x 4, t 3t, y 2y y 4, 5z 3z 1 2z 4, usw. Jede quadratische Gleichung kann durch elementare Umformungen auf die Form

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1 Einführung und Begriffe Gleichungen, in denen die Unbekannte in der zweiten Potenz vorkommt, heissen quadratische Gleichungen oder Gleichungen zweiten Grades. Beispiele: 4, t 3t, y y y 4, 5z 3z 1 z 4, usw. Jede quadratische Gleichung kann durch elementare Umformungen auf die Form B C quadratischer linearer Kons tante Term Term bsolutglied BC-Form, Grundform mit reellen Zahlen, B, C gebracht werden. Ist =, entfällt der quadratische Term und die Gleichung wird zu einer linearen Gleichung B C. Da diese bereits behandelt wurden, wird in diesem Kapitel stets vorausgesetzt. Weil ist, kann mit dividiert werden. Es entsteht die Normalform einer quadratischen Gleichung. B C Normalform z. B. 8 6 : Grundform, abgekürzt GF 4 3 Normalform Man unterscheidet weiter zwei Typen: C, B reinquadratische Gleichung (linearer Term fehlt) B C gemischtquadratische Gleichung z. B. 9 reinquadratische Gleichung gemischtquadratische Gleichung Einige spezielle Fälle von quadratischen Gleichungen konnten wir bereits ohne Lösungsformel lösen. Diese Spezialfälle werden auf den nächsten Seiten nochmals kurz aufgeführt. 1

2 14. Reinquadratische Gleichung: + C = Der einfachste Typ einer quadratischen Gleichung entsteht, wenn der lineare Term fehlt. C, B GF reinquadratische Gleichung Diese reinquadratische Gleichung lässt sich wie folgt umformen: C u Je nachdem, ob die Konstante ur grösser als Null, gleich Null oder kleiner als Null ist, ergeben sich unterschiedliche Lösungen: u : L u; u u : L u : L Beispiele : , somit: L 3; ausklammern und :3 1, somit: L : nicht definiert 1, somit: L

3 Grafische Interpretation Zusammenhang quadratische Funktion und quadratische Gleichung: quadratische Funktion: y 4 quadratische Gleichung: 4 somit: Die Nullstellen N 1 und N (y = ) der quadratischen Funktion entsprechen den Lösungen der quadratischen Gleichung! nschaulich klar, wenn zum Beispiel bei der Funktion y = 4 der y-wert mit Null ersetzt wird, erhält man die quadratische Gleichung. 3

4 14.3 Gemischtquadratische Gleichungen ohne Konstante: + B = uch die gemischtquadratische Gleichung ohne Konstante (C = ) kann man ganz einfach lösen. Dazu wird die Gleichung umgeformt und faktorisiert: B, C (Konstante C fehlt) B : B ausklammern B Die Lösungen ergeben sich aus der Eigenschaft, dass ein Produkt zweier Faktoren nur Null sein kann, wenn (mindestens) ein Faktor gleich Null ist. Daher können die Lösungen direkt abgelesen werden: B B 1 oder, somit: L ; Beispiele 1. 5 ausklammern chtung : nicht mit dividieren! 5 würde verschwinden! oder somit: L ; chtung : nicht mit dividieren! 3 87 : 3 9 ausklammern 9 würde verschwinden! 9 oder somit: L ; 9 4

