Das Black-Scholes Marktmodell

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1 Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April / 14

2 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - ein Versuch Grundregeln des Finanzmarkts 2 Grundlegende Finanzprodukte 3 Explizite und numerische Verfahren 4 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell 2 / 14

3 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - ein Versuch Grundregeln des Finanzmarkts 2 Grundlegende Finanzprodukte 3 Explizite und numerische Verfahren 4 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell 2 / 14

4 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - ein Versuch Grundregeln des Finanzmarkts 2 Grundlegende Finanzprodukte 3 Explizite und numerische Verfahren 4 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell 2 / 14

5 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - ein Versuch Grundregeln des Finanzmarkts 2 Grundlegende Finanzprodukte 3 Explizite und numerische Verfahren 4 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell 2 / 14

6 Modellierung des Finanzmarkts Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Wollen ein einfaches mathematisches Modell für den Finanzmarkt formulieren. Benötigen dazu grundlegende Finanzprodukte und Spielregeln, die Fairness garantieren. Könnten jetzt alles mathematisch rigoros formulieren und beweisen - machen wir nicht! Stattdessen werden wir intuitiv vorgehen und das Thema so aufbereiten, dass es sich im Unterricht (ev. Wahlpflichtfach) verwenden lässt. 3 / 14

7 Modellierung des Finanzmarkts Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Wollen ein einfaches mathematisches Modell für den Finanzmarkt formulieren. Benötigen dazu grundlegende Finanzprodukte und Spielregeln, die Fairness garantieren. Könnten jetzt alles mathematisch rigoros formulieren und beweisen - machen wir nicht! Stattdessen werden wir intuitiv vorgehen und das Thema so aufbereiten, dass es sich im Unterricht (ev. Wahlpflichtfach) verwenden lässt. 3 / 14

8 Modellierung des Finanzmarkts Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Wollen ein einfaches mathematisches Modell für den Finanzmarkt formulieren. Benötigen dazu grundlegende Finanzprodukte und Spielregeln, die Fairness garantieren. Könnten jetzt alles mathematisch rigoros formulieren und beweisen - machen wir nicht! Stattdessen werden wir intuitiv vorgehen und das Thema so aufbereiten, dass es sich im Unterricht (ev. Wahlpflichtfach) verwenden lässt. 3 / 14

9 Modellierung des Finanzmarkts Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Wollen ein einfaches mathematisches Modell für den Finanzmarkt formulieren. Benötigen dazu grundlegende Finanzprodukte und Spielregeln, die Fairness garantieren. Könnten jetzt alles mathematisch rigoros formulieren und beweisen - machen wir nicht! Stattdessen werden wir intuitiv vorgehen und das Thema so aufbereiten, dass es sich im Unterricht (ev. Wahlpflichtfach) verwenden lässt. 3 / 14

10 Regeln am Finanzmarkt Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Grundsätzlich gilt: Es kann bei risikoloser Anlage kein höherer Gewinn als beim Sparbuch erreicht werden. Weiters gilt: Ohne Geldeinsatz zu Beginn darf zu einem späteren Zeitpunkt kein Gewinn generiert werden können (durch welche Handelsstrategie auch immer und auch nicht mit noch so kleiner Wahrscheinlichkeit). Mathematisch bedeutet das für einen (zeitabhängigen) Portfolio-Wertprozess V (t): Es darf nicht sein, dass: V (0) = 0 und P(V (T ) > 0) > 0 4 / 14

11 Regeln am Finanzmarkt Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Grundsätzlich gilt: Es kann bei risikoloser Anlage kein höherer Gewinn als beim Sparbuch erreicht werden. Weiters gilt: Ohne Geldeinsatz zu Beginn darf zu einem späteren Zeitpunkt kein Gewinn generiert werden können (durch welche Handelsstrategie auch immer und auch nicht mit noch so kleiner Wahrscheinlichkeit). Mathematisch bedeutet das für einen (zeitabhängigen) Portfolio-Wertprozess V (t): Es darf nicht sein, dass: V (0) = 0 und P(V (T ) > 0) > 0 4 / 14

