Diskrete Stochastik der Finanzmärkte. Einführung und Anwendungsbeispiel

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1 Seminarbeitrag Diskrete Stochastik der Finanzmärkte. Einführung und Anwendungsbeispiel Sven Wiesinger 8. Juni Einleitung Historisches. Bei dem Versuch, eine Theorie der Spekulation zu entwickeln, entdeckte Bachelier 1900 die Brownsche Bewegung. Seit 1973 haben die Veröffentlichungen von Black-Scholes und Merton zu option pricing 1 und hedging der Wahrscheinlichkeitstheorie einen festen Platz in der Finanzmarkttheorie gesichert. Begriffe. asset Ein Gut. Im Kontext der Finanztheorie ein Anlageobjekt, etwa eine Aktie, ein anderes Wertpapier oder eine Währung. option Der Inhaber einer option besitzt mit dieser das Recht, eine festgelegte Menge eines assets (spätestens oder genau, s.u.) zu einem festgelegten Zeitpunkt zu einem festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. exercise price Im Rahmen einer option festgelegter Kauf- oder Verkaufspreis eines assets. call Eine option, die das Recht zum Kauf zu fixierten Konditionen einräumt. put Eine option, die das Recht zum Verkauf zu fixierten Konditionen einräumt. Gegenüber dem Handout überarbeitete Fassung. 1 Für einige der englischen Fachtermini haben sich deutsche Übersetzungen etabliert für andere nicht. Ich bleibe der Einheitlichkeit wegen bei den englischen Termini. 1

2 1. Einleitung expiration date, maturity Im Rahmen einer option fixiertes Datum der Einlösung einer option. American option Eine option, die jederzeit, spätestens jedoch zum expiration date eingelöst werden kann. European option Eine option, die genau zum expiration date eingelöst werden kann. premium Der Preis der option. writer Anbieter einer option. writing Abgabe einer option vom writer an den buyer. buyer, holder Käufer einer option also derjenige, der sie hält und über ihre Ausführung oder ichtausführung entscheidet. Zentrales Problem. Betrachte eine European call option auf eine Aktie. Der Preis der Aktie zum Zeitpunkt t sei S t. T sei das expiration date und K der exercise price. Im Fall K > S T würde der holder durch die Ausübung der option einen Verlust machen: Es wäre günstiger, die Aktie direkt am Markt zu kaufen. Im Fall K < S T lohnt sich die Ausübung der option, da der holder bei sofortigem Wiederverkauf der Aktie einen Gewinn von S T K machen kann. Der Wert des call zum expiration date beträgt also (S T K) + ( = max(s T K, 0) ). Wird die option ausgeübt, muss der writer zum expiration date T die Aktie zum exercise price K verkaufen, unabhängig von S T. Er muss also bis zu diesem Zeitpunkt den Betrag (S T K) + erwirtschaftet haben, um keinen Verlust zu machen. Der writer muss also zum Zeitpunkt des writing (für den wir im Allgemeinen t = 0 setzen) Entscheidungen zu zwei Problemen treffen: pricing Die Festlegung des premium. Welchen Wert hat die option, die in T den Wert (S T K) + hat, zum Zeitpunkt t = 0? hedging Wie kann der writer zum Zeitpunkt T einen Betrag (S T K) + (oder mehr) erwirtschaften? Abwesenheit von Arbitrage. Zur Beantwortung der oben genannten Fragen müssen bestimmte Eigenschaften des betrachteten Marktes vorausgesetzt werden. Die wichtigste, die auch generell in allen Modellen anerkannt wird, ist die Abwesenheit von arbitrage. arbitrage Kursunterschiede (etwa an verschiedenen Börsen), die einen risikolosen Profit ermöglichen. 2

3 Man spricht von arbitrage, wenn gilt: P[Startkapital = 0, Endkapital 0] = 1, P[Startkapital = 0, Endkapital > 0] > 0. Eine mathematische Charakterisierung eines Finanzmarktes ohne arbitrage wird später formuliert. Black-Scholes Modell. Für die Herleitung von mathematischen Methoden zum pricing ist die Forderung nach Abwesenheit von arbitrage nicht ausreichend. Man benötigt genauere Kenntnisse, etwa zur Modellierung von Aktienpreisen. Black und Scholes haben zuerst ein Modell vorgeschlagen, das ein explizites pricing für eine European call option über eine Aktie ohne Dividende ermöglicht. Sie haben eine dynamische hedging-strategie formuliert, die exakt die Erwirtschaftung von (S T K) + bis zum Zeitpunkt T sichert. Die von ihnen gegebene Formel beruht auf nur einem nicht direkt beobachtbaren Parameter, der volatility. volatility Misst das Gesamtrisiko eines Investitionsobjektes (also die mögliche zukünftige Schwankungsbreite (Streuung) des Kurses um den erwarteten Kurs). Drückt man den Profit (oder Verlust), der aus einer Anlagestrategie resultiert, als stochastisches Integral aus, so erschließt man sich dadurch die Methoden des stochastischen Kalküls (insbesondere des Itô-Kalküls) zur Ermittlung expliziter Ergebnisse. Dies hat zu weitgehenden Erweiterungen der Methoden von Black und Scholes geführt. 2. Modelle in diskreter Zeit 2.1. Formalia Ein stochastisches Finanzmarkt-Modell in diskreter Zeit basiert auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit einer Filtrierung F 0 F 1 F. F n heißt auch die σ-algebra der n-vergangenheit; der Horizont wird im Modell häufig mit dem expiration date übereinstimmen. Wir treffen für diesen Abschnitt folgende Annahmen: F 0 = {, Ω}, F = F = P(Ω), ω Ω : P({ω}) > 0. Der Markt besteht aus d + 1 assets, deren Preise in n durch die nichtnegativen Zufallsvariablen S 0 n, S 1 n,..., S d n gegeben sind, welche als F n -messbar vorausgesetzt werden (wir nehmen also an, dass der Investor die Zukunft nicht kennt). S n := (S 0 n, S 1 n,..., S d n). 3

