 8.3 Für welchen Wert für α gibt es Pfeile AB, die senkrecht zu AD stehen? 8.4 Die Pfeile AB und AD spannen Parallelogramme ABCD auf. Bestimme die Ortslinie für alle Punkte C! 8.5 Berechne die Länge der Pfeile AB in Abhängigkeit von α! Berechne sodann für α= 50 die zugehörige Pfeillänge! 8.6 Für welche Werte von α gibt es gleichlange Pfeile AB und AD? 8.7 Berechne das Maß des Winkels zwischen den Pfeilen AB und AD für α= 45! RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 3 (0)

4 9.0 Die Pfeile OP = cosα 5cosα und OR = 4 mit α [ 0 ; 90 ] und O ( 0/0) sind 5sinα gegeben. 9. Gib die Gleichung der Ortslinie für die Punkte P an! 9. Berechne die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von α! Berechne die Länge der Pfeile OR ; mache sodann eine Aussage über die Ortslinie der Punkte R! 9.3 Zeichne Pfeile OP und OR für α { 0;45;60 } und zeichne die Ortslinien für die Punkte P und R in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; x 7; 5 y Für welchen Wert für α gilt IOP I = IOR I? 9.5 Die Pfeile OP und OR spannen Parallelogramme OPQR auf. Berechne die Koordinaten von Q in Abhängigkeit von α! 9.6 Unter dem Parallelogrammen gibt es ein Rechteck OP 0 Q 0 R 0. Für welchen Wert für α ist dies der Fall? Bestimme sodann die Koordinaten der Punkte P 0, Q 0 und R 0, und zeichne das Rechteck OP 0 Q 0 R 0 in die Zeichnung zu 9.3 ein! 9.7 Unter den Parallelogrammen OPQR gibt es eine Raute OP*Q*R*. Bestimme die Koordinaten von P*, Q* und R*! 4cosα Gegeben sind die Pfeile OA = und OC = mit O( 0/0) und 4 4sinα+ 5 α [0 ;360 [. 0. Zeichne Pfeile OC für α { 0 ; 30 ; 60 ; 90 ;0 ;80 ; 70 ; 330 } und OA in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; x 0; 5 y 0 0. Die Pfeile OA und OC spannen Parallelogramme OABC auf. Unter diesen Parallelogrammen gibt es zwei Rechtecke OAB 0 C 0 und OAB*C*. Für welche Werte für α existieren diese Rechtecke? Gib die Koordinaten von C 0 und C* an! 0.3 Berechne die Koordinaten der Punkte B in Abhängigkeit von α und berechne die Koordinaten von B 0 und B*! 0.4 Berechne den Flächeninhalt A der Parallelogramme OABC in Abhängigkeit von α! 0.5 Berechne die Länge der Pfeile OC in Abhängigkeit von α! Für welche Werte für α gilt IOC I = IOA I? 0.6 Der Punkt P(4/5) bildet mit den Punkten C Pfeile PC. Berechne die Koordinaten der Pfeile PC, bestimme die Länge dieser Pfeile und nenne die Ortslinie für alle Punkte C! RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 4 (0)

5 0.7 Berechne das Maß ϕ des Winkels zwischen den Pfeilen OA und OC für α= 50! 6cosα 3cosα.0 Gegeben sind die Pfeile OA = und OC = mit α ]0 ; 90 [ 6sinα 3sinα und O( 0/0).. Zeichne Pfeile OA und OC für α { 30 ; 60 ; 75 } in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 4 x 7; y 0. Die Pfeile OA und OC spannen Parallelogramme OABC auf. Zeichne für die Werte von α aus. diese Parallelogramme in das KOS zu. ein, und berechne die Koordinaten des Eckpunktes B in Abhängigkeit von α!.3 Für welchen Wert für α stehen die Pfeile OA und OC senkrecht zueinander?.4 Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme OABC in Abhängigkeit von α! Bestimme α für das flächengrößte Parallelogramm! [Ergebnis: A = 8sinα FE].5 Für welchen Wert von α wird der Flächeninhalt der Parallelogramme gleich FE?.6 Gibt es im angegebenen Intervall für α gleichlange Pfeile OA und OC? Begründe die Antwort durch Rechnung! cosα 3cosα Gegeben sind die Pfeile AB = und AC = mit sinα 4 3sinα+ 3 α [0 ;80 ] und O(0/0).. Zeichne die Pfeile AB und AC für α { 0;30;90;80 } in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 3 x 9; 7 y 7. Berechne das Maß β des Winkels zwischen den Pfeilen AB und AC für α= 90!.3 Entscheide durch Rechnung, ob es Werte für α gibt, so dass AB AC gilt!.4 Berechne die Beträge der Pfeile AB und AC in Abhängigkeit von α! Berechne die Beträge für α { 0;60;90 }!.5 Die Punkte P(0/-4) und Q(5/3) bilden mit den Punkten B und C Pfeile PB und QC. Gib die Koordinaten dieser Pfeile in Abhängigkeit von α an! Berechne die zugehörigen Pfeillängen! Auf welchen Ortslinien bewegen sich die Punkte B und C? Zeichne die Ortslinien in das Koordinatensystem zu. ein!.6 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AB0C 0 für α = 65! RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 5 (0)

