P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1

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1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl 1. Beim einmaligen Drehen dieses Glücksrades wird genau 1 Segment ausgewählt. Das Rad wird genau zweimal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis: Es werden zwei gleiche Zahlen ermittelt! Ereignis A: 2 gleiche Zahlen P A =P 00 P 11 P A = = P A = Bei Dopingkontrollen wird ein kompliziertes chemisches Verfahren durchgeführt, für dessen Gelingen die Wahrscheinlichkeit 0,9775 beträgt. Die Analyse wird in zwei unterschiedlichen Labors parallel durchgeführt. Berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Analyse gelingt! X-Anzahl gelungener Dopingkontrollen E={0; 1; 2;} P X 1 =1 P X =0 =1 0, P X 1 0,9995 X=0 X=1 X=1 X=2 3. Es wird mit zwei Würfeln gespielt. Es wird vereinbart, dass die in einem Wurf erreichte Augensumme in ausgezahlt wird. Berechnen Sie den Einsatz pro Spiel, damit das Spiel fair ist! Zufallsgröße X Augensumme zweier Würfel Ergebnismenge: E={2;3 ; 4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11;12} P X =2 = 1 36 P X =5 = 4 36 P X =3 = 2 36 P X =6 = 5 36 P X =4 = 3 36 P X =7 = 6 36 Erwartungswert des Gewinns: P X =8 = 5 36 P X =11 = 2 36 P X =9 = 4 P X =10 = P X =12 = 1 36 = = =7

2 Im Mittel kann der Spieler also einen Gewinn von 7 erwarten. Das Spiel ist also fair, wenn der Einsatz pro Spiel ebenfalls 7 beträgt. 4. Jedes Los gewinnt! Bei der Abi-Abschlussfeier muss jeder der 50Teilnehmer ein Los kaufen. Der 1.Preis hat einen Wert von 100, der 2.Preis von 25 und der 3. von 10. Alle anderen Teilnehmer erhalten einen Trostpreis im Wert von 1. a) Wie teuer müsste ein Los sein, damit Einnahmen und Ausgaben übereinstimmen? Ausgaben: = Lospreis: 50 =3,64 Bei einem Lospreis von 3,64 würden die Einnahmen und Ausgaben übereinstimmen. b) Jedes Los wird für 5 verkauft. Der Erlös geht ans Friedensdorf. Wie groß ist der Erlös? =68 Der Erlös beträgt Eine Urne enthält eine rote, eine schwarze und eine grüne Kugel. Es wird solange ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen, bis eine grüne Kugel erscheint. Wird die grüne Kugel im 1.Zug gezogen, so wird ein Gewinn von 2 ausgezahlt. Wird die grüne Kugel im 2.Zug gezogen, so wird ein Gewinn von 1 ausgezahlt. Wird die grüne Kugel im 3.Zug gezogen, so wird kein Gewinn ausgezahlt. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt. Zufallsgröße: X Anzahl der Züge bis zum Zug der grünen Kugel Ergebnismenge: E= {1 ; 2 ; 3 } P X =1 = 1 3 P X =2 = = 1 3 P X =3 = = 1 3 Erwartungswert: = =1 Der Erwartungswert des Gewinns beträgt 1, das Spiel ist also fair, wenn der Einsatz pro Spiel ebenfalls 1 beträgt. 6. Es werden 4 Reißzwecken geworfen. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viele Reißzwecken auf der Spitze landen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine geworfene Reißzwecke auf der Spitze landet, soll 0,4 betragen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3) und P(X=4).

