Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

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1 Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

2 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Funktionen: Denition Denition: f heiÿt (reelle) Funktion oder Abbildung einer Teilmenge D f von IR in IR, wenn jedem x D f durch die Abbildungsvorschrift f genau ein y aus der Menge W f IR zugeordnet wird. Schreibweise: f : D f W f, y = f (x) oder x y D f : Denitionsbereich von f. (f ist auf D f deniert.) x: Variable, unabhängige Variable oder Argument (beliebiges Element der Menge D f ) Ein konkreter Wert x 0 : Stelle oder x-wert y: abhängige Variable, Veränderliche y 0 : Funktionswert (an der Stelle x), y-wert y = f (x): Funktionsgleichung, Zuordnungsvorschrift W (f ) = {f (x) : x X }: Wertebereich (Bild von X ).

3 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Darstellung von Funktionen Es gibt drei Möglichkeiten, Funktionen darzustellen, nämlich durch Zuordnungsvorschrift: x f (x) (auch Termdarstellung) Wertetabellen: Gegenüberstellung von mehreren x-werten und den zugehörigen Funktionswerten in Form einer Tabelle. Wertetabellen ermöglichen einen groben Überblick über die Eigenschaften einer Funktion. Bevor es Computer gab, wurden sie verwendet, wenn numerisch sehr genaue Werte einer Funktion erforderlich waren. Dicke Tabellenwerke (z. B. die so genannten Logarithmentafeln) waren bis ins 20. Jahrhundert hinein ständige Begleiter der MathematikerInnen. Graphen: Darstellung der Punkte (x y) mit y = f (x) in einem Koordinatensystem heiÿt Schaubild (Kurve, Graph) der Funktion.

4 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Beispiele: Zuordnungsvorschrift, Wertetabelle, Graph Stromrechnung: Grundgebühr + verbrauchte Einheiten Einheiten (kwh) x Preis (e) 12, , , , , 225 x 0, 225 Zuordnungsvorschrift: x 12, 80 + x 0, 225 bzw. y = f (x) = 12, 80 + x 0, 225

5 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Beispiele: Zuordnungsvorschrift, Wertetabelle, Graph Portokosten: Gewicht 500 < x (g) 0 < x < x < x Porto (e) 0,55 1,00 1,44 2,20 Zuordnungsvorschrift: 0, 55 für 0 < x 20 1, 00 für 20 < x 50 f (x) = 1, 44 für 50 < x 500 2, 20 für 500 < x 1000

6 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Beispiele: Zuordnungsvorschrift, Wertetabelle, Graph Fläche eines Quadrats: Grundseite (cm) Fläche (cm 2 ) Zuordnungsvorschrift: bzw. x x 2 y = f (x) = x 2

7 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Denitionsbereich Die Variable (z. B. der Buchstabe x) ist ein Platzhalter, für den jeder konkrete Wert d.h. jedes Element der Menge X eingesetzt werden kann. Wird z. B. in die Funktion f (x) = x 2 der Wert x = 7 eingesetzt, so entsteht f (7) = 49. Ist ein Term für manche Werte der Variablen nicht deniert, so muss der Denitionsbereich der zugehörigen Funktion entsprechend eingeschränkt werden. Beispiele: x 1/x (das Invertieren) ist def. auf IR ohne {0} x x (die Wurzelfunktion) ist def. auf IR + 0

8 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Maximaler Denitionsbereich Beispiele f 2 (x) = 1 x 2 Bed.: x 2 0 x 2 f 1 (x) = 4x 3 Bed.: 4x 3 0 x 3 4 f 3 (x) = ln(x + 2) Bed.: x + 2 > 0 x > 2 Bei der Bestimmung des Denitionsbereichs sind folgende Bedingungen zu erfüllen: 1. Nenner 0 2. Radikand 0 3. Argument des Logarithmus > 0

9 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Maximaler vs. ökonomisch sinnvoller Denitionsbereich Mathematisch gibt es einen maximalen Denitionsbereich für jede Funktion. Funktionen beschreiben jedoch auch ökonomische Zusammenhänge, z. B. Preis, Umsatz, etc. Es gibt einen ökonomisch sinnvollen Denitionsbereich D ökon, der u.u. nur eine Teilmenge von D max ist. Beispiel: Zusammenhang zwischen Preis p und abgesetzter Menge x. Für die Preis-Absatz-Funktion p(x) wählt man D ökon so, dass nur nichtnegative Preise und Mengen möglich sind (also p 0, x 0). Beispiel: bei der Fläche eines Quadrats sind nur positive Seitenlängen sinnvoll.

10 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Nachfragefunktionen x: nachgefragte Menge eines Produkts; diese hängt vom Preis p ab. x = x(p) ist i. A. monoton fallend (je höher der Preis, desto geringer die Nachfrage). Modelle: x = x(p) = a b p a, b > 0 x = x(p) = a b p 2 a, b > 0 x = x(p) = a b+p + c a, b > 0; a b + c > 0 x = x(p) = b e ap + c a, b > 0; b + c > 0

11 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Umsatzfunktionen U: Umsatz; hängt von umgesetzter Menge x und Preis p ab. U = p x Menge x hängt vom Preis p ab (s. Nachfragefunktionen). Umsatzfunktionen mit obigen Nachfragefunktionen: U(p) = p x(p) = a p b p 2 a, b > 0 U(p) = p x(p) = a p b p 3 a, b > 0 U(p) = p x(p) = ap b+p a, b > 0; a + c > 0 b U(p) = p x(p) = p b e ap + c p a, b > 0; b + c > 0

12 Begrie Darstellung Denitionsbereich Beispiele für Funktionen aus der Ökonomie Kostenfunktionen K : Kosten eines Betriebs; hängen von der produzierten Menge x ab. K = K(x) = a 0 + a 1 x a 2 x 2 + a 3 x 3 ; a 0, a 1, a 2, a 3 > 0 Mögliche Interpretation der Summanden: a 0 : xe Kosten a 1 : Kosten, die proportional zu produzierten Menge entstehen a 2 : Rationalisierungseekt bei groÿen Mengen a 3 : Wasserkopfeekt durch zu groÿe Betriebe Modell (Polynom) gilt nur für einen kleinen Bereich von x. Koezienten a i müssen aus Erfahrungswerten geschätzt werden.

