3. Der größte gemeinsame Teiler

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1 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) Der größte gemeinsame Teiler (3.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen. a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt t a und t b. b) GT + (a,b) bezeichne die Menge der nichtnegativen gemeinsamen Teiler von a und b. BEM: Es ist GT + (a,b) = {t t Æ 0, t a und t b} Æ 0. (3.2) SATZ: Für a,b gilt: a) GT + (a,b) = T + (a) T + (b) b) a b GT + (a,b) = T + (a) c) GT + (0,0) = Æ 0 (diese Menge ist unendlich!) d) Sind a und b nicht beide 0, so ist GT + (a,b) Æ eine nichtleere endliche Menge. (3.3) SATZ und DEF: Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind. Dann gibt es in der Menge GT + (a,b) der nichtnegativen gemeinsamen Teiler von a und b ein größtes Element, das der größte gemeinsame Teiler (abgekürzt ggt) von a und b genannt wird. Bezeichnung: ggt(a,b) := max(gt + (a,b)). Frage: Wie läßt sich der ggt berechnen? (3.4) SATZ: Für ganze Zahlen a und b, die nicht beide 0 sind, gilt: a) ggt(a,b) = ggt(b,a) b) ggt(a,b) = ggt( a, b ) c) a b ggt(a,b) = a d) ggt(a,0) = a (falls a 0) (3.5) SATZ: Seien a,b,q,r ganze Zahlen, für die a = qb +r gilt. Dann folgt: a) GT + (a,b) = GT + (b,r). b) Sind a und b nicht beide Null, so gilt ggt(a,b) = ggt(b,r).

2 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 19 Mit (3.4) und (3.5) haben wir die erforderlichen Hilfsmittel, um den ggt zweier ganzer Zahlen berechnen zu können. Diese Berechnungsmethode heißt Euklidischer Algorithmus. Wir fangen mit zwei Beispielen an. Zuerst berechnen wir den ggt von a = 322 und b = 266. Dazu führen wir sukzessive Divisionen mit Rest aus. Zuerst teilen wir a durch b, wobei der Rest r entsteht. Dann teilen wir b durch r. In jedem weiteren Schritt teilen wir den vorletzten Rest durch den letzten Rest: 322 = = ggt(322,266) = ggt(266,56) (nach (3.5b)) 266 = = ggt(266,56) = ggt(56,42) (nach (3.5b)) 56 = = ggt(56,42) = ggt(42,14) (nach (3.5b)) 42 = = ggt(42,14) = 14 (nach (3.4c)) Damit haben wir die folgende Gleichungskette ggt(322,266) = ggt(266,56) = ggt(56,42) = ggt(42,14) = 14 Der letzte von 0 verschiedene Rest ist also der ggt. Die Frage, die sich hier stellt, ist also die, ob wir immer erwarten können, dass der Rest bei diesem Verfahren irgendwann einmal 0 wird. Für die Reste in unserem Beispiel gilt: 56 > 42 > 14 > 0. Mit jedem Schritt wird ein Rest echt kleiner als der vorhergehende, bleibt aber immer 0. Da es zwischen 56 und 0 nur endlich viele ganze Zahlen gibt, muss also der Rest nach endlich vielen Schritten 0 werden. Auch für größere Zahlen lässt sich der Euklidische Algorithmus ohne Probleme anwenden: Wir wollen den ggt von a = und b = berechnen: = = = = = = = ggt(a, b) = 54 Auch hier werden die Reste immer kleiner, und am Ende wird der Rest > 6912 > 4590 > 2322 > 2268 > 54 > 0. Wir schreiben im folgenden den euklidischen Algorithmus allgemein auf:

