WEATHER DERIVATIVES: THEORY AND APPLICATIONS IN AGRIBUSINESS

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1 WEATHER DERIVATIVES: THEORY AND APPLICATIONS IN AGRIBUSINESS zur Erlangung des akademischen Grades docor rerum agriculurarum (Dr. rer. agr.) eingereich an der Landwirschaflich-Gärnerischen Fakulä der Humbold-Universiä zu Berlin von Dipl. Ing. agrar. Wei Xu geb. am 10. Sepember 1968 in Lanzhou, VR China Präsiden der Humbold Universiä zu Berlin Prof. Dr. Chrisoph Markschies Dekan der Landwirschaflich-Gärnerischen Fakulä Prof. Dr. Dr. h.c. Oo Kaufmann Guacher: Prof. Dr. Marin Odening, Humbold-Universiä zu Berlin Prof. Dr. Oliver Musshoff, Georg-Augus-Universiä Göingen Prof. Dr. Erns Berg, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universiä Bonn Berlin, den 9. Sepember 2008

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3 Absrac i Absrac Weaher is a major facor of uncerainy for agriculure. The effecs of climae change means ha i is likely ha in he fuure here will be increased flucuaions in weaher paerns and exreme meeorological evens will become more regular. In his conex, he developmen of weaher risk managemen insrumens plays an imporan role in he sabilising of incomes in he agriculural secor, boh in developed economies as well as in developing counries. Since he mid-nineies, so-called weaher derivaives have been emerged on he marke which enables paricipans in he marke o exchange weaher risks. This work aims o invesigae he implemenaion possibiliies of weaher derivaives in agriculure. A range of mehodological preliminary invesigaions will be carried ou. Firs of all i is necessary o find a saisical model which describes he uncerainy of observed weaher evens (e.g. emperaure or precipiaion). Secondly, he relaionship beween weaher and agriculural producion needs o be mapped. Thirdly, a heoreical model needs o be devised which is capable of pricing he weaher derivaives. The hedging effeciveness of a weaher derivaive can be deermined from he poin of view of an agriculural producer using he model componens described above. This sudy will use he example of grain producers in Germany. I will demonsrae ha hedging effeciveness and wih i willingness o pay for weaher derivaives depends on he produc and region. A pronounced basis risk means ha i is unlikely ha weaher derivaives will be widely used by farmers in Germany. Their applicaion poenial for agriculural insurers and reinsurers, however, seems greaer, since hey can use weaher derivaives o ransfer a par of heir sysemaic risk from agriculural income insurance ono he capial marke.

4 Zusammenfassung ii Zusammenfassung Weer sell für die Landwirschaf einen Haupunsicherheisfakor dar. Angesichs der Klimaveränderung gil es als wahrscheinlich, dass Weerschwankungen und die Häufigkei exremer Weerereignisse in Zukunf zunehmen werden. Vor diesem Hinergrund spiel die Enwicklung von Weerrisikomanagemeninsrumenen eine wichige Rolle zur Einkommenssabilisierung in der Landwirschaf sowohl in enwickelen Volkswirschafen als auch in Enwicklungsländern. Sei Mie der neunziger Jahre werden auf Finanzmärken sogenanne Weerderivae angeboen, die den Ausausch von Weerrisiken zwischen Markeilnehmern ermöglichen. Zielsezung der vorliegenden Arbeis is es, die Einsazmöglichkeien von Weerderivaen in der Landwirschaf zu unersuchen. Dazu sind verschiedene mehodische Vorarbeien zu leisen. Ersens, wird ein saisisches Modell benöig, das die Unsicherhei des beracheen Weerereignisses (z.b. Temperaur oder Niederschlag) beschreib. Zweiens, muss der Zusammenhang zwischen Weer und landwirschaflicher Produki-on abgebilde werden. Driens, schließlich bedarf es eines heoreischen Modells, um das Weerderiva zu bepreisen. Liegen die genannen Modellkomponenen vor, kann die Hedgingeffekiviä eines Weerderivas aus Sich eines landwirschaflichen Produzenen besimm werden. Dies geschieh in der vorliegenden Arbei beispielhaf für Gereideproduzenen in Deuschland. Es zeig sich, dass die Hedgigeffekiviä und dami die Zahlungsbereischaf für Weerderivae produkund regionsspezifisch is. Angesichs eines ausgeprägen Basisrisikos is es unwahrscheinlich, dass Weerderivae in Deuschland eine breie Anwendung durch Landwire erfahren werden. Ihr Anwendungspoenzial bei landwirschaflichen Versicherern und Rückversicheren erschein dagegen höher, da diese mi Hilfe von Weerderivaen einen Teil ihres sysemaischen Risikos aus landwirschaflichen Erragsversicherungen auf den Kapialmark ransferieren können.

5 Keywords & Schlagwörer iii Keywords & Schlagwörer Keywords: Weaher derivaives, incomplee markes, hedging effeciveness, basis risk, securiizaion Schlagwörer: Weerderivae, unvollsändiger Mark, Hedging-Effekiviä, Basisrisiko, Verbriefung

6 Conens iv Conens Absrac i Zusammenfassung ii Keywords & Schlagwörer iii Preface vi I. Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene in der Landwirschaf 1 1 Einführung 3 2 Wirkungsanalysen von Weerderivaen 5 3 Bewerung von Weerderivaen 8 4 Vergleich der Bewerungsverfahren anhand numerischer Beispiele 16 5 Schlussfolgerungen 26 6 Lieraur 28 II. Analysis of Rainfall Derivaives Using Daily Precipiaion Models: Opporuniies and Pifalls 30 1 Inroducion 31 2 Valuaion of Weaher Derivaives 33 3 Saisical Modeling of Weaher Indexes 35 4 A Daily Precipiaion Model 37 5 Applicaion: Valuaion of Rainfall Opions for Grain Producers in Norheas Germany 39 6 Conclusions 52 7 References 53 8 Appendix 57 III. Zur Quanifizierung des Basisrisikos von Weerderivaen 59 1 Einleiung 60 2 Daengrundlage und mehodische Vorgehensweise 62 3 Ergebnisse 69 4 Zusammenfassung und Ausblick 72 5 Lieraur 73 IV. Indifference Pricing of Weaher Derivaives 74 1 Inoducion 75

7 Conens v 2 Pricing in Incomplee Markes 77 3 An Indifference Pricing Model for Weaher Derivaives 81 4 Empirical Applicaion: The demand of German grain producers for weaher insurance 86 5 Resuls 89 6 Conclusions 95 7 References 96 V. Opimal Design of Weaher Bonds 99 1 Inroducion Theoreical framework Securiizaion of weaher risk in norheas Germany Conclusions References 114