13 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Übersicht Wir betrachten folgende Eigenschaften Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktion und zwar jeweils die Denition der Eigenschaft selber und ein Beispiel dazu.

14 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Beschränktheit Nach unten beschränkt: Graph verläuft oberhalb einer Parallelen zur x-achse (y = C ) bzw. es gibt eine Konstante C, so dass f (x) C für alle x D Nach oben beschränkt: Graph Kurve verläuft unterhalb einer Parallelen zur x-achse bzw. es gibt eine Konstante C, so dass f (x) C für alle x D beschränkt: Graph verläuft zwischen zwei Waagrechten y = C und y = C bzw. es gibt eine Konstante C, so dass f (x) C für alle x D

15 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Beschränktheit Beispiele f (x) = x ist nach unten beschränkt: f (x) 1 f (x) = x 2 ist nach oben beschränkt: f (x) 0 f (x) = 2 ist beschränkt z. B. durch C = 3 f (x) = cos(x) ist beschränkt: cos x 1 C heiÿt je nachdem obere bzw. untere Scharanke oder einfach Schranke.

16 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Symmetrie Gilt f ( x) = f (x) für alle x D f dann ist das Schaubild symmetrisch zur y-achse. f (x) heiÿt gerade Funktion. Gilt f ( x) = f (x) für alle x D f dann ist das Schaubild symmetrisch zum Ursprung. f (x) heiÿt ungerade Funktion.

17 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Symmetrie Beispiele Beispiele für gerade Funktionen: x n für gerades n (d. h. 1, x 2, x 4,... ), x 2 1, 1/x 2, 1/x 4, 1/(x 2 1), (1 x 2 ) 1/2, cos x, sin 2 x, x sin x Beispiele für ungerade Funktionen: x n für ungerades n (d. h. x, x 3, x 5,... ), x 3 x, 1/x, 1/x 3, x/(x 2 1), x(1 x 2 ) 1/2, sin x, x cos x, tan x

18 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Symmetrie Anwendung Die Symmetrie vieler elementarer Funktionen ist der schlichten Identität ( x) 2 = x 2 zu verdanken (folgt aus ( 1) 2 = 1). Funktionen, in den die Variable x nur quadratisch (d. h. als x 2 ) eingeht, sind immer gerade. Das Produkt zweier gerader oder zweier ungerader Funktionen ist gerade, das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion ist ungerade. Symmetrieeigenschaften von Funktionen können ausgenutzt werden, um Berechnungen abzukürzen: Ist eine Eigenschaft einer (un)geraden Funktion (z. B. der Verlauf ihres Graphen oder die Lage einer Nullstelle) im Bereich x 0 bekannt, so ergibt sich das Ergebnis für den Bereich x < 0 ganz automatisch.

19 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Schnittpunkt mit der x-achse: Nullstelle der Funktion Schnittpunkt mit der y-achse: N(x 0 /0) mit f (x 0 ) = 0 A(0/y 0 ) mit y 0 = f (0) Es gibt max. einen Schnittpunkt mit der y-achse. Beispiel: f (x) = x 2 1 hat die Nullstellen x 1 = 1 und x 2 = 1 und schneidet die y-achse bei 1.

20 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Periodische Funktionen Eine Funktion f (x) mit der Eigenschaft f (x + p) = f (x) heiÿt periodische Funktion. Die kleinste positive Zahl, p für die diese Gleichung erfüllt ist, heiÿt Periode der Funktion. Beispiele: Sägezahnfunktion f (x) = sin x und f (x) = cos x sind periodisch mit p = 2π

21 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Monotonie (in einem Intervall) monoton wachsend: x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) streng monoton wachsend: x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ) monoton fallend: x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) streng monoton fallend: x 1 < x 2 = f (x 1 ) > f (x 2 ) Im Graph erkennt man dies als ansteigen-oder-gleichbleiben, ansteigen, abfallen-oder-gleichbleiben bzw. abfallen.

22 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktionen Funktionen haben Richtung: Eingabe aus Menge D Ausgabe aus Menge W. Wann kann man von der Ausgabe auf die Eingabe schlieÿen, die Funktion also umkehren? Wenn die Funktion eine exakte Entsprechung (Eins-zu-eins-Zuordnung) zwischen Elementen der Menge D und Elementen der Menge W deniert. Genauer: Zu jedem Funktionswert y W gehört genau ein Argument x D. In Formeln: für jedes y W existiert genau ein x D, für das y = f (x) gilt.

23 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktionen Denition: Eine Funktion f mit Denitionsbereich D f und Wertebereich W f heiÿt umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert y W f genau ein x D f gehört. Die Funktion f 1, die den Elementen von W f eindeutig die Elemente von D f zuordnet, heiÿt Umkehrfunktion der Funktion f. Funktion y = f (x) und Umkehrfunktion x = f 1 (y) besitzen dasselbe Schaubild, allerdings mit geänderter Zuordnungsrichtung. Der Graph von f 1 geht aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden (Gerade mit der Gleichung y = x) hervor. (Vertauschen der von den Koordinaten x und y gespielten Rollen).

24 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktionen Satz: Zu jeder streng monotonen Funktion gibt es eine Umkehrfunktion. Bzw.: Eine im Intervall [a, b] streng monotone Funktion besitzt dort eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion y = f 1 (x) einer umkehrbaren Funktion f (x) erhält man in zwei Schritten: 1. Auösen von y = f (x) nach x = x = f 1 (y) 2. Vertauschen von x und y = y = f 1 (x) Dabei werden Denitions- und Wertebereich vertauscht: D f 1 = W f, W f 1 = D f.

