M A T H E M A T H I K. Mathematik. Klasse 10. Epoche 2. Maximilian Ernestus
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1 athematik lasse 10. poche 2 aximilian rnestus
2 rithmetische Zahlenfolgen ine Zahlenfolge ist eine gesetzmäßige ufeinanderfolge von Zahlen Beispiel: Die emperatur in 25 m iefe beträgt 10 C. Je 100 m iefe steigt die emperatur um 3 C. s ergibt sich die Folge: Nummer: emperatur N = 1 1 = 13 C C N = 2 2 = 16 C N = 3 3 = 19 C N = 4 4 = 22 C C C Beispiel: n einem Saal befinden sich in der ersten Reihe 81 Stühle. Bei jeder weiteren Reihe verringert sich die nzahl um drei Stühle. Wie viele Stühle befinden sich in der neunten Reihe? n = 81-((n-1) 3) 9 = 81-(9-1) 3) 9 = 57 n der neunten Reihe befinden sich 57 Stühle.
3 Bildungsgesetz: an = a1 + (n-1) d a1 = nfangsglied d = Differenz zweier aufeinander folgender Glieder n = Nummer an = Wert des n-ten Gliedes rgänzung: Wieviele Stühle befinden sich im Ganzen Saal? ntwort: Wir schreiben die Summe in zwei rten untereinander. S = S = S = S = S = (138 9) 2 S = 621 rgebnis: s sind insgesamt 621 Stühle.
4 rithmetische Folgen höherer Ordnung in reis wir durch Sehnen in eilgebiete unterteilt. s soll darauf geachtet werden, dass jeweils die maximal mögliche nzahl von eilgebieten entsteht. nzahl der Sehnen n = 1 n = 2 N = 3 ax nzahl der Gebiete 1 = 2 2 = 4 3 = 7 Die aximale nzahl von Gebieten erreicht man dadurch, dass man die neue Linie alle vorhandenen Linien kreuzen lässt. Die nzahl der Flächen die sich hinzufügen steigt Pro schritt um eins, da nach jedem Schritt eine Linie mehr vorhanden ist. 1 = 2 2 = 4 3 = 7 4 = 11 5 = Wir bilden die Differenzen aufeinander folgender Glieder und erhalten die erste und zweite Differenzfolge. Liegt eine rithmetische Folge zweiter Ordnung vor, treten die gleichen Zahlen erst in der dritten Differenzfolge auf.
5 Geometrische Folgen Wir betrachten einen Bakterienstamm, der aus 14,2 io. Bakterien besteht. Nach jeder Stunde wird gezählt auf wie viel io. sich die Bakterien vermehrt haben. Diese Zahlen bilden eine Folge. Das nfangsglied wird im Unterschied zur arithmetischen Folge mit 0 = 14,2 bezeichnet und nicht mit a1. nfangsglied 1. Glied 2. Glied 3. Glied n-tes Glied 0 = 14,2 1 = 15,34 2 = 16,56 3 = 17,89 n=14,2 1,08 n 1,08 1,08 1,08 = 1,08 2 1,08 3 1,08 n Bei dieser Zahlenfolge ist der Quotient zwei aufeinander folgender Glieder stets 1,08. Um ein Glied zu berechnen multipliziere ich das nfangsglied so oft mit 1,08 wie die Nummer des Platzes angibt. Der Quotient 1,08 wird als Wachstumsfaktor bezeichnet und mit dem Buchstabe q abgekürzt. ine Zahlenfolge bei der jedes Glied durch ultiplikation mit demselben Faktor q aus dem vorherigen Glied hervorgeht, heißt geometrische Folge. Die bstände zwischen den Gliedern lassen sich auch in Prozenten ausdrücken. 1-0 = 1,14 1,14 14,2 = p 100 p=8% 2-1 = 1,22 1,22 15,34 = p 100 p=8% Bei einer geometrischen Folge nehmen die Glieder mit gleichen Prozentsätzen zu.