8 Preface vi PREFACE I is well known ha weaher is an imporan producion facor in agriculure. Unforunaely, his producion facor can barely be conrolled. In fac, weaher risks are a major source of uncerainy in agriculure, and i appears ha volailiies of emperaure and precipiaion have increased in he las decade due o global climae changes. Drough or excessive rain is responsible for poor harvess all over he world. Perhaps he mos obvious impac of he weaher risk is on crop yields, bu is relevance is no limied o crop producion. The performance of livesock farms, he urnover of processors, he use of chemicals and ferilizers, and he demand for many food producs also depends on he weaher. Hence, large secions of he agribusiness are affeced by weaher risks. In he EU, he problem of producion risk is even more relevan since price volailiy is expeced o increase due o recen policy reforms. Tradiionally, in agribusiness, producers have aemped o compensae for he negaive economic consequences of bad weaher by purchasing classic yield or crop insurance. However, in he mid-nineies, a new class of insrumens has emerged, namely weaher derivaives. Generally speaking, weaher derivaives and index-based weaher insurance are financial insrumens ha allow o rade weaher relaed risks. These insrumens include fuures, opions, and swaps. The advanage of using weaher derivaives, index-based weaher insurance, or classic agriculural insurance is ha heir payoffs are deermined in a ransparen manner. Moreover, because of he objecive naure of he weaher records, hey are no affeced by moral hazards or adverse selecion, which can creae serious problems for insurance companies. While he firs ransacions were based on bilaeral conracs, nowadays, sandardized producs are also raded on exchanges, e.g., he Chicago Mercanile Exchange (CME). Unil now, mos ransacions occur in he energy secor, bu some promising applicaions also exis in he agriculural secor. For example, he World Bank has launched weaher-relaed insurance projecs in Morocco and Nicaragua. In he Canadian provinces of Albera and Onario, weaher risk insrumens have also been used o hedge producion risks. The quesion ha arises is wheher and o wha exen weaher derivaives can play he role of useful risk managemen ools in agribusiness. This issue is imporan no only for farm managers bu also for policy makers, since income sabilizaion in agriculure is frequenly considered as a governmenal ask.

9 Preface vii The success of weaher derivaives as risk managemen ools in agriculure depends heavily on heir capabiliy o reduce he risk exposure of farmers, i.e., he hedging effeciveness of weaher derivaives. Analyzing he hedging effeciveness of weaher derivaives requires he resoluion of hree inerrelaed problem areas, namely, he saisical modeling of relevan weaher variables or indexes, he quanificaion of he relaionship beween weaher variables and producion, and he developmen of an appropriae pricing approach. The las issue is discussed in chapers I and IV. The problem of pricing weaher derivaives originaes from he fac ha weaher is no a radable asse and hus sandard no-arbirage-models of sochasic finance canno be applied easily. Differen pricing mehods for financial derivaives and insurance producs are inroduced in chaper I. The applicaion of hese mehods o case sudies in agriculure reveals significan differences in he resuling prices. Chaper IV iniiaes his discussion and suggess a raher new approach for pricing derivaives in incomplee markes, namely, indifference pricing. Chaper II deals wih he saisical aspecs of modeling he weaher risk. While here is comprehensive lieraure on emperaure modeling, less is known abou he properies of precipiaion models. Rainfall, however, is an imporan producion facor for crop yields. Thus, we calibrae and analyze a daily rainfall model, which has been suggesed in he meeorological lieraure. Simpler saisical mehods such as hisorical simulaion and index value simulaion serve as benchmarks for evaluaing he oucome. We discover ha he choice of saisical approach may lead o considerable differences in he esimaion resuls. Moreover, daily precipiaion models should be used wih some cauion in he conex of derivaive pricing because hey end o underesimae rainfall variabiliy. Chaper III is devoed o he analysis of basis risk ha is inheren o weaher derivaives. We decompose basis risk ino producion basis risk and geographical basis risk. This decomposiion is imporan since boh sources of basis risk have o be addressed in differen ways. Producion basis risk can be conrolled hrough he specificaion of an appropriae weaher index, whereas geographical basis risk could be miigaed by a dense nework of reference weaher saions. Our analysis shows ha farmers willingness o pay for weaher insurance depends on he producion program and varies beween regions. This finding suggess he developmen of ailored insurance producs, which, however, lead o higher developing coss. Even if he farmers willingness o pay for weaher derivaives is limied, his does no imply ha hese insrumens are ineffecive in agribusiness. Insead of considering weaher derivaives as an alernaive o radiional crop insurance, hey could also be used by insurers or reinsures for ransferring sysemic risk semming from weaher evens o he capial marke. This noion is examined in chaper V. The srucure of a weaher bond is opimally designed in a uiliy-maximizing framework ha involves farmers, insurers, and capial marke invesors. The approach is illusraed by an example of securiizing drough risk in crop producion

10 Preface viii in Germany. Since reinsurance coss consiue a major cos componen of insurance premiums, minimizing hese coss could decrease he frequenly observed gap beween he willingness o pay and he willingness o accep for insurance.

11 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 1 I. ZUR BEWERTUNG VON WETTERDERIVATEN ALS INNOVATIVE RISIKOMANAGEMENTINSTRUMENTE IN DER LANDWIRTSCHAFT * von Oliver Mußhoff 1), Marin Odening 2) und Wei Xu 2) 1) Georg-Augus-Universiä Göingen Deparmen of Agriculural Economics and Rural Developmen 2) Humbold-Universiä zu Berlin Deparmen of Agriculural Economics and Social Sciences * Published in: Agrarwirschaf- German Journal of Agriculural Economics 54 (4/2005): (in German).

12 Chaper I 2 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene in der Landwirschaf Zusammenfassung Die Bedeuung des Weers als Risikofakor in der Landwirschaf is sei langem bekann. Zur Reduzierung weerbedinger Risiken wurden in den lezen Jahren insbesondere Erragsausfallversicherungen diskuier. Ein relaiv neues Insrumen zur Seuerung des Mengenrisikos sellen sog. Weerderivae dar. Weerderivae sind Finanzmarkproduke, wie z.b. Forward-Konrake, Fuures, Opionen oder Swaps, die sich auf Temperaurindices, Niederschlagsindices oder andere objekiv messbare Weervariablen beziehen. Obwohl Weerderivae gegenüber radiionellen Versicherungen Voreile aufweisen, is der Mark für diese Produke in der Landwirschaf noch relaiv klein. Dies wird u.a. darauf zurückgeführ, dass es schwierig is, Weerderivae korrek zu bepreisen. In der Finanzderivaeheorie enwickele präferenzfreie Bewerungsverfahren sind wegen der Nichhandelbarkei des Weers nich oder nur eingeschränk einsezbar. In diesem Beirag wird exemplarisch anhand eines Beispiels mi realen Daen die Anwendung verschiedener Verfahren zur Bewerung von Weerderivaen verdeulich. Anschließend werden Schlussfolgerungen für die Eignung der verschiedenen Mehoden bei unerschiedlichen Bewerungssiuaionen abgeleie. Die hier behandele Fragesellung is nich nur für Landwire, sondern auch für poenzielle Anbieer von Weerderivaen (also z.b. Versicherungen, Banken, WTB Hannover usw.) relevan. Schlüsselwörer Weerderivae; Opionspreisbewerung; versicherungsmahemaische Verfahren; kapialmarkheoreische Verfahren Absrac The imporance of weaher as a producion facor in agriculure is well esablished long ime and a significan porion of yield flucuaions is caused by weaher risks. Tradiionally, farmers have ried o hedge agains unfavorable weaher using insurance, such as crop insurance. In recen years a new class of insrumens, so called weaher derivaives, have emerged. They allows o reduce weaher based risks as well. Weaher derivaives are financial marke producs such as forwards, fuures, opions and swaps ha have a weaher componen such as emperaure or rainfall. Alhough weaher derivaives have some advanages compared o radiional insurance, heir rading volume is sill raher small. One reason (among ohers) for why poenial users hesiae o ener he marke are he difficulies o deermine a fair price for hese producs. Financial pricing mehods such as he Black-Scholes formula canno be direcly applied since weaher is no a radable asse. In his aricle, various pricing mehods are