3 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 20 (3.6) Der euklidische Algorithmus (EA) Seien a,b Æ. Die Folgen (r k ) k 0, (q k ) k 1 seien rekursiv definiert durch: r 0 := a, r 1 := b. Für k Æ 0 sei q k+1 der Quotient und r k+2 der Rest bei Division von r k durch r k+1, falls r k+1 0, d.h. ( ) r k = q k+1 r k+1 +r k+2 mit 0 r k+2 < r k+1 Dann gibt es eine Zahl n Æ mit r n 0 und r n+1 = 0, wobei gilt r n = ggt(a,b) Bew: Wir führen wiederholte Division mit Rest aus. Dies ist solange möglich, wie die Zahl, durch die geteilt ist, von 0 verschieden ist. Annahme: r k > 0 für alle k 2. r 0 = a, r 1 = b r 0 = q 1 r 1 + r 2 mit 0 r 2 < r 1 r 1 = q 2 r 2 + r 3 mit 0 r 3 < r 2 r 2 = q 3 r 3 + r 4 mit 0 r 4 < r 3. r k = q k+1 r k+1 +r k+2 mit 0 r k+2 < r k+1. Dann folgt b = r 1 > r 2 > r 3 > r 4 >... > r k >... > 0, d.h. es gibt unendlich viele natürliche Zahlen < b. Widerspruch! Folglich gibt es ein n Æ mit r n+1 = 0 und r n 0. Zu zeigen bleibt, dass r n wirklich der ggt von a und b ist. Dazu schreiben wir noch einmal das Divisionsschema auf: ( ) r 0 = a, r 1 = b (1) r 0 = q 1 r 1 + r 2 mit 0 < r 2 < r 1 (2) r 1 = q 2 r 2 + r 3 mit 0 < r 3 < r 2 (3) r 2 = q 3 r 3 + r 4 mit 0 < r 4 < r 3. (n 2) r n 3 = q n 2 r n 2 +r n 1 mit 0 < r n 1 < r n 2 (n 1) r n 2 = q n 1 r n 1 +r n mit 0 < r n < r n 1 (n) r n 1 = q n r n + r n+1 }{{} =0 Mit Hilfe von (3.5b) folgt nacheinander aus den einzelnen Gleichungen: ggt(a,b) = ggt(r 0,r 1 ) (1) = ggt(r 1,r 2 ) (2) = ggt(r 2,r 3 ) (3) = ggt(r 3,r 4 ) =... (n 2) = ggt(r n 2,r n 1 ) (n 1) = ggt(r n 1,r n ) (n) = r n Das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen (3.4c), da r n r n 1 aus (n) folgt. Folglich ggt(a,b) = r n.

4 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 21 (3.7) BEM: a) In dem Divisionsschema ( ) liest man den ggt als den letzten von Null verschiedenen Rest ab. b) Der EA (3.6) liefert eine Berechnungsmethode für den ggt von zwei natürlichen Zahlen 1. Berücksichtigt man (3.4), so lässt sich damit auch der ggt von zwei beliebigen ganzen Zahlen, die nicht beide 0 sind, berechnen. Eine Erweiterung des euklidischen Algorithmus liefert noch ein anderes wichtiges Ergebnis. Dazu betrachten wir noch einmal das erste Beispiel auf der vorigen Seite zur Berechnung von ggt(322, 266) (1) 322 = (2) 266 = (3) 56 = Wir lösen die Gleichung (3) nach dem ggt 14 auf: ( ) 14 = Für 42 erhalten wir aus der Gleichung (2) 42 = und setzen dies in ( ) ein und fassen zusammen 14 = 56 1 ( ) ( ) 14 = Als nächstes lösen wir (1) nach 56 auf und setzen 56 = in ( ) ein: 14 = 5 ( ) = = ( 6) 266 Damit haben wir ggt(322, 266) als ganzzahlige Linearkombination von 322 und 266 dargestellt. Dieses Ergebnis gilt auch allgemein.

