4 Lineare Abbildungen und Matrizen
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- Gerhard Bieber
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1 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt Kern von ild : { v : v V } ist linearer eilraum von V und heißt ild von auch Im Allgemeiner: V V linearer eilraum V : { v : v V } ist linearer eilraum von W W W linearer eilraum W : {v V : v W } ist linearer eilraum von V x x 4 eispiel: : R R : ist linear y { } { x x Kern R y : y { } x ild : x R R } : y R 43 Satz: Für : V W linear sind äquivalent: Kern {} ist injektiv eweis: : x y x y x y x y } : Kern Kern {} x Kern x x Kern {} x x 44 eispiele: : : y { } Kern : y R nicht injektiv y x Alle Punkte mit y R werden auf denselben Punkt y x x y : : y x + y { { x x y x y y x + y y { } Kern, also injektiv x abgebildet x y
2 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Operationen mit linearen Abbildungen Seien U, V, W Vektorräume l : V V : v v heißt identische Abbildung/Identität Id l : V W : v heißt Nullabbildung 3 Sind, S : V W linear, dann auch λ K fest λ : v λ v + S : v v + Sv Also: LV, W : { : V W linear} ist ein Vektorraum 4 Sind S : V W, : W U linear, dann auch S : V U : V Sv, das Produkt oder die Komposition/Hintereinanderausführung von S und Schreibe auch S Wie für beliebige Abbildungen ist die Komposition assoziativ: S R S R 5 Für LV, V gilt l l p 43 Die Dimensionsformel 45 Satz: Sei : V W, dimv < Dann gilt dim V dim ild + dim Kern wobei dim{} : eweis: Fall ist nicht injektiv: Sei {b,, b k } asis von Kern also k dim Kern Ergänze zu einer asis von V : {b,, b k, b k+,, b n } ild LH{ b,, b n } LH{ b k+,, b n } Zeige: { b k+,, b n } ist linear unabhängig Dann gilt n dim V k + n k dim Kern + dim ild
3 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 83 Sei λ k+ b k+ + + λ n b n }{{} λ k+b k+ ++λ nb n: V v Kern, also ist v Linearkombination von b,, b k : v λ b + + λ k b k + b k+ + + b n λ k+ λ n Fall ist injektiv: dim Kern, {b,, b n } asis von V Wie in Fall zeige: { v,, V n } ist linear unabhängig Veranschaulichung: V W Kern ild 46 eispiel: : R 4 R : Kern ild x x x 3 x 4 x x 3 { x 4 x : x R dim R 4 x ist linear : x, x 3, x 4 R } dim Kern 3 dim ild 47 Definition: Rang : dim ild heißt Rang der Abbildung 44 Lineare Abbildungen auf asen 48 Satz: Sei {b,, b n } asis von V, {w,, w n } W Dann existiert genau eine lineare Abbildung : V W mit b w,, b n w n eweis: Sei v V, v λ j b j λ j eindeutig! j v λ j b j j j λ j b j Die so definierte Abbildung : V W ist linear nachrechnen λ j w j j
4 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite emerkung: Spezialfall V K n, b j e j liefert die Abbildung aus Kapitel 3 4 eispiel: : R R 3 : x y x + y, x + y x y x y 4 Satz: Seien {b,, b n }, {w,, w n }, wie oben Dann gilt LH{w,, w n } W ist surjektiv {w,, w n } ist linear unabhängig ist injektiv 3 {w,, w n } ist asis von W ist bijektiv 45 Die Matrix einer linearen Abbildung Sei : V W linear, {b,, b n } asis von V, b j : w j W Nach dem vorigen Kapitel ist die einzige lineare Abbildung mit b j w j Sei {c,, c m } eine asis von W, w j α j c + α mj c m Dann ist w j durch die Zahlen α j,, α mj eindeutig festgelegt 4 Folgerung: Sind die asen von V und von W vorgegeben, so ist durch die n m Zahlen {α ij : i m, j n} vollständig bestimmt 43 Konvention: Schreibe die α ij in der Matrizenform M M, α α n α m α mn α ij α ij i,, m j,, n Das bedeutet: In den Spalten stehen die Koordinaten der ilder der asisvektoren 44 Definition: M M, der asen und heißt die m n-matrix der linearen Abbildung bezüglich
