Innere Beanspruchungen - Schnittgrößen

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1 Innere Beanspruchungen - Schnittgrößen Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur Q () M () M () Q () N () N () L - KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales orschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Innere Beanspruchungen - Schnittgrößen Statisch bestimmte Tragwerke Schwerpunkt, Schwerachse Definition der Schnittgrößen Normalkraft Querkraft Biegemoment Torsionsmoment Dipl.-Ing. Kai Hainlein

3 Statisch Bestimmte Tragwerke V V Pendelstütze Eingespannte Stütze Dipl.-Ing. Kai Hainlein

4 Eingespannte Stütze Gegeben: Konstante Gleichlast w Vertikallast V Höhe h [kn/m] [kn] [m] w V Gesucht: Auflagerkräfte in A [kn], [knm] R h Berechnung: Resultierende Last R = w h H= 0 A - R = 0 H AH = w h V = 0 AV V = 0 AV = V 2 MA = 0 M h h h A + R = 0 MA = R = w M A A V A H Dipl.-Ing. Kai Hainlein

5 Statisch bestimmte Tragwerke Dipl.-Ing. Kai Hainlein

6 Statisch bestimmte Tragwerke H= 0 B - C = 0 H H H B= C H C H A= C + C 2 2 H V C V = L/2 C H = -B H = B= H CH V L/h = L²/(2h) C V g + s = h A g + s = A B H B H L B V = L/6 L B V Dipl.-Ing. Kai Hainlein

7 Einfeldträger mit Auskragung 1 Nebenträger NT 1 2 Hauptträger HT 3 Pendelstütze V Dipl.-Ing. Kai Hainlein

8 Einfeldträger mit Auskragung Gegeben: Konstante Gleichlast Einzellasten Länge L, L K [kn/m] [kn] [m] R Gesucht: Auflagerkräfte in A und B [kn] Berechnung: Resultierende Last R = L L K A L B H B V L K H= 0 B = 0 H V = 0 A+ BV L = 0 L MB = 0 A L R (L+ L K) + LK = 0 2 R L L L 2 L L 2 K K A = + + = + = BV Dipl.-Ing. Kai Hainlein

9 Einfeldträger mit Auskragung Gegeben: Konstante Gleichlast Einzellasten Länge L, L K Gesucht: H= 0 B = 0 H Dipl.-Ing. Kai Hainlein [kn/m] [kn] [m] Auflagerkräfte in A und B [kn] Berechnung: Resultierende Last R = L V = 0 A+ BV L = 0 L MB = 0 A L R + LK = 0 2 R LK L LK A= = 2 L 2 L L LK L LK BV = R+ -A = L+ + = + (1 + ) 2 L 2 L A L R B H B V L K

10 Einfeldträger mit Auskragung Dipl.-Ing. Kai Hainlein

11 Schwerpunkt Lage der Resultierenden Kraft R R S lächenschwerpunkt für beliebige Querschnitte G 1 G 2 G 3 Lage von G = G 1 + G 2 + G G Kippsicherung G G Dipl.-Ing. Kai Hainlein

12 Schwerpunkt Gleichgewicht Ungleichgewicht durch Geometrie (Hebelarm) Ungleichgewicht durch Kraft 1,5 0,5 a a a 1,5a a a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

13 Schwerpunkt Lage des Auflagers Lage des Auflagers 1, ,5a 2a 2 2 0,5 M = 0 2 0,5 2a = 0 1 = 1,25 a M = 0 2 2,5a = 0 1 = 0,5 a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

14 Schwerpunkt Gegeben lächen A 1, A 2 Wichte γ G 1 = A 1 γ [m²] [kn/m²] Gesucht Lage des lächenschwerpunktes in y-richtung z G 1 G 2 G y 1 y 2 y G 2 = A 2 γ G = G 1 + G 2 = (A 1 + A 2 ) γ Berechnung Resultierendes Drehmoment um Schwerpunkt S M = G 1 y 1 + G 2 y 2 = G y S G1 y1+ G2 y A γ y + A γ y A y + A y 2 S = ys = = (A + A ) γ A + A y G y S Dipl.-Ing. Kai Hainlein