12 Regeln am Finanzmarkt Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Diese Regel heißt No-Arbitrage Prinzip und hat folgende Auswirkungen: No free lottery : Ein Portfolio mit sicherem Gewinn ohne Nettokapitaleinsatz ist nicht möglich. No free lunch : Ein Portfolio mit einem sicheren Nettozufluss in t=0 ohne zukünftige Zahlungsverpflichtung ist nicht möglich. Law of one price : Zwei Finanzprodukte mit zukünftigen identischen Zahlungsflüssen müssen zu jedem Zeitpunkt den gleichen Preis haben. 5 / 14

13 Regeln am Finanzmarkt Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Diese Regel heißt No-Arbitrage Prinzip und hat folgende Auswirkungen: No free lottery : Ein Portfolio mit sicherem Gewinn ohne Nettokapitaleinsatz ist nicht möglich. No free lunch : Ein Portfolio mit einem sicheren Nettozufluss in t=0 ohne zukünftige Zahlungsverpflichtung ist nicht möglich. Law of one price : Zwei Finanzprodukte mit zukünftigen identischen Zahlungsflüssen müssen zu jedem Zeitpunkt den gleichen Preis haben. 5 / 14

14 Regeln am Finanzmarkt Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt - e Grundregeln des Finanzmarkts Diese Regel heißt No-Arbitrage Prinzip und hat folgende Auswirkungen: No free lottery : Ein Portfolio mit sicherem Gewinn ohne Nettokapitaleinsatz ist nicht möglich. No free lunch : Ein Portfolio mit einem sicheren Nettozufluss in t=0 ohne zukünftige Zahlungsverpflichtung ist nicht möglich. Law of one price : Zwei Finanzprodukte mit zukünftigen identischen Zahlungsflüssen müssen zu jedem Zeitpunkt den gleichen Preis haben. 5 / 14

15 Das Sparbuch (Bond) Grundlegende Finanzprodukte Herkömmliche unterjährige Verzinsung mit m Zeitperioden pro Jahr und t in Jahren: ( B(t) = B(0) 1 + r ) m t m Bildet man den Limes m, so erhält man zeitstetige Verzinsung: B(t) = B(0) e r t Durch Differentiation nach t erhält man die Differentialschreibweise: db(t) dt = r B(0) e r t } {{ } =B(t) db(t) = r B(t)dt 6 / 14

16 Das Sparbuch (Bond) Grundlegende Finanzprodukte Herkömmliche unterjährige Verzinsung mit m Zeitperioden pro Jahr und t in Jahren: ( B(t) = B(0) 1 + r ) m t m Bildet man den Limes m, so erhält man zeitstetige Verzinsung: B(t) = B(0) e r t Durch Differentiation nach t erhält man die Differentialschreibweise: db(t) dt = r B(0) e r t } {{ } =B(t) db(t) = r B(t)dt 6 / 14

17 Das Sparbuch (Bond) Grundlegende Finanzprodukte Herkömmliche unterjährige Verzinsung mit m Zeitperioden pro Jahr und t in Jahren: ( B(t) = B(0) 1 + r ) m t m Bildet man den Limes m, so erhält man zeitstetige Verzinsung: B(t) = B(0) e r t Durch Differentiation nach t erhält man die Differentialschreibweise: db(t) dt = r B(0) e r t } {{ } =B(t) db(t) = r B(t)dt 6 / 14

18 Die Aktie (Stock) Grundlegende Finanzprodukte Wie wird ein Aktienkurs modelliert? Anfangs: statistische Analyse der historischen Kursschwankungen. Ergebnis dabei: ( ) S(t + dt) ln (µ σ2 ) dt + σ N (0, dt) S(t) 2 Beziehungsweise für die Zeitspanne [0, T ]: S(T ) = S(0) e σ2 (µ 2 )T +σn (0,T ) 7 / 14

19 Die Aktie (Stock) Grundlegende Finanzprodukte Wie wird ein Aktienkurs modelliert? Anfangs: statistische Analyse der historischen Kursschwankungen. Ergebnis dabei: ( ) S(t + dt) ln (µ σ2 ) dt + σ N (0, dt) S(t) 2 Beziehungsweise für die Zeitspanne [0, T ]: S(T ) = S(0) e σ2 (µ 2 )T +σn (0,T ) 7 / 14