5 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite eispiel: : R R x : x, { } Aber: bleibt,, : {c, c }: / / M, { x + x, x x c c,, M, } : c c 46 emerkungen: n dim V Anzahl Spalten, m dim W Anzahl Zeilen ei festen asen, hat man also eine bijektive eziehung zwischen den linearen Abbildungen von V nach W und m n-matrizen: M, Sei M m,n : M m,n K : {m n-matrizen} 3 Seien E n : {e,, e n } und E m : {e,, e m } die kanonischen asen von K n und K m Dann gehört zu jeder m n-matrix M genau eine lineare Abbildung : K n K m mit M Em,En M 4 Sei M M Em,En Sind V, W Vektorräume mit dim V n, dim W m, asis von V, asis von W, so ist M auch Matrix einer linearen Abbildung R : V W : M M, R Wie hängen R und zusammen? Seien K n : K n V : e i b i, K m : K m W : e i c i die Vektorraumisomorphismen aus Kapitel 3 Dann ist K n K n V R K m K m Das werden wir bald besser verstehen hoffentlich W R K n K m oder R K m K n Wichtig: R und unterscheiden sich nur durch Vektorraumisomorphismen Wichtige Kenngrößen wie dim Kern und Rang dim ild sind für R und gleich Daher genügt es oft, eine Matrix als die Matrix einer linearen Abbildung : K n K m zu interpretieren 47 eispiele: Die Nullabbildung l : V W : x hat bezüglich jeder asis die Matrix M, l m n
6 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 86 Die Identität l : V V : x x hat bezüglich einer asis die Matrix M, l Achtung: M, l { sieht anders } aus, falls { ransformationsmatrizen } Zum eispiel V R,,,, : {c, c }: c c c + c M, l 3 D : R R : Drehung um Winkel ϕ im Gegenuhrzeigersinn bezüglich kanonischer asis E : {e, e }: De De cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ M E,E D cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 4 Orthogonale Projektion P des R 3 auf die x, x -Ebene: P, P, P M E 3,E 3 P 5 Die m -Matrix M : kanonischer asen, nämlich α α m λ λ λ ist Matrix einer Abbildung : K K m bezüglich α α m λ α λ α m K n 6 Die n-matrix M : α,, α n ist Matrix einer Abbildung : K n K bezüglich kanonischer asen, nämlich e i α i x x n x e + + x n e n α x + + α n x n
7 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite Das ild eines allgemeinen Vektors Sei : V W, {b,, b n } bzw {c,, c m } asen von V und W, M M, α i,j i,, m Sei v v j b j j,, n j v v j b j j m α ij v j c i i j }{{} Koordinaten bezüglich v j b j j m v j α ij c i j i Also: : v v: v v n α j v j j α mj v j j : α α n α m α mn v v n dh wir rechnen Koordinate des ildvektors Zeile der Matrix mal Vektor m-te Koordinate des ildvektors m-te Zeile der Matrix mal Vektor 48 eispiele: M, v in der asis die Koordinaten v c + c, v 7 b + 8 b + 9 b Dann hat Drehung D auf R bezüglich kanonischer Koordinaten: x cos ϕ sin ϕ x D y sin ϕ cos ϕ y E E x cos ϕ y sin ϕ x sin ϕ + y cos ϕ E 3 Das LGS a x + + a n x n y a m x + + a mn x n y m kann geschrieben werden als