13 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 3 invesigaed and applied o acual weaher daa. One imporan finding is ha here are considerable differences beween he pricing mehods. We idenify he srenghs and weaknesses of he pricing mehods and give some recommendaions for heir applicaion. Our resuls may be relevan no only for producers bu also for poenial sellers of weaher derivaives. Keywords Weaher Derivaives; Opion Pricing; Acuarial Mehods; Financial Mehods 1 Einführung In einem jüngs in der Agrarwirschaf erschienenen Beirag werfen BERG e al. (2005) die Frage auf, inwiewei Weerderivae, d.h. Finanzmarkproduke, die dem Ausausch von Weerrisiken dienen, ein nüzliches Insrumen für das Risikomanagemen in der Landwirschaf darsellen. Diese Frage is zweifellos relevan. Die Weerabhängigkei der landwirschaflichen Produkion welwei is offensichlich. Für die weseuropäische Landwirschaf im Besonderen haben die exremen Weerereignisse der vergangenen Jahre die Bedeuung des Weers verdeulich. Ensprechend is der Ruf nach geeigneen Maßnahmen zur Risikominderung lau geworden (LEISINGER 2003). Dabei is zu beachen, dass sich Weerderivae von radiionellen Insrumenen des Risikomanagemens, insbesondere von Versicherungen, in verschiedener Hinsich unerscheiden (ALATON e al. 2002; CAMPBELL und DIEBOLD 2002): Versicherungen dienen überwiegend der Abwehr von Schäden aus kaasrophenähnlichen Ereignissen (Überschwemmung, Hagel, Surm, Bliz). Weerderivae lassen sich so gesalen, dass Zahlungen auch bei weniger drasischen Ereignissen (z.b. unzureichende Niederschläge) ausgelös werden. 1 Um Versicherungsleisungen zu erhalen, muss der Versicherungsnehmer den ensandenen Schaden nachweisen. Bei Weerderivaen werden Zahlungen auomaisch bei Einreen eines objekiv messbaren Ereignisses ausgelös und weisen somi gegenüber klassischen Versicherungspolicen adminisraive Voreile auf. Weerderivae sind im Gegensaz zu Versicherungskonraken nich von der Moral- Hazard-Problemaik beroffen. 2 Ein Mark für Weerderivae erlaub es, Unernehmen zusammenzuführen, für die sich engegengeseze Konsequenzen aus besimmen Weerereignissen ergeben. Durch den 1 Der Übergang von Weerderivaen zu Versicherungsproduken is fließend. Beispielsweise greifen auch sog. Weaher-Index-Based-Insurances im Gegensaz zu klassischen Versicherungsproduken nich nur bei wierungsbedingen Exremschäden (MCCARTHY 2003). 2 In anekdoischer Form wird von dem Versuch des Verkäufers einer Niederschlagsopion beriche, drohende Verluse durch die Erzeugung künslichen Regens abzuwenden (CAMPBELL und DIEBOLD 2002).

14 Chaper I 4 Abschluss eines ensprechenden Verrages können die Risiken gegenseiig gehedg werden. Für Weerderivae bilden sich Sekundärmärke, die auch für insiuionelle Invesoren arakive Anlagemöglichkeien bieen können, da die dor gehandelen Risiken relaiv schwach mi dem sysemaischen Risiko einer Volkswirschaf korrelier sind. Auch zu herkömmlichen Forward- und Fuureskonraken auf landwirschafliche Produke besehen Unerschiede, da diese der Reduzierung von Preisrisiken dienen, während Weerderivae auf weerbedinge Errags- und Absazschwankungen, d.h. die mengenbezogene Erlöskomponene, absellen. Insofern sind Commodiy Fuures und Weerderivae als komplemenäre Insrumene zu sehen. Aus dem bislang Gesagen folg nich, dass die von BERG e al. (2005) geselle Frage posiiv zu beanworen is, sondern nur, dass es sinnvoll erschein, sie zu sellen. Sicher hängen die Einsazmöglichkeien von Weerderivaen von den klimaischen Bedingungen einer Region und vom Produkionsprogramm des Beriebes ab. Eben diese zu erwarende Differenzierung mach es nowendig, einzelberiebliche Wirkungsanalysen durchzuführen. Der Beirag verfolg das Ziel, alernaive Verfahrensweisen bei der einzelberieblichen Wirkungsanalyse zu beschreiben und die besehenden Unerschiede zu verdeulichen. Der Schwerpunk lieg dabei auf dem Vergleich verschiedener Bewerungsverfahren. Die Auseinandersezung mi Bewerungsverfahren für Weerderivae is nich nur aus heoreischer Sich ineressan, da diese Produke einige Besonderheien aufweisen, die eine direke Überragung von Bewerungsmehoden für Finanzderivae erschwer. Vielmehr wird die Bereisellung ransparener Verfahren zur Bepreisung als nowendige Voraussezung für das Zusandekommen einer ausreichenden Liquidiä auf den noch jungen Märken für Weerderivae angesehen (DISCHEL 2002). Ziel dieses Beirages is es nich, eine vollsändige Wirkungsanalyse für besimme landwirschafliche Beriebe durchzuführen. Vielmehr soll eine Vorleisung für solche Unersuchungen zur Verfügung gesell werden, indem verschiedene Bewerungsverfahren auf ihre Tauglichkei uner unerschiedlichen Anwendungsvoraussezungen unersuch werden. Es handel sich quasi um eine Bewerung von Bewerungsverfahren. Die Kennnis der Särken und Schwächen der einzelnen Verfahren hilf poenziellen Anwendern, ihre Wirkungsanalysen sachgerech zu gesalen. Der Haupeil des Beirages beseh aus drei Abschnien. In Abschni 2 wird zunächs kurz die Vorgehensweise einer einzelberieblichen Wirkungsanalyse von Weerderivaen beschrieben. Auf eine Erläuerung der grundsäzlichen Wirkungsweise der verschiedenen Typen von Weerderivaen wird uner Verweis auf den Beirag von BERG e al. (2005) verziche. In Abschni 3 werden verschiedene Verfahren zur Bewerung von Weerderivaen und zur Modellierung von Weerindices vorgesell, von denen einige in Abschni 4 aufgegriffen und

