Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014

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1 Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober Folgen und Reihen Reelle Funktionen Differentialrechnung Integralrechnung Funktionen mehrerer Variabler Differentialgleichungen Folgen und Reihen Folgen

2 Folgen Bemerkung Eine Zahlenfolge a ist eine Funktion, deren Definitionsbereich eine Menge natürlicher Zahlen ist und deren Wertebereich aus reellen Zahlen, den Gliedern der Zahlenfolge, besteht. Funktion: Zuordnung, Abbildung, formal: Menge von geordneten Paaren, rechtsseitig eindeutig Neben Zahlenfolgen gibt es Folgen von Vektoren, Matrizen, Funktionen, Folgen von Folgen... Bezeichnung bei Folgen abweichend von Funktionen, nicht f (n), sondern meist f n. Die Folge heißt dann f, es ist auch zulässig (f n ) n=1. Arithmetische Folge Glieder unterscheiden sich um konstante Differenz d rekursive Bildungsvorschrift: a n+1 = a n + d explizite Bildungsvorschrift: a n+1 = a 1 + nd Folge fallend für d < 0 konstant für d = 0 wachsend für d > 0 Example (einige Schaltjahre) a=(2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024,... ) Folgen können endlich oder unendlich sein. Geometrische Folge Glieder unterscheiden sich um konstanten Quotienten q rekursive Bildungsvorschrift: a n+1 = a n q explizite Bildungsvorschrift: a n+1 = a 1 q n Bei a 1 > 0 Folge alternierend für q < 0 fallend für 0 < q < 1 konstant für q = 1 wachsend für q > 1 Example (Halbierung) g=(1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... )

3 Arithmetisch vs geometrisch Vielfalt Fibonacci Zahlen Eine rekursive Zahlenfolge (a n ) n= n=n 1 wird durch Anfangsglieder und eine Vorschrift, wie man aus Vorgängern Nachfolger bestimmt, definiert. Beispiel 1 Fakultäten p 0 = 1, p n = n p n 1, n = 1, 2, 3... Beispiel 2 Sparplan k 0 = 1000, k n = 1.08k n , n = 1, 2, Beispiel 3 Fibonacci-Zahlen f 0 = 0, f 1 = 1, f n+1 = f n + f n 1, n = 1, 2, 3... Gewöhnlich zieht man eine explizite Darstellung vor. Sofern die Formel zur Berechnung des Nachfolgers linear ist und die Koeffizienten konstant sind, ist dies bei Abhängigkeit vom aktuellen oder vom aktuellen und vom letzten Glied problemlos möglich. Wir zeigen dies am Beispiel der Fibonacci Zahlen. Wir setzen an: f n = z n, setzen in die Rekursionsformel ein und vereinfachen. Wir erhalten die charakteristische Gleichung z 2 z 1 = 0. Dies ist das typische Vorgehen bei linearen Differenzengleichungen.

4 Lösung der Differenzengleichung Explizite Darstellung Man findet leicht heraus, dass mit den Koeffizienten Die charakteristische Gleichung hat 2 Lösungen: z 1/2 = 1 ± 2 Damit erfüllen alle Folgen der Form die Rekursionsvorschrift. f n = cz n 1 + dzn 2 c = d = die Anfangsbedingungen erfüllt werden. Somit ist die explizite Darstellung der Fibonacci Zahlen: f n = ( 1 + ) n ( 2 1 ) n 2 Nach demselben Prinzip geht man bei allen linearen Differenzengleichungen vor. Hierbei gilt: Ordnung der charakteristischen Gleichung = Rekursionstiefe Graphische Darstellung Konvergenz von Folgen Grenzwert lim n a n = g Eine Zahlenfolge konvergiert gegen den Grenzwert g, wenn es zu jedem vorgegebenen ɛ > 0 ein n 0 N gibt, so dass für alle n n 0 gilt: g a n < ɛ Die Abbildungen zeigen die ersten 11 Fibonacci Zahlen. In der rechten Graphik werden beide Summanden einzeln geplottet, der zweite 0-fach überhöht. Nullfolge: lim n a n = 0 Grenzwertsätze Falls lim n a n = a und lim n b n = b, so gilt: lim n (a n ± b n ) = a ± b lim n (a n b n ) = ab lim n a n b n = a b (b n 0; b 0)