25 Beschränktheit Symmetrie Achsenschnittpunkte (Nullstellen) Periodische Funktionen Monotonie und Umkehrfunktion Umkehrfunktion: Beispiel { x Df = [0; 2], f (x) = x mit y W f = [1; 5]. f ist in D f streng monoton wachsend, also existiert dort eine Umkehrfunktion. 1. Auösen nach x: y = x x 2 = y 1 x = y 1 also f 1 (y) : x = { y Df 1 = W y 1 mit f = [1; 5], x W f 1 = D f = [0; 2] 2. Vertauschen von x und y: f 1 (x) : y = x 1 mit { x Df 1 = [1; 5] y W f 1 = [0; 2]

26 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Übersicht Kennt man die Lage der Graphen von grundlegenden Funktionen, so kann man leicht die Graphen einiger abgeleiteter Funktionen bestimmen. Diese abgeleiteten Graphen erhält man durch Verschieben Strecken oder Spiegeln der Funktionen.

27 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Verschiebung in Richtung der y-achse Verschiebung in y-richtung: Addition einer Konstanten y 0 zur Funktion: Der Graph der Funktion y = f (x) + y 0 entsteht aus dem Graph der Funktion y = f (x) durch Verschieben um y 0 Einheiten in Richtung der y Achse. Richtung: y 0 > 0: nach oben < 0: nach unten y 0 Beispiel: f (x) = x 2 : Parabel mit Scheitel bei (0 0) g(x) = f (x) + 2 = x : Parabel mit Scheitel bei (0 2)

28 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Verschiebung in Richtung der x-achse Verschiebung in x-richtung: Subtraktion einer Konstanten x 0 vom Argument: Der Graph der Funktion y = f (x x 0 ) entsteht aus dem Graph der Funktion y = f (x) durch Verschieben um x 0 Einheiten in Richtung der x Achse. Richtung: x 0 > 0: nach rechts < 0: nach links x 0 Beispiel: f (x) = x 2 : Parabel mit Scheitel bei (0 0) g(x) = f (x 2) = (x 2) 2 : Parabel mit Scheitel bei (2 0) Achtung: In der Argumentklammer steht x x 0!

29 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Allgemeiner Verschiebungssatz: Ersetzt man in einer Kurvengleichung x durch (x x 0 ) und y durch (y y 0 ) so wird die Kurve um x 0 in x-richtung und um in y-richtung verschoben. y 0 Beispiel: y = ax 2 Parabel mit Scheitel S = (0 0) = y y 0 = a(x x 0 ) 2 Parabel mit Scheitel S(x 0 y 0 ) Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen: f 0 (x) = x 2, f 1 (x) = x 2 + 2, f 2 (x) = (x 1) 2, f 3 (x) = (x 1) g 0 (x) = x, g 1 (x) = x +1, g 2 (x) = x +1, g 3 (x) = x 2 3

30 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Skizzieren und vergleichen Sie die Kurven K 0 : y = x 2 und K 1 : y = 2x 2 Alle Funktionswerte werden mit dem Faktor 2 multipliziert die Normalparabel wird mit Faktor 2 in y-richtung gestreckt. Skizzieren und vergleichen Sie die Kurven K 2 : y = x und K 3 : y = 2x Betrachte den x-bereich, in dem die Kurve von 0 auf 1 anwächst. Der Graph wird mit Faktor 1 in x-richtung 2 gestreckt.

31 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Das Schaubild der Funktion y = a f (x) mit a > 0 entsteht aus dem Schaubild der Funktion y = f (x) durch Streckung mit dem Faktor a in Richtung der y-achse (oder parallel zur y-achse). Das Schaugild der Funktion y = f (b x) mit b > 0 entsteht aus dem Schaubild der Funktion y = f (x) durch Streckung mit dem Faktor 1 in Richtung der b x-achse (oder parallel zur x-achse). Bei Faktoren > 1 spricht man auch von Dehnung, bei Faktoren < 1 von Stauchung oder Pressung der Kurve.

32 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Was passiert, wenn die Faktoren a bzw. b < 0 sind? Im ersten Fall (y = a f (x)) wird der Graph an der x-achse gespiegelt und dann mit dem Faktor a in y-richtung gestreckt. Im zweiten Fall (y = f (b x)) wird der Graph an der y-achse gespiegelt und dann mit dem Faktor 1 in x-richtung b gestreckt.

33 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Beispiel: Die Funktion f (x) = 1 x 2 kann sowohl durch Streckung in 4 x-richtung als auch in y-richtung aus der Normalparabel y = x 2 entstehen. 1. a = 1 4 : Streckung (Stauchung) in y-richtung mit Faktor a = b = 1 2 : f (x) = ( 1 2 x) 2 Skizze? Streckung (Dehnung) in x-richtung mit Faktor 1 b = 2

34 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Spiegelung von Punkten und Kurven Spiegelung an Koordinatenachsen (x-achse, y-achse) Ursprung (Punkt (0 0)) 1. Winkelhalbierende (y = x) durch Ändern der Vorzeichen oder Vertauschen der Variablen. Beispiel: Spiegelbilder zum Punkt P 0 (2 3): bezüglich x-achse: P 1 (2 3) bezüglich y-achse: P 2 ( 2 3) Skizze! bezüglich Ursprung: P 3 ( 2 3) bezüglich 1. Wh.: P 4 (3 2)

35 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Spiegelung von Punkten und Kurven Übersicht: Spiegelungen für einen (allgemeinen) Punkt P(x y) und für die Funktionskurve y = f (x): Spiegelung Punkt P(x y) Kurvengleichung y = f (x) geht über in geht über in an x-achse (x y) y = f (x) an y-achse ( x y) y = f ( x) am Ursprung ( x y) y = f ( x) an 1. Wh y = x (y x) x = f (y) (Umkehrfunktion)

36 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Verschieben, Strecken, Spiegeln: Beispiel Die Funktionskurve K 0 mit der Gleichung y = f 0 (x) = e x 1 wird 1. an der x-achse gespiegelt 2. an der y-achse gespiegelt 3. an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt 4. um 1 in Richtung der negativen x-achse verschoben 5. um 2 in Richtung der positiven y-achse verschoben. Wie lauten die Gleichungen der zugehörigen Funktionen f 1 bis f 5? Skizze!