20 Die Aktie (Stock) Grundlegende Finanzprodukte Wie wird ein Aktienkurs modelliert? Anfangs: statistische Analyse der historischen Kursschwankungen. Ergebnis dabei: ( ) S(t + dt) ln (µ σ2 ) dt + σ N (0, dt) S(t) 2 Beziehungsweise für die Zeitspanne [0, T ]: S(T ) = S(0) e σ2 (µ 2 )T +σn (0,T ) 7 / 14

21 Die Aktie (Stock) Grundlegende Finanzprodukte Wie wird ein Aktienkurs modelliert? Anfangs: statistische Analyse der historischen Kursschwankungen. Ergebnis dabei: ( ) S(t + dt) ln (µ σ2 ) dt + σ N (0, dt) S(t) 2 Beziehungsweise für die Zeitspanne [0, T ]: S(T ) = S(0) e σ2 (µ 2 )T +σn (0,T ) 7 / 14

22 Die Aktie (Stock) Grundlegende Finanzprodukte In Differentialschreibweise entwickelt sich eine Aktie nach folgendem Schema: ds(t) = µ S(t)dt + σ S(t)dW (t), wobei W (t) N (0, t)-verteilt ist und Brown sche Bewegung genannt wird. Im Workshop am Nachmittag sehen wir, wie ein Aktienkurs simuliert werden kann. 8 / 14

23 Die Aktie (Stock) Grundlegende Finanzprodukte In Differentialschreibweise entwickelt sich eine Aktie nach folgendem Schema: ds(t) = µ S(t)dt + σ S(t)dW (t), wobei W (t) N (0, t)-verteilt ist und Brown sche Bewegung genannt wird. Im Workshop am Nachmittag sehen wir, wie ein Aktienkurs simuliert werden kann. 8 / 14

24 Derivative Finanzprodukte Grundlegende Finanzprodukte Aufbauend auf Sparbuch und Aktie können nun verschiedenste Verträge mit Auszahlungsfunktion Φ abgeschlossen werden: Beispiel 1: Europäische Call-Option: Φ(S(T )) = max(s(t ) K, 0) Beispiel 2: Europäische Put-Option: Φ(S(T )) = max(k S(T ), 0) Beispiel 3: Asiatische Call Option: Φ(S(T )) = max( S(T ) K, 0), wobei S(T ) = 1 N N S(t i ) i=1 9 / 14

25 Derivative Finanzprodukte Grundlegende Finanzprodukte Aufbauend auf Sparbuch und Aktie können nun verschiedenste Verträge mit Auszahlungsfunktion Φ abgeschlossen werden: Beispiel 1: Europäische Call-Option: Φ(S(T )) = max(s(t ) K, 0) Beispiel 2: Europäische Put-Option: Φ(S(T )) = max(k S(T ), 0) Beispiel 3: Asiatische Call Option: Φ(S(T )) = max( S(T ) K, 0), wobei S(T ) = 1 N N S(t i ) i=1 9 / 14

26 Derivative Finanzprodukte Grundlegende Finanzprodukte Aufbauend auf Sparbuch und Aktie können nun verschiedenste Verträge mit Auszahlungsfunktion Φ abgeschlossen werden: Beispiel 1: Europäische Call-Option: Φ(S(T )) = max(s(t ) K, 0) Beispiel 2: Europäische Put-Option: Φ(S(T )) = max(k S(T ), 0) Beispiel 3: Asiatische Call Option: Φ(S(T )) = max( S(T ) K, 0), wobei S(T ) = 1 N N S(t i ) i=1 9 / 14

27 Derivative Finanzprodukte Grundlegende Finanzprodukte Aufbauend auf Sparbuch und Aktie können nun verschiedenste Verträge mit Auszahlungsfunktion Φ abgeschlossen werden: Beispiel 1: Europäische Call-Option: Φ(S(T )) = max(s(t ) K, 0) Beispiel 2: Europäische Put-Option: Φ(S(T )) = max(k S(T ), 0) Beispiel 3: Asiatische Call Option: Φ(S(T )) = max( S(T ) K, 0), wobei S(T ) = 1 N N S(t i ) i=1 9 / 14

28 Bewertung von Finanzprodukten Explizite und numerische Verfahren In der Finanzmathematik ist oft der faire Preis (etwa zum Zeitpunkt t = 0) eines Vertrags (für den Zeitpunkt T > 0) von Interesse. Dabei gilt folgende Bewertungsformel: F (0, s) = e rt E[Φ( S(T )) S(0) = s], mit d S(t) = r S(t)dt + σ S(t)dW (t) r statt µ in der obigen Formel garantiert Arbitragefreiheit. Erstaunlicherweise spielt µ bei der Bewertung keine Rolle! 10 / 14

