8 Das Bohrsche Atommodell

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1 8 Das Bohrsche Atommodell 1. Einführung 1.1. Quantenmechanik versus klassische Theorien 1.2. Historischer Rückblick 2. Kann man Atome sehen? Größe des Atoms 3. Weitere Eigenschaften von Atomen: Masse, Isotopie 4. Atomkern und Hülle: das Rutherfordexperiment 5. Das Photon: Welle und Teilchen 6. Teilchen als Welle (de Broglie) 7. Heisenbergsche Unschärferelation 8. Das Bohrsche Atommodell 8.1. Experimenteller Befund 1: Diskrete Spektren 8.2. Experimenteller Befund 2: Franck Hertz Versuch 8.3. Model: Die Bohrschen Postulate 8.4. Veranschaulichung des Models 1: Rydbergatome 8.5. Korrektur durch endliche Kernmasse 8.6. Veranschaulichung des Models 2: Myonische Atome 8.7. Veranschaulichung des Models 3: Positronium, Antiwasserstoff 8.8. Weitere Korrektur: Sommerfeld 8.9. Bohrmodell und DeBroglie Wellen Die Grenzen des Bohrmodells 9. Grundlagen der Quantenmechanik

2 9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

3 Teilchen Klassische Mechanik Quantenmechanik Punkt im Phasenraum Wellenfunktion komplexwertig Ψ(r,t) normierbar s Ψ 2 (x) dx =1 stetig differenzierbar Prinzip 1: Jeder physikalischen Größe A(r, p) ( Observable ), die eine Funktion von Ort r und Impuls p eines Teilchens ist, entspricht ein Differentialoperator Â, den man erhält, indem man p durch -iħ ersetzt: Evolutions gleichung Mess grössen Hamilton Gleichungen Funktionen von r,p Ort: x(t) Impuls mv(t)=m dx(t)/dt Schrödingergleichung Wellengleichung für ein Teilchen im Potentzial V(r) Zeitabhängige SG daraus folgt mit Ψ(r),t)=ψ(r) e ie/~ t die stationäre SG, siehe extra slide Operatoren X (Multiplikation mit x) Basis Prinzip 2: Messung: Jede Einzelmessung kann als Zahlenwert nur die Eigenwerte des Operators liefern. Beispiel 1: Impuls Eigewertgleichung: Drehimpuls L= Drehimpulsoperator Energie (Hamilton-Funktion) 2 p E = H ( r, p) = + V ( r) 2m Hamiltonoperator ˆ h H = H ( r, ih ) = Δ + V ( r) 2m 2 Abgeleitet, allgemein: ersetzt x,p durch Operatoren Beispiel 2: Energie: H ψ(x) = E ψ(x) Energieeigenwerte Energieoperator (Diskrete Energien)

4 Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: debroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Wie kommt man drauf? Geraten, aber naheliegend! Wieso ist das die Energie? Zunächst nur Konstante die E heisst Dimension Energie: ~ == Energie*Zeit Gesamtenergie klärt sich bei Anwendung

5 Bsp: Überlagerungen von Ebenen Wellen zu Wellenpaketen 9. Grundlagen der Quantenmechanik Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: debroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Linear: wenn ψ a (x) und ψ b (x) Lösungen sind Löst auch Ψ(x) = A * ψ a (x) + B * ψ b (x)

6 Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: debroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: Ψ(x)=Ae ikx + B e -ikx löst: Konstante E Ist die Energie des Systems (da V(x)=0 nur kinetische Energie) Kinetische Energie

7 Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: debroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: Ψ(x)=Ae ikx + B e -ikx Mit Zeitabhängigkeit: löst:

8 Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten V(x)= 0 für 0 x L 1 sonst Ψ(x)=Ae ikx + B e -ikx Ψ(x 0)=Ψ(x L)=0 Randbedingung 1 Ψ(x=0) = 0 ) A+B=0 ) Ψ(x)=A(e ikx -e -ikx )=2iA sin(kx) Randbedingung 2 Ψ(x=L) = 2iA sin(kl) = 0 ) kl= nπ (n=1,2,3...) Quantenzahlen n N ist nicht Anzahl der Knoten N=0 ist psi=o kein Teilchen fehlte Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

9 Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1) Nur feste Impulse 2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3) Woher kommt die Quantisierung?? 4) Zeitentwicklung der Zustände? hängt von E n (n 2 ) ab! Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

10 Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1) Nur feste Impulse 2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3) Woher kommt die Quantisierung?? 4) Zeitentwicklung der Zustände? hängt von E n (n 2 ) ab! Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

11 Visualisierung der Zeitabhängikeit der Zustände: a) Eigenzustände haben keine Zeitabhängikkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Real Imaginärteil Aufenthaltswahrscheinlichkeit

12 Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1) Nur feste Impulse 2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3) Woher kommt die Quantisierung?? 4) Zeitentwicklung der Zustände? 5) Was passiert wenn man andere Energie, Wellenfunktion erzwingt? z.b. Barriere aufziehen? Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

13 Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

14 Teilchen mit Anfangsimpuls in 2 dim Potentialtopf (k x, k y ) = (0.86, 0.5) (σ x, σ y ) = (2λ, 2λ)

15 Wichtigste Lehre aus dem Beispiel unendlicher Potentialtopf: Quantenzahlen, und die Quantisierung einer Größe sind Folge der Randbedingungen und der Forderung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit Am Beispiel der Potentialtopf ist dies ohne explizites Lösen der Schrödingergleichung ersichtlich, bei echten Potentialen ist dies etwas versteckter, das Prinzip ist aber gleich. Ausblick: Die Quantisierung des Drehimpulses wird sich auch herausstellen als Folge von Randbedingungen, allerdings nicht des Potentials, sondern aus der Rotation Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