8 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 88 a a n x y } a m {{ a mn } x n y m M Interpretiere M als die Matrix einer linearen Abbildung : K n K m bezüglich kanonischer asen E n, E m, x x x n, y y y m Dann bedeutet : für die lineare Abbildung und für y K m suche x K n mit x y, suche Urbild unter von y Dadurch wird die heorie der LGS sehr einfach 49 Zusammenfassung: Für : V W, V asis von V, W asis von W, gilt v W M W, V v V 47 Matrizenmultiplikation Seien U, V, W Vektorräume mit den asen U {a,, a n }, V {b,, b m }, W {c,, c l }, : U V, S : V W lineare Abbildungen mit Matrizen : M V, U : β jk j m k n U, U β jk, A : M W, V S V, V S S α ij W, W : α ij i l j m : Problem: erechnung der Matrix M W, U S : l n-matrix erechne die ilder der asisvektoren: m S a k S a k S β jk b j j m l β jk α ij c i j i m β jk Sb j j l m β jk α ij c i i j Also gilt M W, U S γ ik i l k n mit γ jk m β jk α ij j 4 Definition: Die Matrix C γ ik heißt Matrizenprodukt von A und : C A
9 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 89 Zum Merken: γ ik i-te Zeile mal j-te Spalte: A α i α im β k β mk γ ik Insbesondere kann das Matrizenprodukt A nur gebildet werden, wenn Spaltenzahl von A Zeilenzahl von 4 eispiele: manchmal auch dyadisches Produkt Insbesondere A A vergleiche mit dem vorigen eispiel 4 Zusammenfassung: Sind U, V, W Vektorräume mit asen U, V, W, und sind : U V, S : V W, so gilt M W, U S M W, V S M V, U 48 Matrizen als Vektoren 43 Satz: Seien V, W Vektorräume mit asen,, und seien S, : V W linear mit Matrizen M, S α ij, M, β ij Dann gilt Für λ K ist die Matrix von λ S gegeben durch λ α λ α n M, λs λ α ij : λ α ij λ α m λ α mn
10 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 9 Die Matrix von S + ist gegeben durch α + β α n + β n M, S+ α ij + β ij α m + β m α mn + β mn : α ij + β ij eweis durch Hinsehen: An der Stelle ij steht die i-te Koordinate des ildes des j-ten asisvektors 44 Folgerung M m,n {m n-matrizen} als Vektorraum: Mit Skalarenmultiplikation und Addition oben definiert ist M m,n ein Vektorraum Die Elementarmatrizen E ij : δ ij bilden eine asis von M m,n Also: dim M m,n m n 3 Für V, W mit asen, ist LV, W M, M m,n ein Vektorraum-Isomorphismus Insbesondere: dim LV, W m n 49 Rechenregeln Falls die Matrizen A,, C zusammenpassen, gilt A + C A + A C A + C A C + C A C A C eweis: Für lineare Abbildungen gilt s ja auch Achtung: Selbst für n n-matrizen gilt im Allgemeinen A A: S :, S : S S S S Achtung: Aus A l folgt nicht A l oder l: A l, aber A A l
11 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 9 4 Inverse von Matrizen Sei : V W linear mit Matrix M M, ist invertierbar : W V ist linear, dh l V und l W M, M, M, l M, M, M, l M ist invertierbar, dh Matrix M mit M M l, M M l : l l Ist M invertierbar, so gilt: M ist eindeutig da eindeutig M ist quadratisch : V W bijektiv dim V dim W 45 eispiele: Sei M 4 9 estimme M a a a a a a a + a a + a 4 9 a a 4a + 9a 4a + 9a { a + a 4a + 9a, a + a 4a + 9a! { a + a a 4, a + a a { a 9 a 4, a a 9 M 4 Kurzschreibweise: eide LGS simultan umformen: M Also: Schreibe links M, rechts l, benütze Gauß-Umformungen, bis links l steht, dann steht rechts M
12 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 9 4 M : 4 M / / 4 asiswechsel 46 Definition: Sei V ein Vektorraum mit asen, Dann heißt S : M, l die ransformationsmatrix für den asiswechsel von auf 47 Eigenschaften: Ist v V und λ v, dh v λ j b j, und v λ n j {b,, b n }, {b,, b n}, dann gilt µ µ n M, l S ist invertierbar: S M, l 3 Ist : V V linear, dann ist λ λ n, λ λ n µ µ n M, M, l M, M, l, dh v M, l µ µ n µ j b j 4 Allgemeiner: Seien : U V, A, A asen von U,, asen von V, M : M,A R : M A,A l, S : M, l Dann gilt M,A M, l M,A S M M,A M,A M,A M, l M A,A l M R M,A M A,A l S M R j, 48 emerkung: Ist asis von V, dim V n, und S M n,n invertierbar, so existiert eine asis von V, so dass gilt: S M, l
