5. Value at Risk als Instrument zur Risikomessung Allgemeines zum Value at Risk

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5. Value at Risk als Instrument zur Risikomessung. 5.1. Allgemeines zum Value at Risk"

Transkript

1 5. Vlue Risk ls Insrumen zur Risikomessung 5.1. Allgemeines zum Vlue Risk Folien: Tnj Dresel, Luz Johnning,. Hns-Peer Burghof 61

2 5.1 Allgemeines zum Vlue--Risk Der Vlue--Risk einer Einzel- oder Gesmposiion knn us der durch die Risikonlyse gewonnenen Whrscheinlichkeisvereilung der Mrkweränderungen ermiel werden. Vlue--Risk bei normlvereilen äglichen Mrkweränderungen V Whrscheinlichkeisdiche p=5 % VR(95%) µ V 62

3 Grundlgen der VR-Berechnung: Berechnung der Erwrungswere, Sndrdbweichungen und Korrelionen Vlue--Risk bei normlvereilen äglichen Mrkweränderungen V Whrscheinlichkeisdiche Sndrdbweichung von V i, p=5 % Erwrungswer von V i, X S( V i, ) VR(95%) E( V i, ) V i, 63

4 Definiion der Gewinne und Verluse (P&L): i.d.r. Kursänderungen / Rendien Forml: V i, =V i, V i, 1 V i, = Mrkweränderung des Werppiers i im Zeipunk V i, V i, 1 = Differenz der Mrkwere der Werppiere i in bzw. 1 In den gängigen Mrkrisikomodellen bu die VR-Berechnung i.d.r. uf der äglichen Rendie (bei einägiger Hleduer) der Finnzinsrumene uf 64

5 Diskree vs. Seige Rendien: Rendie R i, ls diskree Preisänderung: R i, = V i, V V i, 1 i, 1 Rendie r i, ls seige Preisänderung: r i, = ln( V i, / V i, 1) Für sehr kleine Rendien gil: R i, ri, Nchfolgend wird mi überweigend der logrihmieren (bzw. seigen) Rendie gerbeie. => Implikion, dss der Akienkurs nich kleiner ls Null werden knn 65

6 Aufgbe 1: Gegeben sind die Kurse von drei Werppieren von bis : WP A WP B WP C ,90 33,70 164, ,83 34,00 164, ,80 33,73 165, ,21 33,65 172, ,75 32,68 170,01 ) Berechnen Sie für die Tge von bis sowohl die seigen ls uch die diskreen Rendien der drei Werppiere. seig WP A WP B WP C diskre WP A WP B WP C

7 Berechnung des Erwrungsweres der äglichen Rendien µ i, eines Werppiers i für den Zeipunk Annhme: der Schäzwer für den Erwrungswer ensprich dem Durchschni der Rendien über einen beobcheen hisorischen Zeirum K µ i, = 1 K K k = 1 r i, k + 1 => Annhme der Sionriä 67

8 Beispiel: DAX 2007 Erwrungswer der äglichen Rendien 0,002 0,0016 0,0012 0,0008 0, => Der Erwrungswer der äglichen Rendien 2007 wr immer größer Null. 68

9 b) Berechnen Sie nun us den seigen Rendien die Erwrungswere der Rendien der drei Werppiere WP A WP B WP C 69

10 Berechnung der Sndrdbweichung der Rendien σ i, Schäzwer für die Sndrdbweichung: σ 1 K 2 i, = ( ri, k + 1 µ i, ) K 1 k = 1 Schäzung der Sndrdbweichung ebenflls uf Bsis hisorischer Den (Annhme der Sionriä) Sndrdbweichung beschreib die milere Schwnkung um den Erwrungswer (Mielwer) 70

11 Beispiel: DAX 2007 Sndrdbweichung der äglichen Rendien 0,0105 0,01 0,0095 0,009 0,0085 0,008 0,0075 0,007 0,0065 0, Sndrdbweichung änder sich im Zeibluf, d.h. keine Sionriä 71

12 Bei der Schäzung der Sndrdbweichung wird häufig die Annhme µ i, =0 geroffen. => Annhme is nich gerechferig, d selbs der Erwrungswer einägiger Rendien meisens nich Null is (vgl. S. 22) => Fehler bei der Schäzung des Erwrungsweres können ber usgeschlossen werden => die Berechnungen werden zudem vereinfch => bei der VR-Berechnung in der Prxis wird häufig diese Annhme geroffen => Schäzwer für die Sndrdbweichung: σ i 1 K 2, = r i, k+ 1 K k = 1 Division durch K, d kein Freiheisgrd für die Schäzung des Erwrungsweres verloren geh 72

13 Die Sndrdbweichung knn lerniv exponeniell geschäz werden. Exponeniell heiß, dss die kürzer zurückliegenden Beobchungsge särker gewiche werden ls die länger zurückliegenden Beobchungsge (bislng geh jeder Beobchungsg mi der Gewichung 1/K ein!). Schäzwer für die Sndrdbweichung bei µ i, =0 : σ 2 2 i, = λ σ i, 1 + ( 1 λ) ri, λ = Verfllfkor mi 0 λ 1 Annhme λ = 0,94 bei RiskMerics 73

14 Beispiel: DAX 2007 Exp. Sndrdbweichung der äglichen Rendien 0,016 0,014 0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0, Exp. Sndrdbw. schwnk srk => Erfssung der Insionriäen einfche Berechnung, d die Sndrdbweichung rekursiv us dem Vorgeswer und dem Qudr der Tgesrendien berechne werden knn 74

15 Gleichgewichee vs. exponenielle Sndrdbweichung 0,014 0,012 exponenielle Sndrdbweichung 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 gleichgewichee Sndrdbweichung Die exp. Sndrdbweichung schwnk deulich särker und is dmi näher m Mrk ls der gleichgewichee Wer. Zum Teil sind deuliche Größenunerschiede zu beobchen! 75

16 c) Berechnen Sie nun uner Vernchlässigung des Erwrungsweres den Schäzer für die Sndrdbweichungen der (seigen) Rendien der drei Werppiere für den sowohl über die Mehode der Gleichgewichung ls uch über die exponenielle Gewichung. Es gele λ = 0,94. gleichgew. WP A WP B WP C exponeniell WP A WP B WP C

17 K r r σ µ µ + + ) ( ) ( Korrelionskoeffizien -1 ρ ij, 1: Der Korrelionskoeffizien ρ ij, gib n, wie srk die Rendie einer Akie i seig (fäll), wenn die Rendie einer nderen Akie j seig (fäll) 77 j i j i K k K k j k j i k i k j k j i k i ij r r r r σ σ σ µ µ µ µ ρ = = = = + + = + +, 1 1 2, 1, 2, 1, 1, 1,, 1,, ) ( ) ( ) ( ) (

18 Korrelion Commerzbnk - Deusche Bnk 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0, Korrelion uf Bsis eines 250-ägigen Beobchungszeirums. 78

19 d) Berechnen Sie nun uf Bsis der seigen Rendien die Korrelionsmrix der drei Werppiere m WP A WP B WP C WP A WP B WP C 79

20 Die VR-Berechnung nch der Vrinz-Kovrinz-Mehode und nch der Mone-Crlo-Simulion bu uf den Korrelionen zwischen Risikofkoren uf. J.P. Morgn sell über ds Inerne [hp://www.riskmerics.com] äglich die Korrelionsmrix von folgenden Fkoren zur Verfügung: Wechselkurse zum US-$ von 13 Währungen Akienindizes von 22 Ländern Fuurepreise von 11 Rohsoffen mi bis zu 10 Lufzeien ec... => insgesm werden c. 400 Voliliäen und c Korrelionen ngeboen => die Korrelionen und Voliliäen der Rendien (der Risikofkoren) müssen von den Mrkeilnehmern zur VR-Ermilung nich berechne werden. 80

21 Große Hndelsporefeuilles besehen i.d.r. us mehreren Tusend Posiionen. Die Korrelionen ller Posiionen können sisisch nich genu geschäz werden Der rechenechnische Aufwnd wäre zudem ungerechferig hoch. So müssen schon bei Hndelsposiionen beispielsweise ( )/2 = Korrelionen berechne werden! Folge: Hndelsposiionen werden zunächs in einige Posiionen, sogennne Risikofkoren, zerleg Berechnung der Korrelionsmrix für die Risikofkoren (mi wei weniger Aufwnd) Dieses Verfhren wird Csh-Flow-Mpping gennn. 81

22 5. Vlue Risk ls Insrumen zur Risikomessung 5.2 Csh-Flow-Mpping Folien: Tnj Dresel, Luz Johnning,. Hns-Peer Burghof 82

23 Csh-Flow-Mpping im Akienbereich Alle Akien eines Lndes werden ls Beäquivlen eines Mrkindizes (Risikofkor) drgesell. Die Voliliä der Akienrendie in ergib sich somi ls: σi, = βi, σi, Be-Fkor: β Ii, = ρ σ σ Kovrinz Index I -Akie i Ii, I, i, 2 σi, Vrinz des Indexrendie => Vernchlässigung des unsysemischen Risikos nur bei guer Diversifikion gerechferig => Befkoren müssen geschäz oder exern eingelesen werden, d sie nich von J.P. Morgn zur Verfügung gesell werden 83

24 Bonds,,plin vnill" Anleihen/Obligionen werden bei Endfälligkei zurückgezhl und besizen eine fese gleichbleibende Verzinsung Zins der Feszins-Anleihen wird in Deuschlnd i.d.r. jährlich, in nderen Ländern überwiegend hlbjährlich (z. B. in den USA), nchräglich gezhl i.d.r. fese Lufzei der Anleihen, keine vorzeiige Kündigung durch den Emienen möglich Csh-Flow-Drsellung eines Bonds Rückzhlung des Nominlberges + Zinsen bei Endfälligkei Vor Fälligkei Zhlung der Zinsen zu fesen Zeipunken 84