5 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 22 (3.8) Der erweiterte euklidische Algorithmus (EEA) Seien a,b Æ. Wir wollen die Gleichungskette ( ) aus dem Beweis von (3.6) von unten nach oben, beginnend mit der Gleichung (n 1), sukzessive nach den Resten auflösen und die Reste einsetzen: aus (n 1): (+) r n = r n 2 q n 1 r n 1 = 1 r n 2 + ( q n 1 ) r n 1 d.h. r n ist eine ganzzahlige Linearkombination von r n 1 und r n 2. aus (n 2): r n 1 = r n 3 q n 2 r n 2 in (+) eingesetzt: r n = r n 2 q n 1 r n 1 = r n 2 q n 1 (r n 3 q n 2 r n 2 ) d.h. r n = (1 + q n 1 q n 2 ) r n 2 q n 1 r n 3. Damit ist r n eine ganzzahlige Linearkombination von r n 2 und r n 3. SetztmandiesesVerfahrensofort,erhältmanschließlich r n alsganzzahligelinearkombination von r 1 und r 0, d.h. von b und a. Es gibt also x,y mit ggt(a,b) = r n = x a + y b. (3.9) SATZ: Der ggt g zweier ganzer Zahlen a und b, die nicht beide 0 sind, lässt sich als ganzzahlige Linearkombination von a und b darstellen, d.h. es gibt Zahlen x,y mit g = xa + yb. Diese Koeffizienten x und y lassen sich mit dem EEA berechnen. Sie sind nicht eindeutig bestimmt. (3.10) SATZ: Sind a und b zwei ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind, so gilt GT + (a,b) = T + (ggt(a,b)). Insbesondere ist also jeder gemeinsame Teiler von a und b ein Teiler des ggt s von a und b. Unsere Definition (3.3) des ggt s als max(gt + (a,b)) macht nur für Zahlen Sinn, die nicht beide 0 sind. Im Falle a = b = 0 gilt nämlich GT + (0,0) = Æ 0 nach (3.2c), und diese Menge besitzt kein größtes Element. Da Ausnahmen immer unschön sind, definieren wir (nicht ohne guten Grund): (3.11) DEF: ggt(0,0) := 0. Damit ist dann der ggt ohne Ausnahme für je zwei ganze Zahlen definiert, und die Sätze (3.4) und (3.10) gelten für beliebige ganze Zahlen. Insbesondere ist auch ggt(0,0) = 0 = eine ganzzahlige Linearkombination von 0 und 0, so dass auch(3.9) ohne Einschränkung richtig ist.

6 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 23 (3.12) DEF: Zwei ganze Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn ggt(a,b) = 1 gilt. BEM: Sind a und b teilerfremd, so sind 1 und 1 die einzigen gemeinsamen Teiler von a und b, und es gilt GT + (a,b) = {1}. (3.13) SATZ: Zwei ganze Zahlen a und b sind genau dann teilerfremd, wenn es Zahlen x,y gibt mit xa + yb = 1. (3.14) SATZ: Für a,b,c gelten die folgenden Aussagen: a) a c und b c und ggt(a,b) = 1 = (a b) c b) a (b c) und ggt(a,b) = 1 = a c. BEM: Ohne die Voraussetzung, dass die Zahlen a und b teilerfremd sind, gelten die Aussagen des Satzes (3.14) i.a. nicht: Gegenbeispiel zu a) : 4 12 und 6 12, aber 4 6 = 24 ist kein Teiler von 12. b) 6 (4 9), aber 6 4 und 6 9. (3.15) SATZ: SeienaundbganzeZahlen, dienicht beide0sind, undessei g := ggt(a,b). Dann gibt es ganze Zahlen a und b mit folgenden Eigenschaften: a = ga, b = gb, ggt(a,b ) = 1. (3.16) SATZ: Jede rationale Zahl r É läßt sich eindeutig in gekürzter Form darstellen, d.h. es gibt eindeutig bestimmte ganze Zahlen a und b mit r = a b, b > 0, ggt(a,b) = 1. Bemerkung: Dieses Ergebnis wurde schon für den Beweis von (1.24) benötigt!

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