Einführung zu Futures und Optionen

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1 Einführung zu Futures und Optionen Fr., 11. Januar 2008, 11:15 ca. 18 Uhr, Ort: HS 224 Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 1

2 Ölpreis aktuell: 90 $ / Barrel Future: Beidseitig verpflichtend Option: Einseitig verpflichtend Lieferung und Kaufpreiszahlung in 3 Monaten Preis 92 $ / Barrel Bezugsmöglichkeit - während der nächsten 3 Monate - zum Preis von 91 $ / Barrel - gegen sofortige Zahlung einer Optionsprämie von 3,70 $ Risiko? Preisbildung? Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 2

3 Gliederung 1. Einführung 1.1) Was sind Futures? Was sind Optionen? 1.2) Die Börse Ein Nullsummenspiel? 1.3) Derivate Casino oder volkswirtschaftlicher Nutzen? 2. Futures 3. Optionen Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 3

4 1.2) Die Börse Ein Nullsummenspiel? Industrie AG Media AG Bank AG Stück Kurs Wert Stück Kurs Wert Stück Kurs Wert Insgesamt Anleger A Anleger B Anleger C Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 4

5 Die gesamte Marktkapitalisierung beträgt Davon entfallen auf Anleger A , auf Anleger B und auf Anleger C Gewinne und Verluste der einzelnen Anleger summieren sich zum Gewinn bzw. Verlust des Gesamtmarktes. Erzielen einige Anleger eine überdurchschnittliche Performance, dann bedingt dies zwingend eine unterdurchschnittliche Performance anderer Anleger. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 5

6 Dagegen ist der Markt für Derivate (Futures und Optionen) ein reines Nullsummenspiel. Bei diesen Verträgen erfolgen entweder Zahlungen von A an B, oder ein Underlying wird zu einem vom Marktpreis abweichenden Kurs geliefert (Beispiel: Lieferung von 1 Barrel ÖL zu 92 $, aktueller Marktpreis 88 $) Gewinn von Marktteilnehmer A ist immer gleich Verlust von Marktteilnehmer B. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 6

7 1.3) Derivate Casino oder volkswirtschaftlicher Nutzen? Derivate ermöglichen eine bessere Risikoallokation Ohne die Möglichkeit einer Absicherung durch Derivate würden bestimmte volkswirtschaftlich sinnvolle Transaktionen eventuell nicht durchgeführt werden. Es können Konflikte zwischen Risikoabsicherung und Anreizwirkungen entstehen. Subprime-Krise? Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 7

8 Beispiel Die zu Europas größtem Reisekonzern TUI gehörenden Fluggesellschaften Hapag-Lloyd Flug (HLF) und Hapag-Lloyd Express (HLX) wollen trotz gestiegener Kerosinkosten die Preise vorerst nicht erhöhen. "Wir werden auf absehbare Zeit die Flugpreise nicht anheben, da wir die Kerosin-Preise über Hedge-Geschäfte abgesichert haben", sagte HLF-Sprecherin Susanne Stünckel am Montag auf Anfrage. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 8

9 Beispiel Financial Times 28. November 2007 The news came as Porsche said it had doubled the length of time for which it is hedged against the dollar as it believes the currency could drop to $1.60 against the euro. Porsche one of the largest European exporters to the US, its largest market where it had revenues of 2.2bn last year said it was almost fully hedged until 2013 at a rate below the current exchange rate. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 9

10 Beispiel Eine "Schönwetter-Garantie" gibt die BMW Bank in Deutschland jetzt bei jedem Z4-Leasingvertrag, der noch bis zum 15. Juni 2005 abgeschlossen wird.... Pro Jahr gibt es 400 Euro zurück, wenn innerhalb eines bestimmtes Zeitraums eine zuvor festgelegte Anzahl an Regentagen überschritten wurde. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 10

11 ... Wer im sonnigen Breisgau wohnt, muß aber nicht enttäuscht sein: Je nach Region wird die Grenze unterschiedlich definiert und liegt bundesweit zwischen 35 und 45 Regentagen.... Maßgeblich für die Anzahl der Regentage ist übrigens die Zählung des Deutschen Wetterdienstes. Wer Petrus schon mal über die Schulter gucken will: Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 11

12 Beispiel Pirelli wettet, dass vom bis die tägliche Tagesdurchschnittstemperatur an mindestens 67 bzw. 77 Tagen (je nach Kaufort) unter +7 C bleibt. Wird der Winter wärmer als von Pirelli behauptet, erhalten Sie aus der Gesamtgewinnsumme von 1 Mio. bis zu 50 % vom Kaufpreis Ihrer neuen Pirelli Winterreifen zurück! Als ADAC-Mitglied erhalten Sie sogar bis zu 75 % zurück! Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 12

