4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "4 Lineare Abbildungen und Matrizen"

Transkript

1 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt Kern von ild : { v : v V } ist linearer eilraum von V und heißt ild von auch Im Allgemeiner: V V linearer eilraum V : { v : v V } ist linearer eilraum von W W W linearer eilraum W : {v V : v W } ist linearer eilraum von V x x 4 eispiel: : R R : ist linear y { } { x x Kern R y : y { } x ild : x R R } : y R 43 Satz: Für : V W linear sind äquivalent: Kern {} ist injektiv eweis: : x y x y x y x y } : Kern Kern {} x Kern x x Kern {} x x 44 eispiele: : : y { } Kern : y R nicht injektiv y x Alle Punkte mit y R werden auf denselben Punkt y x x y : : y x + y { { x x y x y y x + y y { } Kern, also injektiv x abgebildet x y

2 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Operationen mit linearen Abbildungen Seien U, V, W Vektorräume l : V V : v v heißt identische Abbildung/Identität Id l : V W : v heißt Nullabbildung 3 Sind, S : V W linear, dann auch λ K fest λ : v λ v + S : v v + Sv Also: LV, W : { : V W linear} ist ein Vektorraum 4 Sind S : V W, : W U linear, dann auch S : V U : V Sv, das Produkt oder die Komposition/Hintereinanderausführung von S und Schreibe auch S Wie für beliebige Abbildungen ist die Komposition assoziativ: S R S R 5 Für LV, V gilt l l p 43 Die Dimensionsformel 45 Satz: Sei : V W, dimv < Dann gilt dim V dim ild + dim Kern wobei dim{} : eweis: Fall ist nicht injektiv: Sei {b,, b k } asis von Kern also k dim Kern Ergänze zu einer asis von V : {b,, b k, b k+,, b n } ild LH{ b,, b n } LH{ b k+,, b n } Zeige: { b k+,, b n } ist linear unabhängig Dann gilt n dim V k + n k dim Kern + dim ild

3 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 83 Sei λ k+ b k+ + + λ n b n }{{} λ k+b k+ ++λ nb n: V v Kern, also ist v Linearkombination von b,, b k : v λ b + + λ k b k + b k+ + + b n λ k+ λ n Fall ist injektiv: dim Kern, {b,, b n } asis von V Wie in Fall zeige: { v,, V n } ist linear unabhängig Veranschaulichung: V W Kern ild 46 eispiel: : R 4 R : Kern ild x x x 3 x 4 x x 3 { x 4 x : x R dim R 4 x ist linear : x, x 3, x 4 R } dim Kern 3 dim ild 47 Definition: Rang : dim ild heißt Rang der Abbildung 44 Lineare Abbildungen auf asen 48 Satz: Sei {b,, b n } asis von V, {w,, w n } W Dann existiert genau eine lineare Abbildung : V W mit b w,, b n w n eweis: Sei v V, v λ j b j λ j eindeutig! j v λ j b j j j λ j b j Die so definierte Abbildung : V W ist linear nachrechnen λ j w j j

4 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite emerkung: Spezialfall V K n, b j e j liefert die Abbildung aus Kapitel 3 4 eispiel: : R R 3 : x y x + y, x + y x y x y 4 Satz: Seien {b,, b n }, {w,, w n }, wie oben Dann gilt LH{w,, w n } W ist surjektiv {w,, w n } ist linear unabhängig ist injektiv 3 {w,, w n } ist asis von W ist bijektiv 45 Die Matrix einer linearen Abbildung Sei : V W linear, {b,, b n } asis von V, b j : w j W Nach dem vorigen Kapitel ist die einzige lineare Abbildung mit b j w j Sei {c,, c m } eine asis von W, w j α j c + α mj c m Dann ist w j durch die Zahlen α j,, α mj eindeutig festgelegt 4 Folgerung: Sind die asen von V und von W vorgegeben, so ist durch die n m Zahlen {α ij : i m, j n} vollständig bestimmt 43 Konvention: Schreibe die α ij in der Matrizenform M M, α α n α m α mn α ij α ij i,, m j,, n Das bedeutet: In den Spalten stehen die Koordinaten der ilder der asisvektoren 44 Definition: M M, der asen und heißt die m n-matrix der linearen Abbildung bezüglich