15 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 5 in einem Beispiel mi realen Daen vergleichend gegenübergesell werden. Anhand der Ergebnisse werden Schlussfolgerungen für die Eignung der verschiedenen Mehoden gezogen. 2 Wirkungsanalysen von Weerderivaen Obwohl es ers sehr wenige prakische Anwendungen von Weerderivaen im Agrarbereich gib, finden sich in der Lieraur bereis einige Arbeien, die versuchen deren Anwendungspoenzial für die Landwirschaf abzuschäzen (siehe Tabelle 1). Tabelle 1: Wirkungsanalysen von Weerderivaen im Agrarbereich Auoren Risiko Region Weervariable Deriva CHEN e al. Hizesress-bedinge Ohio Hizeindex (THI) Call-Opion (2003) Milchmengenverluse BERG e al. (2005) Erragsrisiko im Karoffelanbau Deuschland Niederschlagssumme (Mai bis Sepember) Pu- und Call- Opion RICHARDS e al. Erragsrisiko in der Kalifornien CDD, Niederschlagssumme Call-Opion (2003) Obsprodukion STOPPA / HESS Erragsrisiko im Marokko saisongewichee Niederschlagssummen Pu-Opion (2003) Weizenanbau ASSELDONK / Energiekosenrisiko Niederlande HDD Swap OUDE LANDSINK (2003) im Gewächshaus SCHMITZ / STARP Energiekosenrisiko Weseuropa LIFFE-Saisonindex Pu-Opion (2004) TURVEY (2001) im Unerglasanbau Allgemeines Niederschlagsrisiko Onario Niederschlagssumme (Juni und Juli) Pu-Opion Im Allgemeinen zielen die einzelberieblichen Wirkungsanalysen für Weerderivae darauf ab, zu erkennen, wie sich das Risikoprofil eines Beriebes oder eines Beriebszweiges durch die Nuzung (Kauf oder Verkauf) eines oder mehrerer Weerderivae(s) veränder. Als Derivaypen kommen Fuures bzw. Forwards, Call-Opionen, Pu-Opionen und Swaps in Frage, deren Auszahlungen zum Verfallszeipunk wie folg definier sind: ( X ) V τ (für Fuures, long) (1a) X 0 ( X ) V max τ K,0 (für Call-Opionen) (1b) ( K X,0) V max (für Pu-Opionen) (1c) ( X K ) τ V τ (für Swaps) (1d) X 0, X τ bezeichnen den Weerindex am Bewerungszeipunk 0 bzw. zum Fälligkeiszeipunk τ, K den Ausübungspreis (Srike-Preis) und V die Tick-Size. Naürlich können mehrere Derivae mieinander kombinier werden, was die Erzeugung nichlinearer Auszahlungssröme erlaub. Bei der Wirkungsanalyse sind zwei Siuaionen zu uner-

16 Chaper I 6 scheiden: Enweder man beschränk sich auf die Analyse vorhandener Produke, die bereis an Finanzmärken gehandel werden oder man lös sich von dieser Einschränkung und berache Produke, die es zwar noch nich gib, die es aber geben könne, beispielsweise auf dem OTC- Mark 3. Die lezgenanne Berachung wird bei der Mehrzahl der Wirkungsanalysen im landwirschaflichen Konex vorgezogen, da die relaiv wenigen, akuell verfügbaren Derivae den Anforderungen der meisen landwirschaflichen Unernehmen nur unzureichend ensprechen, in dem Sinne, dass ein hohes Basisrisiko verbleib. Durch die Analyse fikiver Insrumene enseh ein zusäzlicher Freiheisgrad in Gesal einer Designaufgabe. Die verschiedenen Konrakparameer des Weerderivas (z.b. der Weerindex oder die Tick-Size) können so gewähl werden, dass das Risikoprofil des Agrarberiebs besmöglich beeinfluss wird. Dieser Weg wird beispielsweise von BERG e al. (2005) beschrien. Eine Wirkungsanalyse sez naürlich die Definiion und die Modellierung eines Weerindex voraus. Der Phanasie sind hier kaum Grenzen gesez; die größe Bedeuung für die Landwirschaf dürfen aber voraussichlich niederschlagsbezogene Indices haben (z.b. Niederschlagssumme innerhalb einer besimmen Kumulaionsperiode). Demgegenüber dominieren emperaurbezogene Indices derweil den welweien Handel, der durch Energieunernehmen geragen wird. Zu nennen sind hier der Heaing-Degree-Day-Index (HDD), der Cooling- Degree-Day-Index (CDD) und der Cumulaive-Average-Temperaure-Index (CAT), die auch in dem empirischen Beispiel in Abschni 4 verwende werden: Der HDD is der akkumuliere Wer der posiiven Differenz zwischen einer Referenzemperaur R (meis 18 Grad Celsius bzw. 65 Grad Fahrenhei) und der Tagesdurchschnisemperaur T innerhalb einer Kumulaionsperiode [ A, E ] : E HDD = = ( R T, 0) A max (2) Fuures und Opionen auf den HDD werden im Winer gehandel. Der im Sommer gehandele CDD is ganz analog definier, mi dem Unerschied, dass die posiiven Überschreiungen der Referenzemperaur kumulier werden: ( T, ) R A E CDD = = max 0 (3) Für in Europa gelegene Säde wird anselle des CDD- der CAT-Index an der Chicago Mercanile Exchange (CME) und der London Inernaional Financial Fuures & Opion Exchange (LIFFE) verwende, der die Summe der Tagesdurchschnisemperauren innerhalb der Akkumulaionsperiode miss: E CAT = = T (4) A 3 Zur Unerscheidung von börsengehandelen Weerderivaen und Over-he-Couner (OTC)-Produken vgl. BERG e al. (2005).

17 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 7 Ein weieres wesenliches Elemen der Wirkungsanalyse is die Schäzung des Zusammenhangs zwischen dem beracheen Weerindex und den Erlösen bzw. Kosen der landwirschaflichen Produkion. Vielfach wird der Einfachhei halber von konsanen Produkpreisen ausgegangen, so dass die Beziehung zwischen dem Weerindex und dem physischen Errag bzw. dem Fakoraufwand zu schäzen is. Dies kann auf einfachse Weise durch die Berechnung von Korrelaionen oder ewas aufwändiger durch die Schäzung mehrfakorieller Produkionsfunkionen erfolgen. In solchen Produkionsfunkionen is der Weereinfluss nich, wie sons üblich, Teil des Sörerms, sondern ein (nich konrollierbarer) Produkionsfakor. Aus den Ergebnissen können sich Rückkoppelungen für die o.a. Designaufgabe ergeben, denn gesuch werden naürlich Weervariablen, die mi dem Errag bzw. Aufwand hoch korrelier sind. Weierhin muss für den Weerindex eine saisische Vereilung am Fälligkeisermin geschäz werden, um die Vereilung der Rückflüsse des Weerderivas prognosizieren zu können. Alernaiven, um dies zu un, werden in Abschni 3.3 diskuier. Schließlich, und darauf lieg das Augenmerk in diesem Beirag, müssen die Kosen für den Erwerb des Derivas ermiel werden, analog zu der Prämie einer Versicherung. In Frage kommende Verfahren werden in den Abschnien 3.1 und 3.2 vorgesell. Die zuvor genannen Elemene werden lezlich in einer Risikoanalyse zusammengeführ. Dabei werden meis mi Hilfe sochasischer Simulaion Vereilungsfunkionen für beriebliche Kennzahlen (Neo-Erlöse, Deckungs- oder Gewinnbeiräge) generier. Häufig wird dabei nur ein Produk berache, eine gesamberiebliche Berachung uner Einbeziehung weierer Risikoquellen is aber denkbar und erschein angesichs von Diversifikaionseffeken auch sinnvoll. Die Risikoprofile werden in Form eines Ohne-Mi-Vergleichs gegenübergesell, und anhand einschlägiger Krierien (Varianz, Value-a-Risk, Sochasische Dominanz) kann überprüf werden, ob durch den Erwerb des Derivas eine Verbesserung für das Unernehmen zu erreichen is. Abbildung 1 fass noch einmal die Schrifolge einer Wirkungsanalyse für Weerderivae zusammen.

