Der Rangsatz für lineare Abbildungen

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1 Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f) Da uns in der Regel bei gegebenem f die Dimension von V (und auch die von W ) bekannt ist, bestimmen sich folglich die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f) wechselseitig Als Regelbezeichnung hat sich hier der Rang von f durchgesetzt Manchmal ist von der Dimension von Kern(f) als dem Defekt von f die Rede 1

2 Beweis des Rangsatzes Wir nehmen an, dass V und W endlichdimensional sind Es folgt dann (Beweis später), dass Kern(f) und Bild(f) ebenfalls endliche Dimension haben Beweis Seien (e 1, e 2,, e p ) eine Basis von Kern(f) und (g 1, g 2,, g q ) eine Basis von Bild(f) Im ersten Schritt wählen wir für jedes g i (1 i q) ein Urbild f i aus V Wir behaupten, dass B := (e 1, e 2,, e p, f 1, f 2,, f q ) eine Basis von V ist, woraus der Rangsatz sofort folgt 2

3 (1) B ist linear unabhängig: Aus (a 1 e 1 + a 2 e a p e p ) + (b 1 f 1 + b 2 f b q f q ) = 0 folgt durch Anwendung von f, dass b 1 g 1 + b 2 g b q g q = 0 und dann alle b j verschwinden, da die g j s eine Basis bilden Es ergibt sich nunmehr a 1 e 1 + a 2 e a p e p = 0, woraus das Verschwinden auch der a i folgt (2) B ist ein Erzeugendensystem von V : Sei v V, somit f(v) Bild(f) = g 1, g 2,, g q Wir erhalten also f(v) = b 1 g b q g q = f(b 1 f b q f q ) mit geeigneten Skalaren b j Es folgt somit ist f(v (b 1 f 1 + b 2 f b q f q )) = 0, v (b 1 f 1 + b 2 f b q f q ) in Kern(f) gelegen, daher von der Form a 1 e 1 + a 2 e a p e p mit geeigneten Skalaren a i Zusammengefasst: v = (a 1 e 1 + a 2 e a p e p ) + (b 1 f 1 + b 2 f b q f q ) 3

4 Matrixform des Rangsatzes Satz Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,, v n A habe den Rang r Dann ist die Lösungsmenge L := x 1 x 2 x n x 1 v 1 + x 2 v x n v n = 0 ein Unterraum des R n von der Dimension n r Beweis Sei f : R n R m, x 1 x 2 x n = x 1v 1 + x 2 v x n v n die zu A gehörige lineare Abbildung Bei L handelt es sich gerade um den Kern von f, der ein Unterraum von R n ist und nach dem Rangsatz für lineare Abbildungen die Dimension n r hat 4

5 Rückblick auf Spezialfälle Spezialfälle des Rangsatzes in Matrixform haben wir schon kennengelernt r = 1: Sei A = (a 1, a 2, a 3 ) (0, 0, 0) Dann ist x 1 x 2 x 3 a 1x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 ein Unterraum des R 3 von der Dimension zwei ( ) a1 a r = 0, 1, 2: Sei A = 2 a 3 Dann ist die Menge (x b 1 b 2 b 1, x 2, x 3 ) aller Lösungen 3 des linearen Gleichungssystems a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0 ein Unterraum von R 3, der in Abhängigkeit von rg(a) = 2, 1 oder 0 die Dimension 1, 2 oder 3 haben kann 5

6 Lineare Gleichungssysteme Wir erkennen das allgemeine Muster: Satz Jede m n-matrix A = (a ik ) liefert ein (homogenes) lineares Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 bestehend aus m Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,, x n Die Lösungen (x 1, x 2,, x n ) bilden einen Unterraum L des R n von der Dimension n rg(a) 6

7 Begründung Beweis Seien v 1, v 2,, v n die Spaltenvektoren der Matrix A, also a 1k a v k = 2k für k = 1,, n a mk Dann besteht die Lösungsmenge L gerade aus den n-vektoren x 1 x 2 x n Rn mit x 1 v 1 + x 2 v x n v n = 0 Der Rangsatz für Matrizen zeigt nun, dass L ein Unterraum des R n ist, welcher die Dimension n rg(a) hat 7