5 14.4 Gemischtquadratische Gleichungen mit Konstante Die gemischtquadratische Gleichung mit Konstante kann manchmal mit etwas Geschick oder Erfahrung faktorisiert werden. B C Grundform Die Lösung ergibt sich, wenn die Gleichung in folgende Form gebracht werden kann: u v Die Lösungen ergeben sich aus der Eigenschaft, dass ein Produkt zweier Faktoren nur Null sein kann, wenn (mindestens) ein Faktor gleich Null ist. Die Lösungen lassen sich wie im letzten Kapitel direkt ablesen. L u; v Beispiele faktorisieren : faktorisieren oder somit: L 5; oder somit: L 7; Hinweise Leider ist nicht jede gemischtquadratische Gleichung mit Konstante ganzzahlig faktorisierbar. Im nächsten bschnitt werden Sie ein Verfahren kennenlernen, das die allgemeine Lösung von gemischtquadratischen Gleichungen ermöglicht. Das Verfahren heisst quadratische Ergänzung. Bei gemischtquadratischen Gleichungen ohne Konstante ( + B = ) darf nicht durch die Lösungsvariable dividiert werden, da sonst die Lösung = verloren geht. 5

6 14.5 Überblick über die Begriffe im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen Begriff Bemerkungen Zahlenbeispiel llgemeine Form BC-Form od. Grundform (GF) Jede quadr. Gleichung kann durch elementare Umformungen in diese Form gebracht werden! Können nur in günstigen Fällen ohne Formel gelöst werden! B C quadratischer linearer Konstante 8 6 Term Term bsolutglied Normalform (NF) Faktor vor dem quadr. Term ist B C Reinquadratische Gleichungen Linearer Term fehlt, können ohne Formel gelöst werden! , C, B Gemischtquadratische Gleichungen ohne Konstante Konstante fehlt, können ohne Formel gelöst werden! 5 ausklammern 5 Faktoren Null setzen 1 5 B, C 6

7 14.6 Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden ufgaben: Nummer Seite Bemerkungen 61 (a, b, d, e, f, i, j) 93 Kontrolle mit TI üben 6 (alle) 93 Kontrolle mit TI üben 64 (a, b, c, e, f, g, h) 94 Kontrolle mit TI üben 65 (alle) 95 Kontrolle mit TI üben 66 (alle) 95 Kontrolle mit TI üben 67 (alle) 96 Kontrolle mit TI üben 68 (alle) 96 Kontrolle mit TI üben 69 (a, c, d) 96 Kontrolle mit TI üben 7 (a, b, g, j) 96 Kontrolle mit TI üben 71 (a, b, c, e) 96 Kontrolle mit TI üben 7 (a, c, d, f) 97 Kontrolle mit TI üben 73 (a, c, e, i) 97 Kontrolle mit TI üben 7

8 14.7 Quadratische Ergänzung Gemischtquadratische Gleichungen mit Konstante können nicht immer ganzzahlig faktorisiert werden! Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung kann jede quadratische Gleichung faktorisiert und damit gelöst werden. Das Ziel der quadratischen Ergänzung ist: us quadratischem und linearem nteil ein Binom bilden (Produkt). Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung Grundform in Normalform bringen (Division durch ). Konstante +3auf rechte Seite bringen 3. Binom bilden (Rezept : Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes addieren) 8

9 Theorie quadratische Ergänzung Beispiel: 4? quadr. und lineares Glied bekannt Teil eines Binoms a Binomtyp: a a a Koeffizientenvergleich somit: a 4 4 a Durch die quadratische Ergänzung «verschwindet» der lineare nteil im Produkt (Binom). Binom Hinweise Ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes + B + C = von Eins verschieden, so muss die Gleichung zuerst durch dividiert werden. Wie bei den reinquadratischen Gleichungen, kann eine quadratische Gleichung auch nur eine oder sogar keine Lösung haben. Daran ändert auch das Verfahren der quadratischen Ergänzung nichts! Sorgfältiges rbeiten und gute rbeitstechnik (Kontrolle des Binoms, quadratische Ergänzung mit Farben hervorheben, etc.) helfen Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden! 14.8 Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden ufgaben: Nummer Seite Bemerkungen 74 (alle) 97 Kontrolle mit TI üben 9

