Mathematik II Frühjahrssemester 2013

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1 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 8. Funktionen von mehreren Variablen Kapitel 8.3 Anwendungen der partiellen Differentiation (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 1 / 12

2 1 Implizite Differentiation 2 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 2 / 12

3 z = f (x; y) sei eine Funktion der beiden unabhängigen Variablen x und y, diese wiederum von zwei Parametern u und v abhängige Funktionen: x = x(u, v), y = y(u, v) (u 1 u u 2; v 1 v v 2). Dann ist die durch Einsetzen dieser beiden Parametergleichungen in die Funktionsgleichung z = f (x; y) erhaltene Funktion z = f (x(u; v); y(u; v)) = F (u; v) eine zusammengesetzte, verkette oder mittelbare Funktion dieser Parameter, deren partielle Ableitungen 1. Ordnung nach der folgenden Kettenregel gebildet werden: = x x + y y = x x + y y Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 3 / 12

4 Bezeichnungen: z = f (x; y) : Äussere Funktion x = x(u; v), y = y(u; v) : Innere Funktionen Anmerkungen Auch die folgende Kurzschreibweise für die Kettenregel ist üblich: z u = z xx u + z y y u z v = z xx v + z y y v Wir können die in der Kettenregel auftretenden Ableitungen wiederum ( wie folgt zu Ableitungsvektoren zusammenfassen: ) ( ) x zx = : Äussere Ableitung y z y ( x ) ( ) ) ( ) xu xv =, = : Innere Ableitungen y y u ( x y Die gesuchte partielle Ableitung ist dann das skalare Produkt aus der äusseren und der (entsprechenden) inneren Ableitung. y v Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 4 / 12

5 Beispiel z = f (x; y) = e x cos(x y) mit x = x(u; v) = u + v 2, y = y(u; v) = u v 2. Wir interessieren uns für die partiellen Ableitungen x y x y und. = e x cos(x y) e x sin(x y) = e x [cos(x y) sin(x y)] = e x sin(x y) = 1, x = 2v = 1, y = 2v Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 5 / 12

6 Für die gesuchten partiellen Ableitungen Hilfe der Kettenregel: und erhalten wir dann mit = x x + y y = e x [cos(x y) sin(x y)] 1 + e x sin(x y) 1 = e x cos(x y) = e u+v 2 cos(2v 2 ) = x x + y y = e x [cos(x y) sin(x y)] 2v + e x sin(x y) ( 2v) = 2v e x [cos(x y) 2 sin(x y)] = 2v e u+v 2 [cos(2v 2 ) 2 sin(2v 2 )] Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 6 / 12

7 Wir gelangen zu dem gleichen Ergebnis, wenn wir zunächst die Parametergleichungen in die gegebene Funktion einsetzen und diese dann nach dem Parameter u bzw. v partiell differenzieren: z = e x cos(x y) = e u+v 2 cos(2v 2 ) = F (u; v) = e u+v 2 cos(2v 2 ) = 2v e u+v 2 cos(2v 2 ) + e u+v 2 ( 4v) sin(2v 2 ) = 2v e u+v 2 [cos(2v 2 ) 2 sin(2v 2 )] Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 7 / 12

8 Implizite Differentiation Wir gehen von einer in der impliziten Form F (x; y) = 0 vorgegebenen Funktion aus und fassen die durch diese Gleichung definierte Kurve als Schnittlinie der Fläche z = F (x; y) mit der (x, y)-ebene z=0. Für die Punkte der Schnittkurve ist z = 0 und somit auch dz = F xdx + F y dy = 0. Implizite Differentiation Der Anstieg einer in der impliziten Form F (x; y) = 0 dargestellten Funktionskurve im Kurvenpunkt P = (x; y) lässt sich mit Hilfe der partiellen Differentiation wie folgt bestimmen: Dabei bedeuten: F x(x; y) F y (x; y) y (P) = dy dx } = Fx(x; y) F y (x; y) (F y (x; y) 0) Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z = F (x; y) Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 8 / 12

9 Implizite Differentiation Beispiel Welche Steigung besitzt die Kurve mit der Gleichung (x 2 + y 2 ) 2 2x(x 2 + y 2 ) y 2 = 0 im Kurvenpunkt P = (0; 1)? Lösung: F x(x; y) = 4x(x 2 + y 2 ) 6x 2 2y 2 F y (x; y) = 4y(x 2 + y 2 ) 4xy 2y y (P) = Fx(x; y) F y (x; y) = 2x(x 2 + y 2 ) 3x 2 y 2 2y(x 2 + y 2 ) 2xy y Speziell im Punkt P = (0; 1) gilt dann: y (P) = y (x = 0; y = 1) = 1 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw. 1 9 / 12

10 In der Umgebung eines Flächenpunktes (Arbeitspunkt) P = (x 0; y 0; z 0) kann die nichtlineare Funktion z = f (x; y) näherungsweise durch die lineare Funktion (Tangentialebene) oder ersetzt werden. z z 0 = f x(x 0; y 0)(x x 0) + f y (x 0; y 0)(y y 0) z = f x(x 0; y 0) x + f y (x 0; y 0) y Dabei bedeuten: x, y, z: Abweichungen eines beliebigen Flächenpunktes gegenüber dem Arbeitspunkt P. Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw / 12

11 Anmerkung Auch eine Funktion von n unabhängigen Variablen lässt sich linearisieren. In der unmittelbaren Umgebung des Arbeitpunktes P kann die Funktion y = f (x 1; x 2;...; x n) näherungsweise durch das totale Differential ersetzt werden: ( ) ( ) ( ) f f f y = x 1 + x x n x 1 0 x 2 0 x n 0 Die partiellen Ableitungen beziehen sich dabei wiederum auf den Arbeitspunkt P, gekennzeichnet durch den Index 0. Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw / 12

12 Beispiel Wir linearisieren die Funktion z = f (x; y) = 5x 2 y in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P=(2;1;20). z = f x(2; 1) x + f y (2; 1) y Wir berechnen die partiellen Ableitungen 1. Ordnung: f x(2; 1) = 10x y f x(2; 1) = 20 f y (2; 1) = 5x 2 2 y f y (2; 1) = 10 Die lineare Näherungsfunktion lautet somit: z = 20 x + 10 y oder, mit x = x 2, y = y 1, und z = z 20: z = 20x + 10y 30 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.3 Anw / 12