4 2. Modelle in diskreter Zeit Das asset mit Index 0 heißt das riskless asset. Wir setzen S0 0 1 und nehmen an, dass der Ertrag des riskless asset in jeder Periode konstant = r ist. Es gilt also Sn 0 = (1 + r) n. Der Koeffizient β n := 1 heißt discount factor (von n nach 0). Investiert man in 0 den Betrag β n, so besitzt man in n den Betrag 1. Die übrigen assets heißen auch risky assets. Eine trading strategy ist ein diskreter stochastischer Prozess φ = ( (φ 0 n, φ 1 n,..., φ d n) ) n {0,...,} R d+1, wo φ i n die Anzahl der Anteile von asset i im Portfolio zur Zeit n notiert. Wir nehmen an, dass φ prävisibel ist: φ i 0 ist für jedes i eine F 0-messbare Zufallsvariable, und für alle n 1 und jedes i ist φ i n F n 1 -messbar. Diese Annahme bedeutet, dass das Portfolio zum Zeitpunkt n, genauer: (φ 0 n, φ 1 n,..., φ d n), vor dem Hintergrund der Informationen festgelegt wird, die zur Zeit n 1 zur Verfügung stehen. Der Wert des Portfolios in n wird angegeben durch V n (φ) := φ n S n := Der diskontierte Wert ist d φn i Sn. i i=0 Ṽ n (φ) = β n (φ n S n ) = φ n S n, wo S n = (1, β n S 1 n,... β n S d n) der Vektor der diskontierten Preise der assets ist. Eine trading strategy heißt self financing, wenn die folgende Gleichung für alle n {0, 1,..., 1} gilt: S 0 n φ n S n = φ n+1 S n. (SF) Das heißt, die Änderungen von φ n nach φ n+1 haben so zu erfolgen, dass der Wert des Portfolios unverändert bleibt. Es wird kein Kapital eingebracht oder abgezogen. Bemerkung 2.1. Die Gleichung (SF) ist äquivalent zu den beiden folgenden: φ n+1 (S n+1 S n ) = φ n+1 S n+1 φ n S n, V n+1 (φ) V n (φ) = φ n+1 (S n+1 S n ). Zur Zeit n + 1 hat das Portfolio den Wert φ n+1 S n+1. Der (positive oder negative) Ertrag, der durch Preisänderungen zwischen n und n + 1 erzeugt wurde, ist daher identisch mit φ n+1 S n+1 φ n+1 S n. Ist eine trading strategy also self financing, so werden Wertveränderungen des Portfolios einzig durch Preisbewegungen am Markt generiert und keinesfalls durch Zuschuss oder Abzug von Kapital. Etwas formaler kann man die Abhängigkeit des Portfolio-Wertes V n bzw. Ṽ n von den Preisbewegungen so darstellen: Satz 2.2. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 4

5 2.1. Formalia (i) Die trading strategy φ ist self financing. (ii) Für alle n = 1,..., gilt V n (φ) = V 0 (φ) + n j=1 φ j S j, wo S j := S j S j 1 der Vektor der Inkremente ist. (iii) Für alle n = 1,..., gilt Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + n j=1 φ j S j, wo S j := S j S j 1 = β j S j β j 1 S j 1 der Vektor der Differenzen zwischen den diskontierten Preisen ist. Beweis. Die Äquivalenz zwischen (i) und (ii) ist lediglich eine Umformulierung der obigen Bemerkung. Zum Beweis der Äquivalenz von (i) und (iii) stellen wir zunächst fest, dass (SF) genau dann gilt, wenn φ n S n = φ n+1 S n gültig ist. Das wiederum ist nach der Definition der diskontierten Preise und des diskontierten Portfolio-Wertes offensichtlich und analog zur Bemerkung 2.1 äquivalent zu und zu φ n+1 ( S n+1 S n ) = φ n+1 S n+1 φ n S n, Ṽ n+1 (φ) Ṽ n (φ) = φ n+1 ( S n+1 S n ). Damit folgt die Behauptung wie im ersten Teil des Beweises. Folgt also ein Investor einer self financing strategy, so ist der (diskontierte) Wert seines Portfolios vollständig festgelegt durch das Ausgangskapital und die Folge ( (φ 1 n,..., φ d n) ) 0 n von Vektoren (was so nur gilt, weil aus unseren Annahmen S 0 j = 0 für alle j folgt). Etwas exakter: Satz 2.3. Für jeden prävisiblen Prozess ( (φ 1 n,..., φ d n) ) 0 n und jede F 0-messbare Zufallsvariable V 0 existiert genau ein prävisibler Prozess (φ 0 n) 0 n, so dass die trading strategy φ = (φ 0, φ 1,..., φ d ) self financing ist und den Ausgangswert ( Start-Kapital ) V 0 hat. 5

6 2. Modelle in diskreter Zeit Beweis. ach der Definition von Ṽ n gilt Ṽ n (φ) = φ n S n = φn 0 S n 0 +φn 1 S n φn d S } {{ } n, d =φn 0 und aus der Bedingung (SF) folgern wir Ṽ n = V 0 + = V 0 + n j=1 n j=1 φ j S j (φ 1 j S 1 j + + φd j S d j ), womit φ 0 n schon definiert ist. Es bleibt zu prüfen, ob φ 0 prävisibel ist. Mit den Gleichungen von oben haben wir aber φ 0 n = V 0 + n j=1 n 1 = V 0 + j=1 (φ 1 j S 1 j + + φd j S d j ) (φ1 n S 1 n + + φ d n S d n) (φ 1 j S 1 j + + φd j S d j ) (φ 1 n S 1 n φd n S d n 1 ). Bisher haben wir keine Annahmen zu den Vorzeichen der φ i n gemacht. Ist φ 0 n negativ, so haben wir im riskless asset den Betrag φ 0 n geliehen haben also einen Kredit zum Zinssatz r aufgenommen. Ist für ein i 1 die Quantität φ i n negativ, sagen wir, wir sind um φ i n Einheiten von asset i im Minus. Wir wollen im Modell die Kreditaufnahme ebenso zulassen wie den Verkauf von mehr Einheiten eines asset also im Portfolio vorhanden sind. Allerdings soll der Wert eines Portfolios jederzeit positiv sein: Der Investor muss jederzeit imstande sein, seine Schulden in allen Positionen zurück zu zahlen. Wir sagen also, eine trading strategy φ ist zulässig, wenn sie self financing ist, und wenn für alle n {0, 1,..., } der Wert V n (φ) des Portfolios mindestens 0 ist. Abschließend liefern wir noch eine Charakterisierung von arbitrage: Eine arbitrage strategy ist eine zulässige Strategie mit V 0 = 0 und E[V ] = 0. Die meisten Modelle schließen die Möglichkeit einer arbitrage strategy aus. Wir werden diese Modelle jetzt mit Hilfe des Martingals näher charakterisieren Martingale und Arbitrage Grundlagen zum Martingalen Wir betrachten wieder einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit F = P(Ω) und P({ω}) > 0 für alle ω Ω. Der Wahrscheinlichkeitsraum sei ausgestattet mit einer Filtrierung (F n ) 0 n, allerdings nicht 6