6 Wachstumsfaktor Prozentsatz q=1,08 p=8% q=(100+p) 100 q=(100-p) 100 Zunahme bnahme Bei Zunahmeprozessen ist q>1, bei bnahmeprozessen ist q<1. Das Bildegesetz zu Berechnung des n-ten Gliedes lautet n = 0 q n 0 = nfangsglied q = Wachstumsfaktor n = Nummer des Gliedes n = der Wert des n-ten Gliedes
7 1. Beispiel in arathonläufer steigert sein nfangspensum a1 = 3200 täglich um 800m Lineares und xponentielles Wachstum rainingsverlauf 2. Beispiel in usgangsquadrat mit der Fläche 0 = 9 cm 2 wird verdoppelt. Dieses wird wiederum verdoppelt. 150,0 cm² 112,5 cm² Größe der Quadrate 75,0 cm² ,5 cm² ag ag 3 4 ag 2 ag 1 Quadrat 4 Quadrat 3 Quadrat 2 Quadrat 1 Quadrat 0 n = 9 2 n an = (n-1) 800
8 ine wichtige nwendung des geometrischen Wachstums ist Zinsrechnung. in nfangskapital 0 wird mit einem bestimmten Prozentsatz (Zinssatz p% ) verzinst; die Zinsen werden dem apital zugeschlagen und im nächsten Jahr mit verzinst. a) Gegeben: 0 = 320,- Zinssatz p% = 2,5% Laufzeit n = 7 Jahre Bildegesetz: n = 0 q n q = (100+2,5) 100 q = 1,025 7 = 320 1, = 380,38 b) Gegeben: p% = 3% n = 5 5 = 985,38 Bildegesetz: n = 0 q n insetzen: q = (100+3) 100 q = 1,03 985,38 = 0 1, ,38 1,03 5 = 0 850,- = 0 c) Gegeben: 0 = 2250,- n = 5 5 = 2608,36 Bildegesetz: n = 0 q n 2608, = q 5 1,16 = q 5 q = sqr(1,16) 1,03 = q
9 inige athematische Begriffe Potenz xponent (ochzahl) 2 5 = 32 Basis (Grundzahl) Potenzwert erke: Will ich in der Gleichung X 4 = 81 Die Basis X gewinnen, so ist diejenige Zahl gesucht, die mit vier Potenziert wieder 81 ergibt. Diese Zahl wird so geschrieben: X = 4 Lösung: x = 3 Probe: 3 4 = 81 llgemein: X n = r x = n r 81 Die Quadratwurzeln lässt man die Wurzelexponenten meistens weg.
10 Potenzen mit ganzen xponenten Wir untersuchen die Potenzen zur Basis zwei. ochzahlen Potenz Potenzwerte ⅛ ¼ ½ Ähnliche Folgen lassen sich auch für Potenzen mit anderer Basis zeigen. erke:. Der xponent ist positiv: a n = a a a... a. Der xponent ist Null: a 0 = 1. der xponent ist negativ: a -1 = 1/a n Beispiele: 0,2-3 = 1/0,2 3 = 1/(2/10) 3 = 1/(1/5) 3 = 1/(1/125) = 125 3,4 mm = 0,0034 m = 3,4 1 /1000 = 3, m Rechenregeln für Potenzen
11 1.) Potenzgesetz = = = 2 8 a n a m = a n+m 2.) Potenzgesetz 2 8 /2 5 = / a n /a m = a n-m 3.) Potenzgesetz (2 5 ) 4 = = 2 20 (a n ) = a n m 4.) Potenzgesetz 3 n 2 12 a m = = a m n = 2 4 Die Potenzen zur Basis zwei beim ören von Oktaven ine Seite schwingt jeweils mit... Schwingungen pro Sekunde (=ertz) on a = a = a = a = a 220 = = 220 / = 220 / = 220 /8 27,5
12 Logarithmenrechnung ultiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren lassen sich vereinfachen, wenn wir die Zahlen mit Potenzen verwandeln und dann Potenzgesetze anwenden. Da ein xponent auch Logarithmus genannt wird, spricht man von Logarithmenrechnung. ultiplizieren: = = 219 Dividieren: = = 27 Potenzieren: 64 3 = (2 6 ) Radizieren: = = 2 3 Das vierte Potenzgesetz für Radizieren (Wurzelziehen) von Potenzen kann zu Potenzen führen, deren xponent ein echter Bruch wird. a) 2 64 = = 2 6/2 = 2 3 Lösung: 2 64 = 8 Probe: 8 8 = 64
13 b) 2 8 = = 2 3/2 = 2 1,5 Lösung: 2 8 = 2 1,5 Probe: 2 1,5 2 1,5 = 2 3 = 8 Das vierte Potenzgesetz liefert in Fall b) für 2 8 formal( also dem Gesetz nach) nur 2 1,5 was zur Berechnung ohne aschenrechner keine ilfe ist. erke: ritt in xponenten einer Potenz ein echter Bruch auf, so ist darunter eine Wurzel zu verstehen. Die temperierte Stimmung beim lavier öne entstehen an einer Seite wenn sie mit einer bestimmten Zahl Schwingungen pro Sekunde schwingt (ertz). Der on a 1 hat die Schwingungszahl 440 ertz, die Oktave darüber ist der on a 2 = 880 ertz. Bei der temperierten Stimmung liegen zwischen a 1 und a 2 12 albtonschritte bzw. elf albtöne. Die Schwingungszahlen dieser albtonschritte bilden eine Strenge geometrische Folge. Das ntervall von a 1 bis cis umfasst fünf albtonschritte, cis ist der vierte albton nach a 1. Dieses ntervall ist also 1 /3 des Oktavsprungs. Die Schwingungszahl lautet 554 und ist 26% mehr als die Schwingung von a 1. Bei der reinen Stimmung der Geige beträgt dieser Zinssatz nur 25%, diese erz ist also etwas niedriger.
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