25 Csh-Flow-Mpping im Zinsbereich RiskMerics sell eine Zinssrukurkurve mi mximl 14 Lufzeipunken (Zerobond-Res) dr. in % Mon 3 Mone Zero-Re 6 Mone 1 Jhr 2 Jhre 3 Jhre 4 Jhre 5 Jhre 7 Jhre 9 Jhre 10 Jhre 15 Jhre 20 Jhre 30 Jhre Ein Bond bzw. Csh-Flows us Zinsproduken müssen lso in Zerobonds (Risikofkoren) mi von RiskMerics ngeboenen Lufzeien zerleg werden. 85

26 Generier eine Anleihe einen Csh Flow (z.b. Zinszhlung) nch 6 Jhren, so muss der Brwer des Csh Flows (CF) uf die Lufzeibänder für 5 und 7 Jhre zerleg werden, d von RiskMerics kein Zins für ds 6-jährige Lufzeibnd zur Verfügung gesell wird. Brwer des Csh Flows α 1 α... 5 Jhre 6 Jhre 7 Jhre... Zei Frge: In welche Aneile (α und 1 α) muss der Brwer des 6-jährigen Csh Flows uf die 5- und 7-jährige Lufzei ufgeeil werden? 86

27 Beispiel: Ein Invesor häl einen Bond, der in genu 10 Jhren fällig is. Der Invesor möche den VR seiner Posiion ermieln. Im nchfolgenden Beispiel soll die Zinszhlung in 6 Jhren von 100 in Zerobonds mi 5- und 7-jähriger Lufzei zerleg werden. In werden folgende Mrkden beobche: Zerobond-Re für 5 Jhre r 5 = 6,605 % Zerobond-Re für 7 Jhre r 7 = 6,745 % Sndrdbw. der Rendie eines 5-jährigen Zerobonds σ 5 =0,3497 % Sndrdbw. der Rendie eines 7-jährigen Zerobonds σ 7 =0,4906 % Korrelion der Rendien der 5- und 7-jährigen Zerobonds ρ 57 =0,

28 Beim Csh-Flow-Mpping sind drei Bedingungen zu berücksichigen: 1. Der Brwer der Zinszhlung in 6 Jhren muss mi der Summe der Brwere der Zerobonds für 5 und 7 Jhre übereinsimmen. V + 6 = V5 V7 2. Eine Long-Posiion (Zinszhlung) drf nur in Long-Posiionen der Zerobonds zerleg werden (Gleichhei der Vorzeichen). 3. Ds Risiko (VR) der Zinszhlung muss dem Risiko (VR) der Zerobonds ensprechen. 88

29 Ds Csh-Flow-Mpping erfolg in 5 Schrien: 1. Schri: Berechnung der Zerobond-Re für 6 Jhre durch linere Inerpolion 6 λ 5 + (1 λ) 7 = => λ = 0,5 r6 = λ r5 + ( 1 λ) r7 = 6,675% 2. Schri: Berechnung des Brweres des Csh Flows (CF) V CF (1 + r ) 100 (1 + 0,06675) 6 = = = ,86 => 67,86 müssen uf die Lufzeien für 5 und 7 Jhre ufgeeil werden 89

30 3. Schri: Berechnung der Sndrdbweichung der Preisrendie für die 6-jährige Posiion durch linere Inerpolion der Sndrdbweichungen für 5 und 7 Jhre σ 6 = λ σ 5 = 0,5 σ + (1 λ) σ 5 + 0,5 σ 7 7 = 0,42015% 4. Schri: Berechnung der Aufeilung des 6-jährigen Csh-Flows uf die 5- und 7-jährige Lufzeien => Feslegung der Aneile (α und 1 α) 90

31 Die 3. Bedingung erforder, dss ds Risiko der zusmmengesezen Posiion dem Risiko der Ausgngsposiion ensprich. Aus dieser Forderung knn folgende mhemisch Bedingung bgeleie werden: σ 2 6 = α 2 => α 2 σ α (1 α) ρ + b α + c = 0 57 σ 5 σ 7 + (1 α) 2 σ 2 7 mi = σ σ ρ 57 σ b = 2 ρ57 σ5 σ7 2 σ c = σ 2 7 σ σ 2 7 7, b und c können durch die beobcheen Mrkprmeer berechne werden. Für ds Beispiel ergib sich: 6 5 = 2,07 10 b = 1,39 10 c = 6,

32 Als Lösung erhäl mn: 2 b ± b 4 c α = 2 Von den zwei möglichen Lösungen wird jene verwende, die lle drei Bedingungen erfüll. Beispiel: α = 0,4982 und 1 α = 0, Schri: Aufeilung des relen Csh-Flows uf die 5- und 7-jährigen Lufzeien => 0, ,86 = 33,81 uf die 5-jährige Lufzei => 0, ,86 = 34,05 uf die 7-jährige Lufzei 92

33 6. Verfhren zur Ermilung des Vlue Risk 6.1 VR-Berechnung mi der Vrinz-Kovrinz-Mehode 6.2 VR-Berechnung mi der Hisorischen Simulion 6.3 VR-Berechnung mi der Mone-Crlo-Simulion 6.4 Vergleich und Bewerung verschiedener VR-Berechnungsverfhren 93

34 6 Berechnungsverfhren 6.1 VR-Berechnung mi der Vrinz-Kovrinz-Mehode Vrinz-Kovrinz-Ansz unersell die Normlvereilung der Rendien bzw. der Mrkweränderungen V i, Vlue--Risk bei normlvereilen äglichen Mrkweränderungen V Whrscheinlichkeisdiche Sndrdbweichung von V i, p=5 % 1,64 S( V i, ) Erwrungswer von V i, VR(95%) E( V i, ) V i, 94

35 VR-Berechnung für eine Einzelposiion: VR ensprich dem Vielfchen der Sndrdbweichung! VR = V ( µ + i, L( p) σ i, < 0 i, i, ) VR is ls posiiver -Berg definier d die Klmmer i.d.r. negiv is, muss sie mi V i, muliplizier werden L(p) ensprich dem Frkil der Sndrdnormlvereilung und wird durch ds Konfidenzniveu 1 p fesgeleg 95 %iges KN: L(p)= 1,64 99 %iges KN: L(p)= 2,33 95

36 Bei RiskMerics wird nlog zur üblichen Bnkprxis neben der Normlvereilung uch µ i, =0 unersell. Die VR-Berechnung vereinfch sich dnn zu: VR(1 p) i, = Vi, ) L( p σi, < 0 Posiive Rendieerwrung: Die Bnk knn Eigenkpil spren, indem sie den Erwrungswer berücksichig. Negive Erwrung: vice vers Einheiliches Verfhren 96

37 Berechnen Sie uner Vernchlässigung des Erwrungsweres den Vlue--Risk von drei Werppieren sowohl für ein Konfindenzniveu von 99 % ls uch für ein Konfidenzniveu von 95 %. Die Mrkwere und Sndrdbweichungen der drei Werppiere sind in folgender Tbelle gegeben: WP 1 WP 2 WP 3 Mrkwer Sd.bw. 0,0147 0,0072 0,0239 VR (99 %) VR (95 %) WP 1 WP 2 WP 3 97

38 VR-Berechnung für ein Akienporefeuille mi der Vrinz-Kovrinz- Mehode Bei der VR-Berechnung für ein Porefeuille müssen die Korrelionen der Posiionen berücksichig werden. VR bei µ i, =0: VR PF, n n 2 2 = L( p) Vi, σ i, + V i= 1 i= 1 j i i, V j, ρ ij, σ i, σ j,, bs. Sndrdbweichung im Porfolio n =Anzhl der Werppiere im Porefeuille 98

39 Alerniv läss sich der Vlue--Risk eines Porfolios us den Vlue--Risk- Weren der Einzelposiionen berechnen: VR PF, = VR T R VR VR T = rnsponierer Vekor der Vlue--Risk-Were der Einzelposiionen R = Korrelionsmrix VR = Vekor der Vlue--Risk-Were der Einzelposiionen 99

40 Berechnen Sie uner Vernchlässigung der Erwrungswere - den Vlue--Risk für ein Porfolio, ds zu gleichen Teilen us zwei Werppieren beseh über beide möglichen Vrinen sowohl für ds Konfidenzniveu von 99 %. Die Korrelion zwischen den beiden Werppieren beräg 0,4. Sellen Sie ds Ergebnis nschließend der Summe der individuellen Vlue--Risk-Were gegenüber. WP 1 WP 2 Mrkwer Sd.bw. 0,02 0,06 100

41 Mrginler VR Die Erhöhung des VR durch eine Posiion in der Akie i knn durch folgende Gleichung geschäz werden, wenn der Mrkwer der zusäzlichen Posiion klein is im Vergleich zum Mrkwer der Ausgngsposiion (z.b. DAX). Im Beispiel beräg dieses Verhälnis =0,01. VR ( 1 p) i, βdax i, VR(95%) DAX, Kovrinz DAX-Akie i ρdax i, σdax, σi, Be-Fkor: βdax i, = 2 σ DAX, 101

42 Sisische (Un-) Genuigkei der VR-Schäzung Beim VR hndel es sich um einen Schäzwer für den Qunilswer einer Whrscheinlichkeisvereilung. Für den VR-Schäzwer knn ein Konfidenzinervll berechne werden, in dem dnn der sächliche VR mi einer besimmen Whrscheinlichkei von z.b. 90 % lieg. Konfidenzinervll mi z.b. 90 % VR(95%) V 102

43 Wird der VR mi der Kovrinz-Mehode ermiel, so knn gezeig werden, dss der VR selbs sympoisch normlvereil is mi VR ls Mielwer dieser Normlvereilung und der Sndrdbweichung von: σ VR ( 95%) = 2,1304 S( V ) / σ VR ( 99%) = 3,7689 S( V ) / K K bei VR für 95 % KN bei VR für 99 % KN K = hisorischer Berchungszeirum S( V ) = Sndrdbweichung der Gewinne und Verluse Ds Konfidenzinervll mi 90 % Whrscheinlichkei für einen VR mi 95%igen Konfidenzniveu knn dnn wie folg berechne werden: W ( VR(95%) 1,64 σ VR( 95%) VR(95%) VR(95%) + 1,64 σ VR(95%) ) = 90% 103