18 Chaper I 8 Abbildung 1: Elemene einer einzelberieblichen Wirkungsanalyse von Weerderivaen Modellierung der Weervariable Schäzung des Weereinflusses auf den Errag Design eines Weerderivas Besimmung des Markpreises des Weerderivas Besimmung des Risikoprofils mi/ohne Nuzung des Weerderivas 3 Bewerung von Weerderivaen Im vorangegangenen Abschni wurde dargeleg, dass der Voreil eines Weerderivas als Insrumen zur Risikoabsicherung durch den Preis, den der Käufer dafür enrichen muss, mibesimm wird. Eine Veränderung des Preises des Weerderivas führ zu einer Parallelverschiebung des Risikoprofils. Daher soll nun der Frage nach der richigen Bepreisung von Weerderivaen nachgegangen werden. Für die Bewerung können verschiedene Mehoden herangezogen werden, die sich sowohl in der heoreischen Fundierung als auch in ihrer prakischen Implemenierung unerscheiden. Tabelle 2 versuch, die dabei relevanen Unerscheidungsmerkmale zu srukurieren, wobei anzumerken is, dass nich alle Ausprägungen mieinander kombinierbar sind.

19 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 9 Tabelle 2: Unerscheidungsmerkmale von Bewerungsverfahren für Weerderivae Merkmal Modellyp Berücksichigung der Risikoeinsellung Mögliche Ausprägung versicherungsmahemaische kapialmarkheoreische Modelle Modelle No-Arbirage- Gleichgewichsmodelle Modelle keine präferenzunabhängige Bewerung Risikoaversion (Risk-Neural-Valuaion) Vereilung des Weerindex sochasischer Prozess Gegensand der Modellierung zum Fälligkeiszeipunk des Weerindex der Weervariable Ar der Vereilung paramerisch nich-paramerisch ( hisorische Simulaion ) Ar der Lösung analyisch Simulaion Konrake, die den Ausausch von Risiken zum Gegensand haben und deren Auszahlung von unsicheren Zusandsvariablen, wie z.b. Akienkursen, Karoffelpreisen, dem Aufreen eines Erdbebens oder der Niederschlagsmenge abhäng, werden als Coningen-Claims bezeichne. Eine Bewerung solcher Konrake kann auf der Grundlage von zwei Theoriegebäuden erfolgen: Ersens versicherungsmahemaischen Ansäzen (Acuarial-Mehods) und zweiens kapialmarkheoreischen Modellen (Financial-Pricing, Coningen-Claim-Analysis). Versicherungsmahemaische Modelle leien Prämien für Derivae aus den zu erwarenden Rückflüssen zuzüglich von Prämien für die Risikoübernahme und Transakionskosen ab. Kapialmarkheoreische Modelle gehen meis von Gleichgewichsüberlegungen aus und versuchen die Preise für Derivae so zu besimmen, dass Arbiragefreihei gegeben is. Dabei müssen in der Regel vollkommene und vollsändige Kapialmärke unersell werden. Ineressanerweise haben sich beide Theorien bislang weigehend unabhängig voneinander enwickel, obwohl sie zum Teil ähnliche Zielsezungen haben. Ers in jüngser Zei wird auf Zusammenhänge hingewiesen (EMBRECHTS 2000). Hinsichlich der Lösbarkei können die Bewerungsverfahren dahingehend unerschieden werden, ob sie zu einer geschlossenen analyischen Form führen oder nich. Analyische Verfahren sind einfacher anzuwenden, erfordern aber resrikive Annahmen (z.b. dass die Weervariable einem geomerischen Brownschen Prozess (GBP) folg). Is eine geschlossene Lösung nich möglich, kann der Wer des Derivaes miels sochasischer Simulaion hinreichend genau ermiel werden. Die sochasische Simulaion is aufwändig, erlaub aber auch die Bewerung komplexer Derivae (siehe z.b. MUßHOFF und HIRSCHAUER 2003). Im Folgenden sollen die wichigsen Modelle kurz erläuer werden.

20 Chaper I Versicherungsmahemaische Modelle Versicherungsmahemaische Modelle basieren auf der Enscheidungsheorie. Von besonderer ~ Bedeuung is der sog. faire Preis F 0, der dem Erwarungswer der Schadensvereilung ensprich: τ F ~ r = e E( D ) (5) 0 τ Darin bezeichne D τ den unsicheren Schaden bzw. die Rückflüsse aus dem Konrak, einen Diskonierungsfakor mi seiger Verzinsung und r den risikolosen Zinssaz. (5) sez Risikoneuraliä voraus. Im relevanen Fall der Risikoaversion gil dagegen: ~ F 0 = F0 +π, mi π > 0 (6) Darin bezeichne π eine Risikoprämie, die der Käufer des Konraks berei is für die Risikoüberwälzung zu zahlen. Sofern diese Prämie größer is als die vom Verkäufer gefordere Prämie, komm ein Verrag zusande. Obwohl der faire Preis in der Regel kein Gleichgewichspreis is, finde (5) vielfach Anwendung bei der Bewerung von Weerderivaen. In Abschni 4.3 kommen wir auf den fairen Preis zurück und erläuern eine mögliche Umsezung von (5) im Rahmen der sog. Burn-Rae-Mehode. e rτ 3.2 Kapialmarkheoreische Modelle Ein zenrales Ergebnis der Coningen-Claim-Analyse, das auf COX e al. (1985) zurückgeh, sell die sog. fundamenale Bewerungsgleichung (Fundamenal-Valuaion-Equaion) dar. Dabei handel es sich um eine parielle Differenialgleichung (PDF), die für jedes Deriva gil, dessen Wer von einer sochasischen Zusandsvariablen X (z.b. einem Weerindex oder einem Akienkurs) abhäng. Angenommen, die Zusandsvariable X (synonym: Bezugsobjek, Underlying, Asse) enwickel sich gemäß folgendem sochasischen Prozess dx = X m d + X s dz (7) (7) is ein GBP mi Drifrae m und Volailiä s. dz kennzeichne einen Wiener Prozess. Dann laue die fundamenale Bewerungsgleichung, die der Preis ( X ) (z.b. einer Opion oder eines Fuures) auf X erfüllen muss: F, eines Derivaes F 2 F F + ( m λ s) X + s X = rf (8) 2 X 2 X Dabei bezeichnen r den risikolosen Zinssaz und λ den Markpreis des Risikos, das X innewohn. (Zur Herleiung von (8) siehe z.b. HULL 2000: 498 ff.) Um die PDF (8) lösen zu können, werden Randbedingungen benöig, die sich aus der Auszahlung des Derivas zum