3 P X =0 =10,60,60,60,6=0,1296 P X =1 =40,40,60,60,6=0,3456 P X =2 =60,40,40,60,6=0,3456 P X =3 =40,40,40,40,6=0,1536 P X =4 =10,40,40,40,4=0, Ein Würfel wird 6-mal hintereinander geworfen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine 6 dabei war? P A = = ,402 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 dabei war? P B = = ,6651 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle möglichen Augenzahlen dabei waren? P C = = ,0154 d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahlen genau in der Reihenfolge 1, 2, 3, 4, 5, und 6 geworfen wurden. 1 P D = = , e) Wenn die Augenzahlen in der Reihenfolge 1, 2, 3, 4, 5 gewürfelt wurden, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der sechste Wurf eine 6 ist? P E = In einer Urne befinden sich 8 weiße und 2 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zufällig Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden gezogenen Kugeln unterschiedlich gefärbt sind? P A = = ,355 b) Wie oft muss man ziehen, damit man mit Sicherheit mindestens eine weiße Kugel zieht? höchstens 3 Züge c) Wie oft muss man ziehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% eine schwarze Kugel dabei ist? 0,8 1 P kein schwarz P nicht schwarz 0,2 P nicht schwarz = Es sind 6 Züge notwendig = Aus der Erfahrung ist bekannt, dass unter Menschen aus der Bevölkerung drei an der seltenen Phrenesie (Psychose bei Gehirnentzündung) leiden, ohne es zu wissen. Ein neues Untersuchungsverfahren erkennt die Erkrankung mit einer Wahrscheinlichkeit von 96% korrekt. Von den untersuchten Personen werden jedoch 2% falsch diagnostiziert und als gesunder Mensch fälschlicherweise als krank eingestuft. a) Zeichne ein Baumdiagramm! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Untersuchung das Untersuchungsergebnis dem wirklichen Gesundheitszustand der untersuchten Person entspricht P A =0,00030,96 0,99970,98 P A =0, eine als gesund eingestufte Person die Krankheit doch hat P B =0,00030,04=0,000012

4 eine als krank eingestufte Person doch gesund ist? P C =0,99970,02=0, c) In einem Massentest werden Personen untersucht. Bei wie viel Prozent der als krank eingestuften Personen handelt es sich um eine Fehldiagnose? Welche Schlussfolgerungen muss man aus diesem Ergebnis ziehen? Als krank eingestufte Personen: , , =60846 Personen die fälschlich als krank eingestuft wurden: ,019994= % x=98,6 % x 98,6% der als krank eingestuften Personen haben eine Fehldiagnose erhalten. Ein zweiter Test ist notwendig. 10. Eine Firma stellt USB-Sticks in laufender Produktion her. Nach der Auslieferung wurden erfahrungsgemäß 2,5% der Sticks reklamiert. Von diesen Reklamationen sind 68% gerechtfertigt. a) Die USB-Sticks werden in den Speichergrößen 8GB, 16GB und 32GB hergestellt. Es gibt diese Sticks jeweils mit oder ohne MP3-Wiedergabe und in verschiedenen einfarbigen Farbvarianten. Die Firma stellt insgesamt 42 verschiedenen Ausstattungen der Sticks her. Ermitteln Sie die Anzahl der Farben, in denen die Sticks angeboten werden! Die Sticks werden in 3Varianten der Speichergröße, 2Varianten der MP3-Fähigkeit (mit und ohne) und x Farbvarianten hergestellt. Insgesamt ergeben sich daraus 32x=42 Kombinationsmöglichkeiten. Die Anzahl der Farben beträgt also: 32x=42 x=7 Die USB-Sticks werden 7 unterschiedlichen Farbvarianten hergestellt. b) Eine Lieferung für ein Geschäft besteht aus 80 USB-Sticks. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse A: Es wird kein Stick reklamiert. B: Es werden alle Sticks reklamiert. Die USB-Sticks werden beim Packen zufällig von einem Packband ausgewählt. Da die Sticks aus laufender Produktion stammen, handelt es sich im Prinzip um ein Ziehen mit Zurücklegen, denn für jeden entnommenen Stick folgt sofort ein neu produzierter Stick nach, sodass die Gesamtzahl der Sticks auf dem Packband konstant ist und der Anteil von Sticks, die Reklamationen auslösen werden, im Mittel immer bei 2,5% liegt. Für die beiden Ereignisse A und B sind aus dem verkürzten Baumdiagramm nur zwei Pfade notwendig. Für Ereignis A jeweils der Zug eines Sticks der keine Reklamation (kr) auslöst. Für Ereignis B interessieren nur die Züge, bei denen Sticks gewählt werden, die Reklamationen ( R ) auslösen. 80 mal P A =0,9750, ,975=0, =0, mal P B =0,0250, ,025=0, =6, Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 80 USB-Sticks keine Remationen auslösen beträgt ca. 13,2%, dafür dass sie alle eine Reklamation auslösen ist die Wahrscheinlichkeit praktisch Null. c) Wie hoch ist die Anzahl der erwartenden ungerechtfertigten Reklamationen bei einer Lieferung von 500 USB-Sticks? Anzahl der reklamierten Sticks: 2,5 %von500 0,025500=12,5 Davon sind 68% gerechtfertigt, also 32% ungerechtfertigt. Anzahl der ungerechtfertigten Reklamationen: 32 %von12,5 0,3212,5=4 Von den 500Sticks kann man erwarten, dass 4Stück ungerechtfertigt reklamiert werden.