44 Qudrwurzel-T-Regel und Tes der Annhmen Sowei is der VR ses für eine einägige Hleduer berechne worden (H=1). Der VR für eine längere Hleduer (z.b H=10 Börsenge) knn über die Qudrwurzel-T-Regel berechne werden. Vereinfche Regel für µ i, =0: VR(1 p, H = T ) i, = VR(1 p, H = 1) i, T T= Hleduer, uf die der VR sklier werden soll, z.b. muss VR mi einägiger Hleduer mi 10=3,16 uf den VR für eine zehnägige Hleduer sklier werden. 104

45 Für µ i, 0: VR(1 p, H = T ) = V ( µ T + L( p) σ T ) i, = VR(1 i, p, H i, = 1) i, T + V i, i, µ i, ( T T ). Bei µ i, 0 is die Formel komplizierer => Erwrungswer muss ebenflls uf Hleduer T sklier werden => d mi zunehmender Hleduer gil µ i, >0, is dieser Ansz dem vereinfchen vorzuziehen. => häufig wird in der Prxis nur die vereinfche Qudrwurzel-T-Regel ngewnd, obwohl dies zu erheblichen Fehlern führen knn 105

46 Del- und Del-Gmm-Mehode für Opionen Del- und Del-Gmm-Mehoden pproximieren die VR-Were für Opionen us den Opionskennzhlen Beispiel: Bewerung einer Akienopion (Cll) nch dem Modell von Blck & Scholes C Lfz = V N( d1) Br N( d2) V = Kurs der Akie (Mrkwer) B = Bsiskurs zum Bezug der Akie r = Aufzinsungsfkor; r = (1+i) mi i ls Zinssz für die Opionslufzei Lfz = Lufzei der Opion N(.) = kumuliere Sndrdnormlvereilung d V σ ln + r B ln + 2 σ Lfz 2 Lfz = d 1= 2 1 Lfz d σ 106

47 Zugrundeliegende Annhmen der Blck/Scholes-Formel: seige Rendien sind normlvereil; konsne Vrinz Koninuierlicher Hndel von Akien und Opionen Keine Seuern, Informions- und Trnskionskosen Gleicher Mrkzugng für lle Invesoren Leerverkuf und Hndel von Werppiereilen möglich Exisenz eines beknnen und konsnen risikofreien Zinses Europäische Opionen Keine Dividendenzhlungen Invesoren ziehen höheren Reichum geringerem vor (Nichsäigung) 107

48 Der Wer einer europäischen Pu-Opion knn us der Pu-Cll-Priä berechne werden: P = C V + B r Lfz Aus den Bewerungsformeln für den Cll und den Pu können Opionskennzhlen bgeleie werden: Opions-Del is ein Mß für die Sensiiviä des Opionsweres bezüglich des Akienkurses des Bsisppiers Ds Del eines Long-Clls C bzw. eines Long-Pus P besimm sich us der ersen priellen Ableiung der Opionspreisformel nch dem Akienkurs: C = δc δv = N δp d1 ) > 0, P = = N( d ) < δv ( 1 0 Ds Del eines Long-Clls is posiiv, ds eines Long-Pus negiv. Die Del-Were von Shor-Opionen weisen die engegengesezen Vorzeichen uf. 108

49 Ds Opions-Gmm is die zweie prielle Ableiung der Opionspreisformel nch dem Akienkurs es kennzeichne die bsolue Veränderung des Dels bei einer kleinen Änderung des Akienkurses Γ = δ δv C = δ δv P = V σ 1 Lfz N (( d 1 ) > 0 Gmm von Long-Opionen is immer posiiv Gmm von Shor-Opionen is immer negiv 109

50 VR-Berechnung nch der Del-Mehode für eine Akienopion VR Opion = VAkie, L( p) σ Akie, = VRAkie, VR-Berechnung nch der Del-Gmm-Mehode für eine Akienopion VR Opion V ( L( p σ ) ( ) 2 L p) σ + 0,5 Γ V Akie, ( Akie, Akie, ) Akie, die Mrkweränderungen sind durch ds Gmmelemen nich mehr norml-, sondern schief vereil ds p-qunil für die Mrkweränderungen knn nich über L(p) σ pproximier werden 110

51 Beureilung der Vrinz-Kovrinz-Mehode Anlyische VR-Berechnung is einfch und schnell; der VR einer zusäzlichen Posiion knn einfch ermiel werden Vrinz-Kovrinz-Verfhren insbes. zur Risikoseuerung geeigne Kein inensives D-Wrehousing erforderlich, d Voliliäen und Korrelionen kosenlos von J.P. Morgn äglich über Inerne zur Verfügung gesell werden benöig werden nur noch die kuellen Preise und Kurse sowie die Posiionen und individuellen Einflüsse durch Risikofkoren. Vrinz-Kovrinz-Verfhren is ds von Bnken m häufigsen eingeseze Verfhren, ds i.d.r. lle Sofwreproduke implemenier hben. ber: siehe z.b. Kriik n den Annhmen der Vrinz-Kovrinz-Mehode 111

52 Aufgbe 2: Von zwei Akien A und B sind die Erwrungswere, Sndrdbweichungen und der Korrelionskoeffizien der Rendien für unerschiedliche hisorische Berchungszeiräume K (in Tgen) und Hleperioden H (in Tgen) gegeben: A B µ [K=250, H=1] 0,001 0,0015 σ [K=250, H=1] 0,015 0,02 ρ AB [K=250, H=1] 0,4 µ [K=1000, H=1] 0,008 0,0017 σ [K=1000, H=1] 0,018 0,022 µ [K=1000, H=10] 0,009 0,016 σ [K=1000, H=10] 0,05 0,065 ) Berechnen Sie jeweils für die Akien A und B den Vlue--Risk nch der Vrinz-Kovrinz-Mehode mi K=250 bei H=1, K=1000 bei H=1 und K=1000 bei H=10 für ein 99%iges Konfidenzniveu. Gehen Sie dvon us, dss in jede Akie 1 Mio. invesier wurde. Worin begründe sich der Unerschied der VR-Were für K=250 bei H=1 und K=1000 bei H=10? 112

53 b) Der Vlue--Risk für eine zehnägige Hleduer knn über die Qudrwurzel-T-Regel besimm werden. Berechnen Sie für die Akie A und B für K=1000 und H=1 den Vlue--Risk für eine zehnägige Hleduer über die Qudrwurzel-T-Regel. Gehen Sie wiederum dvon us, dss in jede Akie 1 Mio. invesier wurde. Wie können die bweichenden Vlue--Risk- Were im Vergleich zu den in Aufgbe ) berechneen Weren für K=1000 und H=10 erklär werden? c) Berechnen Sie den Vlue--Risk eines Porefeuilles für K=250 und H=1 bei einem Konfidenzniveu von 99 %. Gehen Sie dvon us, dss in jede Akie 1 Mio. invesier wurden. Inerpreieren Sie kurz dieses Ergebnis, indem Sie es der Summe der ensprechenden Vlue--Risk-Were der beiden Akien gegenübersellen. 113

54 6.2 VR-Berechnung mi der Hisorischen Simulion VR-Berechnung Hisorische Simulion Mone-Crlo-Simulion 1. Ermilung der Risikofkoren / Csh-Flow-Mpping Li. Ridder / Shl (2000) 2. Hisorische Simulion der Rendien: Für jeden Risikofkor wird z.b. die Rendie in +1 von der Rendie von vor einem Jhr besimm, implizie Erfssung der Korrelionen 2. Simulion der Rendien für +1 mi Hilfe eines Zufllsgenerors: Für jeden Risikofkor wird eine i.d.r. sndrdnormlvereile Zufllszhl gezogen; die Korrelionen werden über die Cholesky- Fkorisierung erfss 3. Neubewerung des Porefeuilles für jeden Rendievekor und Berechnung der Mrkweränderung; Muliplikion der Mrkwere mi den Rendien für Wiederholung der Schrie 1 bis 3: bei der hisorischen Simulion z.b. 250 Wiederholungen für lle Rendien des zurückliegenden Jhres; bei der Mone Crlo Simulion z.b Durchläufe 114

55 5. Ersellung einer Häufigkeisvereilung der Mrkweränderungen des Porefeuilles. Der VR ensprich dem p-qunil der Häufigkeisvereilungen der Mrkweränderungen. Whrscheinl. 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0, ,00% -5,20% DAX-Rendien für 1987 bis ,40% -3,60% -2,80% -2,00% -1,20% -0,40% 0,40% Rendie 1,20% DAX 2,00% 2,80% NV 3,60% 4,40% 5,20% 6,00% VR-Berechnung nch der Hisorischen Simulion komm ohne die Annhme der Normlvereilung us; Berechnung uf Grundlge der hisorisch beobchbren Häufigkeisvereilung VR knn vorussichlich genuer geschäz werden. VR-Berechnung nch der Mone-Crlo-Simulion (siehe Abschni 5.3) p=5% VR 115

56 Aufgbe 2: Gegeben sind die äglichen Rendien der Akien A und B im hisorischen Berchungszeirum K. Die kleinsen beobcheen Rendien im Berchungszeirum sind in den folgenden Tbellen geordne wiedergegeben. K=250 Rendie A Rendie B 1. -0,1128-0, ,0927-0, ,0625-0, ,0365-0, ,0298-0, ,0227-0, ,0212-0, ,0185-0, ,0173-0, ,0123-0, ,0101-0, ,0090-0, K=1000 Rendie A Rendie B 1. -0,1348-0, ,1128-0, ,1020-0, ,0927-0, ,0911-0, ,0887-0, ,0821-0, ,0750-0, ,0623-0, ,0501-0, ,0435-0, ,0365-0, Besimmen Sie die Vlue--Risk-Were der Akien A und B für ein Konfidenzniveu von 99 % nch der hisorischen Simulion. Gehen Sie dvon us, dss in jede Akie 1 Mio. invesier wurde. 116

57 Der Vergleich der VR-Were nch der Vrinz-Kovrinz-Mehode und der Hisorischen Simulion zeig für ein 95 %iges Konfidenzniveu, dss kein Verfhren sysemisch niedrigere Were ermiel. Für ein 99 %iges Konfidenzniveu ermiel die Hisorische Simulion i.d.r sysemisch höhere VR-Were. Kovrinz-Mehode Hisorische Sim VR nch Kovrinz Mehode und Hisorischer Simulion