5 spezielle Grenzwerte: n = 0 lim n (1 + 1 n )n = e lim n n n = 1 lim n (1 + 1 n 1 )n = e a lim n n n! = 0 lim n (1 + p n )n = e p = 0 für a < 1 lim n a n = 1 für a = 1 divergent für a > 1 lim n 1 Reihen Reihen s n = a 1 + a a n = n i=1 a i - nte Partialsumme s = a 1 + a a n +... = i=1 a i = lim n s n Geometrische Reihe s = n=1 a 1q n 1 = a 1 1 q konvergiert für q < 1. Für q < 1 und q > 1 ist sie divergent. Arithmetische Reihe s = n=1 [a + (n 1)d] divergiert für alle d 0. Konvergenzkriterien von Reihen Chauchy: Für alle ɛ > 0 existiert ein n 0 (ɛ), so dass s m s n = a n+1 + a n a m < ɛ für m > n n 0 (ɛ). Notwendiges Konvergenzkriterium: Glieder der Reihe bilden eine Nullfolge. Alternierende Reihen s = n=1 ( 1)n 1 a n Leibniz: Eine alternierende Reihe ist konvergent, wenn lim n a n = 0 und a n monoton fallend ist, d.h.: n N a n a n+1. Dann gilt auch: s s n a n+1

6 Reihen mit positiven Gliedern Vergleichskriterien Hauptkriterium: Konvergenz genau dann, wenn Partialsummenfolge n i=1 a i nach oben beschränkt. Definition Majorante ist Reihe, deren Glieder nicht kleiner als die Glieder der untersuchten Reihe sind. Minorante ist Reihe, deren Glieder nicht größer als die der untersuchten Reihe sind. Harmonische Reihe Verallgemeinerungen 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/ + = n=1 Das allgemeine Glied h n der harmonischen Reihe ist das harmonische Mittel seiner direkten Nachbarn, analog bei der arithmetischen und geometrischen Folge wie Reihe. Die harmonischen Reihe ist divergent, obwohl h n gegen Null strebt. Durch Summation von Sequenzen jeweils bis zur nächsten Zweierpotenz erhält man jeweils Beiträge von mehr als 1/2. (Cauchy-Kontraktion) 1 n Die alternierende harmonischen Reihe konvergiert nach Leibnitz. Verallgemeinerungen divergieren sonst. n=1 1 n α konvergieren für α > 1 und

7 Vergleichskriterien Majorantenkriterium: Konvergenz, falls eine konvergente Majorante existiert, z.b. n=1 1 n 2. Minorantenkriterium: Divergenz, falls divergente Minorante existiert, z.b. n=1 1 n. a Quotientenkriterium: Falls lim n+1 n a n = q, so konvergiert die Reihe für q < 1 und divergiert für q > 1. Keine Aussage über Konvergenz und Divergenz im Fall q = 1 möglich. Wurzelkriterium: lim n n a n = q, so konvergiert die Reihe für q < 1 und divergiert für q > 1. Keine Aussage über Konvergenz und Divergenz im Fall q = 1 möglich. Aufgaben Absolute Konvergenz Definition Eine Reihe n=n 0 b n heißt absolut konvergent, wenn die Reihe n=n 0 b n konvergiert. Bei absolut konvergenten Reihen spielt die Reihenfolge der Terme keine Rolle. Man kann etwa alle positiven und alle negativen Terme separat aufaddieren und dann die Bilanz bilden. Ist die Summe der Beträge nicht endlich, kann durch Umsortieren jeder Wert als Grenzwert der Partialsummenfolge erzeugt werden. Konvergenz der Reihe der Beträge kann auch bei komplexwertigen Reihen als Kriterium für die Konvergenz genutzt werden. Arbeitsblattausschnitt Existiert ( ) lim n n + 1 n 1, k und wenn ja, berechnen Sie den Wert. Geben Sie eine explizite Formel für das allgemeine Glied an: a 0 = 1, a 1 = 2 a n+1 = 3a n a n 1 + 2

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