8 Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen, Matrizen, linearen Gleichungssystemen Es gibt eine eins-zu-eins Entsprechung zwischen linearen Abbildungen f : R n R m einerseits und m n-matrizen mit reellen Einträgen andererseits Es gibt eine eins-zu-eins Entsprechung zwischen m n-matrizen und (homogenen) linearen Gleichungssystemen aus m Gleichungen in n Unbekannten Die Lösungsmenge des (homogenen) linearen Gleichungssystems bildet einen Unterraum des R n, welcher mit dem Kern der zugeordneten linearen Abbildung f übereinstimmt Die Dimension des Lösungsraumes/Kerns ergibt sich aus dem Rangsatz 8

9 Nochmals zur Dimension Satz Sei (v 1, v 2,, v n ) ein maximal linear unabhängiges System von V, dh dieses System ist linear unabhängig in V, aber jedes Hinzufügen eines weiteren Vektors macht daraus ein linear abhängiges System Dann ist (v 1, v 2,, v n ) eine Basis von V und somit dim V = n Beweis Wir müssen zeigen, dass (v 1, v 2,, v n ) ein Erzeugendensystem ist Sei dazu v ein beliebiger Vektor Da (v 1, v 2,, v n ) maximal linear unabhängig ist, ist das vergrößerte System (v 1, v 2,, v n, v ) linear abhängig Es gibt somit eine lineare Abhängigkeitsrelation a 1 v 1 + a 2 v a n v n + bv = 0, wobei nicht alle Koeffizienten Null sind Dabei kann b nicht Null sein; sonst würde nämlich die lineare Abhängigkeit von (v 1, v 2,, v n ) folgen Wegen b 0 lässt sich die Gleichung nach v auflösen und es folgt, dass v eine Linearkombination der Vektoren v 1, v 2,, v n ist 9

10 Basen und maximal linear unabhängige Systeme Der studierte Satz lässt sich umkehren: Satz Jede Basis b 1, b 2,, b n eines Vektorraums V ist ein maximal linear unabhängiges System und umgekehrt Die Begriffe Basis von V und maximal linear unabhängiges System von V stimmen daher überein Beweis = Sei b 1, b 2,, b n eine Basis, insbesondere also linear unabhängig in V Wir wollen zeigen, dass beim Hinzufügen eines weiteren Vektors v stets ein linear abhängiges System (b 1, b 2,, b n, v) entsteht v lässt sich nämlich als Linearkombination v = a 1 b 1 + a 2 b a n b n schreiben Dies führt zur Beziehung a 1 b 1 + a 2 b a n b n + ( 1) v = 0, die uns die lineare Abhängigkeit des erweiterten Systems zeigt 10

11 Der Basisergänzungssatz Wir betrachten einen Vektorraum V, der ein endliches Erzeugendensystem E hat Satz Jedes linear unabhängige System (v 1, v 2,, v r ) von V lässt sich durch Hinzufügen geeigneter Vektoren aus E zu einer Basis von V ergänzen Beweis Wir fügen zu (v 1, v 2,, v r ) solange Mitglieder des Erzeugendensystems hinzu, bis wir ein immer noch linear unabhängiges System B = (v 1, v 2,, v r, w 1, w 2,, w s ) erreicht haben, aus dem jedes Hinzufügen eines weiteren Mitglieds aus E ein linear abhängiges System macht 11

12 Wir behaupten, dass B = (v 1, v 2,, v r, w 1, w 2,, w s ) den Vektorraum V erzeugt und dann wegen der konstruktionsbedingten linearen Unabhängigkeit auch eine Basis von V ist Sei w E Es folgt, dass (v 1, v 2,, v r, w 1, w 2,, w s, w) ein linear abhängiges System ist, also eine lineare Relation (a 1 v 1 + a 2 v a r v r ) + (b 1 w 1 + b 2 w b s w s ) + cw = 0 besteht, für die nicht alle Koeffizienten verschwinden Dabei kann c wegen der linearen Unabhängigkeit von nicht gleich Null sein (v 1, v 2,, v r, w 1, w 2,, w s ) Die obige Gleichung lässt sich daher nach w auflösen Dies zeigt, dass jedes w E in der linearen Hülle von B gelegen ist Dieselbe stimmt daher mit V überein 12