37 Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen Streckung in Richtung der Koordinatenachsen Spiegelung von Punkten und Kurven Verschieben, Strecken, Spiegeln: Beispiel Lösung: Die Kurve K 0 mit der Gleichung y = e x 1 wird zu 1. x x : f 1 (x) = e x 1 2. y y : f 2 (x) = e x 1 3. x y : f 3 (x) = ln(x + 1) 4. x x + 1 : f 4 (x) = e x y y 2 : f 5 (x) = e x + 1

38 4. Übersicht Wir betrachten folgende wichtige Funktionsklassen und ihre Graphen, Eigenschaften und Rechenregeln dazu: Potenz-, Wurzelfunktionen; rationale Funktionen; Exponential- und Logarithmusfunktionen, Logarithmengesetze; und deren Umkehrfunktionen

39 Denition Potenzfunktion Die Funktionen y = x k mit k Z heiÿen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Hochzahlen. Beispiele für Graphen: 2 Schaubilder 1. x, x 2, x 3 2. x 1 = 1 x, x 2 = 1 x 2

40 4.1.2 Eigenschaften der Potenzfunktionen y = x n y = x n = 1 x n n gerade n ungerade n gerade n ungerade D f R R R\{0} R\{0} W f [0; ) R (0; ) R\{0} Symmetrie zur y-achse zum Ursprung zur y-achse zum Ursprung Monotonie in ( ; 0] in R in ( ; 0) in ( ; 0) in [0; + ) in (0; + ) in (0; + ) gem. Punkte (1 1); (0 0) (1 1); (0 0) (1 1) (1 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) Asymtoten x-achse x-achse y-achse y-achse

41 4.1.3 Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen y = x n, n {2, 3, 4,... } für x 0. Denition: Die Funktionen y = n x = x 1 n, n {2, 3, 4,... } mit D = {x x 0}, W = {y y 0} heiÿen Wurzelfunktionen. Merke: für uns sind Wurzelfunktionen nur für nichtnegative x deniert.

42 4.2 Ganzrationale Funktionen/ Beispiele: f (x) = 2x 2 3x 4 Polynom vom Grad 2 g(x) = 5x 3 + x Polynom vom Grad 3 h(x) = x 5 Polynom vom Grad 5 (Potenzfunktion) Die Funktion p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n mit x R, n {0, 1, 2,... } mit reellen Koezienten a 0, a 1,..., a n und a n 0 heiÿt Polynom vom Grad n oder ganzrationale Funktion vom Grad n. sind deniert für alle x R Schaubilder: ununterbrochene glatte Kurve (ohne Ecken, Sprünge) NST eines Polynoms sind die Lösungen der Gleichung p n (x) = 0.

43 Verhalten von n für x Für Werte in der Nähe von x = 0 kann man Wertetabelle für einen gewissen Bereich aufstellen. Aber: Wie verhält sich ein Polynom für groÿe x? Das Verhalten eines Polynoms p n (x) für groÿe Werte von x hängt nur ab vom Glied mit dem höchsten Exponenten von x: p n (x) a n x n für x. n gerade: p n ist entweder nach oben oder unten beschränkt. n ungerade: p n ist weder nach oben noch n. u. beschränkt. a n > 0: Graph verläuft von li. unten nach re. oben a n < 0: Graph verläuft von li. oben nach re. unten

44 4.2.2 Nullstellen (NST) und Faktorzerlegung Wenn man alle NST eines Polynoms kennt, kann man das Polynom in Faktoren zerlegen, die diese NST berücksichtigen. Beispiel: Einfachste lineare Funktion mit x 1 = 1 als NST: f (x) = x 1 Allgemeinste lineare Funktion mit x 1 = 1 als NST: f a (x) = a(x 1), a 0 Beispiel: Einfachste quadratische Fkt. mit NST x 1 = 1, x 2 = 3 : g(x) = (x 1)(x + 3) Jede quadratische Fkt. mit NST x 1,2 = {1, 3}: g a (x) = a(x 1)(x + 3) = a(x 2 + 2x 3), a 0

45 Satz vom Nullprodukt Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Durch Polynomdivision kann man ein Polynom sukzessive in Faktoren der Form (x x i ) mal Rest zerlegen, wobei die x i Nullstellen des Polynoms sind.

46 Faktorzerlegung Bemerkungen: Jedes Polynom der Form f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) (x x n ), a 0 hat die n Nullstellen x 1, x 2,..., x n. Die Darstellung heiÿt Zerlegung in Linearfaktoren. Anzahl der NST eines Polynoms ist nie gröÿer als sein Grad. Jede NST hat eine bestimmte Ordnung: x 0 ist NST n-ter Ordnung, wenn der linear-faktor n-fach vorkommt, d.h. wenn f (x) = (x x 0 ) n Rest. Doppelte NST x 1 entspricht Faktor (x x 1 ) 2. Geometrisch: Graph berührt die x-achse.