13 Gliederung 1. Einführung 2. Futures 2.1) Was ist ein Future-Kontrakt? 2.2) Was versteht man unter den Cost of Carry? 2.3) Was versteht man unter den (Normal) Backwardation bzw. Contango? 2.4) Welche Kosten/Erträge entstehen beim Rollen von Future-Kontrakten? 3. Optionen Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 13

14 2.1) Was ist ein Future-Kontrakt? Der Käufer (bzw. Verkäufer) eines Future-Kontraktes verpflichtet sich, den Basiswert in einer bestimmten Menge (Kontraktgröße) und Qualität zu einem fixen Zeitpunkt in der Zukunft (Termin) zu einem bereits bei Vertragsabschluss festgelegten Preis zu liefern (bzw. abzunehmen). Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 14

15 2.2) Was versteht man unter den Cost of Carry? Cost of Carry = Finanzierungskosten + Lagerkosten Beispiel: Ölpreis aktuell: 90 $ / Barrel 3-Monats-Future: 92 $ / Barrel Finanzierungskosten: 4% p. a. Lagerkosten: 0,20 $ pro Barrel und Monat => Arbitragemöglichkeit? Lagerfähigkeit? Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 15

16 Abwandlung: Ölpreis aktuell: 90 $ / Barrel 3-Monats-Future: 88 $ / Barrel Finanzierungskosten: 4% p. a. Lagerkosten: 0,20 $ pro Barrel und Monat => Arbitragemöglichkeit? Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 16

17 Beispiel: Crash Oktober 1987 Trading on Black Monday was chaotic.... By late afternoon, the S&P 500 Index futures were selling at a 25- point, or 12 percent, discount to the spot market, a spread that previously was considered inconceivable. Siegel, J.J. (2002): Stocks for the Long Run, S. 266 => Arbitragemöglichkeit? Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 17

18 2.3) Was versteht man unter den (Normal) Backwardation bzw. Contango? (Normal) Backwardation: Contango: Future-Preis < Spot-Preis Future-Preis > Spot-Preis John Maynard Keynes (1930) behauptete in Treatise on Money, Kapitel 29, dass sich die Märkte normalerweise in Backwardation befinden, da sich Produzenten eher gegen Preisrisiken absichern wollen als potentielle Kunden. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 18

19 2.4) Welche Kosten/Erträge entstehen beim Rollen von Future-Kontrakten? Rollen bedeutet, dass bei Fälligkeit des Future-Kontraktes neu in einen entsprechend länger laufenden Kontrakt investiert werden muss, wenn die Position nicht geschlossen werden soll. Future-Preis und Spot-Preis nähern sich im Zeitablauf immer mehr an. Im Fall von Backwardation entstehen daher bei einer Longposition Rollgewinne und im Fall von Contango Rollverluste. Umgekehrt ist es bei einer Shortposition. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 19

20 Gliederung 1. Einführung 2. Futures 3. Optionen 3.1) Was sind die Vertragsbestandteile eines Options- Kontraktes? 3.2) Wann lohnt sich die vorzeitige Ausübung einer Option? Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 20

21 3.3) Wie werden Options-Kontrakte bei Dividendenzahlungen / Bezugsrechten angepasst? (Case Study: BayernLB/Altana, Links: [1], [2] ) 3.4) Wie werden Optionen mit der Black/Scholes-Formel bewertet? 3.5) Wie reagieren Optionspreise auf Veränderungen der Bewertungsparameter? 3.6) Was bedeutet risikoneutrale Bewertung? 3.7) Wie lässt sichh die Black/Scholes-Formel mit Hilfe des Itô-Lemma herleiten Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 21

22 3.1) Was sind die Vertragsbestandteile eines Options- Kontraktes? Eine Option berechtigt zum Kauf (Call) bzw. Verkauf (Put) einer bestimmten Anzahl (Kontraktgröße) des Underlyings zu einem festgelegten Kurs (Basispreis) während eines bestimmten Zeitraums (amerikanische Option) / zu einem bestimmten Stichtag (europäische Option) Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 22