16 9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

17 Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx (I) E(x) (II) Bereich (II): E 0 α 2 Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Ψ I (x=0)=ψ II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(a-b)=α(c-d) (ii) x

18 Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe (I) E(x) (II) Bereich (I): V(x)=0 ) Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx Bereich (II): E 0 α 2 Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx x Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Ψ I (x=0)=ψ II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(a-b)=α(c-d) (ii) Fall a) E<E 0 α reel ) C=0 weil sonst Ψ II (x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(a-b)=α (A+B) ) ik-α ik+α Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

19 Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx (I) E(x) (II) Bereich (II): E 0 α 2 Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx Ψ(x) 1. Potentialwall soll stetig differentierbar reflektiert vollständig auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) 2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein Ψ I (x=0)=ψ II (x=0) ) A+B=C+D (i) Energieerhaltung??? Δ) ik(a-b)=α(c-d) E Δ t > ~ (ii) x Fall a) E<E 0 α reel ) C=0 weil sonst Ψ II (x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(a-b)=α (A+B) ) ik-α ik+α Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

20 Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx (I) E(x) (II) Bereich (II): E 0 α 2 Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Ψ I (x=0)=ψ II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(a-b)=α(c-d) (ii) x Fall b) E>E 0 klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

21 Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx (I) E(x) (II) Bereich (II): E 0 α 2 Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Ψ I (x=0)=ψ II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(a-b)=α(c-d) (ii) x Fall b) E>E 0 Ψ ΙΙ (x)=c e ik x + D e -ik x D=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen D=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(a-b)=-k (A+B) )

22 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) Bereich (II): Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx Stationäre Schrödingergleichung α 2 B 2 Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx x 1. Auch wenn E>E 0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_ 0 ) 2. Wellenfunktion Ψ I (x=0)=ψ II (x=0) ) A+B=C+D (i) (I) ) ik(a-b)=-α(c-d) (ii) A 2 E(x) E 0 (II) D 2 Fall b) E>E 0 Ψ ΙΙ (x)=c e -ik x + D e ik x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(a-b)=-k (A+B) )

23 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) Bereich (II): Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx Stationäre Schrödingergleichung α 2 B 2 Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx x 1. Ψ(x) Auch sollwenn stetig differentierbar E>E 0 wird ein Teil auchder bei Welle x=0 sein reflektiert! (Randbedingung) (Je mehr, je ) höher E_ 0 ) 2. Wellenfunktion Ψ I (x=0)=ψ II (x=0) ) A+B=C+D (i) (I) ) ik(a-b)=-α(c-d) (ii) A 2 E(x) E 0 (II) D 2

24 Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Teilchen läuft mit doppelter Energie der Stufe auf die Stufe zu ein klassisches Teilchen würde mit 1/2E kin weiterlaufen! Ort E = ½ E kin Impuls + auf Stufe zu - reflektiert gausspaket-auf-potentialstufe-mit-halber-energie07_06b.mov

25 Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Teilchen läuft bergab : klassisch würde es beschleunigt weiterlaufen gausspaket-potentialstufe-bergab07_06c.mov

26 Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Potentialstufe in 2 Dimensionen Farbcode: Farbe: Phase Sättigung: Amplitude gausspaket-2dim-potentialstufe-07_08a.mov

27 9.6. Der Tunneleffekt (I) E(x) (II) E 0 x Idee: kann man die Welle freisetzen??

28 9.6. Der Tunneleffekt (I) (II) (III) Ψ Ι (x)=a e ikx + B e -ikx Ψ ΙΙ (x)=c e αx + D e -αx Ψ ΙΙΙ (x)=a e ikx 0 a E 0 x Randbedingungen: Ψ I (0)=Ψ II (0), Ψ II (a)=ψ III (a) 10 0 Höhe 0.3eV, Breite 1nm 10-1 Transmissionskoeffizient (E<E 0 ) T für αa >>1 (dicke Barriere) ENERGY (ev)

29 9.6. Der Tunneleffekt Transmission hängt ab von: 1. Barrierenhöhe (Exponentiell) 2. Barrierenbreite a 3. Masse Makroskopisch irrelevant

30 9.6. Der Tunneleffekt E kin <E Fragen: 1. Energieerhaltung??? 2. Wie lange braucht das Teilchen?

31 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Alpha Zerfall: Pollonium 212 Po -> α Pb MeV Coulombabstossung 208 Pb He Tunnelwahrscheinlichkeit Coulomb versus Kasten! Kernkräfte

32 Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Elektronen in Metallspitze quasi frei Wand: Potentialstufe Zwischenraum: Potentialbarriere Spitze Zwischenraum 0 a Substrat

33 Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) STM-still07_18a.mov STM-scanning07_18c.mov

34 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre Klassische Schrödingergleichung: Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot E n n 2 E(x) E 0

35 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre Klassische Schrödingergleichung: Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Substituiere: Ψ(x) Ψ(x) 2 Lösung für C=1 E=1/2 ~ ω Gausskurve: 1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich 2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)

36 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre Klassische Schrödingergleichung: Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ ω Ψ(x) Ψ(x) 2 Hermitesche Polynome

37 Harmonischer Oszillator: 1. Energieniveus äquidistant (~ω) 2. Nullpunkstenergie 1/2 (~ω) Kastenpotential: E n n 2 Bohrsche Atom: E n 1/n 2

38 Rayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh ν diskret

39 Vergleich QM Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit ν=20 ν=4 ν=0

40 Überlagerung von Zuständen 0,1 Ort Impuls Merke: Grosse Auslenkung Kleiner mittleren Impuls! 05_03c.mov

41 Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden Gauss: läuft NICHT ausseinander (dank Potential) Wellenpaket im Impuls und Ortsraum ν 05_10c.mov