47 Grundbegrie Denition: Eine gebrochenrationale Funktion ist der Quotient aus zwei n R(x) = Z n(x) N m (x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 Zähler Z n (x): Polynom vom Grad n Nenner N m (x): Polynom vom Grad m Beispiele: f (x) = x3 3x+5 x 2 n = 3, m = 1 g(x) = 3x2 +4x+9 x 2 +5 n = 2, m = 2

48 Echt/unecht gebrochenrationale Funktionen Bezeichnungen: n m d. h. Grad(Zähler) Grad(Nenner): unecht gebrochenrationale Funktion n < m d. h. Grad(Zähler) < Grad(Nenner): echt gebrochenrationale Funktion Satz: Jede unecht gebr.rat. Funktion lässt sich darstellen als Summe eines Polynoms und einer echt gebr.rat. Funktion (Polynomdivision). Beispiel: f (x) = 3x2 +4x+9 x 2 +5 = 3 + 4x 6 x 2 +5

49 : Denitionslücken Def.Lücke Nenner = Null (Zähler egal) Nenner darf nicht Null sein, d.h. R(x) ist überall deniert, auÿer an den NST des Nenners, den sog. "Denitionslücken". Es gibt höchstens m Denitionslücken (Grad Nenner: m). Beispiele: f (x) = x3 3x+5 x 2 D f = R\{2} g(x) = 3x2 +4x+9 x 2 +5 D g = R (x ist immer > 0).

50 Gebrochenrationaler Funktionen: Nullstellen NST Zähler = Null, Nenner Null R(x) = Z n(x) N m (x) hat dort Nullstellen, wo der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist: Beispiel: R(x 0 ) = Z n(x 0 ) N m (x 0 ) = 0 Z(x 0) = 0 und N(x 0 ) 0 R(x) = x 2 x x + 2 = x(x 1) x + 2 Nullstellen: x 1 = 0, x 2 = 1

51 4.3.2 Verhalten in der Nähe von Denitionslücken Zwei Fälle: Nenner an der Stelle x 0 gleich Null N(x 0 ) = 0 und Zähler Z(x 0 ) 0 : Pol (Unendlichkeitsstelle) Zähler Z(x 0 ) = 0 : Pol (Unendlichkeitsstelle) oder behebbare Denitionslücke Ein Pol bzw. eine Unendlichkeitsstelle oder auch senkrechte Asymptote liegt dann bei einer Denitionslücke vor, wenn die Funktion an dieser Stelle von links bzw. rechts gegen + oder strebt (Grenzwert ± ) (be)hebbare Denitionslückse: durch eine nachträgliche Denition des fehlenden Funktionswerts kann die Funktion zu einer stetigen Funktion gemacht werden. Pol, behebbare Denitionslücke graphisch?

52 Fazit: Verhalten bei Denitionslücken Ist x 0 eine p-fache Nullstelle des Nenners und keine Nullstelle des Zählers, so besitzt R(X ) bei x 0 eine Unendlichkeitsstelle oder einen Pol. p gerade Pol ohne Zeichenwechsel p ungerade Pol mit Zeichenwechsel Ist x 0 Nullstelle des Nenners und des Zählers einer gebrochenrationales Funktion R(x), so sind zwei Fälle möglich: R(x) kann (durch Kürzen) bei x 0 stetig ergänzt werden (hebbare Denitionslücke). R(x) besitzt bei x 0 einen Pol.

53 4.3.4 Verhalten für x Asymptoten: Hat der Graph einer Funktion die Tendenz, einer Geraden (oder Kurve) immer näher zu kommen, so wird diese Asymptote genannt. Asymptoten treten auf: an Polen/Unendlichkeitsstellen wenn das Verhalten einer Funktion für groÿe Werte von x (oder x) dem einer Geraden (oder anderen Funktion) immer ähnlicher wird (asymptotische Annäherung einer Funktion an eine Gerade (oder Kurve)) Asymptoten sind nützlich, um das globale Verhalten von Funktionen zu beschreiben einfache und bekannte Funktionen als Maÿstab für das Verhalten komplizierter Funktionen zu benutzen.

54 Verhalten für groÿe x Verhalten eines Polynoms für groÿe x hängt ab von den Gliedern mit der höchsten Potenz (a n x n ). Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion hängt ab von den Gliedern mit der höchsten Potenz von Zähler Z(x) und Nenner N(x) (a n x n, b m x m ). Für x ± gilt: n < m (echt gebr.rat. Funktion) R(x) 0 waagrechte Asymptote y = 0. Bsp.: f (x) = 2x x 3 +2x x 2 n = m R(x) an b n waagrechte Asymptote y = an b n Beispiel: f (x) = 2x+5 2 für x ± x 3 n > m (unecht gebr.rat. Funktion) R(x) ± Näherungskurve ist ein Polynom vom Grad (n m).

55 Verhalten für groÿe x Bei unecht gebrochenrationalen Funktionen (Grad(Zähler) > Grad(Nenner)) erhält man die Asymptote durch Polynomdivision. Beispiel: f (x) = x2 +2 für x 1 x 1 Polynomdivision: (x 2 + 2) : (x 1) = x x 1 Für x nähert sich y = f (x) an die Gerade y = x Da > 0 für x > 1: Annäherung für x von oben. x 1 3 Da < 0 für x < 1: Annäherung für x von unten. x 1

56 4.4 Als Exponentialfunktion mit der Basis a bezeichnet man die Funktion Beispiele: 2 x, ( ) 1 x, 10 x y = a x, x R, a 1 2 Eigenschaften von f (x) = a x für a > 0, a 1: D f = R, W f = (0; ); keine Nullstelle! streng monoton: a > 1 wachsend; 0 < a < 1 fallend x-achse ist Asymptote Linkskurve Kurvenpunkt (0 1) a x und ( ) 1 x a = a x sind zueinander symmetrisch bezüglich der y-achse

57 Logarithmusfunktion Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit Basis a heiÿt Logarithmusfunktion zur Basis a. y = log a x x = a y, x > 0, a 1 Wichtig sind nur Basen a > 1. Eigenschaften für a > 1: y = a x y = log a x D = R D = (0; ) W = (0; ) W = R streng monoton wachsend streng monoton wachsend Asymptote: x-achse Asymptote: y-achse (Pol) Linkskurve Rechtskurve Kurvenpunkt (0 1) Kurvenpunkt (1 0) (Nullstelle)