5 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite eispiel: : R R x : x, { } Aber: bleibt,, : {c, c }: / / M, { x + x, x x c c,, M, } : c c 46 emerkungen: n dim V Anzahl Spalten, m dim W Anzahl Zeilen ei festen asen, hat man also eine bijektive eziehung zwischen den linearen Abbildungen von V nach W und m n-matrizen: M, Sei M m,n : M m,n K : {m n-matrizen} 3 Seien E n : {e,, e n } und E m : {e,, e m } die kanonischen asen von K n und K m Dann gehört zu jeder m n-matrix M genau eine lineare Abbildung : K n K m mit M Em,En M 4 Sei M M Em,En Sind V, W Vektorräume mit dim V n, dim W m, asis von V, asis von W, so ist M auch Matrix einer linearen Abbildung R : V W : M M, R Wie hängen R und zusammen? Seien K n : K n V : e i b i, K m : K m W : e i c i die Vektorraumisomorphismen aus Kapitel 3 Dann ist K n K n V R K m K m Das werden wir bald besser verstehen hoffentlich W R K n K m oder R K m K n Wichtig: R und unterscheiden sich nur durch Vektorraumisomorphismen Wichtige Kenngrößen wie dim Kern und Rang dim ild sind für R und gleich Daher genügt es oft, eine Matrix als die Matrix einer linearen Abbildung : K n K m zu interpretieren 47 eispiele: Die Nullabbildung l : V W : x hat bezüglich jeder asis die Matrix M, l m n

6 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 86 Die Identität l : V V : x x hat bezüglich einer asis die Matrix M, l Achtung: M, l { sieht anders } aus, falls { ransformationsmatrizen } Zum eispiel V R,,,, : {c, c }: c c c + c M, l 3 D : R R : Drehung um Winkel ϕ im Gegenuhrzeigersinn bezüglich kanonischer asis E : {e, e }: De De cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ M E,E D cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 4 Orthogonale Projektion P des R 3 auf die x, x -Ebene: P, P, P M E 3,E 3 P 5 Die m -Matrix M : kanonischer asen, nämlich α α m λ λ λ ist Matrix einer Abbildung : K K m bezüglich α α m λ α λ α m K n 6 Die n-matrix M : α,, α n ist Matrix einer Abbildung : K n K bezüglich kanonischer asen, nämlich e i α i x x n x e + + x n e n α x + + α n x n

7 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite Das ild eines allgemeinen Vektors Sei : V W, {b,, b n } bzw {c,, c m } asen von V und W, M M, α i,j i,, m Sei v v j b j j,, n j v v j b j j m α ij v j c i i j }{{} Koordinaten bezüglich v j b j j m v j α ij c i j i Also: : v v: v v n α j v j j α mj v j j : α α n α m α mn v v n dh wir rechnen Koordinate des ildvektors Zeile der Matrix mal Vektor m-te Koordinate des ildvektors m-te Zeile der Matrix mal Vektor 48 eispiele: M, v in der asis die Koordinaten v c + c, v 7 b + 8 b + 9 b Dann hat Drehung D auf R bezüglich kanonischer Koordinaten: x cos ϕ sin ϕ x D y sin ϕ cos ϕ y E E x cos ϕ y sin ϕ x sin ϕ + y cos ϕ E 3 Das LGS a x + + a n x n y a m x + + a mn x n y m kann geschrieben werden als

8 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 88 a a n x y } a m {{ a mn } x n y m M Interpretiere M als die Matrix einer linearen Abbildung : K n K m bezüglich kanonischer asen E n, E m, x x x n, y y y m Dann bedeutet : für die lineare Abbildung und für y K m suche x K n mit x y, suche Urbild unter von y Dadurch wird die heorie der LGS sehr einfach 49 Zusammenfassung: Für : V W, V asis von V, W asis von W, gilt v W M W, V v V 47 Matrizenmultiplikation Seien U, V, W Vektorräume mit den asen U {a,, a n }, V {b,, b m }, W {c,, c l }, : U V, S : V W lineare Abbildungen mit Matrizen : M V, U : β jk j m k n U, U β jk, A : M W, V S V, V S S α ij W, W : α ij i l j m : Problem: erechnung der Matrix M W, U S : l n-matrix erechne die ilder der asisvektoren: m S a k S a k S β jk b j j m l β jk α ij c i j i m β jk Sb j j l m β jk α ij c i i j Also gilt M W, U S γ ik i l k n mit γ jk m β jk α ij j 4 Definition: Die Matrix C γ ik heißt Matrizenprodukt von A und : C A