58 VR-Berechnung für ein Porefeuille Bei der VR-Berechnung für ein Porefeuille müssen die Schrie 1-3 für jede Posiion einzeln durchgeführ werden. 1. Ersellung der Rendievereilung für jede Posiion über den Berchungszeirum K 2. Muliplikion der Rendien mi den ensprechenden Mrkweren und Aggregion zur Vereilung der Mrkweränderungen des Gesmporefeuilles. Zu bechen is, dss die Mrkweränderungen der Posiionen eines Tges zu ddieren sind. 3. Ermilung des VR ls Qunil der Häufigkeisvereilung der Mrkweränderungen des Porefeuilles 118

59 Sisische (Un-) Genuigkei der VR-Schäzung Wie bei der Kovrinz-Mehode so knn uch bei der hisorischen Simulion ein Konfidenzinervll für die VR-Schäzung berechne werden, in dem dnn der sächliche VR mi einer besimmen Whrscheinlichkei von z.b. 90 % lieg. Die Berechnung erfolg über die Theorie der geordneen Sisiken und is nur bei großem Beobchungszeirum K möglich. Bei K=1000 Tgen wird der VR für ein 95 % KN durch den 51. kleinsen Wer der Vereilung der Gewinne und Verluse besimm (somi gib es 5 % = 50 kleinere Were). Es läss sich dnn zeigen, dss ds den VR(95%) einschließende Konfidenzinervll mi 90 % Whrscheinlichkei durch den 38. und 62. kleinsen Wer (Ordnungssisiken) der Vereilung der Gewinne und Verluse besimm wird. Ds Konfidenzinervll mi 90 % Whrscheinlichkei wird für einen VR mi 99 % KN und K=1000 Tgen (VR ensprich dem 11. kleinsen Wer der Vereilung der Gewinne und Verluse) durch die 4. und 16. Ordnungssisik besimm. 119

60 Beureilung der Hisorischen Simulion VR-Berechnung mi der Hisorischen Simulion is ufwendig, insbesondere muss bei jeder zusäzlichen Posiion für die Berechnung des VR eine vollsändig neue Simulion durchgeführ werden Inensives D-Wrehousing is erforderlich, d die Kurse, Preise und Zinssäze ec. der Porefeuille-Posiionen mindesens für den gesmen hisorischen Berchungszeirum rchivier werden müssen. Der Voreil der Hisorischen Simulion is, dss ds Verfhren ohne eine spezifische Vereilungsnnhme uskomm, solnge keine Bewerungsmodelle mi spezifischen Vereilungsnnhmen zum Einsz kommen => VR-Schäzung, insbesondere für ein 99 %iges Konfidenzniveu is genuer ls bei der Vrinz-Kovrinz-Mehode Sisisch is die hisorische Simulion ungenuer ls die Kovrinz-Mehode. Die hisorische Simulion wird in der Prxis der Bnken eingesez und von fs llen Sofwreproduken ngeboen. 120

61 6.3 VR-Berechnung mi der Mone-Crlo-Simulion Die Mone-Crlo-Simulion unerscheide sich von der hisorischen nur ddurch, dss die lerniven Mrkwere nich durch hisorisch beobchee Rendie, sondern durch einen Zufllsgeneror besimm werden. Die Vorgehensweise der Mone-Crlo-Simulion vollzieh sich in 5 Schrien: 1. Ermilung der Korrelionen, der Sndrdbweichungen und Erwrungswere der Risikofkoren über hisorische Häufigkeis- vereilungen (oder Einlesung der Den us RiskMerics) 2. Simulion einer - je nch Anzhl der Risikofkoren - mulivrien Vereilung:. Whl einer beliebigen Vereilung i.d.r. Normlvereilung, ber uch z.b. -Vereilung zur besseren Abbildung der Lepokurosis b. im Fll der Normlvereilung Simulion eines Vekors mulivri sndrdnormlvereiler Zufllsvriblen über einen Zufllszhlengeneror 121

62 c. Ermilung des mulivri normlvereilen Rendievekors über die geomerisch Brownsche Bewegung d. Einrechnung der hisorischen Korrelionen über die Cholesky-Fkorisierung 3. Neubewerung des Porefeuilles für jeden Rendievekor und Berechnung der Mrkweränderung 4. Wiederholung der Schrie 1 bis 3. Für eine hinreichende Genuigkei werden Durchläufe empfohlen 5. Ersellung einer Häufigkeisvereilung der Mrkweränderungen des Porefeuilles. Der VR ensprich dem p-qunil der Häufigkeisvereilungen der Mrkweränderungen. 122

63 Generierung von seigen Rendien mi der geomerisch Brownschen Bewegung Mi der geo. Brownschen Bewegung können seige Rendien über die Ziehung sndrdnormlvereiler Zufllszhlen generier werden. In zeidiskreer Form noier die geom. Brownsche Bewegung ls: R = V ln V 11 = µ + z σ R = seige Rendie V = Mrkwer in µ = ls jährliche Durchschnisrendie (Drif) σ = Momennsndrdbweichung z = sndrdnormlvereile Zufllsvrible [z NV(0,1)] = kleinse Zeieinhei von einem Tg bzw. 1/250 Jhr 123

64 µ und σ müssen uf Bsis hisorischer Den geschäz werden. Drif: µ = µ i, 250 Momennsndrdbweichung : σ = σ, i

65 Einrechnung der hisorisch beobcheen Korrelionen mi der Cholesky- Fkorisierung Die hisorisch beobcheen Korrelionen der Rendien der Risikofkoren können über die Cholesky-Fkorisierung in den Rendie- oder Zufllszhlenvekor eingerechne werden. Die Korrelionsmrix dzu zerleg werden in eine obere Dreiecksmrix A und in die rnsponiere unere Dreiecksmrix A, so dss gil: C = A A C =

66 Die Korrelionsmrix muss nun zerleg werden in eine obere Dreiecksmrix A und in die rnsponiere unere Dreiecksmrix A, so dss gil: C = A A C = C = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ =

67 Drus ergib sich: C = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = Die einzelnen Elemene ij (mi j i) können rekursiv durch die Komponenen der Korrelionsmrix ρ ij gelös werden: ρ 2 11 = 11 => 11 = ρ11 = 1 ρ = => ρ = => = ρ ρ = => 22 = ρ ρ = ρ33 = => => 127

68 Der Vekor mulivri sndrdnormlvereiler Zufllsvriblen ergib sich llgemein us: ε i = i l= 1 Für die einzelnen Zufllszhlen ergib sich: il z l ε1 = z 1 ε 2 = 21 z z2 ε 3 = 31 z z z3 128

69 Aufgbe 3: ) Berechnen Sie us der gegebenen Korrelionsmrix für drei Akien bie die A-Mrix der Cholesky-Fkorisierung. b) Berechnen Sie n Hnd der gegebenen unbhängig sndrdnormlvereilen Zufllszhlen die mulivri sndrdnormlvereilen Zufllszhlen. Korrelionen A B C A B C Z 1 = 0,2 Z 2 = 0,6 Z 3 = 0,4 A-Mrix A B C A B C 129

70 c)berechnen Sie nun uf Bsis dieser Zufllszhlen mi Hilfe der geom. Brownschen Bewegung die äglichen Rendien der Werppiere A, B und C. Die Prmeer der Werppiere uf Jhresbsis sind beknn: WP A WP B WP C Erwr.wer Vrinz

71 Beureilung der Mone-Crlo-Simulion Bei lineren Posiionen ensprich der VR nch der Mone-Crlo-Simulion in ew dem VR nch der Vrinz-Kovrinz-Mehode, wenn bei der Mone-Crlo-Simulion mi der Normlvereilungsnnhme gerbeie wird. Die Mone-Crlo-Simulion ermöglich die bessere Modellierung der Lepokurosis z.b. über die -Vereilung, d jede beliebige Vereilung modellier werden knn. Die Mone-Crlo-Simulion is sehr zei- und kpziäsufwendig und von dher eher für nich-linere Posiionen wie Opionen geeigne. jede Porefeuilleänderung erforder die Durchführung einer neuen Simulion. erschwere Durchführung von Sensiiviäsnlysen 131

72 6.4 Vergleich und Bewerung verschiedener VR-Berechnungsverfhren VR-Verfhren bei deuschen Großbnken 1996 (Angben zu Mrkrisiken l. Geschäfsberich 1996) Deusche Dresdner Commerzbnk DG Bnk Vereinsbnk Hypo Bnk Bnk Bnk Verfhren KM, MC KM HS HS KM, MC (gepln) Kriseness Konfidenzniveu 97,7 % 95 % 97,5 % 99 % 99 % -- Hleduer 1 Tg 1 Tg 1 Tg 10 Tge 10 Tge 1 Tg VR* 103, ,57 121,7 36,4 *Angben für den Gesmkonzern und die exerne Berichersung bei zehnägiger Hleduer und 99 %igem Konfidenzniveu in Mio. DM für den Ulimo KM = Kovrinz-Mehode, MC = Mone-Crlo-Simulion, HS = Hisorische Simulion 132

73 Inerne VR-Verfhren bei deuschen Großbnken - kueller Snd (Angben zu Mrkrisiken l. Geschäfsberich 2006) Deusche Bnk Dresdner Bnk Commerzbnk Hypovereinsbnk DZ-Bnk Verfhren MC (KM) Differenzier nch llgemeinem und spez. Risiko Konfidenz- niveu HS (llg. Mrkrisiko) KM (spez. Risiko) MC (KM) 99% 95% 99% 99% 99% Hleduer 1 Tg 1 Tg 10 Tge 1 Tg 10 Tge VR* * Angben für die Hndelskiviäen des Gesmkonzerns in Mio. für den Ulimo 2006, MC = Mone-Crlo-Simulion, KM = Kovrinz-Mehode, HS = Hisorische Simulion HS Wie sind die VR-Verfhren im Vergleich zueinnder zu beureilen? 133