13 Zwei wichtige Folgerungen Satz 1 Ist U ein Unterraum eines endlich dimensionalen Vektorraums V, so ist dim(u) dim(v ) Beweis Wir haben gerade gesehen, dass sich jede Basis B von U zu einer Basis B von V erweitern lässt Somit hat B mindestens so viele Elemente wie B Satz 2 Ist U ein Unterraum eines endlich dimensionalen Vektorraums V und gilt dim(u) = dim(v ), so folgt U = V Beweis Wie eben ergänzen wir eine Basis B von U zu einer Basis B von V Wegen der Gleichheit der Dimensionen ist B = B; folglich ist B eine Basis von U (und von V ) Es stimmen daher U und V mit der linearen Hülle von B überein 13

14 Sei A = Nochmals: Rang einer Matrix a 11 a 12 a 1 n 1 a 1n a 21 a 22 a 2 n 1 a 2n a m1 a m2 a m n 1 a mn eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,, v n Wir haben den Rang von A erklärt als Dimension der linearen Hülle v 1, v 2,, v n Wir haben nun die folgende neue Interpretation des Rangs von A Der Rang rg(a) ist die Anzahl eines maximal linear unabhängigen Systems von Spalten von A Wir werden zur Hervorhebung daher auch vom Spaltenrang von A sprechen Entsprechend kann man den Zeilenrang einer Matrix bilden Später sehen wir, dass Spaltenrang = Zeilenrang ist 14

15 Fünf Kennzeichnungen von Basen Wir haben bereits alle hier genannten Kennzeichnungen von Basen allerdings nicht im Zusammenhang kennengelernt Satz Für ein System v 1, v 2,, v n von Vektoren von V sind äquivalent: (a) v 1, v 2,, v n ist eine Basis von V, somit ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V (b) v 1, v 2,, v n ist ein minimales Erzeugendensystem von V (c) v 1, v 2,, v n ist maximal linear unabhängig in V (d) Jedes v V lässt sich aus v 1, v 2,, v n eindeutig linear kombinieren x 1 (e) Die Abbildung h : R n V, x 2 x 1v 1 + x 2 v x n v n x n ist ein Isomorphismus 15

16 Nützliche Begleitinformation Ratschlag Es reicht nicht, nur eine einzige der fünf Kennzeichnungen von Basen zu kennen Je nach Sachlage ist die eine oder die andere von ihnen oft sehr viel vorteilhafter; wir sollten daher alle fünf Kennzeichnungen kennen und auch anwenden können Im Notfall halten wir jedoch mindestens die ursprüngliche Definition ( linear unabhängiges Erzeugendensystem ) in der Hinterhand Zusatzinformation: Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis Jede linear unabhängige Teilmenge lässt sich zu einer Basis ergänzen 16

17 Vorschau: Austauschsatz, Basisergänzungssatz und Dimension Bei unserer bisherigen Behandlung von Vektorräumen (und in der Folge in der Behandlung von linearen Abbildungen) haben wir offen gelassen, weshalb je zwei Basen eines Vektorraums dieselbe Mitgliederzahl haben Wir werden anschließend diese Argumentationslücke mittels des sogenannten Austauschsatzes schließen Der Austauschsatz hinwiederum wird uns zugleich verbesserte konstruktive Verfahren zur Basisergänzung liefern 17

18 Das Austauschlemma Wir starten mit einer Vorstufe zum Austauschsatz: Austauschlemma Sei B = (v 1, v 2,, v n ) eine Basis von V und w = a 1 v a i v i + + a n v n mit a i 0 Dann ist auch B = (v 1,, v i 1, w, v i+1,, v n ) eine Basis von V Mit anderen Worten: Wir können den Vektor w falls der i-te Koeffizient a i der Darstellung von w in der Basis B nicht verschwindet gegen den i-ten Vektor v i der Basis B austauschen und erhalten mit B erneut eine Basis von V 18