9 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 89 Zum Merken: γ ik i-te Zeile mal j-te Spalte: A α i α im β k β mk γ ik Insbesondere kann das Matrizenprodukt A nur gebildet werden, wenn Spaltenzahl von A Zeilenzahl von 4 eispiele: manchmal auch dyadisches Produkt Insbesondere A A vergleiche mit dem vorigen eispiel 4 Zusammenfassung: Sind U, V, W Vektorräume mit asen U, V, W, und sind : U V, S : V W, so gilt M W, U S M W, V S M V, U 48 Matrizen als Vektoren 43 Satz: Seien V, W Vektorräume mit asen,, und seien S, : V W linear mit Matrizen M, S α ij, M, β ij Dann gilt Für λ K ist die Matrix von λ S gegeben durch λ α λ α n M, λs λ α ij : λ α ij λ α m λ α mn

10 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 9 Die Matrix von S + ist gegeben durch α + β α n + β n M, S+ α ij + β ij α m + β m α mn + β mn : α ij + β ij eweis durch Hinsehen: An der Stelle ij steht die i-te Koordinate des ildes des j-ten asisvektors 44 Folgerung M m,n {m n-matrizen} als Vektorraum: Mit Skalarenmultiplikation und Addition oben definiert ist M m,n ein Vektorraum Die Elementarmatrizen E ij : δ ij bilden eine asis von M m,n Also: dim M m,n m n 3 Für V, W mit asen, ist LV, W M, M m,n ein Vektorraum-Isomorphismus Insbesondere: dim LV, W m n 49 Rechenregeln Falls die Matrizen A,, C zusammenpassen, gilt A + C A + A C A + C A C + C A C A C eweis: Für lineare Abbildungen gilt s ja auch Achtung: Selbst für n n-matrizen gilt im Allgemeinen A A: S :, S : S S S S Achtung: Aus A l folgt nicht A l oder l: A l, aber A A l

11 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 9 4 Inverse von Matrizen Sei : V W linear mit Matrix M M, ist invertierbar : W V ist linear, dh l V und l W M, M, M, l M, M, M, l M ist invertierbar, dh Matrix M mit M M l, M M l : l l Ist M invertierbar, so gilt: M ist eindeutig da eindeutig M ist quadratisch : V W bijektiv dim V dim W 45 eispiele: Sei M 4 9 estimme M a a a a a a a + a a + a 4 9 a a 4a + 9a 4a + 9a { a + a 4a + 9a, a + a 4a + 9a! { a + a a 4, a + a a { a 9 a 4, a a 9 M 4 Kurzschreibweise: eide LGS simultan umformen: M Also: Schreibe links M, rechts l, benütze Gauß-Umformungen, bis links l steht, dann steht rechts M

12 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 9 4 M : 4 M / / 4 asiswechsel 46 Definition: Sei V ein Vektorraum mit asen, Dann heißt S : M, l die ransformationsmatrix für den asiswechsel von auf 47 Eigenschaften: Ist v V und λ v, dh v λ j b j, und v λ n j {b,, b n }, {b,, b n}, dann gilt µ µ n M, l S ist invertierbar: S M, l 3 Ist : V V linear, dann ist λ λ n, λ λ n µ µ n M, M, l M, M, l, dh v M, l µ µ n µ j b j 4 Allgemeiner: Seien : U V, A, A asen von U,, asen von V, M : M,A R : M A,A l, S : M, l Dann gilt M,A M, l M,A S M M,A M,A M,A M, l M A,A l M R M,A M A,A l S M R j, 48 emerkung: Ist asis von V, dim V n, und S M n,n invertierbar, so existiert eine asis von V, so dass gilt: S M, l

13 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite Definition: Zwei Matrizen A, M m,n heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S M m,m und R M n,n gibt mit S A R vgl oben M,A S M R Dh A und beschreiben bezüglich geeigneter asen dieselbe Abbildung Zwei Matrizen A, M n,n heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S M n,n gibt mit S A S 43 eispiel: V R : { } { {b, b } :,, {b, b } :, b b + / 4 b /4 b b / 4 b /4 b, b S M, l / / Probe: S S /4 /4 Die lineare Abbildung : R R sei durch M, 5/ / / 5/ M, S M, S / / /4 /4 } S : M, / / l /4 /4 l gegeben / / 5/ / /4 /4 / 5/ ezüglich ist besonders einfach: Streckung der asisvektoren Hauptproblem der linearen Algebra: Finde für gegebenes eine asis, so dass M, einfach möglichst diagonal ist möglichst 4 ransformation von Orthonormalbasen Sei, das Standard-Skalarprodukt in C n {b,, b n } eine weitere ON, so gilt b b n }{{} Koordinaten als Zeilen geschrieben und E {e,, e n } die kanonische ON Ist b,, b n }{{} M E, l Koordinaten als Spalten l