7 2.2. Martingale und Arbitrage zwingend mit den Eigenschaften F 0 = {, Ω} oder F = F. Wie üblich nennen wir eine Folge (X n ) 0 n von Zufallsvariablen adaptiert zur Filtrierung, wenn X n für jedes n F n -messbar ist. Wir nennen eine adaptierte Folge (M n ) 0 n reeller Zufallsvariablen Martingal = Supermartingal, wenn E[M n+1 F n ] M n für alle n 1. Submartingal Eine R d -wertige Folge (M n ) 0 n heißt Martingal, wenn jede Komponente ein reellwertiges Martingal ist. Im Anwendungs-Kontext nennen wir eine Folge (Sn) i 0 n von Preisen eines asset i ein Martingal, wenn Sn i der beste Schätzer für Sn+1 i ist (im Sinne der least squares Methode 2 ). Satz 2.4 (Martingaltransformation durch Prävisible). Sei (M n ) 0 n ein Martingal, und (H n ) 0 n eine prävisible Folge zur Filtrierung (F n ) 0 n. Setze M n := M n M n 1. Dann ist die Folge (X n ) 0 n, definiert durch X 0 := H 0 M 0 X n := H 0 M 0 + n i=1 H i M i, n 1, ein Martingal, adaptiert zu (F n ) 0 n. Beweis. Vergleiche [Rö-W, Abschnitt 8.1]. Im Kontext der finanzmathematischen Anwendung bedeutet das folgendes: Angenommen, man folgt einer self financing strategy, und die diskontierten Preise der assets sind Martingale. Dann ist der bedingt zu F 0 zu erwartende, diskontierte Gesamtwert des bis zum Zeitpunkt erwirtschafteten Kapitals identisch zum Wert des Ausgangskapitals. Satz 2.5. Eine adaptierte Folge von Zufallsvariablen (M n ) ist genau dann ein Martingal, wenn für jede prävisible Folge (H n ) gilt: [ ] E H n M n = 0. (2.1) n=1 Beweis. Sei (M n ) ein Martingal. Definiert man (X n ) wie oben (nur mit X 0 0), dann ist dies, wie eben gesehen, ein Martingal. Es gilt dann E[X ] = E[X 0 ] = 0. Für die Umkehrung sei j {1,..., }, und (H n ) definiert durch H j+1 = I A und H n 0 für alle n = j + 1. A sei eine Menge aus F j, damit ist (H n ) eine prävisible Folge. (2.1) impliziert nun E [ I A (M j+1 M j ) ] = 0. Das gilt aber für alle F j -messbaren Mengen A, also folgt E[M j+1 F j ] = M j. Dies wiederum gilt für alle j {1,..., }. 2 Minimiere die quadratische Abweichung! 7

8 2. Modelle in diskreter Zeit Finanzmärkte ohne Arbitrage Im Folgenden sei Γ der konvexe Kegel strikt positiver Zufallsvariablen (also: Für X Γ gilt X 0, und für wenigstens ein ω Ω ist X(ω) > 0). Außerdem definieren wir für eine beliebige zulässige Strategie (φ 1 n,..., φ d n) den Prozess G n (φ) := n j=1 (φ 1 j S 1 j + + φd j S d j ), der den kumulierten, diskontierten Ertrag der Strategie angibt. Lemma 2.6. In einem arbitrage-freien Markt gilt für jeden prävisiblen Prozess (φ 1,..., φ d ): G (φ) / Γ. Beweis. Sei G (φ) Γ. Klar: Wenn G n (φ) 0 für alle n {0,..., } gilt, ist der Markt nicht frei von arbitrage. Wir nehmen also an, dass nicht alle G n (φ) 0 sind und definieren n := sup { k P[ G k (φ) < 0] > 0 }. Aus dieser Definition folgt sofort: n 1 P [ G n (φ) < 0 ] > 0 G m (φ) 0 m > n. Betrachte nun den neuen Prozess { 0 für j n ψ j (ω) := I A (ω) φ j (ω) für j > n, mit A := { G n (φ) < 0}. Da φ prävisibel ist, gilt mit A F n, dass ψ ebenfalls prävisibel ist. Der kumulierte, diskontierte Ertrag einer Strategie ψ ist gerade: { 0 für j n G j (ψ) = I A ( G j (φ) G n (φ) ) für j > n. Es ist also G j (ψ) 0 für alle j {0,..., }, und G (ψ) > 0 für alle ω A. Das widerspricht aber der angenommenen arbitrage-freiheit des Marktes. Theorem 2.7. Ein Markt ist arbitrage-frei genau dann, wenn es ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß P gibt, so dass die diskontierten Preise der assets P -Martingale sind. (Da wir P({ω}) > 0 für alle ω Ω angenommen hatten, bedeutet die angenommene Äquivalenz von P und P insbesondere, dass P ({ω}) > 0 für alle ω Ω gilt.) 8