29 Bewertung von Finanzprodukten Explizite und numerische Verfahren In der Finanzmathematik ist oft der faire Preis (etwa zum Zeitpunkt t = 0) eines Vertrags (für den Zeitpunkt T > 0) von Interesse. Dabei gilt folgende Bewertungsformel: F (0, s) = e rt E[Φ( S(T )) S(0) = s], mit d S(t) = r S(t)dt + σ S(t)dW (t) r statt µ in der obigen Formel garantiert Arbitragefreiheit. Erstaunlicherweise spielt µ bei der Bewertung keine Rolle! 10 / 14

30 Bewertung von Finanzprodukten Explizite und numerische Verfahren In der Finanzmathematik ist oft der faire Preis (etwa zum Zeitpunkt t = 0) eines Vertrags (für den Zeitpunkt T > 0) von Interesse. Dabei gilt folgende Bewertungsformel: F (0, s) = e rt E[Φ( S(T )) S(0) = s], mit d S(t) = r S(t)dt + σ S(t)dW (t) r statt µ in der obigen Formel garantiert Arbitragefreiheit. Erstaunlicherweise spielt µ bei der Bewertung keine Rolle! 10 / 14

31 Bewertung von Finanzprodukten Explizite und numerische Verfahren In der Finanzmathematik ist oft der faire Preis (etwa zum Zeitpunkt t = 0) eines Vertrags (für den Zeitpunkt T > 0) von Interesse. Dabei gilt folgende Bewertungsformel: F (0, s) = e rt E[Φ( S(T )) S(0) = s], mit d S(t) = r S(t)dt + σ S(t)dW (t) r statt µ in der obigen Formel garantiert Arbitragefreiheit. Erstaunlicherweise spielt µ bei der Bewertung keine Rolle! 10 / 14

32 Verfahren zur Berechnung des Preises Explizite und numerische Verfahren Wie ermittelt man nun den Erwartungswert in der Bewertungsformel? 1. Möglichkeit: Direkte Berechnung (analytische Lösung), wenn möglich. 2. Möglichkeit: Durch numerische Schätzung (Stichwort Monte-Carlo Simulation): Zuerst werden N Szenarien (etwa eines Aktienkursverlaufs bis T ) erzeugt. Anschließend berechnet man für jedes Szenario den resultierenden Optionswert, um aus diesen Werten letztendlich den Mittelwert als Schätzer für den gesuchten Erwartungswert zu berechnen. 11 / 14

33 Verfahren zur Berechnung des Preises Explizite und numerische Verfahren Wie ermittelt man nun den Erwartungswert in der Bewertungsformel? 1. Möglichkeit: Direkte Berechnung (analytische Lösung), wenn möglich. 2. Möglichkeit: Durch numerische Schätzung (Stichwort Monte-Carlo Simulation): Zuerst werden N Szenarien (etwa eines Aktienkursverlaufs bis T ) erzeugt. Anschließend berechnet man für jedes Szenario den resultierenden Optionswert, um aus diesen Werten letztendlich den Mittelwert als Schätzer für den gesuchten Erwartungswert zu berechnen. 11 / 14

34 Verfahren zur Berechnung des Preises Explizite und numerische Verfahren Wie ermittelt man nun den Erwartungswert in der Bewertungsformel? 1. Möglichkeit: Direkte Berechnung (analytische Lösung), wenn möglich. 2. Möglichkeit: Durch numerische Schätzung (Stichwort Monte-Carlo Simulation): Zuerst werden N Szenarien (etwa eines Aktienkursverlaufs bis T ) erzeugt. Anschließend berechnet man für jedes Szenario den resultierenden Optionswert, um aus diesen Werten letztendlich den Mittelwert als Schätzer für den gesuchten Erwartungswert zu berechnen. 11 / 14