74 Porefeuillesimulionen im Rhmen einer empirischen Sudie: Simulion von Porefeuilles (Hndelsporefeuilles) mi jeweils 28 DAX-Akien. Generierung 28 [-1;+1]-gleichvereiler Zufllszhlen. Jede Zufllszhl seh für den Posiionswer einer DAX-Akie Unersuchungszeirum: bis Berechnung von Vlue--Risk-Weren mi einer Hleduer von H=1 und H=10 sowie für ein Konfidenzniveu von 99 % Berechnung der Mindeseigenkpilwere für 8 lernive Verfhren zur Berechnung der VR-Were: 134

75 In der Simulion verwendee Risikomodelle K o v ri n z -M e h o d e H is o ris c h e S im u l io n K o n f. H le d u e r K = K = K = K = % H = H = K = hisorischer Berchungszeirum Die Ziffern kennzeichnen die ch verwendeen VR-Verfhren. Die VR-Verfhren werden nhnd folgender Krierien beureil: sächliches Erfssungsniveu relive Höhe der VR-Were (des Eigenkpils) zueinnder Anzhl der Eigenkpilüberschreiungen (Eigenkpil berechne nch den Regeln des Grundszes I vom BAKred) Durchschnilicher Zuschlg nch dem Bckesing 135

76 Auswerung der Vereilungen über Porefeuilles nhnd von Boxplodigrmmen Grue Box: Bereich der 50 % mileren Were der Vereilung über die Porefeuilles Medin: schwrzer Srich innerhlb der Box Horizonle Sriche: (über und uner der Box) Wer, der nich ls Ausreißer klssifizier wird Kleine Kreise und Serne: Ausreißer (Were, deren Absnd von der Box über dem 1,5-fchen der Boxhöhe liegen) 136

77 Aneil der vom VR bgedecken Verluse (PA) / Bsler Ansz [VR(99%,H=10)] PA_1 PA_2 PA_5 PA_6 PA_7 PA_8 => Hisor. Sim. (Verf. 7) führ im Miel nur zu einer 95,5 %igen Abdeckung 137

78 Relive EK-Anforderung (MRA) / Bsler Ansz [VR(99%,H=10)] MRA_1 MRA_2 MRA_5 MRA_6 MRA_7 MRA_8 => Mi der Hisor. Sim. (Verf. 7) knn im Miel bis zu 24 % n EK gespr werden 138

79 Anzhl der EK-Überschreiungen von ein- und zehnägigen Verlusen (EÜ) / Bsler Ansz [VR(99%,H=10)] E Ü 1 _ 1 E Ü 1 _ 2 E Ü 1 _ 5 E Ü 1 _ 6 E Ü 1 _ 7 E Ü 1 _ E Ü 1 0 _ 1 E Ü 1 0 _ 2 E Ü 1 0 _ 5 E Ü 1 0 _ 6 E Ü 1 0 _ 7 E Ü 1 0 _ => Bei der Hisor. Sim. (Verf. 7) werden 5 EK-Aufzehrungen von einägigen Verlusen und 73 EK-Aufzehrungen von zehnägigen Verlusen beobche Die Hisorische Simulion (Verfhren 7) is nch Bsler Regelungen zulässig,... => führ ber zu einer sehr ungenügenden Abdeckung sächlicher Verluse, => führ zudem zu einer hohen EK-Einsprung => und gleichzeiig zu einer hohen Anzhl von EK-Aufzehrungen 139

80 Durchschniliche Höhe der Zuschlgsfkoren (DZ) / Bsler Ansz [VR(99%,H=10)] DZ_1 DZ_2 DZ_3 DZ_4 => schleche Messquliä der Hisor. Sim. (Verf. 7 bzw. hier Verf. 3) knn vom Bckesing nich endeck werden, weil ds Bckesing mi einer Hleduer H=1 und nich mi H=10 rbeie 140

81 Der Bsler Ansz [VR(99%, H=10)] läss für die Bnkenufsich ncheilige VR-Verfhren wie die Hisorische Simulion zu => Nowendigkei lerniver Ansäze zur Anerkennung inerner Modelle 1. Modifikion der Hleduer => VR(99%, H=1) => Messungenuigkei der Verfhren knn weigehend vermieden werden 2. Modifikion des Konfidenzniveus => VR(95%, H=1) => Messgenuigkei der Verfhren läss sich weier verbessern, d ds 95%- Qunil im Bereich der größeren Whrscheinlichkeisdiche lieg ls ds 99 %-Qunil 3. Modifikion des Bckesing => Muliplikorerhöhung häng nich nur von der Anzhl der VR-Überschreiungen, sondern uch von der Verlushöhe b 141

82 Ein bschließender und zusmmenfssender Vergleich der VR-Berechnungsverfhren Kovrinz- Exp. Sndrdbw. His. Mone-Crlo- Mehode Simulion Sim. Erfssungsniveu - + bei volilen Märken + + bei z.b. - Vereilung VR- und EK-Höhe Annhmen Mrknpssung je nch K + je nch K je nch K Berechnung VR VR für Opionen Schnelligkei (Aussgen beziehen sich uf ein 99 %-iges Konfidenzniveu) 142

83 Lierur Bühler, W. / Korn, O. / Schmid, A. (1998): Ermilung von Eigenkpilnforderungen mi "Inernen Modellen", in: Die Beriebswirschf, 58. Jg., Nr. 1, S Huschens, S. (2000): Verfhren zur Vlue--Risk-Berechnung im Mrkrisikobereich, in: Johnning, L. / Rudolph, B. (Hrsg.), Hndbuch Risikomngemen, Bd. 1, Risikomngemen für Mrk-, Kredi- und operive Risken, Uhlenbruch Verlg, Bd Soden/Ts., S J.P. Morgn/Reuers (1996): RiskMerics - Technicl Documen, 4. Auflge, New York. Johnning, L. (1998): Vlue--Risk zur Mrkrisikoseuerung und Eigenkpilllokion, Bd Soden/Ts. Ridder, T. / Shl, G. (2000): Flexibles oder srres Cshflow-Mpping?, in: Johnning, L. / Rudolph, B. (Hrsg.), Hndbuch Risikomngemen, Bd. 1, Risikomngemen für Mrk-, Kredi- und operive Risken, Bd Soden/Ts., S Trber, U. (2000): Bnkufsichliche Prüfung und Zulssung inerner Mrkrisikomodelle, in: Johnning, L. / Rudolph, B. (Hrsg.), Hndbuch Risikomngemen, Bd. 2, Risikomngemen für Bnken, Asse-Mngemen- Gesellschfen, Versicherungs- und Indusrieunernehmen, Bd Soden/Ts., S

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Berich zur Prüfung im Okober 006 über Finnzmhemik und Invesmenmngemen Grundwissen Peer Albrech Mnnheim Am 07. Okober 006 wurde zum ersen Ml eine Prüfung im Fch Finnzmhemik und Invesmenmngemen nch PO III

Mehr

DIE ZUTEILUNGSREGELN 2008 2012: BRANCHENBEISPIEL PAPIER- UND ZELLSTOFFERZEUGUNG (TÄTIGKEITEN XIV UND XV TEHG)

DIE ZUTEILUNGSREGELN 2008 2012: BRANCHENBEISPIEL PAPIER- UND ZELLSTOFFERZEUGUNG (TÄTIGKEITEN XIV UND XV TEHG) 26. November 2007 DIE ZUTEILUNGSREGELN 2008 2012: BRANCHENBEISPIEL PAPIER- UND ZELLSTOFFERZEUGUNG (TÄTIGKEITEN XIV UND XV TEHG) Informion zur Anwendung der gesezlichen Regelungen zur Zueilung von Kohlendioxid-Emissionsberechigungen

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2007 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2007 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Berich zur Prüfung im Okober 7 über Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen) Peer Albrech (Mannheim) Am 5 Okober 7 wurde zum zweien Mal eine Prüfung im Fach Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen

Mehr

Nachtrag Nr. 71 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständigen Verkaufsprospekt

Nachtrag Nr. 71 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständigen Verkaufsprospekt London Brnch Nchrg Nr. 71 gemäß 10 Verkufsprospekgesez (in der vor dem 1. Juli 2005 gelenden Fssung) vom 6. Novemer 2006 zum Unvollsändigen Verkufsprospek vom 31. März 2005 üer Zerifike uf * üer FlexInves

Mehr

Aufgabenblatt 1. Lösungen. A1: Was sollte ein Arbitrageur tun?

Aufgabenblatt 1. Lösungen. A1: Was sollte ein Arbitrageur tun? Aufgabenbla 1 Lösungen 1 A1: Was solle ein Arbirageur un? Spo-Goldpreis: $ 5 / Unze Forward-Goldpreis (1 Jahr): $ 7 / Unze Risikoloser Zins: 1% p.a. Lagerkosen: Es gib zwei Handelssraegien, um in einem

Mehr

Freie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen:

Freie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen: Die Schwingungs-Differenilgleichung Freie ungedämpfe Schwingung eines Mssenpunes Federschwinger Bei Auslenung des Mssenpunes: Hooesches Gesez F - Federonsne Die Bewegungsgleichung lue dher: d m oder m

Mehr

SR MVP die Sharpe Ratio des varianzminimalen

SR MVP die Sharpe Ratio des varianzminimalen Prüfung inanzmahemaik und Invesmenmanagemen 4 Aufgabe : (4 Minuen) a) Gegeben seien zwei Akien mi zugehörigen Einperiodenrendien R und R. Es gele < ρ(r,r )

Mehr

12 Schweißnahtberechnung

12 Schweißnahtberechnung 225 12 Schweißnherechnung 12 Schweißnherechnung Die Berechnung der ufreenden Spnnungen in Schweißnähen erfolg im Regelfll mi Hilfe der elemenren Gleichungen der esigkeislehre. Auf weierführende Berechnungsverfhren,

Mehr

Aufgaben aus Zentralen Klassenarbeiten Mathematik (Baden-Württemberg) zu Logarithmen und Wachstum