13 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite Definition: Zwei Matrizen A, M m,n heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S M m,m und R M n,n gibt mit S A R vgl oben M,A S M R Dh A und beschreiben bezüglich geeigneter asen dieselbe Abbildung Zwei Matrizen A, M n,n heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S M n,n gibt mit S A S 43 eispiel: V R : { } { {b, b } :,, {b, b } :, b b + / 4 b /4 b b / 4 b /4 b, b S M, l / / Probe: S S /4 /4 Die lineare Abbildung : R R sei durch M, 5/ / / 5/ M, S M, S / / /4 /4 } S : M, / / l /4 /4 l gegeben / / 5/ / /4 /4 / 5/ ezüglich ist besonders einfach: Streckung der asisvektoren Hauptproblem der linearen Algebra: Finde für gegebenes eine asis, so dass M, einfach möglichst diagonal ist möglichst 4 ransformation von Orthonormalbasen Sei, das Standard-Skalarprodukt in C n {b,, b n } eine weitere ON, so gilt b b n }{{} Koordinaten als Zeilen geschrieben und E {e,, e n } die kanonische ON Ist b,, b n }{{} M E, l Koordinaten als Spalten l
14 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 94 Das bedeutet: Die inverse Matrix zu S M E, l kann besonders leicht berechnet werden In den Zeilen stehen die konjugiert komplexen Koordinatenvektoren von b,, b n : S b b n Außerdem folgt aus S S l: b,, b n b b n l Also: Interpretiert man die i-ten Koordinaten von b,, b n als Koordinaten eines Vektors b i bezüglich E, so ist { b,, b n } wieder eine ON 43 eispiel: V R 3, { S 4/5 3/5 3/5 4/5, 4/5 3/5, 3/5 4/5 S } 4/5 3/5 3/5 4/5 S geht aus S hervor durch Spiegelung der Einträge an der Diagonalen 43 emerkung: Dies gilt auch für beliebige Orthonormalbasen und : Ist M, l b,, b n, dh ist b i der Koordinatenvektor bezüglich des i-ten Vektors aus, so gilt M, l b b n 43 ransponierte Matrizen und Abbildungen 433 Definition: Sei A a a n M m,n K a m a mn Dann heißt a a m A : M n,m K a n a mn die adjungierte Matrix zu A Ist K R, so spricht man auch von transponierter Matrix und schreibt A statt A
15 434 : A Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite i 3 A i 4 5i 3 5i 6 3 A da { / /, A A A A A A / / } ON A 435 Definition: A M nn heißt selbstadjungiert, falls A A Im Fall K R heißt A dann auch symmetrisch A A unitär, falls A A Im Fall K R heißt A dann auch orthogonal A A 436 Satz: Seien, C n,, C m die Standard-Skalarprodukte in C n bzw C m, und sei A M m,n C Für x C n, y C m gilt A x, y C m x, A y C n eweis durch Nachrechnen 437 Folgerungen: Ist A selbstadjungiert, so gilt für x, y C n : A x, y x, A y x, A y Ist A unitär, so gilt für x, y C n A x, A y x, A A y x, A A y x, y Insbesondere gilt Ax A x, A x x Eine unitäre Matrix ist längen- und winkelerhaltend 438 emerkung: Seien V, W Vektorräume mit Orthonormalbasen,, und sei : V W linear Dann existiert genau eien Abbildung : V W mit x V y W : x, y W x, y V heißt die adjungierte Abbildung zu, und es gilt M, : V V heißt selbstadjungiert/unitär, falls M, / gilt M, Eine Abbildung selbstadjungiert/unitär ist, dh falls
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