23 3.2) Wann lohnt sich die vorzeitige Ausübung einer Option? Die vorzeitige Ausübung eines amerikanischen Calls auf eine dividendenlose Aktie lohnt sich nie, da andernfalls der zu zahlende Bezugspreis zinsbringend angelegt werden könnte. Der Kurs der Aktie während der verbleibenden Laufzeit unter den Basispreis fallen könnte, was einen billigern Bezug über den Markt ermöglichen würde. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 23

24 Falls Dividenden gezahlt werden, muss bei einem nicht dividendengeschützten amerikanischen Call analytisch ermittelt werden, ob die Ausübung unmittelbar vor einem Dividendentermin oder bei Endfälligkeit des Calls vorteilhafter ist. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 24

25 Vorzeitige Ausübung eines amerikanischen Puts kann sich lohnen, wenn sich die Option sehr stark im Geld befindet: Vorzeitige Ausübung setzt voraus, dass sich die Option überhaupt im Geld befindet. Die vorzeitige Ausübung lohnt jedenfalls dann, wenn das Underlying nahezu wertlos geworden ist. Warum? Es gibt also eine (analytisch zu bestimmende) Wertuntergrenze, bei deren Unterschreitung sich die vorzeitige Ausübung lohnt. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 25

26 Zusammenfassung Vorzeitige Ausübung lohnend? Dividendenschutz Dividendenausschüttungen nein Call ja Nie lohnend Nie lohnend nein Nie lohnend? Put ja?? nein?? ja Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 26

27 3.3) Wie werden Options-Kontrakte bei Dividendenzahlungen/Bezugsrechten angepasst? (Case Study: BayernLB/Altana, Links: [1], [2] ) Bei der Dividendenanpassung von Optionen sind zwei Vorgehensweisen denkbar: Der Basispreis wird einfach in Höhe der Dividende reduziert Oder es wird unterstellt, dass die Dividende zum Zukauf weiterer Aktien verwendet wird und neben dem Basispreis auch die Anzahl der Optionen entsprechend angepasst (Eurex-Methode) Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 27

28 Beispiel zur Eurex-Methode: Call mit Basispreis 75 Kontraktgröße: 100 Stück Aktienkurs: 100 (Sonder-) Dividende: 20 => Dividende kann zum Zukauf von 0,25 Aktien Warum? verwendet werden => Neue Kontraktgröße: 125 Stück => Neuer Basispreis: 75 * 100 / 125 = 60 = R-Faktor = 0,8 Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 28

29 Case Study: BayernLB/Altana, Links: [1], [2] Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 29

30 Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 30

31 ALT.DE Steuern? Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 31

32 Xetra Kurs Stücke :10:36 18, :10:36 18, :10:36 18, :03:25 16, :03:25 16, Sonderdividende 33 + Reguläre Dividende 1,3 + Bonus 0, :00 46, :25 50, :20 50, = 22% (!) des Grundkapitals bzw. 44% des Streubesitzes Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 32

33 Die Vorgehensweise im Fall Altana wurde im Eurex- Rundschreiben vom 14. März 2007 >> erläutert. S1 = Schlussauktionspreis der Aktie Altana AG S2 = S1 minus reguläre Dividende (Eurex nimmt keine Anpassung bei regulären Dividenden vor) S3 = S2 minus Sonderdividende und Bonusdividende R-Faktor = S3/S2 Basispreis neu = Basispreis alt * R-Faktor Kontraktgröße neu = Kontraktgröße alt / R-Faktor Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 33

34 Beispiel Call mit Basispreis 50 und Kontraktgröße 100 Xetra-Schlusskurs: 46,56 Ex-Kurs: 17 S1 = Schlussauktionspreis der Aktie Altana AG = 46,56 S2 = S1 minus reguläre Dividende = 46,56 _ 1,3 = 45,26 S3 = S2 minus Sonderdividende und Bonusdividende = 45,26 _ 33 _ 0,5 = 11,76 R-Faktor = S3/S2 = 11,76 / 45,26 = 0,26 Basispreis neu = Basispreis alt * R-Faktor = 50 * 0,26 = 12,99 = 100 / 0,26 = 384,86 Kontraktgröße neu = Kontraktgröße alt / R-Faktor Innerer Kontraktwert neu _ = ( 17 12,99 ) * 384,86 = 1.542,69 Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 34