Aufgaben aus Zentralen Klassenarbeiten Mathematik (Baden-Württemberg) zu Logarithmen und Wachstum www.mhe-ufgben.com Aufgben us Zenrlen Klssenrbeien Mhemik 96-99 (Bden-Würemberg) zu Logrihmen und Wchsum ZK 96 ) Besimme mi Hilfe der Definiion des Logrihmus : ) 6 b) c) d) 0 000 ) Es is 0, 6. Berechne

Mehr

Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen

Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen 3. Wiederhole Spiele und kooperives Verhlen Mehrsufige Spiele mi beobchbren Hndlungen Idee: Ds Spiel sez sich us K+ Sufen zusmmen, wobei eine Sufe k us einem Teilspiel mi simulner Whl von Akionen k i beseh

Mehr

Thema : Rendite und Renditemessung

Thema : Rendite und Renditemessung Thema : Rendie und Rendiemessung Lernziele Es is wichig, die Zeigewichung der Rendie als ennzahl zu versehen, den Unerschied zwischen einer koninuierlichen und einer diskreen erzinsung zu begreifen und

Mehr

Die Sensitivität ist eine spezielle Form der Zinselastizität: Aufgabe 1

Die Sensitivität ist eine spezielle Form der Zinselastizität: Aufgabe 1 Neben anderen Risiken unerlieg die Invesiion in ein fesverzinsliches Werpapier dem Zinsänderungsrisiko. Dieses Risiko läss sich am einfachsen verdeulichen, indem man die Veränderung des Markweres der Anleihe

Mehr

Der Zusammenhang zwischen Investitionsentscheidung, Finanzierung und steuerlichem Totalerfolg

Der Zusammenhang zwischen Investitionsentscheidung, Finanzierung und steuerlichem Totalerfolg Universiä Augsburg Prof. Dr. Hns Ulrich Buhl Kernkompeenzzenrum Finnz- & Informionsmngemen Lehrsuhl für BWL, Wirschfsinformik, Informions- & Finnzmngemen Diskussionsppier WI-7 Der Zusmmenhng zwischen Invesiionsenscheidung,

Mehr

Der Zeitwert des Geldes - Vom Umgang mit Zinsstrukturkurven -

Der Zeitwert des Geldes - Vom Umgang mit Zinsstrukturkurven - - /8 - Der Zeiwer des Geldes - Vom Umgang mi Zinssrukurkurven - Dr. rer. pol. Helmu Sieger PROBLEMSELLUNG Zinsänderungen beeinflussen den Wer der Zahlungssröme, die Krediinsiue, Versicherungen und sonsige

Mehr

REX und REXP. - Kurzinformation -

REX und REXP. - Kurzinformation - und P - Kurzinformaion - July 2004 2 Beschreibung von Konzep Anzahl der Were Auswahlkrierien Grundgesamhei Subindizes Gewichung Berechnung Basis Berechnungszeien Gewicheer Durchschniskurs aus synheischen

Mehr

Prüfung Finanzmathematik und Investmentmanagement 2011

Prüfung Finanzmathematik und Investmentmanagement 2011 Prüfung Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen 0 Aufgabe : (0 Minuen) a) Auf der Grundlage einer Lagrange-Opimierung ergib sich die folgende funkionale Form für die (, ) -Koordinaen der (rein riskanen) Randporfolios

Mehr

Working Paper Value-at-Risk-Limitstrukturen zur Steuerung und Begrenzung von Marktrisiken im Aktienbereich

Working Paper Value-at-Risk-Limitstrukturen zur Steuerung und Begrenzung von Marktrisiken im Aktienbereich econsor www.econsor.eu Der Open-Access-Publikaionsserver der ZBW Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf The Open Access Publicaion Server of he ZBW Leibniz Informaion Cenre for Economics Beeck, Helmu; Johanning,

Mehr

8. Abtastung. Kontinuierliches Signal: Signalspektrum: Abgetastetes Signal: ( t) Abtastfunktion: 1 f a. Spektrum der Abtastfunktion:

8. Abtastung. Kontinuierliches Signal: Signalspektrum: Abgetastetes Signal: ( t) Abtastfunktion: 1 f a. Spektrum der Abtastfunktion: Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie 8. Absun Koninuierliches Sinl: u() Sinlspekrum: U() Abesees Sinl: ( ) = u( ) ( ) u Absunkion: + n= ( ) = δ ( n ) Spekrum der Absunkion: + n= Spekrum des

Mehr

Lehrstuhl für Finanzierung

Lehrstuhl für Finanzierung Lehrsuhl für Finanzierung Klausur im Fach Finanzmanagemen im Winersemeser 1998/99 1. Aufgabe Skizzieren Sie allgemein die von Kassenhalungsproblemen miels (sochasischer) dynamischer Programmierung! Man

Mehr

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse 8 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Aufgabe 7: Gegeben sind: K = 1; = 18; p = 1 (p.a.). Berechnen Sie die Zinsen z. 18 1 Lösung: z = 1 = 5 36 Man beache, dass die kaufmännische Zinsformel als

Mehr

Die relevanten Cash Flows in der Unternehmensbewertung aus der Sicht des Rechnungswesens

Die relevanten Cash Flows in der Unternehmensbewertung aus der Sicht des Rechnungswesens De relevnen Csh Flows n der Unernehmensbewerun us der Sch des Rechnunswesens Edwn O Fscher rl-frnzens-unversä rz Oober 26 DCF-Bssmodelle Percen of Sles-Mehode Fllsude Übersch o onsner Verschuldunsrd o

Mehr

Inaugural-Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Wirtschaftswissenschaften mit dem Thema

Inaugural-Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Wirtschaftswissenschaften mit dem Thema Inugurl-Disserion zur Erlngung des kdemischen Grdes eines Dokors der Wirschfswissenschfen mi dem Them Rechnungswesenorieniere Unernehmensbewerung Einsz und Eignung der kennzhlenorienieren Fundmenlnlyse

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2009 über Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik (Grundwissen)

Bericht zur Prüfung im Oktober 2009 über Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik (Grundwissen) Berich zur Prüfung i Okober 9 über Grundrinziien der Versicherungs- und Finanzaheaik (Grundwissen Peer lbrech (Mannhei 6 Okober 9 wurde zu vieren Mal eine Prüfung i Fach Grundrinziien der Versicherungs-

Mehr

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit Moivaion Finanzmahemaik in diskreer Zei Eine Hinführung zu akuellen Forschungsergebnissen Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg Prof. Dr. Thorsen Schmid Abeilung für Mahemaische Sochasik Freiburg, 22. April

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

Thema 6: Kapitalwert bei nicht-flacher Zinsstruktur:

Thema 6: Kapitalwert bei nicht-flacher Zinsstruktur: Thema 6: Kapialwer bei nich-flacher Zinssrukur: Markzinsmehode Bislang unersell: i i kons. (, K, T) (flache Zinskurve) Verallgemeinerung der KW-Formel auf den Fall beliebiger Zinskurven jedoch ohne weieres

Mehr

Finanz- und Risikomanagement. Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring

Finanz- und Risikomanagement. Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring Finanz- und Risikomanagemen 1 Vorlesungsinhale 1. Basisgüer und Grundbegriffe - Eineilung nach Ar der Basisgüer - Eineilung nach Börsen- oder OTC-Handel - Eineilung in Spo-Geschäfe oder Termingeschäfe

Mehr

Hilfestellung zur inflationsneutralen Berechnung der Erwartungswertrückstellung in der Krankenversicherung nach Art der Lebensversicherung

Hilfestellung zur inflationsneutralen Berechnung der Erwartungswertrückstellung in der Krankenversicherung nach Art der Lebensversicherung Viere Unersuchung zu den quaniaiven Auswirkungen von Solvabiliä II (Quaniaive Impac Sudy 4 QIS 4) Hilfesellung zur inflaionsneuralen Berechnung der Erwarungswerrücksellung in der Krankenversicherung nach

Mehr

Unternehmensbewertung

Unternehmensbewertung Unernehmensbewerung Brush-up Kurs Winersemeser 2015 Unernehmensbewerung 1. Einführung 2. Free Cash Flow 3. Discouned-Cash-Flow-Bewerung (DCF) 4. Weighed average cos of capial (wacc) 5. Relaive Bewerung/

Mehr

Brush-up Kurs Wintersemester 2015. Optionen. Was ist eine Option? Terminologie. Put-Call-Parität. Binomialbäume. Black-Scholes Formel

Brush-up Kurs Wintersemester 2015. Optionen. Was ist eine Option? Terminologie. Put-Call-Parität. Binomialbäume. Black-Scholes Formel Opionen Opionen Was is eine Opion? Terminologie Pu-Call-Pariä Binomialbäume Black-Scholes Formel 2 Reche und Pflichen bei einer Opion 1. Für den Käufer der Opion (long posiion): Rech (keine Pflich!) einen

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2008 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2008 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Beric zur rüfung im Okober 008 über Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen) eer Albrec (Manneim) Am 7 Okober 008 wurde zum drien Mal eine rüfung im Fac Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen nac

Mehr

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen Unersuchung von Gleienladungen und deren Modellierung durch Funkengeseze im Vergleich zu Gasenladungen Dipl.-Ing. Luz Müller, Prof. Dr.-Ing. Kur Feser Insiu für Energieüberragung und Hochspannungsechnik,

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Green-Funktion. Wir betrachten (z. B.) eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. y +y = r(x) Die allgemeine Lösung mit y(0) = 0 und y( π 2

Green-Funktion. Wir betrachten (z. B.) eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. y +y = r(x) Die allgemeine Lösung mit y(0) = 0 und y( π 2 Green-Funkion Wir berchen (z. B.) eine inhomogene linere DGL 2. Ordnung y +y = r() Die llgemeine Lösung mi y() = und y( π 2 ) = (Rndwerufgbe) sez sich us der llgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Analysis: Exponentielles Wachstum Analysis Übungsaufgaben zum Exponentiellen Wachstum zum Einstieg Gymnasium Klasse 10

Analysis: Exponentielles Wachstum Analysis Übungsaufgaben zum Exponentiellen Wachstum zum Einstieg Gymnasium Klasse 10 www.mhe-ufgben.com Anlysis: Eponenielles Wchsum Anlysis Übungsufgben zum Eponeniellen Wchsum zum Einsieg Gymnsium Klsse 1 Alender Schwrz www.mhe-ufgben.com Jnur 214 1 www.mhe-ufgben.com Anlysis: Eponenielles