9 2.2. Martingale und Arbitrage Beweis. : Angenommen, es gibt ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß P, so dass die diskontierten Preise P -Martingale sind. ach unserer Charakterisierung in Satz 2.2 gilt für jede self financing strategy (φ n ) Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + n j=1 φ j S j. Der Prozess ( Ṽ n (φ) ) ist also nach dem Satz über Martingaltransformation durch Prävisible ebenfalls ein P -Martingal; insbesondere ha- n ben Ṽ (φ) und V 0 (φ) unter P den gleichen Erwartungswert: E [ Ṽ (φ) ] = E [ V 0 (φ) ]. Angenommen, die betrachtete Strategie ist zulässig und hat den Anfangswert 0. Dann folgt E [ Ṽ (φ) ] = 0 und Ṽ (φ) 0. Da P ({ω}) > 0 für alle ω Ω gilt, ist Ṽ (φ) = 0. : Wir stellen zunächst fest, dass ein Markt genau dann frei von arbitrage ist, wenn für jede zulässige Strategie gilt: V 0 (φ) = 0 Ṽ (φ) / Γ. Sei also (φ 1 n,..., φ d n) ein zulässiger Prozess, und G n (φ) (wie oben definiert) der kumulierte, diskontierte Ertrag. ach Satz 2.3 gibt es genau einen Prozess (φ 0 n), so dass die Strategie ( (φ 0 n, φ 1 n,..., φ d n) ) self financing ist und den Ausgangswert V 0 = 0 hat. Für diese Strategie gibt G n (φ) den diskontierten Wert zur Zeit n an. ach dem obigen Lemma gilt G (φ) / Γ. Bezeichne mit R Ω die Menge aller reellwertigen Zufallsvariablen auf Ω. Dann ist die Menge V := { G (φ) φ prävisibler Prozess in R d} ein Untervektorraum von R Ω. ach dem Lemma gilt V Γ =. Insbesondere schneidet also V nicht die kompakte konvexe Menge { } K := X Γ X(ω) = 1 ( Γ). ω Ω ach einem Trennungssatz für konvexe Mengen 3 gibt es eine Zufallsvariable ( λ(ω) ) mit folgenden Eigenschaften: ω Ω 3 Sei K eine kompakte und konvexe Menge und V ein UVR des R n. Wenn V und K disjunkt sind, existiert ein lineares Funktional ξ auf R n, so dass gilt: x K : ξ(x) > 0. x V : ξ(x) = 0. [LL96, Appendix A.3, Theorem A.3.2] 9

10 2. Modelle in diskreter Zeit (A) Für alle X K ist λ(ω) X(ω) > 0. ω Ω (B) Für alle prävisiblen Prozesse φ gilt λ(ω) G (φ)(ω) = 0. ω Ω Wegen (A) gilt λ(ω) > 0 für alle ω Ω. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P, definiert durch P ({ω}) := ω Ω ist also äquivalent zu P. λ(ω) λ(ω ), Schreiben wir wieder E für den Erwartungswert unter P, so folgt aus (B), dass für alle prävisiblen Prozesse (φ n ) in R d gilt: E [ ] φ j S j = 0. j=1 Also erhalten wir für alle i = {1,..., d} und alle prävisiblen Folgen (φ i n) in R E [ ] φ i j S i j = 0. j=1 ach Satz 2.5 sind die diskontierten Preise ( S 1 n),..., ( S d n) daher P - Martingale Vollständige Märkte und option pricing Vollständige Märkte Wir wollen einen contingent claim 4 mit maturity durch seinen payoff h 0 definieren. h ist allgemein F -messbar. Ein call auf das asset mit Preis S 1 zum exercise price K wird also definiert durch h = (S 1 K)+. Analog wird ein put auf dasselbe asset definiert durch h = (K S 1 )+. Definition 2.8. Ein durch h definierter contingent claim heißt erreichbar, wenn es eine zulässige Strategie gibt, die in den payoff h hat. Bemerkung 2.9. Ist der betrachtete Markt arbitrage-frei, so reicht es, eine Strategie mit payoff h zu finden, die self financing ist. Diese Strategie ist dann automatisch zulässig. 4 engl. Eventualforderung ; wir verwenden diesen allgemeineren Begriff für die European option. 10

11 2.3. Vollständige Märkte und option pricing Beweis. Sei φ eine solche, self financing Strategie. Weiterhin sei P ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, unter dem die diskontierten Preise Martingale sind. Dann ist ( Ṽ n (φ) ) wieder ein P -Martingal. Also gilt für alle n {0,..., } E [ Ṽ (φ) Fn ] = Ṽn (φ). Ist nun Ṽ (φ) 0 (insbesondere: Ist V (φ) = h), so ist die Strategie φ zulässig. Definition Ein Markt heißt vollständig, wenn jeder contingent claim erreichbar ist. Die Annahme, ein Finanzmarkt sei vollständig, ist viel stärker als die Annahme, es existiere kein arbitrage. Auch die ökonomische Rechtfertigung dieser Annahme ist nicht so klar. Andererseits ermöglicht diese Einschränkung eine einfache Theorie des pricing und hedging von contingent claims. Ein einfaches Beispiel ist das weiter unten beschriebene Cox-Ross-Rubinstein-Modell. Im folgenden Theorem charakterisieren wir vollständige, arbitrage-freie Märkte. Theorem Ist ein Markt arbitrage-frei, so ist er genau dann (auch) vollständig, wenn es genau(!) ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß P gibt, unter welchem die diskontierten Preise der assets Martingale sind. Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß P ist ein wesentliches Werkzeug, um tatsächlich geschlossene Formeln für pricing und hedging angeben zu können. Beweis. : Wir untersuchen einen Markt, der vollständig und frei von arbitrage ist. In diesem Markt kann jede nicht-negative, F -messbare Zufallsvariable h geschrieben werden als h = V (φ), wo φ eine zulässige Strategie ist, die den contingent claim h erfüllt. Da φ self financing ist, wissen wir: h S 0 = Ṽ (φ) = V 0 (φ) + j=1 φ j S j. Seien nun weiterhin P 1 und P 2 Wahrscheinlichkeitsmaße, unter denen die diskontierten Preise der assets Martingale sind. Dann ist der Prozess ( Ṽ n (φ) ) ein Martingal unter beiden Wahrscheinlichkeitsmaßen, und für beide i {1, 2} 0 n gilt: E i [Ṽ (φ) ] = E [ V 0 (φ) ] = V 0 (φ), wobei die letzte Gleichung gilt wegen F 0 = {, Ω}. Da nun auch [ ] [ ] E h 1 = E h S 0 2 S 0 offensichtlich gilt, und da das h beliebig gewählt war, gilt P 1 = P 2 auf der gesamten σ-algebra F. 11

