Definition 1.2. Eine kontinuierliche Gruppe mit einer endlichen Menge an Parametern heißt endliche kontinuierliche Gruppe. x cosξ sinξ y sinξ cosξ

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1 8 Gruppentheorie 1 Lie-Gruppen 1.1 Endliche kontinuierliche Gruppe Definition 1.1. Eine Menge G mit einer Verknüpfung m heißt Gruppe, falls folgende Axiome erfüllt sind: (i) Die Operation m, genannt Multiplikation, erfüllt m : g, h m(g, h) = g h G (1.1) für alle g, h G. (ii) Assoziativität: g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 (1.2) für alle g 1, g 2, g 3 G. (iii) Existenz des neutralen Elements e mit g e = e g = g (1.3) für alle g G. (iv) Existenz des inversen Elements, d.h. für alle g G existiert ein g 1 G mit g g 1 = g 1 g = e. (1.4) Im Folgenden sind wir hauptsächlich an kontinuierlichen Gruppen interessiert, bei denen, salopp gesprochen, die Gruppenelemente durch kontinuierliche Parameter charakterisiert werden. Definition 1.2. Eine kontinuierliche Gruppe mit einer endlichen Menge an Parametern heißt endliche kontinuierliche Gruppe. Beispiel 1.1. Betrachte z.b. die Drehungen in der Ebene, ( ) ( ) ( ) ( x x x cosξ sinξ y y = D(ξ) = y sinξ cosξ ) ( x y ). (1.5) Die Hintereinanderausführung entspricht der (Matrix-)Multiplikation; damit bilden die D(ξ) eine Gruppe. Dabei dient ξ als Parameter bzw. als Koordinate. 1.2 Lie-Gruppe Definition 1.3. Eine C r -Lie-Gruppe G ist eine C r -Mannigfaltigkeit, die eine Gruppe mit einer Verknüpfung ist, und wo für alle g, h G die Abbildungen (1) (g, h) g h und (2) g g 1 C r -Abbildungen sind.

2 1.2 Lie-Gruppe 9 Z.B. für die Multiplikation m : (g, h) m(g, h) = g h bedeutet die Differenzierbarkeit definitionsgemäß, dass mit den Kartenabbildungen ϕ i aus (g, h) m g h ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 Ê n a b Ê n c Ê n die Abbildung d.h. ϕ 3 m (ϕ 1 1, ϕ 1 2 ) : Ê2n Ê n (1.6) (a, b) c(a, b) (1.7) eine C r -Abbildung ist. Analog kann man die zweite Bedingung zurückführen auf die Aussage, dass a(a) eine C r Funktion ist, wobei mit der Inversenbildung i : g g 1 : g Ê n a i g 1 ϕ 1 ϕ 2 a Ê n a = ϕ 2 i ϕ 1 1 (a) ist. Beispiel 1.2. Betrachte wieder die Drehungen in der Ebene. Die Gruppenmultiplikation kann durch ( ) D(ξ), D(η) D(ξ) D(η) =: D(ζ) (1.8) ζ(ξ, η) = ξ + η (1.9) ausgedrückt werden. Die Multiplikation ist hier offensichtlich eine analytische Abbildung. Bemerkung 1.1. (a) Eine C ω -Lie-Gruppe 2 heißt einfach nur Lie-Gruppe. (b) Oft definiert man eine Lie-Gruppe G als eine Gruppe, bei der g eine Abbildung von einem Parameterraum U Ê n nach G ist und mit g(c) = g(a) g(b), g(a) = g 1 (a) sowohl c(a, b) eine analytische Funktion von a und b als auch a eine analytische Funktion von a ist. Der Unterschied zu Obigem ist die Beschränkung auf eine globale Parametrisierung. (c) Es gilt: Jede endlichdimensionale C 1 -Lie-Gruppe ist eine analytische Lie-Gruppe. Notation. Statt g h schreibt man auch g h; das neutrale Element soll immer e heißen. 2 C ω heißt analytisch.