Mehr

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis E2 Kondensaor und Spule im Gleichsromkreis Es sollen experimenelle nersuchungen zu Ein- und Ausschalvorgängen bei Kapaziäen und ndukiviäen im Gleichsromkreis durchgeführ werden. Als Messgerä wird dabei

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

Investition und Finanzierung

Investition und Finanzierung Invesiion und Finanzierung - Vorlesung 9 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 150 - 2.6 Grundlagen der Werpapierbewerung Prof. Dr. Rainer Elschen - 151 - Organisaion der Finanzmärke (1)

Mehr

Teilfachprüfung Mathematik Studiengang: Wirtschaft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO)

Teilfachprüfung Mathematik Studiengang: Wirtschaft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO) Fchhochschule Düsseldorf SS 2007 Teilfchprüfung Mthemtik Studiengng: Wirtschft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO) Prüfungsdtum: 29..2007 Prüfer: Prof. Dr. Horst Peters / Dipl. Volkswirt Lothr Schmeink Prüfungsform:

Mehr

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum .7. Prüfungsaufgaben zum beschränken Wachsum Aufgabe : Exponenielle Abnahme und beschränkes Wachsum In einem Raum befinden sich eine Million Radonaome. Duch radioakiven Zerfall verminder sich die Zahl

Mehr

Aufgaben zur Zeitreihenanalyse (Kap. 5)

Aufgaben zur Zeitreihenanalyse (Kap. 5) Prof. Dr. Reinhold Kosfeld Fachbereich Wirschafswissenschafen Aufgaben zur Zeireihenanalyse (Kap. 5) Aufgabe 5.1 Welches Phänomen läss sich mi ARCH-Prozessen modellieren und welche prognosische Relevanz

Mehr

Fallstudie zu Projektbezogenes Controlling :

Fallstudie zu Projektbezogenes Controlling : Projekbezogenes Conrolling SS 2009 Fallsudie zu Projekbezogenes Conrolling : Thema: Erfolgspoenzialrechnung Lehrsuhl für Beriebswirschafslehre, insb. Conrolling Projekbezogenes Conrolling SS 2009 LITERATUR

Mehr

Kosten der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung. Forschungszentrum Generationenverträge Albert-Ludwigs-Universität Freiburg

Kosten der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung. Forschungszentrum Generationenverträge Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Kosen der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung Forschungszenrum Generaionenverräge Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg 1. Berechnungsmehode Die Berechnung der Kosen, die durch das Verschieben

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Analog-Elektronik Protokoll - Transitorgrundschaltungen. Janko Lötzsch Versuch: 07. Januar 2002 Protokoll: 25. Januar 2002

Analog-Elektronik Protokoll - Transitorgrundschaltungen. Janko Lötzsch Versuch: 07. Januar 2002 Protokoll: 25. Januar 2002 Analog-Elekronik Prookoll - Transiorgrundschalungen André Grüneberg Janko Lözsch Versuch: 07. Januar 2002 Prookoll: 25. Januar 2002 1 Vorberachungen Bei Verwendung verschiedene Transisor-Grundschalungen

Mehr

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen 5 2014 Sonderdruck us BWK 5-2014 Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die dezentrle Wärmewende Nutzung der Abwärme us Erneuerbre-Energie-Anlgen Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die

Mehr

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien B Anwendungsbeispiel Berechnungen Seie 70.2 Feslegung der relevanen Brandszenarien Eine der wichigsen Aufgaben beim Nachweis miels der Ingenieurmehoden im Brandschuz is die Auswahl und Definiion der relevanen

Mehr

Stochastische Volatilität vs. Traders Rule of Thumb Bewertung exotischer Optionen im Vergleich

Stochastische Volatilität vs. Traders Rule of Thumb Bewertung exotischer Optionen im Vergleich Sochasische Volailiä vs. Traders Rule of Thumb Bewerung exoischer Opionen im Vergleich Uwe Wysup Universiä Trier 21. Juli 2005 Devisenopionen Vanilla exoische Opionen heue =0 Ausübungszeipunk =T Vanillaopion

Mehr

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION 9.. Eponenialfunkion (a) Definiion Im Abschni Zinseszinsrechnung konne die Berechnung eines Kapials K n nach n Perioden der

Mehr

Faktor 4x Short Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300)

Faktor 4x Short Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300) Fakor 4x Shor Zerifikae (SVSP-Produkcode: 1300) Index Valor / Symbol / ISIN / WKN / Common Code Fakor 4x Shor DAXF Index 11617870 / CBSDX DE000CZ33BA7 / CZ33BA Bezugswer üblicherweise der an der Maßgeblichen

Mehr

I. Vorbemerkungen und wichtige Konzepte

I. Vorbemerkungen und wichtige Konzepte - 1 - I. Vorbemerkungen und wichige Konzee A.Warum und zu welchem Zweck bereiben wir Wirschafsheorie? 1. Zur Beanworung der ökonomischen Grundfragen Fragen der Allokaion (Ziel is die effiziene Allokaion

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis www.mhe-ufgben.com Hupprüfung Abiurprüfung 04 (ohne CAS) Bden-Würemberg Anlysis Hilfsmiel: GTR, Formelsmmlung berufliche Gymnsien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexnder Schwrz

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

MEA DISCUSSION PAPERS

MEA DISCUSSION PAPERS Ale und neue Wege zur Berechnung der Renenabschläge Marin Gasche 01-2012 MEA DISCUSSION PAPERS mea Amaliensr. 33_D-80799 Munich_Phone+49 89 38602-355_Fax +49 89 38602-390_www.mea.mpisoc.mpg.de Ale Nummerierung:

Mehr

Name: Punkte: Note: Ø:

Name: Punkte: Note: Ø: Name: Punke: Noe: Ø: Kernfach Physik Abzüge für Darsellung: Rundung: 4. Klausur in K am 5. 5. 0 Ache auf die Darsellung und vergiss nich Geg., Ges., Formeln, Einheien, Rundung...! Angaben: e =,60 0-9 C

Mehr

Ein Multiagentensystem zur Verhandlungsautomatisierung in elektronischen Märkten

Ein Multiagentensystem zur Verhandlungsautomatisierung in elektronischen Märkten Ein Muligenensysem zur Verhndlungsuomisierung in elekronischen Märken Von der Fkulä Mschinenbu der Universiä Sugr zur Erlngung der Würde eines Dokor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmige Abhndlung vorgeleg von

Mehr

HfB Working Paper Series

HfB Working Paper Series HfB Working Paper Series No. 62 by Norber Kluß, Marcus Bayer, Heinz Cremers March 25 Sonnemannsr. 9 634 Frankfur an Main, Germany Phone: +49 () 69 54 8 Fax: +49 () 69 54 8 728 Inerne: www.hfb.de Wersicherungssraegien

Mehr

Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik

Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik Seminar Bewerungsmehoden in der Personenversicherungsmahemaik Technische Reserven und Markwere I Sefanie Schüz Mahemaisches Insiu der Universiä zu Köln Sommersemeser 2010 Bereuung: Prof. Hanspeer Schmidli,

Mehr

LEIBRENTENVERSICHERUNG VERSUS FONDSENTNAHMEPLAN CHANCEN UND RISIKEN

LEIBRENTENVERSICHERUNG VERSUS FONDSENTNAHMEPLAN CHANCEN UND RISIKEN LEIBRENTENVERSICHERUNG VERSUS FONDSENTNAHMEPLAN CHANCEN UND RISIKEN AUS DER PERSPEKTIVE POTENZIELLER ERBEN Von D r. H a o S c h m e i s e r, Berlin* und Diplomkaufmann T h o m a s P o s, Berlin** JANUAR

Mehr

Flip - Flops 7-1. 7 Multivibratoren

Flip - Flops 7-1. 7 Multivibratoren Flip - Flops 7-7 Mulivibraoren Mulivibraoren sind migekoppele Digialschalungen. Ihre Ausgangsspannung spring nur zwischen zwei fesen Weren hin und her. Mulivibraoren (Kippschalungen) werden in bisabile,

Mehr

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten Verbruchswerte Dieses Unterkpitel ist speziell dem Them Energienlyse eines bestehenden Gebäudes nhnd von Verbruchswerten (Brennstoffverbräuche, Wrmwsserverbruch) gewidmet. BEISPIEL MFH: Ds Beispiel des

Mehr

Institut für Wirtschaftsprüfung und Steuerwesen. Übung zur Vorlesung Business Reporting and Consulting

Institut für Wirtschaftsprüfung und Steuerwesen. Übung zur Vorlesung Business Reporting and Consulting Insiu für Wirschafsprüfung und Seuerwesen Lehrsuhl für Revisions- und Treuhandwesen Sommersemeser 2012 Übung zur Vorlesung Business Reporing and Consuling Teil 3: DC-Verfahren 1 DC-Mehoden Alernaivverfahren

Mehr

Prof. Dr. Arnd Wiedemann Investitionstheorie

Prof. Dr. Arnd Wiedemann Investitionstheorie Prof. Dr. Arnd Wiedemann Invesiionsheorie Winersemeser 2013/2014 Gliederung 1. Einführung in die Bewerung risikobehafeer Invesiionen: vom Kapialwermodell für Einzelinvesiionen zum Unernehmenswermodell

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik Ministerium für Bildung und Kultur des Lndes Schleswig-Holstein Zentrle Abschlussrbeit 011 Übungsheft Mittlerer Schulbschluss Mthemtik Korrekturnweisung Impressum Herusgeber Ministerium für Bildung und

Mehr

Investitionsrechnungen in der Wohnungswirtschaft

Investitionsrechnungen in der Wohnungswirtschaft Wohnungswirschafliche Theorie I Vorlesung vom 28. 1. 2004 Invesiionsrechnungen in der Wohnungswirschaf Dr. Joachim Kirchner Insiu Wohnen und Umwel GmbH (IWU) 2 Theoreische Grundlagen Einführung 1. Invesorengruppen

Mehr

Nachtrag Nr. 93 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständiger Verkaufsprospekt