21 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 11 Verfallszeipunk τ ergeben. Für eine Call-Opion is diese Bedingung durch Formel (1b) gegeben. Alernaiv kann der Preis eines (Weer)Derivas miels risikoneuraler Bewerung (Risk- Neural-Valuaion) besimm werden. Die allgemeine Bewerungsformel laue (NEFTCI 1996): F rτ = e Eˆ( D ) (9) 0 τ Ê deue an, dass bei der Erwarungswerberechnung das Prinzip der risikoneuralen Bewerung zur Anwendung komm. Obwohl (8) und (9) eine unerschiedliche Srukur aufweisen, sind beide Bewerungsansäze inhallich äquivalen und führen daher (bei Güligkei von (7)) zum selben Preis für das Deriva. (Zum Beweis der Äquivalenz siehe z.b. NEFTCI 1996: 310ff. oder COX e al. 1985: Lemma 4.) Dieser Preis erfüll die grundlegende Eigenschaf der Arbiragefreihei. Deswegen werden Bewerungsansäze, die auf (8) oder (9) basieren, auch als No-Arbirage- Modelle bezeichne. Demgegenüber haben (5) und (9) dieselbe Srukur, denn in beiden Fällen wird der gegenwärige Preis eines Derivaes als diskonierer Erwarungswer seiner Rückflüsse zum Ausübungszeipunk besimm. Dennoch führen sie in der Regel nich zum selben Preis. Der Grund lieg darin, dass für die Erwarungswerbildung unerschiedliche Wahrscheinlichkeisvereilungen verwende werden. Im Gegensaz zu (5) wird in (9) nich die asächliche Wahrscheinlichkeisvereilung des Underlying verwende, sondern ein risikoneurales Wahrscheinlichkeismaß. Dieser Maßwechsel bewirk, dass die Drifrae des sochasischen Prozesses des Underlying um einen Risikoabschlag s λ verminder wird. Das bedeue, dass nich der Erwarungswer der asächlichen Rückflüsse des Derivas besimm wird, sondern ihr Sicherheisäquivalen ( Ê sa E ). Deshalb is es konsisen, den risikolosen Zinssaz zur Diskonierung zu verwenden. Der Bewerungsansaz (9) ha gegenüber (8) den Voreil, dass sich eine Operaionalisierung leicher erschließ. So kann der Erwarungswer in (9) einfach und hinreichend genau miels sochasischer Simulaion berechne werden. Ein großer Voreil beseh weierhin darin, dass bei Anwendung der sochasischen Simulaion der Erwarungswer prakisch für jeden beliebigen sochasischen Prozess berechne werden kann, während die Lösung der PDF (8) für andere sochasische Prozesse als (7) sehr komplizier wird bzw. gar nich möglich is. Wegen der inhallichen Äquivalenz is aber in beiden Ansäzen ein idenisches konzepionelles Problem zu lösen und zwar die Besimmung des Parameers λ, des Markpreises für Risiko. Hierbei sind drei Siuaionen zu unerscheiden: a) X is ein gehandeles Asse, z.b. eine Akie. In diesem Fall is λ leich zu besimmen, denn es gil (HULL 2000: 500): ( m r) / s = λ. Sez man diese Beziehung in (8) ein, reduzier sich der zweie Term der PDF zu rx ( F / X ). Die risikoneurale Drifrae is der

22 Chaper I 12 risikolose Zinssaz, und eine explizie Schäzung von λ enfäll. Für eine Call-Opion is die Lösung dieser PDF durch die bekanne Black-Scholes-Bewerungsgleichung gegeben (BLACK und SCHOLES 1973): F call rτ 0 0 ( 1 d 2 = c = X N d ) Ke N( ), mi d 1 = (ln( X 0 / K) + ( r + s² / 2) τ ) / s τ und d d s τ 2 = 1 (10) Darin bezeichne N ( ) die Sandardnormalvereilung. Dieser Fall is leider für die Bewerung von Weerderivaen prakisch irrelevan, da Weervariablen nich handelbar sind: You can buy a sunny day. b) Es werden Fuures-Konrake für das Underlying gehandel. Diese Siuaion is für einige Weerindices (z.b. Degree-Day-Indices) und für einige größere Säde gegeben. In diesem Fall kann Black s Bewerungsformel für Opionen auf Fuures angewende werden (BLACK 1976): r ( 0 1 d (ln( f0 / K) + ( s / 2) τ ) c = e τ f N( d ) KN( )), mi d = / s τ und d d s τ 2 = 1 (11) f 0 bezeichne die Noierung des Fuures zum Zeipunk 0. c) Weder das Underlying selbs, noch Fuures auf das Underlying werden gehandel. Diese Siuaion riff im Gegensaz zu Finanzderivaen für die meisen Weerderivae zu. Die Lösung der PDF für eine Call-Opion laue dann (HULL 2000: 275) 4 : rτ ( d ) Ke N( ) qτ X 0e N 1 d (ln( X 0 K) + (( r q) + s c =, mi d = / 2) τ ) / s τ, d d s τ 2 = 1 und q = r ( m λs) Zu beachen is, dass der Markpreis für das Weerrisiko λ zur Bewerung des Derivas gemäß (12) bekann sein muss. In der Lieraur werden verschiedene Vorschläge gemach, um (12) zu operaionalisieren, d.h. den Markpreis des Weerrisikos zu besimmen. Im Folgenden werden drei Vorschläge genann: aa) TURVEY (2002) bezieh sich auf das Capial-Asse-Pricing-Modell und definier den Markpreis für Weerrisiko als rm r λ = β (13) s m mi r m und s m als erwaree Rendie bzw. Volailiä eines Markporfolios. β miss den Zusammenhang von Weerrisiken und Kapialmarkrisiken. TURVEY unersell, dass (12) 4 Ein weierer Ansaz zur Bewerung opionsähnlicher Derivae, der keine Handelbarkei des Underlying bzw. Replizierbarkei voraussez, wird von CHAMBERS and QUIGGIN (2004) vorgeschlagen.

23 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 13 beide unkorrelier sind, d.h. ein Weerbea von Null vorlieg. Dies implizier ein λ von Null. Nimm man weierhin eine Drifrae des Weerindexes von Null an, ergib sich wiederum die Bewerungsformel (11) von BLACK (1976) für Opionen auf Fuures. Die Annahme eines Markpreises für Weerrisiken von Null wird von RICHARDS e al. (2004) allerdings mi dem Hinweis kriisier, dass zwar der Kapialmark nich das Weer beeinfluss, mi Blick auf die Weerabhängigkei vieler Branchen der Volkswirschaf eine umgekehre Beeinflussung aber durchaus safinde. bb) ALATON e al. (2002) greifen auf Preise für bereis gehandele Weerderivae zurück. Die Bewerungsformeln (8) bzw. (9) werden mi Hilfe des Parameers λ so kalibrier, dass die berechneen Preise mi den in der Realiä beobacheen Preisen für das Weerderiva übereinsimmen. Dieses Vorgehen ensprich dem Konzep der implizien Volailiä, hier bezogen auf die risikoneurale Drifrae m λs. cc) CAO und WEI (1999) wählen - LUCAS (1978) folgend - ein sog. Gleichgewichsmodell zur Preisbesimmung von Weerderivaen, das auf einer ineremporalen Nuzenmaximierung basier. Die Bewerung erfolg hierbei nich präferenzunabhängig, sondern erfass explizi die Risikoeinsellung der Wirschafssubjeke durch eine Nuzenfunkion. Das bedeue, dass der Markpreis für das Weerrisiko hier für die Preisbesimmung des Derivas nich bekann sein muss; er wird vielmehr endogen aus der Risikopräferenz der Invesoren abgeleie. Im Folgenden soll dieser Ansaz kurz skizzier werden. Berache wird ein repräsenaives Wirschafssubjek das den erwareen Nuzen aus dem über künfige Perioden aggregieren Einkommen (bzw. den dami möglichen Konsum) maximieren möche: E u = 0 ( b, ) max (14) Darin is u ( b, ) eine konkave, vom (sochasischen) Einkommen b abhängige Nuzenfunkion in Periode. Aus den Opimaliäsbedingungen (Euler-Gleichungen) für das dynamische Opimierungsproblem (14) läss sich der Preis eines Derivaes F mi einer Auszahlung D τ zum Zeipunk τ durch folgende Gleichung besimmen (vgl. CAO und WEI 1999: 6): u u F = E D (15) 0 τ bτ b0 (15) ha insofern Ähnlichkei mi (5) und (9) als der Wer eines Derivas als Erwarungswer seiner Rückflüsse besimm wird. Die Spezifik im Vergleich zu den vorgenannen Mehoden beseh darin, dass einerseis der Erwarungswer anhand der asächlichen (und nich der risikoneuralen) Wahrscheinlichkeien gebilde wird und andererseis anselle des risikolosen Zinssazes (9) ein sochasischer Diskonierungsfakor