58 Exponential- und Logarithmusfunktion zur Basis e Für Anwendungen am wichtigsten sind die Funktionen mit Basis e: e = lim ( n 1 + n) 1 = 2, Eulersche Zahl e y = e x = exp (x) Exponentialfunktion, e-funktion y = log e x = ln x natürlicher Logarithmus e x geht durch (0 1) mit Steigung 1, Linkskurve e x 0 für x e x + für x + ln x geht durch (1 0) mit Steigung 1, Rechtskurve ln x für x 0 ln x + für x +

59 Rechenregeln Potenzgesetze a m a n = a m+n a m a n = a m n log u v a n b n = (ab) n a n b n Logarithmengesetze (auch für ln) log(uv) = log u + log v = log u log v log(u k ) = k log u = ( a b ) n log 1 v = log v (a m ) n = (a n ) m = a mn Achtung! log(a + b) log a + log b Speziell: a 0 = e 0 = 1 log 1 = ln 1 = 0 e ln x = x ln(e x ) = x und y = ln x x = e y (nach Denition)

60 Beispiel Gegeben ist die Funktion y = f (x) = e x 1. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion y = f 1 (x). Zeichnen Sie die Schaubilder. y = e x 1 ist streng monoton, also existiert die Umkehrfunktion. 1. Auösen nach x: y + 1 = e x x = f 1 (y) = ln(y + 1) 2. Vertauschen von x und y: y = f 1 (x) = ln(x + 1) Schaubilder: Verschiebe e x um 1 nach unten bzw. ln(x) um 1 nach links. Die beiden Kurven berühren sich im Ursprung.

61 und ihre Umkehrfunktionen. Die Funktionen in der Übersicht: sin cos tan arcsin (arcus-sinus) arccos (arcus-cosinus) arctan (arcus-tangens)

62 Sinus und Cosinus Frage: Wie lange ist der Schatten eines um den Winkel α relativ zur Horizontalen geneigten Stabes der Länge 1, wenn die Sonne senkrecht auf ihn herabscheint? Wert ist eindeutig (nachmessen), kann aber nicht berechnet werden. Aber wir können dem Ergebnis einen Namen geben: wir nennen es Cosinus.

63 Sinus und Cosinus Grüne Strecke: cos α oder cos(α), gesprochen: Cosinus α oder Cosinus von α" Senkrechte Projektion einer Strecke der Länge 1, die um den Winkel α geneigt ist Blaue Strecke: sin α oder sin(α), gesprochen: Sinus α oder Sinus von α" Horizontale Projektion einer Strecke der Länge 1, die um den Winkel α geneigt ist

64 Sinus und Cosinus Sinus und Cosinus (und einige weitere Funktionen, die daraus gewonnen werden können) heiÿen Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen. Funktion: jedem Winkel α werden die Gröÿen sin α und cos α zugeordnet. Der Unterschied zu anderen Funktionen (z. B. Quadrieren) besteht darin, dass die numerische Berechnung von sin α und cos α für einen gegebenen Winkel α aufwändiger ist als das Quadrieren einer gegebenen Zahl. Werte liefern Computer oder Taschenrechner. Beispiel: cos(51 ) =

65 Sinus/Cosinus im rechtwinkligen Dreieck (1) Gegeben: Rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse 1 und α einer der nicht-rechtwinkligen Winkel. Dann ist sin α die Länge der Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt, und cos α die Länge der Kathete, die dem Winkel α anliegt.

66 Sinus/Cosinus im rechtwinkligen Dreieck (2) Gegeben: Allgemeines Rechtwinkliges Dreieck mit Winkel α wie vorhin, aber einer Hypothenuse nicht unbedingt gleich 1. In beiden Dreiecken ist aber die (dem Winkel α) gegenüberliegende Kathete (blau) um Faktor sin α kürzer als die Hypothenuse, die Ankathete (grün) um Faktor cos α kürzer als die Hypothenuse. sin α = Gegenkathete Hypothenuse cos α = Hypothenuse Ankathete

67 Sinus/Cosinus für alle Winkel: Zeigerdiagramme Darstellung im Koordinatensystem: Winkel geht vom Ursprung aus gegen Uhrzeigersinn. Winkel kann über 90 hinaus erweitert werden. sin/cos können negativ werden. Winkel werden durch Zeiger repräsentiert.

68 Sinus/Cosinus für alle Winkel: Zeigerdiagramme Aus Zeigerdiagrammen Eigenschaften von sin/cos direkt ablesbar. Zunächst: sin/cos sind für alle Winkel zw. 0 und 360 deniert. sin/cos können jedoch für alle Winkel deniert werden (Zeiger weiter drehen/zurück drehen). Beispiel: sin 370 = sin 10 Vorzeichen von sin, cos ablesbar je nachdem, in welchem Quadranten der Zeiger liegt, der α repräsentiert. 90 < α < < α < 90 sin α > 0 sin α > 0 cos α < 0 cos α > < α < < α < 360 sin α < 0 sin α < 0 cos α < 0 cos α > 0 Wertebereich sin / cos : [ 1; +1]

69 Eigenschaften von sin, cos Satz des Pythagoras (Zur Erinnerung a 2 + b 2 = c 2 im rechtwinkligen Dreieck) sin 2 α + cos 2 α = 1 Kurzschreibweise: sin 2 α = (sin α) 2 Sprich: Sinus-Quadrat alpha Daraus folgt: (Einfacher) Zusammenhang zw. sin und cos cos α = ± 1 sin 2 α wobei das Vorzeichen davon abhängt, in welchem Quadranten der Zeiger von α ist. (1.+4. Q +, Q )

70 Weitere Eigenschaften von sin, cos Periodizität und Symmetrie: Aus Zeigerdiagramm: sin/cos periodisch mit Winkel 360 bzw. Periode 2π Es gilt: Auÿerdem: sin(α ) = sin α cos(α ) = cos α sin( α) = sin α ungerade Funktion cos( α) = cos α gerade Funktion