15 Schwerpunkt Allgemein y S = n i= 1 n A i= 1 i y A i i z S = n i= 1 n A i= 1 i A z i i z S z A 4 A 1 S A 2 A 3 y y S Physikalische Bedeutung G G G G Dipl.-Ing. Kai Hainlein

16 Schwerpunkt 2 oder mehr Symmetrieachsen 1 Symmetrieachse Sonderfall: keine Symmetrieachse b a Seitenhalbierenden a b Dipl.-Ing. Kai Hainlein

17 Schwerpunkt 2 oder mehr Symmetrieachsen 1 Symmetrieachse Sonderfall: keine Symmetrieachse Dipl.-Ing. Kai Hainlein

18 Schwerachse Schwerachse Schwerpunkt Schwerpunkt Schwerachse Schwerachse Dipl.-Ing. Kai Hainlein

19 Schnittgrößen Definition der Schnittgrößen A H N () Q () M () N () Normalkraft Q () Querkraft M () Biegemoment A V abstrakte und gedachte Kräfte oder Momente, die im Innern von Bauteilen wirken wirken als Zug-, Druck- und Querkraft, Biege- und Torsionsmoment im lächenschwerpunkt oder in der Schwerachse werden durch Trennen des Bauteils senkrecht zur Mittelachse freigesetzt Schnittgrößen stehen mit den äußeren Lasten und Auflagerreaktionen im Gleichgewicht Dipl.-Ing. Kai Hainlein

20 Schnittgrößen A H A V L B Q () M () Schwerachse M () Q () Querschnitt z y y z A H A V N () Linkes (positives) Schnittufer N () L - Rechtes (negatives) Schnittufer B Dipl.-Ing. Kai Hainlein

21 Schnittgrößen Zugkraft (+) N () N () A H A V - N() Druckkraft (-) - N() L - B A H A V N () Linkes (positives) Schnittufer N () L - Rechtes (negatives) Schnittufer B Dipl.-Ing. Kai Hainlein

22 Schnittgrößen Q () Q () Querkraft (+) A H A V L - B M () M () A H A V Biegemoment (+) L - Linkes (positives) Schnittufer B Rechtes (negatives) Schnittufer Dipl.-Ing. Kai Hainlein

23 Normalkraft 5 kn 4 kn 8 kn 7 kn 5 kn 5 kn Zug 5 kn 4 kn 1 kn Zug 7 kn 7 kn Druck Dipl.-Ing. Kai Hainlein

24 Normalkraft Dach Dach Decke Decke Decke Decke Decke Decke Normalkraft in der Stütze im Schnitt 1-1 ΣV = 0 3 Decke + Dach N Stütze = 0 N Stütze N Stütze = 3 Decke + Dach Druckkraft, zeigt auf Schnittfläche Dipl.-Ing. Kai Hainlein

25 Statik- und estigkeitslehre Querkraft P P P Dipl.-Ing. Kai Hainlein

26 Querkraft a Q (li) Q (re) a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

27 Biegemoment Unbelastet und unverformt M y y z M y z Belastet mit M y, Drehung um y-achse und verformt y M y M y Dipl.-Ing. Kai Hainlein

28 Biegemoment Unbelastet und unverformt M y y M y z z y Belastet mit M y, Drehung um y-achse und verformt M y M y horizontale Linien werden gekrümmt Vertikale Linien bleiben gerade Dipl.-Ing. Kai Hainlein

29 Torsionsmoment Unbelastet und unverformt M T M T Belastet mit M T, Drehung um -Achse und verformt M T Dipl.-Ing. Kai Hainlein

30 Torsionsmoment Akademie der Bildenden Künste München Coop Himmelb(l)au oto lorian Weininger Dipl.-Ing. Kai Hainlein

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