6 3.0 In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit O(0/0) als Ursprung sind Pfeile 6cosϕ + sinϕ OP = gegeben, die mit der positiven x-achse Winkel mit dem Winkelmaß ϕ 6sinϕ + sinϕ und ϕ [0 ;80 ] einschließen. 3. Bestimme die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von ϕ. [Ergebnis: OP = 6 LE] + sinϕ 3. Ermittle mit Hilfe des Ergebnisses aus 3. die Winkelmaße ϕ so, dass OP möglichst groß bzw. möglichst klein wird. 6cosϕ 6sinϕ 3.3 Die Punkte P(x/y) mit den Koordinaten x = und y = liegen auf dem + sin ϕ + sin ϕ Graphen p. Tabellarisiere x und y in Abhängigkeit von ϕ [0 ;80 ] in Schritten von ϕ = 30. Zeichne sodann den Graphen p für das angegebene Intervall in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: cm LE. 3.4 Der Fußpunkt des Lotes von einem Punkt P p auf die x-achse ist Q. Rotiert das Dreieck OQP um die x-achse, so entsteht als Rotationskörper ein gerader Kreiskegel. Trage das Dreieck OQP für ϕ = 30 in das Koordinatensystem zu 3.3 ein. 3.5 Stelle die Mantelfläche M des Rotationskörpers in Abhängigkeit von ϕ dar. [Ergebnis: M( ϕ ) = π 36sinϕ FE] ( + sinϕ) 3.6 Für welche Belegungen von ϕ nimmt die Mantelfläche M den Wert 8π FE an? sinα 4.0 Die Pfeile OP = und sinα 0,8 OQ = spannen Parallelogramme OPRQ auf. 0,4 4. Stelle eine Wertetabelle für α { 0 ; 0 ; 45 ; 60 } auf, und zeichne die Parallelogramme OPRQ in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 5 cm; x ; 0 y,5 4. Gib den Flächeninhalt A( α ) der Parallelogramme OPRQ in Abhängigkeit von α an. [Ergebnis: A( α ) = 0,4(+ 3sin α ) FE] 4.3 Für welches Winkelmaß α erhält man ein Parallelogramm mit,4 FE Inhalt? 4.4 Ermittle das Winkelmaß α *, für das sich das flächengrößte Parallelogramm OPRQ ergibt. Gib A max an. 4.5 Zeige, dass die Pfeilspitzen P eine Gerade beschreiben, indem du ihre Gleichung ermittelst. Anleitung: Für P(x/y) gilt x = sinα y = sinα. Eliminiere nun sinα. 4.6 Begründe, dass auch die Punkte R auf einer Geraden liegen. Welche Gleichung hat diese Gerade? RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 6 (0)