24 Chaper I 14 ( u / bτ ) ( u / b0 ) verwende wird. Um (15) für die Bewerung von Weerderivaen zu nuzen, is die Annahme einer speziellen Nuzenfunkion nowendig. DAVIS (2001) zeig einen engen Zusammenhang zwischen No-Arbirage- und Gleichgewichsmodellen auf. Unersell man eine logarihmische Risikonuzenfunkion für die Enscheider und einen GBP (7) für den Weerindex, läss sich (15) in ein Black-Scholes-Modell überführen, bei 2 dem der risikolose Zinssaz r durch m s ersez wird. 3.3 Modellierung und Schäzung des Weerindexes Aus den vorgesellen Bewerungsformeln wird deulich, dass die saisische Modellierung und Schäzung des beracheen Weerindexes wesenlichen Einfluss auf die Bewerung von Weerderivaen haben, da sie den Erwarungswer und die Sreuung des Weerindexes zum Fälligkeiszeipunk deerminieren. Hierbei is zu unerscheiden zwischen Ansäzen, die unmielbar die Vereilung des Weerindexes am Verfallsag berachen und schäzen (z.b. BERG e al. 2005) und Modellen, die die zeiliche Enwicklung des Weerindexes oder der zugrunde liegenden Weervariablen mi Hilfe eines sochasischen Prozesses abbilden. Diese Verfahren werden auch als Index-Value-Simulaion bzw. Daily-Simulaion bezeichne. SCHIRM (2001) weis darauf hin, dass beide Mehoden im Prinzip äquivalen sind, denn lezlich dien der sochasische Prozess auch dazu, die Vereilung der Rückflüsse des Weerderivas zum Zeipunk τ zu besimmen; allerdings hängen die Parameer der Vereilung des Weerindexes zum Ausübungszeipunk von der Länge und der Jahreszei der Akkumulaionsperiode ab. Das bedeue, dass im Rahmen der Index-Value-Simulaion jede Bewerung unerschiedlicher Transakionen eine separae Schäzung der Vereilung erforder. Demgegenüber muss bei Anwendung der Daily-Simulaion nur einmal ein sochasischer Prozess geschäz werden. Ein weieres Argumen für die Durchführung einer Daily-Simulaion is der Umfang der Daenbasis und die dami einhergehende Schäzgenauigkei (BRIX e al. 2002). Lieg beispielsweise eine 10jährige Daenreihe äglicher Durchschnisemperauren vor, so sehen Beobachungswere zur Schäzung des sochasischen Prozesses der Tagesemperaur zur Verfügung, dagegen nur 10 zur Schäzung der Vereilung eines HDD oder CDD. Der Nacheil der Daily-Simulaion beseh in ihrem hohen Aufwand zur Schäzung der eilweise komplizieren Prozesse. Nachsehend sollen beide Verfahren kurz erläuer werden. a) Schäzung der Vereilung zum Verfallszeipunk Es is zu unerscheiden zwischen paramerischen und vereilungsfreien Verfahren. Paramerische Verfahren implizieren die Auswahl einer besimmen Vereilungsform. Für viele Weervariablen dürfe eine Normalvereilung plausibel sein, wenn die Kumulaionsperiode ausreichend lang is (Zenraler Grenzwersaz). Für kürze Kumulaionsperioden kommen auch andere Vereilungen in Frage. Beispielsweise schäzen BERG e al. (2005) eine Dreiecksvereilung für die Niederschlagssumme von Mai bis Sepember. Weierhin is zu berücksichigen,

25 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 15 dass besimme Indices keine negaiven Were annehmen können (z.b. CDD, HDD), was durch eine Log-Normalvereilung sichergesell werden kann. Ein Beispiel für die Anwendung eines vereilungsfreien Verfahrens is die sog. Burn-Rae-Mehode. Sie basier auf dem ypischen versicherungsmahemaischen Vorgehen, bei dem der aus hisorischen Daen berechnee Mielwer der Auszahlungen für das Weerderiva die Grundlage für die Besimmung eines fairen Preises bilde. Das Verfahren kann als eine spezielle Umsezung der Bewerungsformel (5) versanden werden. Der miels Burn-Rae-Mehode berechnee Preis beanwore die Frage: Was wäre zu zahlen gewesen, wenn man den Konrak in der Vergangenhei verkauf häe?. Die prakische Berechnung umfass folgende Schrie: Auswahl einer geeigneen Zeireihe hisorischer Weerdaen ggf. Bereinigung der Daen Berechnung des Weerindexes Berechnung des hypoheischen Payoff für jede Periode Berechnung des durchschnilichen Payoff Diskonierung auf den Bewerungszeipunk Die Mehode weis gewisse Ähnlichkei mi der hisorischen Simulaion auf, wie sie in der Value-a-Risk-Berechnung verwende wird. Aufgrund ihrer Einfachhei wird diese Mehode vielfach von Anbieern von Weerderivaen verwende. TURVEY (2001) sowie CAO e al. (2003) zeigen allerdings, dass die miels Burn-Rae-Mehode ermielen Preise sehr ungenau sein können. Dies is auf folgende Gründe zurückzuführen (vgl. NELKEN 2000): Die Länge der Daenreihe is zu kurz, um die heoreische Vereilung gu zu approximieren. Die Weerdaen können Trends aufweisen. Der ermiele Preis des Weerderivaes is unabhängig von der akuellen Ausprägung der Weervariablen zum Bewerungszeipunk. Es können keine neuen Informaionen in die Bewerung einfließen, somi is auch eine Forschreibung des Weres nich möglich, was einen Handel während der Laufzei des Weerderivaes erschwer. Es fehl die Möglichkei, die Risikoeinsellung der Markeilnehmer konsisen zu berücksichigen. Dies schläg sich konkre in einer Ad-hoc-Annahme bezüglich des Diskonierungsfakors für die Payoff des Derivas zum Verfallsdaum nieder. Diese Kriikpunke schließen jedoch nich aus, dass die Burn-Rae-Mehode in besimmen Siuaionen eine prakikable Lösung darsell. b) Sochasische Prozesse