19 Beweis des Austauschlemmas Beweis Erzeugendensystem: Wegen a i 0 ist v i eine Linearkombination von v 1,, v i 1, w, v i+1,, v n Folglich liegen alle v j, j = 1,, n, im Unterraum v 1,, v i 1, w, v i+1,, v n und damit auch V = v 1, v 2,, v n Das System (v 1,, v i 1, w, v i+1,, v n ) erzeugt daher den Vektorraum V Lineare Unabhängigkeit: Nehmen wir nun an, dass c 1 v c i 1 v i 1 + cw + c i+1 v i c n v n = 0 Falls c = 0 erhalten wir aus der linearen Unabhängigkeit von (v 1, v 2,, v n das Verschwinden aller c j Falls c 0 können wir obige Gleichung nach w auflösen und erhalten eine Linearkombination w = a 1 v v i + + a nv n, was der Eindeutigkeit der Darstellung von w in der Basis (v 1, v 2,, v n ) widerspricht 19

20 Der Austauschsatz Austauschsatz Sei B = (v 1, v 2,, v n ) eine Basis von V Ist w 1, w 2,, w r ein in V linear unabhängiges System, so können wir nach geeigneter Umnummerierung von v 1, v 2,, v n annehmen, dass (w 1, w 2,, w r, v r+1,, v n ) eine Basis von V ist Insbesondere ist r n Beweis Den Beweis führen wir durch Induktion nach r und werden für den Induktionsschritt das Austauschlemma einsetzen Induktionsverankerung: Der Fall r = 0 ist klar Induktionsschritt: Nun sei r 1 und per Induktionsannahme die Aussage des Satzes für ein auszutauschendes linear unabhängiges System (w 1, w 2,, w r 1 ) von r 1 Vektoren gültig 20

21 Wir können daher nach geeigneter Umnummerierung der v j das System (w 1, w 2,, w r 1 ) zu einer Basis B = (w 1,, w r 1, v r,, v n ) von V ergänzen, und folglich w r in der Form darstellen w r = a 1 w a r 1 w r 1 + a r v r + + a n v n Dabei können a r,, a n nicht alle Null sein, da sonst das System (w 1, w 2,, w r ) linear abhängig wäre Nach erneutem Umnummerieren können wir daher a r 0 annehmen und folglich per Austauschlemma den Vektor w r gegen den Vektor v r von B austauschen Das Austauschlemma sagt uns nun, dass dann wie behauptet (w 1, w 2,, w r, v r+1,, v n ) eine Basis von V ist 21

22 Invarianz der Dimension Invarianz der Dimension: Je zwei Basen eines Vektorraums V haben dieselbe Mitgliederzahl Beweis Seien B und B Basen von V mit n bzw n Mitgliedern Da B linear unabhängig und B eine Basis von V ist, gilt nach Austauschsatz n n Vertauschen der Rollen von B und B liefert ferner n n und damit die Behauptung Wir haben damit die frühere Argumentationslücke geschlossen und gezeigt, dass die Dimension eines Vektorraums eine wohldefinierte Größe ist 22

23 Nützliche Eigenschaften der Dimension Satz Sei V ein Vektorraum der Dimension n Dann gilt: (1) Je n+1 Vektoren x 1, x 2,, x n, x n+1 aus V sind linear abhängig (2) Jedes Erzeugendensystem besitzt mindestens n Mitglieder (3) Jedes n-elementige Erzeugendensystem ist eine Basis (4) Jedes linear unabhängige System hat höchstens n Mitglieder (5) Jedes n-elementige linear unabhängige System ist eine Basis Beweis Jede der Behauptungen folgt unmittelbar aus dem Austauschsatz 23

24 Vergleich Austauschsatz und Basisergänzungssatz Der früher besprochene Basisergänzungssatz Jedes linear unabhängige System lässt sich zu einer Basis ergänzen ist ersichtlich eine Folgerung des Austauschsatzes Wir beachten, dass trotz offensichtlicher Ähnlichkeit die Aussagen beider Sätze von unterschiedlicher Qualität sind So reicht der Basisergänzungssatz nicht aus, die Invarianz der Dimension nachzuweisen Im Vergleich ist somit der Austauschsatz die wesentlich stärkere Aussage 24