Nachtrag Nr. 93 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständiger Verkaufsprospekt Nachrag Nr. 93 a gemäß 10 Verkaufsprospekgesez (in der vor dem 1. Juli 2005 gelenden Fassung) vom 27. Okoer 2006 zum Unvollsändiger Verkaufsprospek vom 31. März 2005 üer Zerifikae auf * ezogen auf opzins

Mehr

WORKING PAPERS Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft

WORKING PAPERS Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft WORKING PAPERS Arbeispapiere der Berieblichen Finanzwirschaf Lehrsuhl für Beriebswirschafslehre, insbes. Beriebliche Finanzwirschaf Bfw29V/03 Zusandsabhängige Bewerung mi dem sochasischen Diskonierungsfakor

Mehr

2 Messsignale. 2.1 Klassifizierung von Messsignalen

2 Messsignale. 2.1 Klassifizierung von Messsignalen 7 2 Messsignale Messwere beinhalen Informaionen über physikalische Größen. Die Überragung dieser Informaionen erfolg in Form eines Signals. Allerdings wird der Signalbegriff im äglichen Leben mehrdeuig

Mehr

Physik A VL4 ( )

Physik A VL4 ( ) Physik A VL4 (16.1.1) Beschreibung on Bewegungen - Kinemik in einer Rumrichung II Die beschleunige Bewegung Der Freie Fll Der senkreche Wurf Berchung ungleichförmiger Beschleunigung miels Inegrlrechnung

Mehr

Value Based Management

Value Based Management Value Based Managemen Vorlesung 5 Werorieniere Kennzahlen und Konzepe PD. Dr. Louis Velhuis 25.11.25 Wirschafswissenschafen PD. Dr. Louis Velhuis Seie 1 4 CVA Einführung CVA: Cash Value Added Spezifischer

Mehr

Lösungen zu Kontrollfragen

Lösungen zu Kontrollfragen Lehrsuhl für Finanzwirschaf Lösungen zu Konrollfragen Finanzwirschaf Prof. Dr. Thorsen Poddig Fachbereich 7: Wirschafswissenschaf Einführung (Kapiel ) Sichweisen in der Finanzwirschaf. bilanzorieniere

Mehr

Institut für Halle Institute for Economic Research Wirtschaftsforschung Halle

Institut für Halle Institute for Economic Research Wirtschaftsforschung Halle Insiu für Halle Insiue for Economic Research Wirschafsforschung Halle Berücksichigung von Schäzunsicherhei bei der Kredirisikobewerung Vergleich des Value a Risk der Verlusvereilung des Kredirisikos bei

Mehr

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg Übungen zum Kurs Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen 70 Eponentilgleichungen mit Ergebnissen und usführlichen Lösungsweg 7.technisch verbesserte Auflge vom.09.007 (Sonderzeichen wurden teilweise

Mehr

Leitfaden zum. ISF FondsControl Index Schweiz

Leitfaden zum. ISF FondsControl Index Schweiz Leifaden zum ISF FondsConrol Index Schweiz Version 1.0 vom 09.01.2014 1 Inhal Einführung 1 Parameer des Index 1.1 Kürzel und ISIN 1.2 Sarwer 1.3 Vereilung 1.4 NAVs und Berechnungsfrequenz 1.5 Gewichung

Mehr

Warum ist die Frage, wem ein Leasingobjekt zugerechnet wird, wichtig? Welche Vorteile kann ein Leasinggeber (eine Leasinggesellschaft) ggf. erzielen?

Warum ist die Frage, wem ein Leasingobjekt zugerechnet wird, wichtig? Welche Vorteile kann ein Leasinggeber (eine Leasinggesellschaft) ggf. erzielen? 1) Boschafen von Kapiel 7 Welche Eigenschafen ha ein Finanzierungs-Leasing-Verrag? Warum is die Frage, wem ein Leasingobjek zugerechne wird, wichig? FLV, vollkommener Kapialmark und Gewinnseuer Welche

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Übungsaufgaben zu Kapitel 5: Erwartungen Die Grundlagen

Übungsaufgaben zu Kapitel 5: Erwartungen Die Grundlagen Kapiel 5 Übungsaufgaben zu Kapiel 5: Erwarungen Die Grundlagen Übungsaufgabe 5-1a 5-1a) Beschreiben Sie die heoreischen Überlegungen zum Realzins. Wie unerscheide sich der Realzins vom Nominalzins? Folie

Mehr

Garantiekosten in der Altersvorsorge Entwicklung eines Garantiekostenindexes

Garantiekosten in der Altersvorsorge Entwicklung eines Garantiekostenindexes Garaniekosen in der Alersvorsorge Enwicklung eines Garaniekosenindexes Auoren der Sudie Maximilian Renz Prof. Dr. Olaf Soz Professur für Asse Managemen Frankfur School of Finance & Managemen Sonnemannsr.

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

Risiko-Renditeverhalten des neuen Covered Call- Index der Deutschen Börse

Risiko-Renditeverhalten des neuen Covered Call- Index der Deutschen Börse Risiko-Rendieverhalen des neuen Covered Call- Index der Deuschen Börse Parick Behr Goehe Universiä Frankfur Harmu Graf Deusche Börse AG André Güler ** European Business School Wir analysieren in dieser

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Universität Stuttgart. Institut für Technische Chemie

Universität Stuttgart. Institut für Technische Chemie Universiä Sugar Insiu für Technische Chemie Technisch-Chemisches Prakikum Versuch 5: Verweilzei-Vereilungscharakerisiken von Reakoren 8/1 Verweilzei-Vereilungscharakerisiken von Reakoren 1. Einleiung Die

Mehr

Leitfaden zum. sysshares Large Cap Europe MinRisk TR Index. Version 1.0 vom 25.03.2015

Leitfaden zum. sysshares Large Cap Europe MinRisk TR Index. Version 1.0 vom 25.03.2015 Leifaden zum sysshares Large Ca Euroe MinRisk TR Index Version 1.0 vom 25.03.2015 1 Inhal Einführung 1 Parameer des Index 1.1 Kürzel und ISIN 1.2 Sarwer 1.3 Vereilung 1.4 Preise und Berechnungsfrequenz

Mehr

Arbitragefreie Preise

Arbitragefreie Preise Arbiragefreie Preise Maren Schmeck 24. Okober 2006 1 Einleiung P i () Preis von Anleihe i zur Zei, i = 1,..., n x i Anzahl an Einheien der Anleihe i V () = n i=1 x ip i () Wer eines Porfolios mi x i Einheien

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

DSS1. Digitaler Sprachspeicher Einschub mit RAM- und Flash- Speicherbänken. Abb. DSS1 (L- Nr. 2.600) 16 Speicheradressen für Sprachaufzeichnung:

DSS1. Digitaler Sprachspeicher Einschub mit RAM- und Flash- Speicherbänken. Abb. DSS1 (L- Nr. 2.600) 16 Speicheradressen für Sprachaufzeichnung: mi RAM- und Flash- peicherbänken Abb. (L- Nr. 2.600) Auf einen Blick: 16 peicheradressen für prachaufzeichnung: - bis zu 8 Bänke im RAM- peicher (flüchig) - bis zu 8 Bänke im Flash- peicher (permanen)

Mehr

HAFixD Hauck & Aufhäuser Privatbankiers KGaA Baader Bank AG Bayerische Börse AG Juni 2015 Leitfaden zum Aktienindex HAFixD Seite 1/14

HAFixD Hauck & Aufhäuser Privatbankiers KGaA Baader Bank AG Bayerische Börse AG Juni 2015 Leitfaden zum Aktienindex HAFixD Seite 1/14 Leifaden zum Akienindex HAFixD Seie 1/14 Leifaden zum Akienindex HAFixD* Juni 2015 * Der HAFixD is ein Index der, der von der Baader Bank AG berechne und von der Bayerische Börse AG über die Börse München

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte Einfühung in die Phsik I Kinemik de Mssenpunke O. von de Lühe und U. Lndgf O und Geschwindigkei Wi bechen den O eines ls punkfömig ngenommenen Köpes im Rum ls Funkion de Zei Eindimensionle Posiion O O

Mehr

Zahlungsverkehr und Kontoinformationen

Zahlungsverkehr und Kontoinformationen Zahlungsverkehr und Konoinformaionen Mulibankfähiger Zahlungsverkehr für mehr Flexibilä und Mobiliä Das Zahlungsverkehrsmodul biee Ihnen für Ihre Zahlungsverkehrs- und Konenseuerung eine Vielzahl mulibankenfähiger

Mehr

Fonds Indexleitfaden. FOXX 20 Welt. Version 1.01. Stand: 28.06.2007. Indexleitfaden FOXX20 - Welt Version 1.01 Seite 1 von 11

Fonds Indexleitfaden. FOXX 20 Welt. Version 1.01. Stand: 28.06.2007. Indexleitfaden FOXX20 - Welt Version 1.01 Seite 1 von 11 Fonds Indexleifaden FOXX 20 Wel Version 1.01 Sand: 28.06.2007 1 Seie 1 von 11 1. Inhalsverzeichnis 1. Inhalsverzeichnis...2 2. Einleiung...3 3. Indexparameer...4 3.1. Basis...4 3.2. Verwendee Preise und

Mehr

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital apiel 11 Produkion, Sparen und der Aufbau von apial Vorbereie durch: Florian Barholomae / Sebasian Jauch / Angelika Sachs Die Wechselwirkung zwischen Produkion und apial Gesamwirschafliche Produkionsfunkion:

Mehr

Bewertung von Versicherungsrisiken mittels des Äquivalenznutzenprinzips

Bewertung von Versicherungsrisiken mittels des Äquivalenznutzenprinzips Bewerung von Versicherungsrisiken miels des Äquivalenznuzenprinzips Diplomarbei zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Wirschafsmahemaiker der Fakulä für Mahemaik und Wirschafswissenschafen der Universiä

Mehr

Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression

Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression Einfache Regression mi Ecel Prof. Dr. Peer von der Lippe Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression 1.1. Daen 1. Mindeslöhne Beispiel 1 Ennommen aus Rolf Ackermann, pielball des Lobbyisen,

Mehr