14 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 94 Das bedeutet: Die inverse Matrix zu S M E, l kann besonders leicht berechnet werden In den Zeilen stehen die konjugiert komplexen Koordinatenvektoren von b,, b n : S b b n Außerdem folgt aus S S l: b,, b n b b n l Also: Interpretiert man die i-ten Koordinaten von b,, b n als Koordinaten eines Vektors b i bezüglich E, so ist { b,, b n } wieder eine ON 43 eispiel: V R 3, { S 4/5 3/5 3/5 4/5, 4/5 3/5, 3/5 4/5 S } 4/5 3/5 3/5 4/5 S geht aus S hervor durch Spiegelung der Einträge an der Diagonalen 43 emerkung: Dies gilt auch für beliebige Orthonormalbasen und : Ist M, l b,, b n, dh ist b i der Koordinatenvektor bezüglich des i-ten Vektors aus, so gilt M, l b b n 43 ransponierte Matrizen und Abbildungen 433 Definition: Sei A a a n M m,n K a m a mn Dann heißt a a m A : M n,m K a n a mn die adjungierte Matrix zu A Ist K R, so spricht man auch von transponierter Matrix und schreibt A statt A

15 434 : A Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite i 3 A i 4 5i 3 5i 6 3 A da { / /, A A A A A A / / } ON A 435 Definition: A M nn heißt selbstadjungiert, falls A A Im Fall K R heißt A dann auch symmetrisch A A unitär, falls A A Im Fall K R heißt A dann auch orthogonal A A 436 Satz: Seien, C n,, C m die Standard-Skalarprodukte in C n bzw C m, und sei A M m,n C Für x C n, y C m gilt A x, y C m x, A y C n eweis durch Nachrechnen 437 Folgerungen: Ist A selbstadjungiert, so gilt für x, y C n : A x, y x, A y x, A y Ist A unitär, so gilt für x, y C n A x, A y x, A A y x, A A y x, y Insbesondere gilt Ax A x, A x x Eine unitäre Matrix ist längen- und winkelerhaltend 438 emerkung: Seien V, W Vektorräume mit Orthonormalbasen,, und sei : V W linear Dann existiert genau eien Abbildung : V W mit x V y W : x, y W x, y V heißt die adjungierte Abbildung zu, und es gilt M, : V V heißt selbstadjungiert/unitär, falls M, / gilt M, Eine Abbildung selbstadjungiert/unitär ist, dh falls

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

3 Vektorräume abstrakt

3 Vektorräume abstrakt Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Vektorräume abstrakt Lineare Unabhängigkeit Definition: Sei V Vektorraum W V Dann heißt W := LH(W := Menge aller Linearkombinationen aus W die lineare

Mehr

Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana.

Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven attilana stevenb@student.ethz.ch November, 6 Lineare Abbildungen Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls x, x X : x x fx fx. In Worten: erschiedene Elemente

Mehr

6. Normale Abbildungen

6. Normale Abbildungen SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen

Mathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 12 Lineare Abbildungen Definition 12.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt lineare Abbildung,

Mehr

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht

Mehr

Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen

Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen Sei F : V W eine lineare Abbildung. Dann ist der Rang von F erklärt durch: rang F =dim ImF. Stets gilt rang F dimv, und ist dimv

Mehr

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen 09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen Definition. Seien V und W Vektorräume. Unter einer linearen Abbildung versteht man eine Abbildung F : V W, v F v w mit folgender Eigenschaft: F λ

Mehr

Nun erinnern wir an die Konvention, dass die Komponenten von v V (bzgl. B) einen Spaltenvektor. v 1 v 2 v =

Nun erinnern wir an die Konvention, dass die Komponenten von v V (bzgl. B) einen Spaltenvektor. v 1 v 2 v = eim Rechnen mit Linearformen in V zusammen mit Vektoren in V ist es von Vorteil, mit der Dualbasis zu einer gewählten asis von V zu arbeiten Hierzu einige Erläuterungen Wie ede asis von V kann die Dualbasis

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

8 Lineare Abbildungen und Matrizen

8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume

Mehr

3 Lineare Algebra Vektorräume

3 Lineare Algebra Vektorräume 3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +

Mehr

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt 5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale

Mehr

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen

Mehr

6 Hauptachsentransformation

6 Hauptachsentransformation 6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten

Mehr

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana.