71 Weitere Eigenschaften von sin, cos Additionstheoreme: Für zwei beliebige Winkel a, b gilt sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b Sonderfall: a = b sin(2a) = 2 sin a cos a cos(2a) = cos 2 a sin 2 a = 1 2 sin 2 a = 2 cos 2 a 1 (Letzte Umformungen mit Pythagoras)

72 Weitere Eigenschaften von sin, cos Verschiebungsformeln: ( sin x + π ) ( 2 cos x + π ) 2 = cos x = sin x sin(x + π) = sin x cos(x + π) = cos x

73 Bogenmaÿ Es gibt verschiedene Winkelmaÿe: Gradmaÿ: Kreis wird in 360 (Winkelgrade) eingeteilt Bogenmaÿ: Winkel entspricht der Länge des entsprechenden Bogens des Einheitskreises (Kreis mit Radius 1) Volle Umdrehung = Umfang Einheitskreis = 2π Umrechnung zw. Grad- und Bogenmaÿ: (wg. 360 = 2π) Gradmaÿ α = 360 α 360 = 2π α 360 Bogenmaÿ x Bogenmaÿ x = 2π 2π = x 360 2π Gradmaÿ

74 Bogenmaÿ Winkel ϕ im Winkel x im Gradmaÿ Bogenmaÿ π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/ π/4 180 π 270 3π/ π Bogenmaÿ: Gröÿe eines Winkels wird durch die Länge des entsprechenden Bogens am Einheitskreis gemessen. ϕ nimmt dann Werte zwischen 0 und 2π an.

75 Tangens Aus sin und cos kann man weitere Funktionen ableiten, die wichtigste ist wohl der Tangens. Denition: tan α = sin α cos α Im rechtwinkligen Dreieck gilt: tan α = Gegenkathete Ankathete Tangens ist für einige Winkel nicht deniert, z. B. tan(90 ) Grund: Division durch Null (wenn cos α = 0) Werte für Tangens können beliebig groÿ werden.

76 Eigenschaften des Tangens Periodisch mit Periode 180 oder Periode π tan(α ) = tan α Symmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion): tan( α) = tan α Denitionslücken: überall dort, wo der cos Null ist, also π + k π, k IN 2

77 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Funktion y = sin x y = cos x y = tan x Def.bereich IR IR IR\ { π 2 Wertebereich [ 1; 1] [ 1; 1] IR Periode 2π 2π π Symmetrie sin( x) = cos( x) = tan( x) = sin(x) cos(x) tan(x) π Nullstellen k π 2 π Pole keine keine 2

78 Tabelle mit einigen Werten trigonometrischer Funktionen x ϕ sin x cos x tan x π/ π/ π/ π/ ± 2π/ π/ π/ π π/ ± 2

79 Die Graphen der trigonometrischen Funktionen Sinus Cosinus Tangens streng mon. wachsend in [ π 2 ; π 2 ] d.h. dort umkehrbar streng mon. wachsend in [0; π] d.h. dort umkehrbar streng mon. wachsend in [ π 2 ; π 2 ] d.h. dort umkehrbar

80 Umkehrfunktionen Bezeichnung: arcus-sinus, arcus-cosinus, arcus-tangens (arcus = Bogen) sin : [ π 2 ; π 2 ] [ 1; 1] arcsin : [ 1; 1] [ π 2 ; π 2 ] cos : [0; π] [ 1; 1] arccos : [ 1; 1] [0; π] tan : [ π ; π ] ( ; ) arctan : IR [ π ; π ] Es gibt zwischen 0 und 2π bzw. zwischen π und 3 π zwei Winkel, 2 2 die den gleichen sin bzw. cos haben (vgl. Zeigerdiagramm). Den anderen Winkel muss man berechnen. Sämtliche Winkel, die einen vorgegebenen sin- oder cos-wert haben, erhält man aus diesen beiden Lösungen, indem man Vielfache der Periode 2π addiert.

81 Umkehrfunktion arcsin Welche Winkel x haben alle den gleichen Sinus y 0? Bzw. welche Winkel x lösen die Gleichung y 0 = sin x? 1. Lösung: x 1 = arcsin y 0 ( π 2 x 1 π 2 ) Winkel, deren Summe 180 oder π ist, haben den gleichen Sinus (Supplementärwinkel) 2. Lösung: x 2 = π x 1 (wegen x 1 + x 2 = π = 180 ) sämtliche Lösungen: (Addiere Vielfache der Periode 2π) x = = { x1 + k 2π (k = 0, ±1, ±2,... ) x 2 + k 2π { arcsin y0 + k 2π (k = 0, ±1, ±2,... ) (π arcsin y 0 ) + k 2π

82 Umkehrfunktion arccos Welche Winkel x haben alle den gleichen Cosinus y 0? Bzw. welche Winkel x lösen die Gleichung y 0 = cos x? 1. Lösung: x 1 = arccos y 0 (0 x 1 π) Winkel, deren Summe 360 oder 2π ist, haben den gleichen Cosinus 2. Lösung: x 2 = 2π x 1 (wegen x 1 + x 2 = 2π = 360 ) sämtliche Lösungen: (Addiere Vielfache der Periode 2π) x = = { x1 + k 2π (k = 0, ±1, ±2,... ) x 2 + k 2π { arccos y0 + k 2π (k = 0, ±1, ±2,... ) (2π arccos y 0 ) + k 2π

83 Umkehrfunktion arctan Welche Winkel x haben alle den gleichen Tangens y 0? Bzw. welche Winkel x lösen die Gleichung y 0 = tan x? Tangens hat Periode π addiere zur Lösung der arctan-funktion Vielfache der Periode π 1. Lösung: x 1 = arctan y 0 ( π 2 x 1 π 2 ) sämtliche Lösungen: (Addiere Vielfache der Periode π) x = x 1 + k π = arctan y 0 + k π (k = 0, ±1, ±2,... )