35 Beispiel Call mit Basispreis 50 und Kontraktgröße 100 Xetra-Schlusskurs: Ex-Kurs: (Abwandlung) S1 = Schlussauktionspreis der Aktie Altana AG = 51 S2 = S1 minus reguläre Dividende = 51 _ 1,30 = 49,70 S3 = S2 minus Sonderdividende und Bonusdividende = 49,7 _ 33,00 _ 0,50 = 16,2 R-Faktor = S3/S2 = 16,20 / 49,70 = 0,33 Basispreis neu = Basispreis alt * R-Faktor = 50 * 0,33 = 16,30 = 100 / 0,33 = 306,79 Kontraktgröße neu = Kontraktgröße alt / R-Faktor Innerer Kontraktwert neu _ = ( 17 16,30 ) * 306,79 = 215,43 Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 35

36 3.4) Wie werden Optionen mit der Black/Scholes-Formel bewertet? Preis eines europäischen Calls C = S Φ(d 1 ) B e it Φ(d 2 ) d 1 = ln S / B i σ 2 /2 t σ t d 2 =d 1 σ t Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 36

37 Beispiel: Restlaufzeit t: 4 Monate = 4/12 = 0,333 Basispreis B: 10 Zins i: 5% = 0,05 Volatilität σ: 30% = 0,3 Aktueller Aktienkurs S: 9 => d 1 = ln 9/10 0,05 0,32 / 2 0,333 0,3 0,333 d 2 = 0,426 0,3 0,333= 0,599 = 0,426 C = 9 Φ(-0,426) 10 e 0,05*0,333 Φ(-0,599) = 9*0,335 10*0,983*0,275 = 0,312 (exakt 0,3157) Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 37

38 Ein europäischer Put kann über die Put-Call-Parität bewertet werden: S P=C B 1 i Für amerikanische Optionen gilt: Preis amerikanischer Call = Preis europäischer Call Für den Preis eines amerikanischen Puts gibt es keine geschlossene Bewertungsformel. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 38

39 3.5) Wie reagieren Optionspreise auf Veränderungen der Bewertungsparameter? Kurs S Call C 8,00 0,087 9,00 0,316 10,00 0,770 11,00 1,446 12,00 2,282 Delta Δ 0,228 0,455 0,676 0,836 Wenn der Kurs des Basiswertes um 1 von 9 auf 10 steigt, dann erhöht sich der Optionspreis um 0,455 auf 0,770. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 39

40 Beispiel: Laut FTD vom »Ackermanns Schweizer Mission«>> hat die Deutsche Bank im großem Umfang Kaufoptionen auf den Schweizer Industriekonzern OC Oerlikon an die österreichischen Investoren Georg Stumpf und Ronny Pecik verkauft. Die hieraus resultierende Stillhalterverpflichtung der Deutschen Bank hat einen negativen Marktwert, der dem Preis der Optionen entspricht. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 40

41 Wenn der Kurs der Oerlikon-Aktie steigt, vergrößert sich der negative Marktwert der Stillhalterposition. Um dieses Risiko zu hedgen, muss die Deutsche Bank eine bestimmte Anzahl Oerlikon-Aktien erwerben. Der Wertzuwachs der Aktien soll dabei jeweils genau dem Wertzuwachs der Optionen entsprechen (Delta-Hedging). Dabei ist dieses Hedge-Portfolio kontinuierlich anzupassen (dynamisches Hedging). Steigt (fällt) der Kurs von Oerlikon, müssen mehr (weniger) Aktien gehalten werden. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 41

42 9. August 2007 (sda/reuters) Die Aktien des Technologiekonzerns OC Oerlikon sind am Donnerstag eingebrochen. Händler erklärten, der Verkaufsdruck sei von Derivaten auf die Oerlikon-Aktien verstärkt worden. Denkbar sei, dass sich Emittenten von Oerlikon- Optionen von den Aktien getrennt hätten. Denn wenn die Aktie deutlich unter die Options-Ausübungskurse sinke, sei es nicht mehr notwendig, gleich viele Aktien als Absicherung zu halten. Dies löse eine Abwärtsspirale aus. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 42

43 FTD vom Beispiel OC Oerlikon: Nach dem Kurssturz der vergangenen Wochen sind die Kaufoptionen nach Einschätzung mehrerer Banker derzeit komplett wertlos. Die Deutsche-Bank-Kunden Stumpf und Pecik hätten Hunderte Millionen verloren und seien auf das Institut sehr schlecht zu sprechen, heißt es in ihrem Umfeld. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 43

44 9. November 2007 (NZZ) Im SLI setzten die Titel von OC Oerlikon (+3,7% auf 596 CHF) ihren seit drei Tagen andauernden Aufwärtstrend fort. Nach Darstellung von Händlern gibt es derzeit keine fundamentale Daten, die als Ursache für die positive Entwicklung genannt werden könnten. Ein Analyst merkte an, es müssten Positionen aufgebaut werden, um Optionen zu hedgen. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 44