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven attilana stevenb@student.ethz.ch December 4, 6 Erinnerung Definition. Eine Abbildung F : V W zwischen E-Vektorräumen V und W heisst linear (genauer Homomorphismus

Mehr

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2 Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete

Mehr

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch. Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Kapitel 3 Lineare Algebra

Kapitel 3 Lineare Algebra Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND

Mehr

Kapitel III. Lineare Abbildungen

Kapitel III. Lineare Abbildungen Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden

Mehr

Lineare Algebra I (WS 12/13)

Lineare Algebra I (WS 12/13) Lineare Algebra I (WS 2/3) Bernhard Hanke Universität Augsburg 20..202 Bernhard Hanke / 3 Matrizen und Lineare Abbildungen Es seien lineare Abbildungen, d.h. Matrizen gegeben. B = (b jk ) : R r R n, A

Mehr

Prüfung Lineare Algebra 2

Prüfung Lineare Algebra 2 1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix,

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 9 Lineare Abbildungen Definition 9.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Eine Abbildung ϕ : V W

Mehr

5 Lineare Abbildungen

5 Lineare Abbildungen 5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 59 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,

Mehr

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders

Mehr

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2) Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:

Mehr

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis

Mehr

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 24 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 24 Seien V, W zwei K-Vektorräume Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung (lineare Transformation, linearer Homomorphismus, Vektorraumhomomorphismus

Mehr

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine

Mehr

Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen und Matrizen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai 2016 1 / 16 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume

Mehr

4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k).

4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k). 4 Matrizenrechnung Der Vektorraum der m n Matrizen über K Sei K ein Körper und m, n N\{0} A sei eine m n Matrix über K: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = = (a ij) mit a ij K a m a m2 a mn Die a ij heißen die

Mehr

7.2 Die adjungierte Abbildung

7.2 Die adjungierte Abbildung 7.2 Die adjungierte Abbildung Definition 7.2.1 Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.)

Mehr

1 Lineare Abbildungen

1 Lineare Abbildungen 1 Lineare Abbildungen Definition 1 Sei K ein Körper und V und W K-Vektoräume. Eine Abbildung f : V W heisst linear oder Homomoprhismus, wenn gilt: fv 1 + v 2 = fv 1 + fv 2 v 1, v 2 V fλv = λfv λ K, v V

Mehr

EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Abschnitt wiederholen wir zunächst grundlegende Definitionen und Eigenschaften im Bereich der Matrizenrechnung, die wahrscheinlich bereits in Ansätzen

Mehr

Ferienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte

Ferienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte Technische Universität München, Fakultät für Physik Ferienkurs - ineare Algebra Hanna Schäfer 03. März 04 0. inearität. f : M N, x : y = f(x) Merkinhalte. f(x + λy) = f(x) + λf(y), x, y V, λ K 3. ineare

Mehr

Euklidische und unitäre Vektorräume

Euklidische und unitäre Vektorräume Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein

Mehr

3 Bilinearformen und quadratische Formen

3 Bilinearformen und quadratische Formen 3 Bilinearformen und quadratische Formen Sei V ein R Vektorraum. Definition: Eine Bilinearform auf V ist eine Abbildung s : V V R, welche linear in beiden Variablen ist, d.h.: Für u, v, w V und λ, µ R

Mehr

Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte

Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung

Mehr

2.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

2.3 Lineare Abbildungen und Matrizen 2.3. LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 89 Bemerkung Wir sehen, dass die Matrix à eindeutig ist, wenn x 1,...,x r eine Basis ist. Allgemeiner kann man zeigen, dass sich jede Matrix mittels elementarer Zeilenumformungen

Mehr

5. Matrizen und Determinanten

5. Matrizen und Determinanten technische universität dortmund Dortmund, im Januar 01 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 1 und Matrizen und

Mehr

4 Orthogonale Endormorphismen

4 Orthogonale Endormorphismen 4 Orthogonale Endormorphismen Frage: Bei welchen Abbildungen R R bzw. R 3 R 3 bleibt der Abstand zwischen zwei Punkten erhalten? Für α R setzen wir cosα sin α D(α) = und S(α) := sin α cosα ( cos α sin

Mehr

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m. linear. Wir können also jeder Matrix eine lineare Abbildung zuordnen.