35 Verfahren zur Berechnung des Preises Explizite und numerische Verfahren Wie ermittelt man nun den Erwartungswert in der Bewertungsformel? 1. Möglichkeit: Direkte Berechnung (analytische Lösung), wenn möglich. 2. Möglichkeit: Durch numerische Schätzung (Stichwort Monte-Carlo Simulation): Zuerst werden N Szenarien (etwa eines Aktienkursverlaufs bis T ) erzeugt. Anschließend berechnet man für jedes Szenario den resultierenden Optionswert, um aus diesen Werten letztendlich den Mittelwert als Schätzer für den gesuchten Erwartungswert zu berechnen. 11 / 14

36 Verfahren zur Berechnung des Preises Explizite und numerische Verfahren Wie ermittelt man nun den Erwartungswert in der Bewertungsformel? 1. Möglichkeit: Direkte Berechnung (analytische Lösung), wenn möglich. 2. Möglichkeit: Durch numerische Schätzung (Stichwort Monte-Carlo Simulation): Zuerst werden N Szenarien (etwa eines Aktienkursverlaufs bis T ) erzeugt. Anschließend berechnet man für jedes Szenario den resultierenden Optionswert, um aus diesen Werten letztendlich den Mittelwert als Schätzer für den gesuchten Erwartungswert zu berechnen. 11 / 14

37 Verfahren zur Berechnung des Preises Explizite und numerische Verfahren Wie ermittelt man nun den Erwartungswert in der Bewertungsformel? 1. Möglichkeit: Direkte Berechnung (analytische Lösung), wenn möglich. 2. Möglichkeit: Durch numerische Schätzung (Stichwort Monte-Carlo Simulation): Zuerst werden N Szenarien (etwa eines Aktienkursverlaufs bis T ) erzeugt. Anschließend berechnet man für jedes Szenario den resultierenden Optionswert, um aus diesen Werten letztendlich den Mittelwert als Schätzer für den gesuchten Erwartungswert zu berechnen. 11 / 14

38 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell Mehrdimensionales Black-Scholes Modell Das eindimensionale Modell kann für eine beliebige Anzahl von Aktien erweitert werden. Wichtig dabei ist, die Beziehung (Korrelation) zwischen den einzelnen Aktien zu berücksichtigen. Dies wird dadurch erreicht, dass jeder Aktienkurs von mehreren (korrelierten) Brownschen Bewegungen gesteuert wird. 12 / 14

39 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell Mehrdimensionales Black-Scholes Modell Das eindimensionale Modell kann für eine beliebige Anzahl von Aktien erweitert werden. Wichtig dabei ist, die Beziehung (Korrelation) zwischen den einzelnen Aktien zu berücksichtigen. Dies wird dadurch erreicht, dass jeder Aktienkurs von mehreren (korrelierten) Brownschen Bewegungen gesteuert wird. 12 / 14

40 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell Mehrdimensionales Black-Scholes Modell Das eindimensionale Modell kann für eine beliebige Anzahl von Aktien erweitert werden. Wichtig dabei ist, die Beziehung (Korrelation) zwischen den einzelnen Aktien zu berücksichtigen. Dies wird dadurch erreicht, dass jeder Aktienkurs von mehreren (korrelierten) Brownschen Bewegungen gesteuert wird. 12 / 14

41 Genauere Aktienkursmodelle Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell Das Black Scholes Modell hat auch Nachteile, da die Normalverteilung Sprünge von Aktienkursen nur ungenau beschreibt. Höhere Genauigkeit erreicht man durch die Verwendung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Extremereignisse höher gewichten. Mögliche Nachteile: Analytische Lösungen sind komplizierter oder gar nicht berechenbar. 13 / 14

42 Genauere Aktienkursmodelle Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell Das Black Scholes Modell hat auch Nachteile, da die Normalverteilung Sprünge von Aktienkursen nur ungenau beschreibt. Höhere Genauigkeit erreicht man durch die Verwendung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Extremereignisse höher gewichten. Mögliche Nachteile: Analytische Lösungen sind komplizierter oder gar nicht berechenbar. 13 / 14

43 Genauere Aktienkursmodelle Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell Das Black Scholes Modell hat auch Nachteile, da die Normalverteilung Sprünge von Aktienkursen nur ungenau beschreibt. Höhere Genauigkeit erreicht man durch die Verwendung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Extremereignisse höher gewichten. Mögliche Nachteile: Analytische Lösungen sind komplizierter oder gar nicht berechenbar. 13 / 14

44 Mehrdimensionales Modell Genaueres Modell Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 14 / 14

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