3 10 Gruppentheorie 1.3 Wirkung einer Lie-Gruppe auf eine Mannigfaltigkeit Definition 1.4. Sei G eine Lie-Gruppe und M eine Mannigfaltigkeit. Die Wirkung von G auf M ist eine differenzierbare Abbildung σ : G M M, die Folgendes erfüllt: 1. σ(e, p) = p für alle p M. 2. σ ( g 1, σ(g 2, p) ) = σ(g 1 g 2, p). Notation. Anstatt σ(g, p) schreibt man oft auch kurz g p. Definition 1.5. Sei G = GL(n, Ê), d.h. die Gruppe der invertierbaren reellwertigen n n Matrizen und M = Ê n. Die Wirkung von GL(n, Ê) auf Ê n ist definiert als σ(g, p) = g p g GL(n, Ê), p Ê n. (1.10) Die Wirkung von Untergruppen der GL(n, Ê) ist genauso definiert. Diese können unter Umständen auch auf Untermannigfaltigkeiten des Ê n wirken. Beispiel 1.3. Es wirkt die O(n) auf die (n 1)-Sphäre Ë n 1 (r) mit Radius r, σ : O(n) Ë n 1 (r) Ë n 1 (r). (1.11) 1.4 Darstellung von Lie-Gruppen Definition 1.6. Ein Lie-Gruppen-Homomorphismus zwischen zwei Lie-Gruppen G und H ist eine analytische Abbildung f mit f(g 1 g 2 ) = f(g 1 ) f(g 2 ) g 1, g 2 G. (1.12) (i) Matrixdarstellung Definition 1.7. Sei n Æ. H bezeichne die Gruppe GL(n, Ê) bzw. GL(n, ). Ein Lie-Gruppen- Homomorphismus f : G H heißt n-dimensionale Darstellung der Lie-Gruppe G über dem Darstellungsraum Ê n bzw. n. Die Multiplikation in H ist dabei die Hintereinanderausführung; sie entspricht also der Matrixmultiplikation. Man spricht in diesem Zusammenhang davon, dass die Lie-Gruppe G auf den Darstellungsraum M = Ê n bzw. M = n wirkt. Seien also {y i } n i=1 die Koordinaten von p M. Dann lässt sich die Wirkung g G auf p, p g G σ(g, p), (1.13) in offensichtlicher Weise auswerten, σ(g, p) = g 11 g 1n g n1 g nn (ii) Adjungierte Darstellung y 1. y n. (1.14) Um die adjungierte Darstellung zu konstruieren, fassen wir die Lie-Gruppe G als Transformationsgruppe auf, die auf sich selbst wirkt, d.h. M = G. Definition 1.8. Der Homomorphismus der adjungierten Darstellung wird erklärt über folgende Wirkung der Lie-Gruppe G auf sich selbst: AD h : g σ AD (h, g) = h g h 1. (1.15) Diese Abbildung lässt das Einselement fest.

4 1.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen Reduzible und irreduzible Darstellungen Definition 1.9. Sei f : G GL(n, Ê) bzw. GL(n, ) eine Darstellung der Lie-Gruppe G. Man nennt einen Untervektorraum V Ê n bzw. n invariant, falls für alle g G gilt, dass x V f(g) x V. (1.16) Definition Eine Darstellung f : G GL(n, Ê) bzw. GL(n, ) heißt irreduzibel, wenn {0} und Ê n bzw. n die einzigen invarianten Unterräume sind. Andernfalls heißt f reduzibel. Ein invarianter Unterraum V heißt irreduzibel, wenn er außer {0} und V keinen invarianten Unterraum besitzt. Die Darstellung f heißt vollständig reduzibel, falls sie entweder irreduzibel ist oder wenn der Ê n bzw. n die direkte Summe irreduzibler Unterräume ist. Wir werden uns jetzt überlegen, dass bei einer vollständig reduziblen Darstellung f sich die Darstellungsmatrizen f(g) in Block-Diagonalform schreiben lassen, 0. f(g) = (1.17) Diese Form, d.h. die Blöcke der 0en, ergeben sich für alle Gruppenelemente. Für irreduzible Darstellungen gibt es keine Blockstruktur. Das bedeutet, dass man im Wesentlichen irreduzible Darstellungen verstehen muss; die reduziblen ergeben sich dann als Matrizen in Block-Diagonalform, wobei die einzelnen Blöcke irreduziblen Darstellungen entsprechen. Um das zu sehen, benötigen wir das sog. Schur sche Lemma. Satz 1.1. Schur sches Lemma Teil I. Seien f : G GL(n, Ê) bzw. GL(n, ) und h : G GL(n, Ê) bzw. GL(n, ) zwei irreduzible Darstellungen der Lie-Gruppe G. Gibt es eine lineare Abbildung P : Ê n Ê m mit P f(g) = h(g) P g G, (1.18) so gilt entweder Bild P = {0} oder Kern P = {0}. Definition Zwei Darstellungen, für die (1.18) mit BildP {0} gilt, heißen äquivalent. Beweis. Sei r der Rang von P. (1.18) impliziert, dass BildP ein invarianter Unterraum des Ê m ist. Nun ist h irreduzibel, somit gibt es zwei Fälle. Entweder ist BildP = {0} oder r = m mit n m. Wir nehmen nun an, dass BildP {0} und außerdem KernP {0}; die Strategie ist es, einen Widerspruch zu identifizieren. Betrachte nun ein x KernP mit x 0. Dafür gilt (h(g) P) x = h(g)0 = 0. (1.19) Andererseits ist f irreduzibel, d.h. KernP ist kein invarianter Unterraum. (KernP = Ê n ist ebenfalls nicht möglich, da dann BildP = {0} gelten würde.) Somit gibt es g G und x KernP so dass f(g)x KernP. Damit ist ( P f(g) ) x 0, was im Widerspruch zu (1.18) und (1.19) ist. Bemerkung 1.2. Aus den Relationen r = m und n m folgt mit KernP = {0}, dass m = n gilt für äquivalente Darstellungen. P hat dann vollen Rang und man hat f(g) = P 1 h(g) P, (1.20) d.h. die äquivalenten Darstellungen gehen durch eine Ähnlichkeitstransformation mit einem invertierbaren P auseinander hervor.