25 Dimension von Schnitt und Summe Satz Sind U 1, U 2 Unterräume des endlich-dimensionalen Vektorraums V, so gilt dim U 1 + dim U 2 = dim (U 1 U 2 ) + dim (U 1 + U 2 ) Wir veranschaulichen die Lage durch das folgende Diagramm: U 1 + U 2 U 1 U 2 U 1 U 2 25

26 Beweisidee Wir starten mit einer Basis (a 1, a 2,, a p ) von U 1 U 2 und ergänzen Sie jeweils zu einer Basis (a 1, a 2,, a p, b 1, b 2,, b q ) von U 1 und (a 1, a 2,, a p, c 1, c 2,, c r ) von U 2 Die Vektoren aus (a 1, a 2,, a p, b 1, b 2,, b q, c 1, c 2,, c r ) sind dann sämtlich in U 1 + U 2 gelegen Wir behaupten, dass dieses System eine Basis von U 1 + U 2 ist Dazu weisen wir getrennt nach, dass das System ein Erzeugendensystem und dass es linear unabhängig ist 26

27 Beweis Erzeugendensystem: Jedes Element aus U 1 (bzw U 2 ) lässt sich aus a 1, a 2,, a p und b 1, b 2,, b q (bzw aus a 1, a 2,, a p und c 1, c 2,, c r ) linear kombinieren Jedes x U 1 + U 2 ist daher eine Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,, a p, b 1, b 2,, b q und c 1, c 2,, c r Lineare Unabhängigkeit: Ist ferner (α 1 a 1 +α 2 a 2 + +α p a p )+(β 1 b 1 +β 2 b 2 + +β q b q )+(γ 1 c 1 +γ 2 c 2 + +γ r c r ) = 0 so sehen wir durch Betrachten von jeweils linker und rechter Seite, dass (α 1 a 1 +α 2 a 2 + +α p a p )+(β 1 b 1 +β 2 b 2 + +β q b q ) = (γ 1 c 1 +γ 2 c 2 + +γ r c r ) in U 1 U 2 gelegen ist Wir schließen dann zunächst, dass alle γ k verschwinden Wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis (a 1, a 2,, a p, b 1, b 2,, b q ) von U 1 verschwinden dann ferner auch alle α i und β j Dies zeigt die lineare Unabhängigkeit von (a 1, a 2,, a p, b 1, b 2,, b q, c 1, c 2,, c r ) 27

28 Anwendung: Schnitt von Ebenen Wir betrachten hier nur Ebenen durch den Nullpunkt Per Definition sind dies zweidimensionale Unterräume eines ansonsten beliebigen Vektorraums V Wir interessieren uns für den Durchschnitt von zwei derartigen Ebenen U 1, U 2 seien zweidimensionale Unterräume des R 3 (Ebenen durch 0) Nur die folgenden Fälle U 1 = U 2 bzw dim U 1 U 2 = 1 (Gerade durch 0) sind möglich In einem vierdimensionalen Raum kommt es dagegen vor, dass sich zwei Ebenen nur in einem Punkt schneiden Im R 4 haben die zweidimensionalen Unterräume U 1 = Re 1 + Re 2 und U 2 = Re 3 + Re 4 den Schnitt U 1 U 2 = {0} 28

29 Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenrechnung Ansatzpunkt der Matrizenrechnung sind die beiden mittlerweile wohlbekannten Sätze, welche die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen regeln Satz A Sei f : R n R m eine lineare Abbildung und e 1, e 2,, e n die Standardbasis von R n Dann ist f eindeutig bestimmt durch die m n-matrix M(f) = [f(e 1 ),, f(e n )] (R m ) n, deren Spalten von den Bildern f(e i ) der Einheitsvektoren e 1, e 2,, e n gebildet werden 29

