Trigonometrische Funktionen

Transkript

1 Trigonometrische Funktionen Wir wollen einer Zeichnung und nicht dem Taschenrechner mehrere Sinuswerte entnehmen und graphisch darstellen. Falls c = ist, gilt a = sinα. Die Strecken der Länge liegen auf einem Kreis mit dem Radius. α c a b r = Die Bogenlänge des Viertelkreises beträgt. Es ist sinnvoll, 90 bei abzutragen. Um phsikalische Schwingungsvorgänge und biologische Rhthmen beschreiben zu können, wird die Sinusfunktion durch Aneinanderfügen der 90 -Bögen so erweitert, dass eine zusammenhängende, periodische Kurve entsteht. Uberdies bleiben bei einer derartigen Erweiterung die trigonometrischen Sätze auch für stumpfwinklige Dreiecke (ein Winkel größer als 90 ) gültig. M 0 0 S Dieselbe Kurve ergibt sich bei folgendem Vorgang: Eine Stange rotiert um den Punkt M. Licht fällt in Pfeilrichtung ein. Wir betrachten auf dem Schirm S den Schatten der Stange. Werden die zu den Winkeln gehörenden Schattenlängen in ein Koordinatensstem eingetragen, so entsteht erneut die Sinuskurve. Dieser rotierende Stab steht im Zusammenhang mit einer Pendelbewegung, so dass diese mathematisch erfasst werden kann.

2 Trigonometrische Funktionen f() = sin 90 Periode Der Graph von f() = cos ergibt sich aus dem Graphen von f() = sin durch eine Verschiebung nach links um 90. Das Bogenmaß α r = b Umrechnungsformel: b = α 60 Die Größe des Winkels α kann eindeutig durch die Länge des Bogens b erfasst werden. Ausblick: Fourier (768-80) bewies, dass periodische Funktionen durch eine Summe einfacher trigonometrischer Funktionen approimiert werden können. Die Güte der Näherung steigt mit der Anzahl der Summanden. f() = 8 (sin+ sin+ 5 sin5+ 7 sin7+ 9 sin9 5 6 Skizziere die Graphen der Funktionen. Überlege hierzu, wo die Nullstellen sind und wie groß die Amplitude ist. Die Amplitude ist die größte Abweichung von der -Achse. a) f() = sin b) f() = sin c) f() = +sin d) f() = sin( 0 ) e) f() = sin f) f() = sin

3 Bogenmaß Stelle dir vor, dass der Kreis mit dem Radius (er kann jedoch auch vergrößert gezeichnet werden) auf der -Achse abrollt und sie dabei beschriftet. Die Zahlen geben jeweils die Länge des Kreisbogens an

4 Sinus-, Cosinusfunktion f() = sin f() = cos Begründe, dass gilt: sin(α) = cos(90 α) α 90 α Erläutere die Beziehungen: a) sin = sin( ) b) cos = cos( ) c) sin +cos = d) sin(+ ) = cos trigonometrische Formeln: e) sin(+) = sincos +cossin f) cos(+) = coscos sinsin g) sin = sincos h) cos = cos sin

5 Periodenlänge f() = sin 5 Ein Vorgang, der sich in gleichen zeitlichen Abständen wiederholt, heißt Schwingung. Diese wird durch eine periodische Funktion erfasst. Es gilt dann: f() = f(+n a), n Z. Hierbei ist a die Periode. Für die Sinusfunktion ist a = (oder ein Vielfaches davon). Pflanzt sich eine periodische Zustandsänderung im Raum fort, spricht man von einer Welle. Es genügt, eine periodische Funktion auf einem (beliebig wählbaren) Perioden-Intervall der Länge a zu untersuchen. Es muss im Allgemeinen nicht das kleinste a sein. Welche Periode hat g() = sin? Die folgende Überlegung führt zu einer begründeten Antwort. [?,?] [0,] sin f() = sin 5 Untersuche g() = sin und formulierte den allgemeinen Zusammenhang. g() = sin 5 5

6 Verschiebung g() = sin( ) ist lediglich gegenüber g() = sin verschoben, nach rechts um, gemeint ist natürlich der Graph. f() = sin( ) 5 [,] [0,] sin Untersuche g() = sin( + ) und formulierte den allgemeinen Zusammenhang. [?,?] + [0,] sin Welche Funktion passt zum Graphen? Tipp: Achte auf die Etrema

7 Vergleich mit der Sinusfunktion f() = asin(b+c)+d a heißt Amplitude. b sin(b+c) = sin(b(+ c b )) d ist die Periode. Der Graph von sin(b) geht aus dem Graphen von sin() durch Streckung/Stauchung mit dem Faktor b hervor. Hieraus ist die Verschiebung des Graphen in -Richtung unter Beachtung des Vorzeichens zu erkennen. ist die Verschiebung in -Richtung unter Beachtung des Vorzeichens. Mit [0, a] ist auch [0, ka] ein Periodenintervall, k Z. Zwei periodische Funktionen haben als gemeinsame Periode ein gemeinsames Vielfaches ihrer Perioden. Welche Funktion passt zum Graphen? Tipp: Achte auf die Wendepunkte

8 Sinusfunktionen ermitteln Welche Sinusfunktion passt zum Graphen? a) b)

9 Sinusfunktionen ermitteln Ergebnisse Welche Sinusfunktion passt zum Graphen? a) f() =,5 sin(,88( 0,)) b) f() = 5 sin(0,9( 8))+ 9

10 Sinus-Regression GTR Mit dem GTR kann zu gegebenen Messpunkten eine möglichst gut passende Sinusfunktion bestimmt werden. Dazu werden zunächst die Koordinaten z.b. in die Listen L und L (STAT, EDIT) eingegeben. Mit dem Befehl STATPLOT (STAT, CALC) kann man einen Plot der Werte festlegen. Das Bestimmen der Funktionsgleichung erfolgt z. B. mit: SinReg L, L, 0, Y Die Periode (hier 0) sollte unbedingt angegeben werden. Bei der grafischen Ausgabe ist der Modus Bogenmaß zu beachten. 0