Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.

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1 Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016

2 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F zu den in den betrachteten Formeln vorkommenden Aussagenvariablen heißt üblicherweise Belegung (der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten). Bei n vorkommenden Aussagenvariablen gibt es 2 n Belegungen (und somit Zeilen der Wahrheitstafel). Eine Menge von Formeln F 1, F 2,... heißt erfüllbar oder konsistent oder widerspruchsfrei, wenn es eine Belegung gibt, unter der alle diese Formeln den Wahrheitswert W bekommen. Andernfalls heißt die Formelmenge unerfüllbar oder inkonsistent oder widersprüchlich.

3 (praktische) Entscheidbarkeit In der Aussagenlogik sind alle Fragen nach logischer Folgerung, logischer Äquivalenz, Erfüllbarkeit, Tautologie etc. im Prinzip maschinell entscheidbar (solange nur endlich viele Formeln vorkommen), indem man Wahrheitstafeln ausrechnet. Allerdings: Bei z. B. 100 Aussagenvariablen muss man im Zweifelsfall Belegungen überprüfen (das sind etwa ). Ein Supercomputer im ExaFLOP-Bereich (10 18 Operationen pro Sekunde) schafft dies etwa in einem Jahrhundert. Bei 150 Aussagenvariablen wäre der Rechner heute noch nicht fertig, selbst wenn er beim Urknall begonnen hätte. P = NP? Es ist ein großes offenes Problem der theoretischen Informatik / Logik / Mathematik, ob es prinzipiell schnellere Algorithmen z. B. für das Testen von Erfüllbarkeit einer Formel gibt.

4 Zusammenhänge (1) Wenn F eine Tautologie ist, dann ist F eine Antilogie, und umgekehrt: Wenn F eine Antilogie ist, dann ist F eine Tautologie. Hier wird metasprachlich eine Äquivalenz zwischen den Aussagen F ist eine Tautologie und F ist eine Antilogie behauptet. Sprechweisen (und Schreibweisen) hierfür: F ist dann und nur dann eine Tautologie, wenn F eine Antilogie ist. F ist genau dann eine Tautologie, wenn F eine Antilogie ist. Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass..., ist dass... (mathematisch: F ist eine Tautologie F ist eine Antilogie) Ebenso hat man: F ist dann und nur dann eine Antilogie, wenn F eine Tautologie ist. F ist dann und nur dann erfüllbar, wenn F keine Tautologie ist. F ist dann und nur dann erfüllbar, wenn F keine Antilogie ist.

5 Zusammenhänge (2) F ist dann und nur dann eine Tautologie, wenn F und logisch äquivalent sind, wenn F logisch aus folgt, wenn F logisch aus der leeren Menge an Prämissen folgt. (In diesem Sinne sind die beiden Verwendungen des Zeichens kompatibel.) F ist dann und nur dann eine Antilogie, wenn F und logisch äquivalent sind, wenn logisch aus F folgt.

6 Zusammenhänge (3) Eine aussagenlogische Formel G folgt dann und nur dann logisch aus F, wenn (F G) eine Tautologie ist. Eine aussagenlogische Formel G folgt dann und nur dann logisch aus F 1,...,F n, wenn ((F 1 F n ) G) eine Tautologie ist. Zwei aussagenlogische Formeln F und G sind dann und nur dann logisch äquivalent, wenn (F G) eine Tautologie ist. Zwei aussagenlogische Formeln F und G sind dann und nur dann logisch äquivalent, wenn G logisch aus F und F logisch aus G folgt. Bzw.: (F G) ((F G) (G F ))

7 Zusammenhänge: im Überblick F ist Tautologie: F F F F ist Antilogie: F F F G folgt logisch aus F : (F G) F G (F G) F und G sind logisch äquivalent: (F G) (F G) F G

8 materiale Implikation / Subjunktion / Konditional } Prämisse 1: Alle X sind Y. W W F F Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. W F W F korrekte logische Folgerung? W??? Prämisse 1: Alle Griechen sind Menschen. W Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. W Konklusion: Alle Griechen sind sterblich. W Prämisse 1: Alle Körper sind Integritätsbereiche. W Prämisse 2: Alle Integritätsbereiche sind Ringe. W Konklusion: Alle Körper sind Ringe. W

9 materiale Implikation / Subjunktion / Konditional } Prämisse 1: Alle X sind Y. W W F F Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. W F W F korrekte logische Folgerung? W F?? Prämisse 1: Alle Griechen sind Menschen. W Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. W Konklusion: Alle Menschen sind Griechen. F

10 materiale Implikation / Subjunktion / Konditional } Prämisse 1: Alle X sind Y. W W F F Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. W F W F korrekte logische Folgerung? W F? W Prämisse 1: Alle Engel sind Menschen. F Prämisse 2: Alle Menschen sind Griechen. F Konklusion: Alle Engel sind Griechen. F Prämisse 1: Alle Ringe sind Integritätsbereiche. F Prämisse 2: Alle Integritätsbereiche sind Körper. F Konklusion: Alle Ringe sind Körper. F

11 materiale Implikation / Subjunktion / Konditional } Prämisse 1: Alle X sind Y. W W F F Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. W F W F korrekte logische Folgerung? W F W W Prämisse 1: Alle Menschen sind Engel. F Prämisse 2: Alle Engel sind sterblich. F Konklusion: Alle Menschen sind sterblich. W Prämisse 1: Alle Integritätsbereiche sind Vektorräume. F Prämisse 2: Alle Vektorräume sind Ringe. F Konklusion: Alle Integritätsbereiche sind Ringe. W

12 materiale Implikation / Subjunktion / Konditional (F G) soll Tautologie sein, wenn G logisch aus F folgt. Sicher ist nur, dass dann nicht sein darf, dass G falsch ist und F wahr: A B (A B) W W? W F F F W? F F? Die einzige sinnvolle Möglichkeit innerhalb einer zweiwertigen Logik ist, die? durch W zu ersetzen, weil nur dann eine aussagekräftige Logik entsteht.

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