12 2. Modelle in diskreter Zeit : Wir untersuchen einen Markt, der arbitrage-frei und unvollständig ist. Es sei P ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, unter welchem die diskontierten Preise der assets Martingale sind. Da der Markt unvollständig ist, gibt es eine Zufallsvariable h 0, die nicht erreichbar ist (als payoff ). Ṽ sei die Menge aller Zufallsvariablen, die von der Form U 0 + n=1 φ n S n sind, ( wobei U 0 eine F 0 -messbare Zufallsvariable ist und der Prozess (φ 1 n,..., φn) d ) 0 n Rd -wertig und prävisibel. ach Satz 2.3 und Bemerkung 2.9 charakterisiert Ṽ gerade die diskontierten Portfolio-Werte für erreichbare payoffs. h liegt daher nicht in Ṽ, diese Menge 1 S 0 ist also eine echte Untermenge der Menge aller Zufallsvariablen auf (Ω, F). Sei (X, Y) E [ XY ] ein Skalarprodukt auf der Menge der Zufallsvariablen, wobei P das oben gewählte Wahrscheinlichkeitsmaß ist. un gibt es eine Zufallsvariable X = 0, die bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonal zu Ṽ steht. Wir definieren P ({ω}) := mit X := sup ω Ω X(ω). ( ) 1 + X(ω) 2 X P ({ω}) Dieses neue Maß P hat wieder für jedes ω Gewicht, ist also äquivalent zu P und P. Gleichzeitig impliziert X = 0, dass P und P nicht identisch sein können. Dass P ein normiertes (ergo ein Wahrscheinlichkeits-) Maß ist, folgt mit: ( ) P (ω) = 1 + X(ω) 2 X P ({ω}) ω Ω ω Ω = P X(ω) ({ω}) + 2 X P ({ω}). ω Ω ω Ω } {{ } } {{ } =1 = 1 2 X ω X(ω) P ({ω}) } {{ } =E [X]=0 Wir haben also mit P ein zu P äquivalentes W Maß konstruiert, das von P verschieden ist. Abschließend zeigen wir noch, dass die diskontierten Preise der assets bezüglich dieses neuen W Maßes wiederum 12

13 2.3. Vollständige Märkte und option pricing Martingale sind: E [ ] φ n S n (ω) n=1 = φ n S n (ω) ω Ω( n=1 ) Ṽ ( ) 1 + X(ω) 2 X P ({ω}) = E [ ] φ n S n (ω) n=1 } {{ } =0 n. Vorr. [ ( ) ] X E φ n S n (ω) X(ω). } {{ } n=1 } {{ } / Ṽ } {{ } = Pricing und hedging von contingent claims in vollständigen Märkten In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass der betrachtete Markt arbitrage-frei und vollständig ist. P sei das (eindeutig betimmte) Wahrscheinlichkeitsmaß, unter dem die diskontierten Preise der assets Martingale sind. h sei eine F -messbare, nicht-negative Zufallsvariable und φ eine zulässige Strategie, die den contingent claim h erfüllt: V (φ) = h. Mit den diskontierten Preisen ist auch die Folge (Ṽ n ) 0 n der diskontierten Portfolio-Werte ein P -Martingal, es gilt also V 0 (φ) = E [ Ṽ (φ) ] = E [ ] h. S 0 Allgemeiner erhalten wir für alle n {0, 1,..., }: V n (φ) S 0 n = Ṽ n (φ) = E [ Ṽ (φ) Fn ] = E [ V (φ) V n (φ) = S 0 n E [ h S 0 F n ]. S 0 F n ] Mit anderen Worten: Der Wert einer zulässigen Strategie, die h erfüllt, ist durch h eindeutig vorgegeben. Es ist also vollkommen natürlich, V n (φ) als den Preis der option in n anzusehen: V n (φ) repräsentiert gerade die finanziellen Mittel, die in n notwendig sind, um zur Zeit das Kapital h ausschütten zu können vorausgesetzt, man folgt der Strategie φ. Ein Investor, der zur Zeit 0 die Option zum Preis V 0 (φ) verkauft, kann mit der Strategie φ bis zum Zeitpunkt den Betrag h erwirtschaften. Man sagt, er ist perfectly hedged ( perfekt abgesichert ). 13

14 3. Anwendung Bemerkung Die Kenntnis von P ist zur Berechnung des premium nicht notwendig; man benötigt lediglich das Wahrscheinlichkeitsmaß P. Anstelle eines Wahrscheinlichkeitsraumes kann man also einen messbaren Raum (Ω, F) mit einer Filtrierung (F n ) zugrunde legen. Mehr als die Kenntnis der Menge aller möglichen (relevanten) Ereignisse und der Entwicklung der Information über der Zeit sind nicht erforderlich. Die reale Wahrscheinlichkeit P der Ereignisse ist für das pricing nicht erforderlich. 3. Anwendung 3.1. Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell Voraussetzungen. Das Modell von Cox, Ross und Rubinstein ist eine Version des Black-Scholes-Modells in diskreter Zeit. Es wird nur ein risky asset betrachtet, dessen Preis mit S n, n {0, 1,..., }, angegeben wird, sowie das riskless asset, dessen Perioden-Ertrag konstant den Wert r hat. Wir schreiben also Sn 0 = (1 + r) n. Wir nehmen weiterhin an, dass die Preisentwicklung für das risky asset für n = 0,..., 1 gegeben ist durch { S n (1 + a) oder S n+1 = S n (1 + b), wobei a, b mit 1 < a < b für den gesamten betrachteten Zeitraum fest sind. S 0 sei gegeben. Die Menge aller Ereignisse ist also Ω = {1 + a, 1 + b}, und jedes - Tupel enthält die Werte des Verhältnisses S n+1 S n für n = 0,..., 1. Für die Filtrierung nehmen wir folgendes an: Es sei F 0 = {, Ω} und F = P(Ω). Für jedes n = 1,..., sei F n gegeben durch σ(s 1,..., S n ). Die Annahme, dass jedes Elementarereignis in Ω eine strikt positive Wahrscheinlichkeit hat, definiert P bis auf Äquivalenz eindeutig. Abschließend führen wir noch für n = 1,..., die Zufallsvariablen T n := S n S n 1 ein. Ist (x 1,..., x ) ein -Tupel in Ω, so gilt P ({ (x 1,..., x ) }) = P[T 1 = x 1,..., T = x ]. Also ist P genau dann bekannt, wenn das Gesetz für die Entwicklung von (T 1,..., T ) bekannt ist. Für alle n 1 gilt F n = σ(t 1,..., T n ). Bemerkung 3.1 (Martingaleigenschaft der diskontierten Preise). ( S n ) ist genau dann ein Martingal unter P, wenn für alle n = 0, 1,..., 1 gilt: E[T n+1 F n ] = 1 + r. Beweis. Da ( S n ) (F n )-adaptiert ist, gilt E[ S n+1 F n ] = S n E[ S n+1 S n Fn ] = 1. 14