45 3.6) Was bedeutet risikoneutrale Bewertung? Beispiel Szenario A Kurs = 115 Aktueller Kurs = 100 Szenario B Kurs = 90 Vereinfachend sei ein Zins von Null für Geldanlage / Kreditaufnahme unterstellt. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 45

46 Kauf von 4 Aktien und Kreditaufnahme von 360 (Investitionssumme 40 ) liefert 100 in Szenario A und 0 in Szenario B => Anspruch auf Zahlung von 1 genau dann, wenn Szenario A eintritt, kostet 40 Cent. Leerverkauf von 4 Aktien (Gutschrift in t = 0: 400 ) und Anlage von 460 (Investitionssumme 60 ) liefert 0 in Szenario A und 100 in Szenario B => Anspruch auf Zahlung von 1 genau dann, wenn Szenario B eintritt, kostet 60 Cent. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 46

47 Risikoneutrale Bewertung: Ein beliebiges Derivat kann damit analog einem Erwartungswert bewertet werden: Zahlung in Szenario A * 0,4 + Zahlung in Szenario B * 0,6 Bei einem Zins > 0 ist zusätzlich noch zu diskontieren. Um größere Genauigkeit zu erhalten, kann der Anlagezeitraum in immer mehr Schritte unterteilt werden. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 47

48 3.7) Wie lässt scih die Black/Scholes-Formel mit Hilfe des Itô-Lemma herleiten Random Walk = Modell zur Erklärung der zufälligen Schwankungen der Aktienkurse Itô-Lemma = Leitet den stochastischen Prozess eines Derivates aus dem stochastischen Prozess des Aktienkurses ab. Delta-Hedge = Risikofreies Hedge-Portfolio liefert Bestimmungsgleichung für den Preis eines Derivates (sog. Black/Scholes-Differentialgleichung) Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 48

49 Random Walk Für die zufällige Rendite nach Ablauf einer Zeitspanne Δt gilt: Erwartungswert = µ Δt Standardabweichung = σ Δt => Rendite = µ Δt + σ ω Δt, ω ~ N(0,1) ΔS t = S t µ Δt + S t σ ω Δt Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 49

50 Itô-Lemma Preis eines Derivates = f(s t,t) Δf Δf ΔS t ΔS t 1 2 Δ 2 f ΔS ΔS 2 2 t Δf t Δt Δt... (Taylor-Entwicklung) Δf ΔS t [S t µ Δt S t σ ω Δt ] (Ersetzen von ΔS t ) Δf ΔS t S t µ Δ 2 f 2 [S t µ Δt S t σ ω Δt ] 2 Δf ΔS t Δt Δt... Δ 2 f ΔS S 2 2 t σ 2 Δf Δf Δt S t Δt ΔS t σ ω Δt t (Zusammenfassen) Drift Noise Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 50

51 Hinweise: Terme höherer Ordnung als Δt werden vernachlässigt ω Δt 2 =ω 2 Δt wird nichtstochastisch und ist durch Δt zu ersetzen (wegen E(ω 2 ) = 1) Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 51

52 Delta-Hedge Das Hedge-Portfolio besteht aus -1 Derivate und Δ Δf f S t ΔS t f Δf ΔS t Aktien: = [ Δf ΔS t S t µ 1 2 Δ 2 f ΔS S 2 2 t σ 2 Δf Δf Δt S t Δt ΔS t σ ω t Δt] Δf ΔS t S t µδt S t σ ω Δt = 1 2 Δ 2 f ΔS S 2 2 t σ 2 Δf t Δt Δt (Noise-Komponente entfällt) (1) S t Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 52

53 Das risikofreie Hedge-Portfolio muss den risikofreien Zins i erwirtschaften, es gilt daher außerdem: Δ Δf f S t ΔS = i Δf f S t t ΔS Δt (2) t Gleichsetzen ergibt die Black/Scholes-Differentialgleichung: 1 2 Δ 2 f ΔS S 2 2 t σ 2 Δf t Δt if i Δf S ΔS t =0 t Im Fall eines europäischen Calls mit der Randbedingung f T = max(s T B;0) bei Endfälligkeit t = T wird diese Gleichung durch die bekannte Black/Scholes-Formel (siehe 3.4) gelöst. Hans Rau-Bredow Einführung zu Futures und Optionen Universität Würzburg WS 2007/8 Seite 53