7 5.0 Gegeben sind die Pfeile OP = sinα. sinα 5. Erstelle eine Wertetabelle für α [5 ; 75 ] mit α = 5, und zeichne die Pfeile im Koordinatensystem. Längeneinheit ist cm. Platzbedarf: 5 x + 5; 4 y Begründe, dass man anhand der Wertetabelle in 5. auch die Koordianten der Pfeile für α ]90 ; 360 [ angeben kann. Zeichne sie in das Koordinatensystem zu 5. ein. 5.3 Zeige, dass die Pfeilspitzen P auf einer Hyperbel liegen, und ermittle ihre Gleichung in kartesischen Koordinaten. cosϕ 6. Führe die Aufgabe 5 mit den Pfeilen OP = sin ϕ + cosϕ Pfeilspitzen P auf einer Parabel liegen. durch, und zeige, dass die + sinϕ 7.0 Gegeben sind die Pfeile OP = cos ϕ 3cosϕ und OQ = 3cos. ϕ 7. Berechne die Koordinaten der Pfeile OP und OQ für ϕ 0 ; 0 ; 40 ; 60 ; 70 ; 300 ; 30 ; 340, und trage die Punkte in ein { } Koordinatensystem mit cm als Längeneinheit ein. Platzbedarf: 0 x 4; 0 y 4 + sinϕ 7. Begründe, dass die Pfeile mit den Koordinaten, die jeweils dieselben x- ( + sinϕ) 3 Koordinaten wie die Pfeile OP haben, zu den Pfeilen OQ gehören. + sinϕ 7.3 Gemäß Aufgabe 7. gilt OQ =. Die Differenz y der y-koordinaten der ( + sinϕ) 3 Pfeile OQ und OP gibt somit die Maßzahl der Entfernung QP an. Stelle diese Differenz y in Abhängigkeit von ϕ dar, und zeige durch Umformung, dass sich die beiden Graphen berühren. Berechne die kartesischen Koordinaten des Berührpunktes sowie das zugehörige Winkelmaß ϕ. 7.4 Stelle die Pfeile OP und OQ durch kartesische Koordinaten dar, und zeige damit, dass beide Graphen Parabeln sind. Lösungshinweis: Beachte die Anleitung bei Aufgabe 4.5. [Ergebnis: p :y = (x ) + ; p :y = x ] Zeige erneut mit Hilfe des Ergebnisses von Aufgabe 7.4, dass sich die beiden Parabeln p und p berühren, und berechne die kartesischen Koordinaten des Berührpunktes. RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 7 (0)

8 8.0 In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit O(0/0) als Ursprung sind Pfeile 6cosϕ + sinϕ OP = gegeben mit ϕ [0 ;80 ]. siehe auch Aufgabe 3! 6sinϕ + sinϕ Dabei ist ϕ das Maß des Winkels zwischen der positiven x-achse und den Pfeilen OP. 8. Bestimme die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von ϕ, und ermittle die Winkelmaße für ϕ, so dass OP möglichst groß bzw. möglichst klein wird. 8. Die Endpunkte P der Pfeile OP liegen auf dem Graphen p. Gib für ϕ [0 ;80 ] mit ϕ = 30 die Koordinaten der Punkte P an, und zeichne den Graphen p für das angegebene Intervall in ein Koordinatensystem (Längeneinheit cm). 8.3 Bestätige durch Rechnung, dass die Spitzen P der Pfeile OP auf dem Graphen zu y = x + 3 liegen. 8.4 Fällt man von P p das Lot auf die x-achse, so erhält man als Lotfußpunkt Q. Rotieren sodann die Dreiecke mit den Eckpunkten O, Q und P um die x-achse, so entstehen Kegel. Stelle die Mantelfläche A M der Kegel in Abhängigkeit von ϕ dar. [Ergebnis: A 36 π sinϕ = FE] M ( + sinϕ) 8.5 Für welche Belegungen von ϕ nimmt die Mantelfläche A M den Wert 8π FE an? 9.0 In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit O(0/0) als Ursprung sind Pfeile 8cosϕ 4cosϕ OB = und OD = mt ϕ [0 ; 90 ] gegeben. 8sinϕ 4sinϕ Die Parallelen zu OB und OD durch D bzw. B schneiden sich im Punkt C. 9. Ermittle für ϕ= 30 die Koordinaten der Punkte B und D, und zeichne das Parallelogramm OBCD in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm. Platzbedarf: 4 x 7 ; y 6 9. Bestimme die Koordinaten des Eckpunktes C der Parallelogramme in Abhängigkeit von ϕ. 9.3 Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme OBCD in Abhängigkeit von ϕ. [Ergebnis: A( ϕ ) = 3sinϕ FE] 9.4 Tabellarisiere A( ϕ ) für ϕ [0 ;90 ] mit ϕ= 5, und zeichne den Graphen von A in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: ϕ Achse : cm entspricht 0 ; A Achse : cm entspricht 0 FE. 9.5 Bestimme das Maß ϕ *, für das die Fläche des zugehörigen Parallelogramms den größten Wert annimmt. Gib A max an. RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 8 (0)