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m. linear. Wir können also jeder Matrix eine lineare Abbildung zuordnen. Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht

Mehr

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015 Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler

Mehr

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November 9, 27 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum,

Mehr

5 Lineare Abbildungen

5 Lineare Abbildungen 5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 56 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,

Mehr

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten

Mehr

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn

Mehr

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können

Mehr

1 Matrizenrechnung zweiter Teil

1 Matrizenrechnung zweiter Teil MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten

Mehr

Satz 2.8 V sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden Unterraum

Satz 2.8 V sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden Unterraum Orthogonalität 123 Dienstag, 27. April 04 Satz 2.8 V sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden Unterraum U von V gilt dann (a) U + U = V, U U = {0}, U, U = 0. (b) (U ) = U. Wir sagen

Mehr

1 Eigenschaften von Abbildungen

1 Eigenschaften von Abbildungen Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Dienstag WS 2008/09 Thema des heutigen Tages sind zuerst Abbildungen, dann spezielle Eigenschaften linearer

Mehr

R 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte

R 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte Aufgabe ( Es seien e =, e = Untervektorraum (, e = ( R und U := [e, e ] der von e, e erzeugte Weiter sei G := {A GL(, R A e = e und A U U} (a Zeigen Sie, dass G eine Untergruppe von GL(, R ist (b Geben

Mehr

(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.

(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. () In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.

Mehr

β 1 x :=., und b :=. K n β m

β 1 x :=., und b :=. K n β m 44 Lineare Gleichungssysteme, Notations Betrachte das lineare Gleichungssystem ( ) Sei A = (α ij ) i=,,m j=,n α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m die Koeffizientenmatrix

Mehr

Grundlagen der Mathematik 1

Grundlagen der Mathematik 1 Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben

Mehr

Basiswissen Matrizen

Basiswissen Matrizen Basiswissen Matrizen Mathematik GK 32 Definition (Die Matrix) Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten heißt m x n Matrix: a a 2 a 4 A a 2 a 22 a 24 a 4 a 42 a 44 Definition 2 (Die Addition von Matrizen)

Mehr

Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen In diesem Kapitel geht es um den grundlegenden Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die zentrale Aussage ist, dass nach anfänglicher Wahl von Basen

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Kapitel 7. Lineare Abbildungen. 7.1 Motivation

Kapitel 7. Lineare Abbildungen. 7.1 Motivation Kapitel 7 Lineare Abbildungen 71 Motivation Verschieben, Drehen und Scheren sind parallelentreu, dh sie lassen sich auch als Abbildung zwischen Vektorräumen fomulieren Die Verschiebung, beispielsweise,

Mehr

Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur

Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur David Blottière Patrick Schützdeller WS 6/7 Universität Paderborn Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur Aufgabe : M i) M ist linear unabhängig. Seien a,b,c R mit Daraus folgt : Also gilt a = b = c

Mehr

Kapitel 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II

Kapitel 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II Kapitel 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II 7.1 Weitere Rechenregeln für Matrizen Aus den bisher gelernten Regeln entnehmen wir den als Übung zu beweisenden Satz 7.1. Es gelten die folgenden Regeln.

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $ Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit

Mehr

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de

Mehr

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v),

Mehr

Mathematik und Logik

Mathematik und Logik Mathematik und Logik 9. Übungsaufgaben 2007-01-23 1. Beweisen Sie geometrisch, daß die Addition von Vektoren in der Ebene assoziativ ist. Beweis. Man zeichnet die entsprechenden Parallelogramme. 2. Der

Mehr

Lineare Abbildungen - I

Lineare Abbildungen - I Lineare Abbildungen - I Definition. Seien V und W K-Vektorräume (über demselben K). Eine Abbildung F : V W heißt K-linear, wenn L1) F (v + w) = F (v) + F (w) v, w V L2) F (λv) = λf (v) v V, λ K. Somit

Mehr

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe

Mehr

Einführung in die Mathematik für Informatiker

Einführung in die Mathematik für Informatiker Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 12.12.2016 9. Vorlesung Eigenschaften linearer Abbildungen Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen... Eigenschaften

Mehr

13 Lineare Abbildungen

13 Lineare Abbildungen 13 Lineare Abbildungen Grob gesprochen sind lineare Abbildungen bei Vektorräumen dasselbe wie Homomorphismen bei Gruppen, nämlich strukturerhaltende Abbildungen. Auch in diesem Kapitel seien V, W Vektorräume.