5 12 Gruppentheorie Satz 1.2. Schur sches Lemma Teil II Eine endlichdimensionale Darstellung f : G GL(n, Ê) bzw. GL(n, ) ist genau dann irreduzibel, wenn nur die Vielfachen λ ½ der Einheitsmatrix ½ (λ ) mit allen Matrizen f(g) vertauschen, A f(g) = f(g) A g A = λ ½. (1.21) Beweis. Wir beschränken uns hier auf den Beweis der Aussage: Falls f irreduzibel ist und A mit f(g) vertauscht, so ist A proportional zu ½. Sei U der Raum der Eigenvektoren von A zum Eigenwert κ und sei u U. Dann gilt A f(g)u = f(g) A = f(g)κu = κ ( f(g)u ), d.h. f(g)u U. Somit ist U ein invarianter Unterraum. Da f irreduzibel ist, ist U = Ê n bzw. n. Damit gilt A = κ ½. Damit können wir jetzt verstehen, dass für reduzible Darstellungen die Darstellungsmatrizen block-diagonal (siehe (1.17)) sind und für irreduzible nicht. Offensichtlich vertauscht für blockdiagonale Matrizen nicht nur die Einheitsmatrix mit den Darstellungsmatrizen, sondern auch diag(λ 1,... λ 1, λ 2,... λ 2,...), wobei die Anzahl der gleichen λs der jeweiligen Dimension des Blocks entspricht. Grob gesprochen setzen sich reduzible Darstellungen aus Blöcke irreduzibler Darstellungen zusammen. Insbesondere sieht man, dass es relativ einfach sein wird, reduzible Darstellungen zu diskutieren, wenn die irreduziblen erst einmal verstanden sind. 1.6 Kurven Definition Eine C r -Kurve k auf einer Lie-Gruppe G ist eine Abbildung k : Ê ]t, t + [ G, (1.22) wo für jede Karte (U i, ϕ i ) die Abbildung ϕ i k vom Typ C r ist. Beispiel 1.4. Die Gruppe der Drehungen im Dreidimensionalen kann durch drei Winkel θ, ϕ und ψ parametrisiert werden, z.b. über wobei D(φ, ψ, ϑ) = R x (φ) R y (ψ) R z (ϑ), (1.23) R x (φ) = R y (ψ) = R z (ϑ) = cosφ sin φ 0 sinφ cosφ cosψ 0 sinψ sinψ 0 cosψ cosϑ sin ϑ 0 sinϑ cosϑ ,,. Eine Kurve bildet dann z.b. die Abbildung: wobei k : t D(0, 0, t) = R z (t). (1.24) Ein Produkt zweier Kurven kann erklärt werden über K (k 1, k 2 ) k 1 k 2, (1.25) (k 1 k 2 )(t) = { k1 (2t), 0 t 1 2, k 1 (1) k 2 (2t 1), 1 2 t 1. (1.26)

6 1.6 Kurven 13 k 1 e k 1 k 2 e k 2 = e Abbildung 1: Multiplikation von Kurven. Anschaulich bedeutet das, dass man die Kurven aneinandersetzt (siehe Abbildung 1). Fazit Lie-Gruppen sind Mannigfaltigkeiten mit Gruppenstruktur. Diese sind (fast) automatisch analytische Mannigfaltigkeiten.