15 3.1. Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell Das ist aber gerade äquivalent zu E[T n+1 F n ] = 1 + r. Bemerkung 3.2 (Bedingung für arbitrage-freiheit). Eine notwendige Bedingung für die Freiheit des Marktes von arbitrage ist r ]a, b[. Beweis. Ist der Markt frei von arbitrage, so gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß P, das zu P äquivalent ist, und unter welchem ( S n ) ein Martingal ist. ach Bemerkung 3.1 folgt E [T n+1 F n ] = E [T n+1 ] = 1 + r = 1 + r. ach den Voraussetzungen ist T n+1 identisch zu 1 + a oder zu 1 + b, und beide Alternativen haben eine strikt positive Wahrscheinlichkeit. Also folgt (1 + r) ]1 + a, 1 + b[. Beispiel 3.3 (arbitrage). Sei r a. Wir leihen uns zum Zeitpunkt 0 den Betrag S 0 und kaufen eine Aktie des risky asset. Zur Zeit verkaufen wir die Aktie und zahlen den Kredit zurück. Unser Profit beträgt dann S S 0 (1 + r). Dieser Betrag ist immer (strikt) positiv, denn nach den Vorgaben an die Preisentwicklung des risky asset gilt: S > S 0 (1 + a) S 0 (1 + r). Es gibt also die Möglichkeit von arbitrage-effekten. Analog kann man auch im Fall r b risikolos Profit machen, da dann das risky asset in jedem Fall weniger Ertrag liefert als das fest verzinste riskless asset. Wir nehmen von jetzt ab an, dass r ]a, b[ gilt. Wir definieren p := b r b a. Satz 3.4 (Martingaleigenschaft und Verteilung der T i ). ( S n ) ist genau dann ein P-Martingal, wenn die Zufallsvariablen T 1,..., T i.i.d. 5 sind und wenn ihre Verteilung gegeben ist durch P[T i = 1 + a] = p = 1 P[T i = 1 + b] i = 1,...,. (3.1) Eine Marktsituation mit dieser Eigenschaft ist arbitrage-frei und vollständig. Beweis. : Wenn die T i unabhängig sind und (3.1) erfüllen, gilt E[T n+1 F n ] = E[T n+1 ] = p (1 + a) + (1 p) (1 + b) = b r (b a) (b r) b a (1 + a) + b a (1 + b) = b+ab r ar b a + a ab+r+br b a = b a+br ar b a = 1 + r. ach Bemerkung 3.1 folgt hieraus, dass ( S n ) ein Martingal bezüglich P ist. 5 independent, identically distributed 15

16 3. Anwendung : Für n = 0,..., 1 gelte E[T n+1 F n ] = 1 + r. Dann gilt auch (1 + a) E [ I {Tn+1 =1+a} = 1 + r. Mit der Definition von p und folgt nun E [ I {Tn+1 =1+a} E [ I {Tn+1 =1+a} (denn aus den Gleichungen ] [ ] Fn + (1 + b) E I{Tn+1 =1+b} Fn ] [ ] Fn + E I{Tn+1 =1+b} Fn = 1 ] [ ] F n = p und E I{Tn+1 =1+b} F n = 1 p (1 + a) E a + (1 + b) E b = 1 + r und E a + E b = 1 folgt durch einfaches Einsetzen (1 + a) E a + (1 + b) (1 E a ) = 1 + r (1 + a) E a (1 + b) E a = 1 + r 1 b E a = r b a b = (b r) def (b a) = p ). Per Induktion über n zeigt man, dass für alle x i {1 + a, 1 + b} und alle n gilt: P[T 1 = x 1,..., T n = x n ] = n i=1 wo p i = p ist für x i = 1 + a und p i = 1 p für x i = 1 + b. Daher wissen wir, dass die T i unter P i.i.d. sind, und dass P[T i = 1 + a] = p gilt. Die Tatsache, dass ( S n ) ein Martingal bezüglich P ist, legt also die Verteilung des -Tupels (T 1,..., T ) eindeutig fest, und damit auch das Maß P selbst auf dem messbaren Raum. Also folgt aus den beiden Theoremen des zweiten Abschnittes, dass der betrachtete Markt frei von arbitrage und vollständig ist. Von hier ab notieren wir durch C n (bzw. P n ) den Wert einer European call (bzw. put) option mit strike price K und maturity. p i, (i) Es gilt die put/call parity equa- Satz 3.5 (Wertentwicklung der option). tion C n P n = S n K (1 + r) ( n). (PCP) (ii) Man kann C n in der Form c(n, S n ) schreiben, wobei c eine Funktion von K, a, b, r und p ist. 16

17 3.1. Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell Beweis. (i) Sei E die Erwartung bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes P, unter welchem ( S n ) ein Martingal ist. Dann gilt: C n P n = (1 + r) ( n) E [ (S K) + (K S ) + ] Fn = (1 + r) ( n) E [S K F n ] = S n K (1 + r) ( n), wobei die letzte Gleichung aus der P -Martingaleigenschaft von ( S n ) folgt. (ii) Schreibe Dann gilt S = S n i=n+1 T i. C n = (1 + r) ( n) E [ ( S n i=n+1 ) ] + T i K F n. Da die Zufallsvariable i=n+1 T i von F n unabhängig ist, und S n eine F n -messbare Zufallsvariable, können wir C n = c(n, S n ) schreiben, wobei c definiert ist durch folgendes: c(n, x) (1 + r) ( n) = E [ x = n j=0 i=n+1 ] + T i K ( n)! ( n j)! j! pj (1 p) n j (x (1 + a) j (1 + b) n j K ) +. Lemma 3.6 (Replizierende Strategie). Die replizierende Strategie zu einem call kann charakterisiert werden durch eine Zahl H n für jeden Zeitpunkt n, welche in Abhängigkeit von c angegeben werden kann. Beweis. Es sei H 0 n die Anzahl der riskless assets im replizierenden Portfolio. Dann gilt H 0 n (1 + r) n + H n S n = c(n, S n ). H 0 n und H n sind F n 1 -messbar, also Funktionen von S 1,..., S n 1. Und da S n mit S n 1 (1 + a) oder mit S n 1 (1 + b) identisch ist, folgen aus der obigen Gleichung diese beiden: H 0 n (1 + r) n + H n S n 1 (1 + a) = c ( n, S n 1 (1 + a) ), H 0 n (1 + r) n + H n S n 1 (1 + b) = c ( n, S n 1 (1 + b) ). Durch Differenzenbildung erhalten wir schließlich: H n = c( n, S n 1 (1 + b) ) c ( n, S n 1 (1 + a) ). S n 1 (b a) 17