30 Satz B Sei umgekehrt eine m n-matrix A mit den Spalten w 1, w 2,, w n gegeben, dh A = a 11 a 1n a m1 a mn = [w 1, w 2,, w n ] Dann gibt es dazu genau eine lineare Abbildung f : R n R m mit f(e i ) = w i (1 i n), also mit M(f) = A Dabei gilt wie wir wissen f x 1 x n = n i=1 x i w i = ni=1 a 1i x i ni=1 a mi x i Wir werden diesen Satz verwenden, um eine Multiplikation für Matrizen einzuführen 30

31 Addition, Multiplikation mit Skalaren Ist A = (a ik ) eine m n-matrix und α ein Skalar, so verstehen wir unter αa die Matrix αa := (αa ik ) Also a 11 a 12 a 1n α a 11 α a 12 α a 1n a 21 a 22 a 2n α a = 21 α a 22 α a 2n α a m1 a m2 a mn α a m1 α a m2 α a mn Sind A = (a ik ) und B = (b ik ) beides Matrizen vom Format m n, so definieren wir die Summe A + B als A + B := (a ik + b ik ), also a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n b + 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn = b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn 31

32 Weitere Bezeichnungen Mit M mn (R) bezeichnen wir die Menge aller m n-matrizen über R Bis auf die Rechteck-Notation ist M mn (R) dasselbe wie der (R m ) n (Spaltenaufbau) oder der (R n ) m (Zeilenaufbau) oder der R m n Es ist somit M mn (R) bzgl Addition und Multiplikation mit Skalaren ein Vektorraum der Dimension m n Der Standardbasis des R m n entsprechen dabei in Rechteck-Notation die m n sogenannten Matrixeinheiten E ik =

33 Die Matrixmultiplikation Sei A eine m n -Matrix wie oben (a) Sei x eine eine n-spalte, dann heißt A x 1 x n := n i=1 x i a 1i a mi = ni=1 a 1i x i ni=1 a mi x i das Produkt der m n-matrix A mit der Spalte x (b) Sei A eine m n -Matrix und B eine n p -Matrix mit dem Spaltenaufbau B = [b 1, b 2,, b p ] Dann heißt A B = A [b 1, b 2,, b p ] := [Ab 1,, Ab p ] das Matrixprodukt von A und B 33

34 Satz A = [s 1, s 2,, s n ] sei eine im Spaltenaufbau gegebene m n-matrix, B sei eine n p-matrix e 1, e 2,, e n sei die Standardbasis von R n und x R n Es gilt (1) A e i = s i (2) n-zeile mal n-spalte : (a 1, a 2,, a n ) x 1 x n = n a i x i i=1 (3) m n-matrix mal n-spalte : A x = [s 1, s 2,, s n ] = z i z n x = x 1 x n z 1 x z m x = n x i s i i=1 34

35 Zeile mal Spalte (4) m n-matrix mal n p-matrix : A B = = A [b 1, b 2,, b p ] = [A b 1, A b 2,, A b p ] = z 1 [b 1, b 2,, b p ] = z m z 1 b 1 z 1 b p z m b 1 z m b p Wir merken uns : Der (i, k)-eintrag von A B ist das Matrix-Produkt z i b k der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B 35

36 Zusammenfassung Matrixprodukt Fazit Das Matrixprodukt A B = C läßt sich genau dann bilden, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt, dh wenn A eine m n-matrix und B eine n p-matrix ist Das Produkt C = A B ist dann diejenige m p-matrix, deren (i, k)- Eintrag durch c ik = i-te Zeile von A k-te Spalte von B = gegeben ist (1 i m, 1 k p) n j=1 a ij b jk 36

37 Erneut: Matrizen und lineare Abbildungen Mit Hilfe der Matrixmultiplikation lässt sich die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen elegant ausdrücken: Satz e 1, e 2,, e n sei die Standardbasis des R n (a) Sei f : R n R m eine lineare Abbildung und A = [f(e 1 ),, f(e n )] die Darstellungsmatrix von f, dh A = M(f) A ist eine m n-matrix und es gilt f(x) = A x für alle x R n (b) Sei umgekehrt A eine m n-matrix Dann ist die Abbildung f : R n R m, x A x linear mit Darstellungsmatrix M(f) = A 37

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