5 11.Eine Firma fertigt USB-Kabel als Massenware. erfahrungsgemäß sind in einem Karton mit 50Kabeln im Mittel 5 Kabel defekt. Innerhalb einer Werbeaktion bietet die Firma diese Kabel Gro0händlern zu Sonderkonditionen an. Die Großhändler entnehmen dabei jedem Karton genau 2 Kabel ohne Zurücklegen und prüfen deren Qualität. Sind beide Kabel funktionstüchtig, müssen sie für den jeweiligen Karton den vollen Preis zahlen. Befindet sich genau ein defektes unter den gezogenen Kabeln, dürfen sie den Preis für den Karton um 25% reduzieren. Falls beide gezogenen USB-Kabel defekt sind, erhalten sie den Karton für die Hälfte des Preises. Bestimmen Sie, welchen Preis die Firma pro Karton festlegen muss, damit sie durchschnittlich 200,00 pro Karton einnimmt. P soll der Preis sein, der gesucht ist und den die Firma fordern soll. Der Erwartungswert für die Einnahmen beträgt 200. Zufallsgröße X Anzahl defekter Kabel. Es wird nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt. P X =2 = = 2,mit 0,5P 245 P X =1 = = 9,mit 0,75P 49 P X =0 = =198,mit 1P 245 Erwartungswert: =200 =0,5P ,75P P =0,95P P 210,53 Die Firma muss einen Preis von 210,53 kalkulieren um mit Einnahmen von 200 pro Karton rechnen zu können. 12. Erfahrungsgemäß buchen 12% der Kunden eines Reiseveranstalters eine Individualreise. Zufallsgröße: X Anzahl gebuchter Reisen der nächsten 3 Kunden a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Von den nächsten 3 Kunden dieses Reiseveranstalters buchen höchstens 2 eine Individualreise. P A =1 P X =3 =1 0,12 3 =0, B: Von den nächsten 3 Kunden dieses Reiseveranstalters buchen mindestens einer eine Individualreise. P B =1 P X =0 =1 0,88 3 =0, b) Berechnen Sie die Anzahl der Kunden dieses Reiseveranstalters pro Tag, damit mit einer

6 Wahrscheinlichkeit von 95% eine Individualreise pro Tag gebucht wird! P C =1 P X =0 =1 0,88 n =0,95 solve n=23,4 24 Kunden sind nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine Individualreise gebucht wird. c) Eine Pauschalreise dieses Reiseveranstalters nach Kalabrien kostet 820 pro Person und Woche und bringt dem Veranstalter einen Gewinn von 77. Durch Baulärm wird in der nächsten Saison bei der Hälfte der Reisenden mit Rückforderungen in Höhe von 15% des Reisepreises gerechnet. Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn des Reiseveranstalters! G=0,577 0,5 77 0,15820 =15,50 Das Unternehmens kann pro Reise einen Gewinn von 15,50 erwarten. 13. Auf dem Schulhof eines Berufskollegs findet trotz Verbot hin und wieder ein interessantes Glücksspiel statt. Spielregeln: Der Einsatz pro Spiel beträgt 2. Der Spieler setzt zuerst auf eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Anschließend wirft er dreimal einen Würfel. Fällt die gewählte Zahl nicht, ist der Einsatz verloren. Fällt die gewählte Zahl einmal, so erhält er den Einsatz zurück. Fällt die gewählte Zahl zweimal, so erhält der den doppelten Einsatz. Fällt die gewählte Zahl dreimal, so erhält er den dreifachen Einsatz. Welchen Gewinn macht ein Spieler auf lange Sicht? P X =3 = = 1 P X =2 = = 15 P X =1 = = 75 P X =0 = = 125 Erwartungswert: = =1 Der Spieler kann pro Spiel einen ausgezahlten Gewinn von 1 erwarten, da der Einsatz pro Spiel 2 beträgt, verliert der Spieler 1 auf lange Sicht.

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