26 Chaper I 16 Bei der Spezifikaion der sochasischen Prozesse für Weervariablen sind im Vergleich zu Finanzderivaen einige Besonderheien zu berücksichigen. Der Verlauf der Variablen Tagesdurchschnisemperaur is beispielsweise gekennzeichne durch: Saisonabhängigkei. Die Tagesdurchschnisemperauren folgen über die Jahre hinweg einem sinusförmigen Verlauf. Auokorrelaion, d.h. einem überdurchschnilich warmen Tag folg wiederum ein warmer. Mean-Reversion, d.h. es beseh eine Tendenz zur Rückkehr zum langjährigen Temperaurmielwer. Zeiveränderliche Varianz. Im Winer sind die Temperaurschwankungen größer als im Sommer RICHARDS e al. (2004) unersuchen verschiedene Diffusions- und Jump-Prozesse und kombinieren diese mi ARCH-Modellen. Weiere Vorschläge für die Modellierung von Tagesdurchschnisemperauren finden sich bei CAMPBELL und DIEBOLD (2002). In Bezug auf Niederschlag ri das Problem auf, dass dieser lokal sehr große Unerschiede aufweis. Insofern schein es erforderlich, auf mehrere Messsaionen in einer Region zurückzugreifen. Zur Schäzung von Niederschlagsvereilungen unerscheide MORENO (2002) zwischen der Niederschlagswahrscheinlichkei und der Niederschlagsinensiä. Die Niederschlagswahrscheinlichkei wird durch eine Binomialvereilung mi zeiabhängigen Wahrscheinlichkeien approximier, um der beobacheen Auokorrelaion beim zeilichen Aufreen des Ereignisses Regen Rechnung zu ragen. Aus diesen Besonderheien der Weervariablen folg allerdings nich zwangsläufig, dass für den daraus abgeleieen (und für die Bewerung lezlich relevanen) Weerindex (z.b. HDD, CAT, Niederschlagssumme) nich auch einfache sochasische Prozesse adäqua sein können. So zeig z.b. DAVIS (2001) anhand empirischer Daen für Birmingham, dass der HDD sehr gu durch eine Log-Normalvereilung approximier und für seine zeiliche Enwicklung folglich ein GBP (7) unersell werden kann. 4 Vergleich der Bewerungsverfahren anhand numerischer Beispiele Die Ausführungen in Abschni 3 haben deulich gemach, dass eine Vielzahl von Mehoden zur Bewerung von Weerderivaen exisier, die sich in ihrer heoreischen Fundierung und ihrer Umsezung unerscheiden. Unklar is indessen, wie sark sich diese Unerschiede in prakischen Anwendungen bemerkbar machen. Is die Diskussion um die Auswahl eines geeigneen Bewerungsverfahrens eine akademische oder ha sie praxisrelevane Auswirkungen? Um diese Frage zu beanworen, sollen einige der im vorangegangenen Abschni vorgesellen Verfahren vergleichend gegenübergesell werden. Der Vergleich erfolg im Rahmen

27 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene 17 eines Beispiels mi realen Daen, wobei für die Auswahl des Beispiels vor allem die Daenverfügbarkei und weniger die Breie des Einsazbereichs ausschlaggebend war. 4.1 Beschreibung des zu bewerenden Weerderivas und der Daengrundlage SCHMITZ und STARP (2004) folgend wird ein garenbaulicher Berieb berache, der eine ganzjährige Unerglasprodukion von Zierpflanzen bereib. Die Energiekosen, die eine wesenliche Kosenkomponene in der Gewächshausprodukion darsellen, sind in sarkem Maße von der Außenemperaur abhängig. Mi einer Call-Opion auf einen Temperaurindex könne sich der Berieb zumindes eilweise gegen die negaiven Auswirkungen sehr niedriger Außenemperauren in den Monaen November bis März absichern. 5 Die Konrakspezifikaion für dieses Deriva, wie es an der CME in Chicago gehandel wird, laue folgendermaßen: Bezugsobjek is der HDD-Index. Die Kumulaionsperiode ersreck sich über den Zeiraum vom 01. November 2004 bis zum 31. März 2005 (5 Monae). Der Bewerungszeipunk sei der 01. Juli 2004, d.h. die Laufzei der Opion beräg 9 Monae. Die Tick-Size beläuf sich auf 20. Der Srike-Preis ensprich (= HDD x 20 ). 6 Der risikolose Zinssaz wird mi 5 % angenommen. Darüber hinaus wird eine Call-Opion auf einen CAT-Index bewere. Die Auswahl dieses Index is weniger durch sein Anwendungspoenzial in dem oben beschriebenen Garenbauberieb moivier, sondern durch den Wunsch, ein Deriva zu beweren, bei dem die Prämissen für die Verwendung der analyischen Bewerungsverfahren nich oder weniger gu erfüll sind. Wie bereis erwähn, sezen die auf der Black-Scholes-Bewerungsformel basierenden Verfahren eine Log-Normalvereilung für das Underlying voraus. Während diese Annahme für einen HDD- oder CDD-Index plausibel erschein, is für einen CAT-Index eher von einer Normalvereilung auszugehen. Die Call-Opion auf den CAT-Index is wie folg spezifizier: Bezugsobjek is der CAT-Index. Die Kumulaionsperiode ersreck sich über den Zeiraum vom 01. Mai 2005 bis zum 30. Sepember 2005 (5 Monae). 5 Eine nähere Spezifikaion des Beriebes und eine Unersuchung des Zusammenhangs zwischen der Temperaur und den Energiekosen is in diesem Beirag nich erforderlich, da keine vollsändige Wirkungsanalyse angesreb wird und diese Informaionen für die beracheen Bewerungsverfahren nich relevan sind. Der Bezug zu dem Garenbauberieb dien vornehmlich der Moivaion emperaurbezogener Weerindices. 6 Der Srike-Preis für ein Weerderiva wird üblicherweise ausgehend vom empirischen Erwarungswer des Underlying definier. Beispielsweise an der CME ensprich der Srike-Preis dem empirischen Erwarungswer oder dem empirischen Erwarungswer plus/minus einem besimmen absoluen Wer. In diesem Beirag wird ein Srike- Preis in Höhe des empirischen Erwarungsweres gewähl.

28 Chaper I 18 Der Bewerungszeipunk sei der 01. Januar 2005, d.h. die Laufzei der Opion beräg 9 Monae. Die Tick-Size beläuf sich auf 20. Der Srike-Preis ensprich (= CAT x 20 ). Der risikolose Zinssaz wird auch hier mi 5 % angenommen. Für die Berechnung des HDD- und des CAT-Index werden Temperaurdaen der Weersaion Berlin-Tempelhof verwende. 7 Dabei handel es sich um durchschniliche Tagesemperauren über einen Zeiraum vom 01. Januar 1980 bis zum 30. Juni In Abbildung 2 sind der HDD-Index und der CAT-Index für Berlin-Tempelhof grafisch veranschaulich. Abbildung 2: HDD und CAT für die Messsaion Berlin-Tempelhof CAT HDD Schäzung der Vereilung der Temperaur und des Weerindexes Im Folgenden wird ein Modell zur Abbildung der Tagesdurchschnisemperaurenwicklung für die gewähle Messsaion Berlin-Tempelhof geschäz. Dieses Modell wird benöig, um den Derivapreis mi Hilfe der Daily-Simulaion zu besimmen. Die Modellierung von Temperaurdaen is in der Lieraur bereis ausführlich diskuier worden. CAO und WEI (1999) und ALATON e. al (2002) schlagen folgendes Modell vor, das die oben angesprochenen Charakerisika des Verlaufs von Tagesdurchschnisemperauren berücksichig und das hier verwende werden soll (vgl. auch SCHMITZ und STARP 2004): 7 Der HDD und der CAT werden speziell für Berlin nich an der CME gehandel. Zur Implemenierung der Bewerungsverfahren, die Fuures- oder Opionspreisnoierungen benöigen, wird ersazweise auf die Noierungen für London zurückgegriffen.