Mehr

2.5 Gauß-Jordan-Verfahren

2.5 Gauß-Jordan-Verfahren 2.5 Gauß-Jordan-Verfahren Definition 2.5.1 Sei A K (m,n). Dann heißt A in zeilenreduzierter Normalform, wenn gilt: [Z1] Der erste Eintrag 0 in jeder Zeile 0 ist 1. [Z2] Jede Spalte, die eine 1 nach [Z1]

Mehr

12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen

12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen 12 Lineare Algebra - Übersicht Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn

Mehr

2.2 Kern und Bild; Basiswechsel

2.2 Kern und Bild; Basiswechsel 22 Kern und Bild; Basiswechsel 22 Kern und Bild; Basiswechsel 35 Jede lineare Abbildung definiert charakteristische Unterräume, sowohl im Ausgangsraum als auch im Bildraum 22 Satz Sei L: V W eine lineare

Mehr

Basis eines Vektorraumes

Basis eines Vektorraumes Basis eines Vektorraumes Basisergänzungssatz: Ist U V ein Unterraum von V und dim V = n, so kann jede Menge linear unabhängiger Vektoren aus U zu einer Basis von U erweitert werden Und es gilt: Beweis:

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 12 Wege entstehen dadurch, dass man sie geht Franz Kafka Invertierbare Matrizen Definition 121 Es sei K ein

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit 3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax

Mehr

Viele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung

Viele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele

Mehr

Kapitel 1. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 1.1 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m); Matrixmultiplikation;

Kapitel 1. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 1.1 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m); Matrixmultiplikation; Kapitel 1 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 11 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m; Matrixmultiplikation; Transposition; Spalten- und Zeilenvektoren Matrizen sind im Prinzip schon bei der schematischen

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09) Vorlesung Mathematik für Ingenieure Wintersemester 8/9 Kapitel 4: Matrizen, lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Version vom 5. November 8 Page-Rank

Mehr

Übersicht Kapitel 9. Vektorräume

Übersicht Kapitel 9. Vektorräume Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten

Mehr

Geometrische Deutung linearer Abbildungen

Geometrische Deutung linearer Abbildungen Geometrische Deutung linearer Abbildungen Betrachten f : R n R n, f(x) = Ax. Projektionen z.b. A = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 die senkrechte Projektion auf die xy-ebene in R 3. Projektionen sind weder injektiv

Mehr

Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seien V und W K-Vektorräume mit dimv = n und dimw = m Im folgenden wollen wir jeder m n Matrix eine lineare Abbildung V W zuordnen, und umgekehrt jeder linearen Abbildung

Mehr

Cramersche Regel. Satz 2.26

Cramersche Regel. Satz 2.26 ramersche Regel Satz 6 Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 6= Für das LGS Ax = b sei A j := (a,,a j, b, a j+,,a n ), also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-te Spalte durch den Vektor

Mehr

Vektorräume und Lineare Abbildungen

Vektorräume und Lineare Abbildungen Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS 07 11.04.2007 1 Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) 1.1.1 Grundoperationen Um

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme Technische Universität München Florian Ettlinger Ferienkurs Lineare Algebra Vorlesung Dienstag WS 2011/12 2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme 2.1 Matrizenrechnung 2.1.1 Einführung Vor der

Mehr

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014 Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Mehr

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren Kapitel 1 Vektoren und Matrizen In diesem Kapitel stellen wir die Hilfsmittel aus der linearen Algebra vor, die in den folgenden Kapiteln öfters benötigt werden. Dabei wird angenommen, dass Sie die elementaren

Mehr

11.2 Orthogonalität. Wintersemester 2013/2014

11.2 Orthogonalität. Wintersemester 2013/2014 Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2013/2014 Markus Scheighofer Lineare Algebra I 11.2 Orthogonalität Definition 11.2.1. Seien V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt

Mehr

Ergänzung zum HM Tutorium

Ergänzung zum HM Tutorium Ergänzung zum HM Tutorium Patrik Hlobil Niko Kainaris Dieses Dokument erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Korrektheit. Es stellt keine Vorlesungszusammenfassung dar, sondern soll euch lediglich

Mehr