18 3. Anwendung Die bis hierher notierten Feststellungen ermöglichen das pricing eines put oder call mit maturity T auf eine einzelne Aktie. Zu diesem Zweck untersuchen wir den asymptotischen Fall für r = RT, log ( 1+a 1+r ) = σ, log ( ) 1+b 1+r = σ. Die reelle Zahl R interpretieren wir als Grenzrate für den Zins für alle Zeitpunkte zwischen 0 und T; es gilt e RT = lim (1 + r) ( ) = lim 1 + RT. σ 2 interpretieren wir als Grenzwert der Varianz von log(s ) unter P für. Lemma 3.7. Sei (Y ) 1 eine Folge von Zufallsvariablen, gegeben durch Y := X X. Für jedes gelte: Die Zufallsvariablen Xi an. sind i.i.d. und nehmen einen der Werte { } σ σ, Die X i haben den Erwartungswert µ. Es gilt lim µ = µ. für eine reelle Zahl µ. Dann konvergieren die Verteilungen der Y für schwach gegen die ormalverteilung (µ, σ 2 ). Beweis. Zentraler Grenzwertsatz. [Rö-W]. Jetzt können wir schließlich die asymptotischen Preise für put und call zum Zeitpunkt 0 bestimmen. Sei Y := log ( T n ) 1+r, n=1 dann hat ein put für fixiertes, großes im Zeitpunkt 0 den Preis P () 0 := ( 1 + RT ) [ ] + E K S 0 T n n=1 = E [ ( 1 + RT ) K S0 exp(y )] +. ach Voraussetzung sind die Zufallsvariablen X j := log ( T j ) 1+r 18

19 3.1. Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell unabhängig unter P und nehmen Werte in Werte in { σ, σ } an. Außerdem gilt für alle j = 1,..., : E [Xj ] = P[T j = 1 + a] } {{ } =p σ + (1 p) σ = (1 2p) σ Wie im Lemma A.1 gezeigt, erfüllt die Folge (Y ) die Bedingungen für das obige Lemma, mit µ = σ2 2. Definieren wir nun ψ(y) := (K e RT S 0 e y ) + (stetig und beschränkt!) so erhalten wir 6 P () 0 E [ ψ(y ) ] = E [( ( ) ) 1 + RT + K S0 exp(y ) ( K e RT S 0 exp(y ) ) + ] K ( 1 + RT ) e RT }{{} = lim (1+ RT ) Da die Verteilungen der Zufallsvariablen (Y ) für schwach gegen die ormalverteilung konvergieren, folgt, dass man lim P() 0 = lim E [ ψ(y ) ] über die Standard-ormalverteilung ausrechnen kann. Wenn d Φ(d) := 1 2π e x2 2 dx die Verteilungsfunktion der Standard-ormalverteilung notiert, sowie d 1 := log( ) x K + RT + σ 2 2, σ so gilt endlich: 7 6 Es gilt lim P() 0 = K e RT Φ( d 1 + σ) S 0 Φ( d 1 ). (a c) + (b c) + a b, } {{ } =:ℵ denn: a c, b c impliziert ℵ = 0. a c, b c impliziert ℵ = c b = b c a b. a c, b c impliziert ℵ = a c = a c a b. a c, b c impliziert ℵ = a c (b c) = a b. 7 Details: Siehe Lemma A.2 im Anhang.. 19

20 4. Erinnerung an Einschränkungen Mit Hilfe der put/call-parität (PCP) erhält man den Preis einer call option in 0: lim C() 0 = S 0 Φ(d 1 ) K e RT Φ(d 1 σ). Bemerkung 3.8. Es bleibt anzumerken, dass der einzige nicht direkt beobachtbare Parameter, von dem die berechneten Preise abhängen, σ ist. Dessen Interpretation als Varianz legt nahe, ihn statistisch zu approximieren; darauf soll hier nicht weiter eingegangen werden (vgl. etwa [LL96, Chapter 4]). 4. Erinnerung an Einschränkungen Im Laufe der vorangegangenen Textseiten wurden diverse Einschränkungen gemacht, um die Betrachtung zu vereinfachen. Diese werden im Folgenden unsortiert und ohne Anspruch der Vollständigkeit aufgelistet. Dividenden. Bei der Wertentwicklung des Portfolios wurden Ausschüttungen ( Dividenden ) der Unternehmen oder Anlagefonds, deren assets im Portfolio liegen, nicht berücksichtigt. American Options. Zumindest im Cox-Ross-Rubinstein-Modell wurden ausschließlich European options betrachtet; ein flexibel wählbarer Termin zur Einlösung der Option (etwa: American option) war nicht vorgesehen. Insbesondere muss der writer einer American option seine hedging-strategie so organisieren, dass er die Forderungen des holders jederzeit begleichen könnte. Unendliche Märkte. Die Anzahl d verfügbarer assets ist in der Realität so groß, dass man im Modell häufig Märkte mit unendlich vielen assets betrachtet. Kontinuierliche Zeit. Da die Zeit nicht klümpchenweise, sondern kontinuierlich zerrinnt, erscheint das hier vorgestellte Modell der diskreten Zeit ein wenig wirklichkeitsfremd. Zwar werden Aktienkurse nicht kontinuierlich, sondern in regelmäßigen Zeitabständen (also in diskreter Zeit) angegeben. Man geht aber dennoch davon aus, dass die Untersuchung von Märkten in kontinuierlicher Zeit die Realität besser abbildet als das Modell der diskreten Zeit. Für Problemstellungen in kontinuierlicher Zeit wird die stochastische Analysis benötigt. Unvollständige Märkte. Die Annahme, jeder contingent claim h sei erfüllbar hält der Überprüfung durch die Realität kaum stand. Insbesondere, wenn man tatsächlich konkret eine Strategie finden will, die den geforderten payoff liefert. Transaktionskosten. Keine Börse, kein Broker und kein (sonstiger) Finanzdienstleister wird ohne Bezahlung (und evtl. sogar Erfolgsbeteiligung) arbeiten. 20