84 Allgemeine Sinusfunktion (1) y = a sin(bx + c) + d = a sin ( b( ( x + c b )) + d = Zunächst wie oben umschreiben (b ausklammern). Veränderungen der Funktion ausgehend von y = sin x: y = a sin x: Streckung in y-richtung um Faktor a Amplitude y = a sin(bx): Streckung in x-richtung um Faktor 1 b Periode (NST) y = a sin ( b ( )) x + c b : Verschiebung in x-richtung um x0 = c b NST/Phase y = a sin(bx + c) + d: Verschiebung in y-richtung um d NST

85 Allgemeine Sinusfunktion (2) Wir betrachten Funktionen der Art y = a sin(bx + c) Veränderungen der Funktion ausgehend von y = sin x: Funktion Amplitude Periode Nullstellen (1) y = sin x 1 2π 0 + k π (2) y = a sin x, a 0 a 2π 0 + k π (3) y = a sin bx, b > 0 a (4) y = a sin(bx + c) = a sin [ b ( )] x + c b k = 0, ±1, ±2,... a 2π b 2π b 0 + k π b c b + k π b

86 Allgemeine Sinusfunktion: Beispiel Gegeben: f (x) = 5 sin ( 2 x + π ) = 5 sin [ ( )] x + π 4 Amplitude: A = 5 2 Periode: p = 3π = 2π 3 2 Verschiebung: x 0 = π (nach links) 4 Skizze?

87 Allgemeine Sinusfunktion: Aufgabe Skizzieren Sie ohne Benutzung eines Rechners die Funktion y = 3 sin ( 2x π 4 ). Geben Sie dazu Amplitude Periode sowie alle Nullstellen der Funktion an. Welche Nullstellen liegen im Intervall [0; 2π]?

88 Allgemeine Sinusfunktion: Lösung y = 3 sin ( 2x π 4 ) = 3 sin [ 2 ( x π 8 )]. Amplitude: 3 = 3 Periode: 2π = π 2 alle Nullstellen: π + k π, k ZZ 8 2 Die Funktion ist um π nach rechts verschoben, um den Faktor 8 3 in y-richtung gestreckt, an der x-achse gespiegelt und immer nach einer halben Periode kommt eine weitere NST. Nullstellen im Intervall [0; 2π]: π, 5π, 9 13 π, π (Abstand: π = 4π)

89 Harmonische Schwingungen (Überblick) Die allgemeine Sinus-Funktion x(t) = A sin(ωt + ϕ) mit A > 0, ω > 0 kann auch als Schwingung aufgefasst werden. Dabei bedeutet A: Maximale Auslenkung oder Amplitude ω: Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit der Schwingung ϕ: Phase (auch Phasenwinkel oder Nullphasenwinkel genannt) Die Periode P = 2π ω wird in diesem Zusammenhang als Schwingungsdauer T bezeichnet. f = 1 T ist die Frequenz der Schwingung.

90 Harmonische Schwingung ausführlicher Neben der Sinus-Funktion mit ihren Eigenschaften brauchen wir aus der Physik noch die Winkelgeschwindigkeit ω (Rotationsgeschwindigkeit): gibt an, wie schnell sich etwas dreht Veränderung des Winkels pro Zeitspanne ϕ = ω t unabhängig vom Radius (im Gegensatz zur Bahngeschwindigkeit) Beispiel: ω des Sekundenzeigers einer Uhr: 360 = 6 (im Gradmaÿ) = 0, (im Bogenmaÿ) 60s s s Einheit: 1 s

91 Harmonische Schwingung Die harmonische Schwingung ist deniert als die durch den Schatten eines gleichförmig rotierenden Zeigers zustande kommende Bewegungsform. Beispiel: Pendel (s. Applet) Bezeichnungen: A: Länge des Zeigers, Amplitude ω: Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Zeigers ϕ: Momentaner Winkel des Zeigers (Bogenmaÿ) x: (Momentane) Position des schwingenden Punktes. (Positiv oder negativ, je nachdem, ob der Zeiger nach oben oder nach unten weist.)

92 Harmonische Schwingung Berechne x aus einer beliebigen momentanen Zeigerstellung ϕ: x = A sin ϕ Gleichförmige Rotation: Wie ändert sich der Winkel des Zeigers im Laufe der Zeit? Oder: Berechne die Funktion ϕ(t)! Annahme (vereinfachend): zur Zeit t = 0 soll der Winkel ebenfalls 0 sein, d.h. ϕ(0) = 0 ϕ(t) = ωt Annahme: Winkel zur Zeit t = 0 hat den Wert ϕ 0 ϕ(t) = ωt + ϕ 0 Berechnung des Bewegungsverlaufs x(t) der harmonischen Schwingung: x(t) = A sin(ωt + ϕ 0 ) (statt ϕ 0 schreibt man i.d.r. nur ϕ)

93 Harmonische Schwingung: Darstellung mit cos Es gilt: sin ( x + π 2 ) = cos x (Verschiebungsformel) Eine Kosinus-Schwingung der allgemeinen Form y = A cos(ωt + ϕ) (A > 0, ω > 0) kann auch als Sinus-Schwingung ( in der Form y = A sin ωt + ϕ + π ) = A sin(ωt + ϕ ) dargestellt }{{ 2} ϕ werden. Interpretation: gleiche Winkelgeschwindigkeit, gleiche Amplitude, anderer Phasenwinkel ϕ = ϕ + π (d.h. andere 2 Ausgangsposition für den Zeiger).

94 Harmonische Schwingung: Beispiel Stelle die harmonischen Schwingung y 1 = 3 cos ( ωt π ) 4 als Sinusfunktionen vom Typ y = A sin(ωt + ϕ) (A > 0) dar. Addiere π zur Phase der Cosinus-Schwingung: 2 y 1 = 3 cos ( ωt π ) ( ) 4 = 3 sin ωt + π 4