10 14.9 Lösungsformeln für quadratische Gleichungen Wenn die quadratische Ergänzung auf die Normalform + p + q = angewendet wird, erhält man die pq-lösungsformel. Zahlenlösung llgemeine Lösung p q q Bin om Binom 1, 1 1, 1 L 1; 3 Kennt man die beliebigen, aber festen Parameter p und q, so kann man durch Einsetzen in die Lösungsformel die Lösungen berechnen! 1

11 Wenn die quadratische Ergänzung auf die Grundform + B + C = angewendet wird, erhält man die BC-Lösungsformel. Zahlenlösung llgemeine Lösung 8 6 : B C : Bin om 3 4 Binom 1 1, 1 1, 1 L 1; 3 Kennt man die beliebigen, aber festen Parameter, B und C, so kann man durch Einsetzen in die Lösungsformel die Lösungen berechnen! 11

12 Zusammenfassung und Einfluss der Diskriminante B B 4C B C 1, BC-Formel Der usdruck unter der Wurzel D B 4C heisst Diskriminante (lat. discriminare: trennen, unterscheiden) und bestimmt die nzahl der Lösungen: 1 D : zwei reelle Lösungen L ; D : eine reelle Lösung L D : keine reelle Lösung L 1 Hinweise Diskriminante heisst die zur Unterscheidung dienende Grösse. Sie unterscheidet die nzahl Lösungen der quadratischen Gleichung. Im Fall D < gibt es keine reelle Lösungen, da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl innerhalb der reellen Zahlen R nicht definiert ist. Die Lösungsformel auf reinquadratische und gemischtquadratische Gleichungen ohne Konstante anzuwenden ist wenig sinnvoll, da diese schneller durch Radizieren bzw. durch Faktorisieren gelöst werden können Übungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen mit der Lösungsformel. Für alle ufgaben gilt G = R

13 . 3p 4p p

14 4. 3b 4 5b Hinweis: Wegen solchen ufgaben schreiben wir die Lösungsformel mit Grossbuchstaben. Die Verwechslungsmöglichkeiten mit b können so verhindert werden! 5. Für welche Werte des Parameters k hat die Gleichung a 3a + k = genau eine Lösung? 14

15 14.11 Überblick über die allgemeine Lösungsformel Die allgemeine Lösungsformel ist für die Lösung aller quadratischen Gleichungen anwendbar, wie folgende ufstellung zeigt: Gemischtquadratische Gleichung mit Konstante Eingesetzt in Lösungsformel Lösungen 1 bzw. B C, B, C 1, B B 4C 1 B B 4C B B 4C Gemischtquadratische Gleichung ohne Konstante Eingesetzt in Lösungsformel Lösungen 1 bzw. B, B ; C 1, B B B B B B 1 B B B B Reinquadratische Gleichung ohne linearen Term Eingesetzt in Lösungsformel Lösungen 1 bzw. C, C ; B 1, 4C C C C C 1 C Hinweis: Die Lösungsformel auf reinquadratische und gemischtquadratische Gleichungen ohne Konstante anzuwenden ist wenig sinnvoll, da diese schneller durch Radizieren bzw. durch Faktorisieren gelöst werden können. 15

16 14.1 Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden ufgaben: Nummer Seite Bemerkungen 75 (c, f, h, k, l) 97 Kontrolle mit TI üben 77 (a, c, e) 98 Kontrolle mit TI üben 78 (a, d) 98 Kontrolle mit TI üben 79 (a, c, g) 99 Kontrolle mit TI üben 8 (a, c, d) 99 Kontrolle mit TI üben 81 (a, b, c, e, g) 99 Kontrolle mit TI üben 8 (a, e) 99 Kontrolle mit TI üben 83 (a, c, d) 1 Kontrolle mit TI üben 84 (b) 1 Kontrolle mit TI üben 88 1 Kontrolle mit TI üben Kontrolle mit TI üben Kontrolle mit TI üben 16