21 arbitrage. Wenigstens für kurze Zeiträume ( eine Periode ) sollte man die Möglichkeit von arbitrage zulassen. Es gibt immer wieder einzelne Unternehmen, deren Aktienkursbewegung für einen kurzen Zeitraum sicher abzusehen ist (Skandale, Spekulationsblasen anlässlich von Fusionen,... ). Zwar wird der gehäufte Versuch vieler Anleger, den arbitrage-effekt zu nutzen, den Effekt selbst ersticken aber wenigstens die optimal informierten Marktteilnehmer werden in einer solchen Situation risikolos profitieren können. Zinsen. Ein Zinssatz r, der für Geldanlage ebenso wie für Kreditaufnahme gilt, und der sich in der Zeit nicht verändert, ist nicht realistisch. Interaktion der Marktteilnehmer.... hier verlassen wir nach meinem (derzeitigen) Verständnis das Kampfgebiet der Mathematik. icht, dass ich mathematische Modellierung von Markten und Interaktionen für unrealistisch oder unsinnig hielte; aber das Verhalten einzelner Menschen ist m.e. zu chaotisch (durchaus im wissenschaftlichen Sinn des Begriffes), als dass man es im Rahmen eines stochastischen Modells wie dem hier angerissenen konsequent berücksichtigen könnte. A. Anhang Lemma A.1. Es gilt: σ (1 2p) = 2 e σ Beweis. ach Voraussetzung gilt p = b r b a log ( 1+a 1+r e σ e σ e σ ) = σ 1+a 1+r = exp[ σ σ σ2 2. ] log ( ) 1+b 1+r = σ 1+b 1+r = exp[ ] σ. Daraus folgen die beiden Gleichungen und exp [ ] [ σ exp σ ] = 1+b (1+a) 1+r = b a 1+r ( 2 exp [ ] [ σ + exp σ ] ) = 2 1+b+1+a 1+r = 2+2r 1 b 1 a 1+r = 2r b a 1+r. Durch Umformungen und Einsetzen der obigen Gleichungen erhält man 1 2p = 1 2 b r b a = 1 2 b a r+a b a = 1 2 (1 r a ) b a = r a b a = a b b a + 2r 2a b a = a b+2r b a = 2r b a 1+r 1+r b a = 2 exp[ ] [ σ exp σ exp [ ] [ σ exp σ ]. ] 21

22 A. Anhang Zur Konvergenzaussage halten wir zunächst fest: ( ( ) σ k ( σ ) k ) ( σ ) k k=0 k=0 un folgt: k! ( ( σ ) k k! + k! ( σ ) k k! ) = 2 k k ungerade = 2 k k gerade = 2 k=1 2 e σ e σ σ = σ e σ e σ = σ k=0 k=1 = σ σ 2 = σ2 2 ( ) 2k σ (2k)! ( σ ) 2k+1 (2k+1)! σ 2! + σ 2 1! + k! ( σ ) k k! ( σ ) 2k (2k)! 2 = σ σ3 2 4! + σ ! ! + 4! σ2 + σ4 2 6! ! + 4! 2σ2 + 3σ4 4σ ! k=0 k= = 2 = 2 ( ) k σ ( ) k σ k=0 k=0 k! k=0 k! k=0 σ 2 2! + σ 1! + σ5 3 6! + σ ! + σ6 3 8! +... } {{ 3 8! +.. }. 1 σ 4 2 4! + σ 3 3 3! + ( σ ) 2k+1 (2k + 1)!, ( σ ) 2k (2k)! ( ) k σ k! ( ) k σ k! σ 6 3 6! + σ7 4 8! +... σ 5 5 5! + σ ! +... σ 8 4 8! +... σ 7 7 7! +... Lemma A.2. lim E [ ψ(y ) ] = K e RT Φ( d 1 + σ) S 0 Φ( d 1 ). Beweis. ψ(y) ist eine antitone Funktion, die mit ihrem Positivteil identisch ist. Zur Berechnung des Integrals lim E [ ψ(y ) ] = 1 2πσ 2 (K e RT S 0 e y ) + e (y µ)2 2σ 2 bestimmen wir zunächst die ullstelle von ψ(y) = K e RT S 0 e y : K e RT = S 0 e y log ( K S0 ) = y + RT dy y = log ( K S0 ) RT. 22

23 Literatur Da ψ(y) antiton ist, gilt lim E [ ψ(y ) ] = 1 2πσ 2 log K S0 RT (K e RT S 0 e y ) e (y µ)2 2σ 2 dy. Wegen der Linearitätseigenschaft des Integrals folgt Mit lim ψ(y ) ] log K = K e RT S0 RT 1 e (y µ)2 2σ 2 2πσ 2 dy log K S0 RT (y µ)2 1 y S 0 e 2σ 2 2πσ 2 dy. sowie log K S0 RT 1 e (y µ)2 2σ 2 dy = 1 2πσ 2 log K RT µ S 0 σ 2π e z2 2 ( log K S0 RT + σ2 2 = Φ σ dz ) = Φ( d 1 + σ) und [y (µ+σ2 )] 2 = y2 2y(µ+σ 2 )+(µ+σ 2 ) 2 = y2 2yµ 2yσ 2 +µ 2 +2µσ 2 +σ 4 2σ 2 2σ 2 2σ 2 = y2 2yµ+µ 2 +2µσ 2 +σ 4 2yσ 2 2σ 2 = (y µ)2 2σ 2 + y = (y µ)2 +2σ2 σ2 2 +σ4 + y 2σ 2 log K S0 RT (y µ)2 log K 1 y e 2σ 2 dy = 1 S0 RT e [y (µ+σ2 )] 2 2σ 2 2πσ 2 2πσ 2 log K RT (µ+σ S 2 ) 0 = 1 σ e z2 2 2π = Φ( d 1 ) folgt schließlich die Behauptung. dz ( µ= σ2 2 log K S0 RT σ2 ) 2 = Φ σ dy Literatur [LL96] D. Lamberton, B. Lapeyre, Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman & Hall, [Rö-W] M. Röckner, Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung im Wintersemester 2002/03 und Sommersemester

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