9 0. Der Punkt B(8/-) ist ein Eckpunkt einer Raute ABCD, deren Diagonalenschnittpunkt M(4/) ist und bei der DCB = 60 gilt. Zeichne die Raute ABCD in ein Koordinatensystem mit cm als Längeneinheit, und berechne die fehlenden Eckpunktkoordinaten.. In einem Drachenviereck ABCD mit B(3/8), C(x/7) und D(0/) ist AC die Symmetrieachse, und es gilt CBA = ADC = 90. Zeichne das Drachenviereck ABCD in ein Koordinatensystem, und berechne die fehlende Koordinate des Punktes C sowie die Koordinaten des Punktes A.. Zeichne die Raute ABCD mit A(-0,5/y), B(6,5/,5) und D(-,5/4,5) in ein Koordinatensystem mit cm als Längeneinheit. Berechne die fehlende Koordinate des Punktes A, die Koordinaten des Punktes C, die Innenwinkel und den Flächeninhalt der Raute. 3. Der Eckpunkte D einer Raute ABCD mit A(0/3,5) und C(6/,5) liegt auf der Geraden g mit der Gleichung y = x+ 6. Zeichne die Raute ABCD, und berechne die Koordinaten der Eckpunkte D und B. 4. Die Eckpunkte D von Rauten ABCD mit A(/-) und C(7/4) liegen auf der Parabel p mit der Gleichung y = x x+ 3. Zeichne die möglichen Rauten ABCD in ein Koordinatensystem mit cm als Längeneinheit, und berechne die Koordinaten der Punkte D und B. 5. Die Punkte A(-/ y A ) und B(/y B ) liegen auf der Parabel p mit der Gleichung y = x +. Zeichne Punkte C auf der Parabel p, so dass die Punkte A, B und C Dreiecke bilden, die bei A oder bei B rechtwinklig sind. Berechne die Koordinaten der Punkte C. 6. Die Punkte A(7/-0,5) und B(9/3,5) bilden zusammen mit Punkten C der Parabel p mit der Gleichung y = x x+3 Dreiecke ABC, die bei A oder bei B rechtwinklig sind. Zeichne die möglichen Dreiecke ABC, und berechne die Koordinaten der Punkte C. 7.0 Die Punkte A(0/0), B(4/-3) und C(k/ k n + 8) mit k R bilden Dreiecke ABC n. 7. Zeichne das Dreieck ABC für k = 0 in ein Koordinatensystem mit cm als Längeneinheit, und berechne die Maße der Innenwinkel des Dreiecks ABC. 7. Unter den Dreiecken ABC n gibt es zwei rechtwinklige Dreiecke ABC und ABC 3. Zeichne diese beiden rechtwinkligen Dreicke ein, und berechne die Koordinaten der Punkte C und C 3 sowie die Innenwinkelmaße der Dreiecke. 7.3 Zeichne die Dreiecke ABC 4 mit BAC4 = 60 und ABC 5 mit BAC5 = 50 ein, und berechne die Koordinaten der Punkte C 4 und C Zeige rechnerisch, dass die Eckpunkte C n der Dreiecke ABC n auf der Geraden g mit der Gleichung y = 4 x+ 8 liegen. RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 9 (0)

10 7.5 Zeichne das Dreieck ABC 0 ein, das gleichschenklig mit [AB] als Basis ist, und berechne die Koordinaten des Punktes C 0, den zugehörigen Wert für k und die Maße der Dreiecksinnenwinkel. 7.6 Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks ABC 6 mit einem Flächeninhalt von 8 FE? 7.7 Bestimme mit Hilfe des Skalarprodukts der Vektoren AB und ACn die Definitionsmenge D(k) für k, so dass Dreiecke ABC n entstehen. RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 0 (0)

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