17 14.13 mit dem TI lösen Mit der Taste und 1:Löse() lassen sich viele Gleichungen lösen. Die Funktion Löse() zeigt aber den Lösungsweg nicht an. Es kann sogar vorkommen, dass die Funktion falsche Resultate anzeigt. Lösen Sie die folgenden Gleichungen mit der Funktion Löse() nach auf. Für alle ufgaben gilt G = R. Beispiel 1 15 D R Eingabe: Ergebnis: 3 5 L 3;5 Diskriminante > 1 Beispiel D R Eingabe: Ergebnis: 5 L 5 Diskriminante 1 Beispiel D R Eingabe: Ergebnis: L Diskriminante 17

18 Wird die quadratische Gleichung in eine quadratische Funktion umgeformt, können die Lösungen der quadratischen Gleichung über die Nullstellen berechnet werden. Beispiel 4 15 quadr. Gleichung, D R 15 y quadr. Funktion, durch y ersetzen Eingabe: mit aktivieren y1 = eintippen mit zeichnen evtl. mit usschnitt vergrössern: z. B. ZoomBo, Vergröß, Verklein Tipp: Cursor schneller bewegen: und Pfeiltasten Nullstelle 1: und NullSt, danach untere Grenze und obere Grenze für die erste Nullstelle (untere) mit dem Cursor festlegen und NullSt ablesen: Ergebnis: c: 3. yc: Nullstelle : und NullSt, danach untere Grenze und obere Grenze für die zweite Nullstelle (obere) mit dem Cursor festlegen und NullSt ablesen: Ergebnis: c: 5. yc: bschluss Mit gelangt man zurück zum Hauptbildschirm. 18

19 14.14 Der Satz von Vieta us der Lösungsformel ist ersichtlich, dass sich die Lösungen der quadratischen Gleichung nur durch ein Plus- bzw. Minuszeichen unterscheiden. Es ist daher naheliegend, den Zusammenhang zwischen den Lösungen und den Koeffizienten (, B, C) der usgangsgleichung zu untersuchen. Herleitung des "Satzes von Vieta" Die quadratische Gleichung B C hat die beiden Lösungen: B B 4C B D B B 4C B D 1 und ddition der Lösungen 1 B ergibt : 1 Multiplikation der Lösungen 1 C ergibt : 1 19

20 Vergleicht man diese beiden Ergebnisse mit der Normalform der quadratischen Gleichung, so stellt man fest: Grundform GF : Normalform NF : Normalform NF : B C B sei: p und p q C B C q ddition der Lösungen : Multiplikation der Lösungen : p 1 1 q Der Koeffizient von des linearen Gliedes ist gleich der Summe der Lösungswerte mit entgegengesetztem Vorzeichen! Die Konstante ist gleich dem Produkt der beiden Lösungswerte! Verwendung des Satzes von Vieta a. Um die Lösungen von quadratischen Gleichungen zu bestimmen (falls es sich um ganzzahlige Lösungen handelt) oder wenn eine Lösung bereits bekannt ist. b. Zum ufstellen einer quadratischen Gleichung, deren Lösungen bekannt sind. c. Zur Kontrolle einer quadratischen Gleichung. d. Zur Zerlegung von quadratischen Gleichungen.

21 14.15 Übungen zum Satz von Vieta 1. Wie heisst die quadratische Gleichung mit der Lösungsmenge L = {1; }?. Zerlegen Sie die Gleichung = in ein Produkt. 1

22 3. Ermitteln Sie die vollständige Lösungsmenge, wenn die Lösung 1 vorgegeben ist Lösung 1 ist bekannt! Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden ufgaben: Nummer Seite Bemerkungen 313 (a, d) 13 Kontrolle mit TI üben 314 (a, c) 14 Kontrolle mit TI üben 315 (a, d) 14 Kontrolle mit TI üben 316 (a, c) 14 Kontrolle mit TI üben 317 a 14 Kontrolle mit TI üben 3 14 Kontrolle mit TI üben 31 (a, b, f) 14 Kontrolle mit TI üben 3 b 14 Kontrolle mit TI üben

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