Geraden in der Ebene und Zerlegung von Graphen

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1 Geraden in der Ebene und Zerlegung von Graphen Proseminar: Beweise aus dem Buch am von Ina Seidel 1 Historisches zu Sylvester und Gallai James Joseph Sylvester * 1814, 1897 war britischer Mathematiker.Unter anderem arbeitete er an der Theorie von Matrizen und Determinanten. Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von Sylvester eingeführt, ebenso ist der Trägheitssatz von Sylvester (den wir aus LinAlg 2 kennen) nach ihm benannt.1893 formulierte er dann den Satz, bzw. das Problem mit welchem sich dieser Vortrag beschäftigt. Tibor Gallai * 1912, 1992 war ein ungarischer Mathematiker, der sich insbesondere mit Graphentheorie beschäftigte. Nachdem er den Eötvös-Wettbewerb gewonnen hatte, konnte er ab 1930 in Budapest Mathematik studieren, was sonst für Juden im damaligen Ungarn eingeschränkt war.1933 bewies er den Satz von Sylvester. 2 Satz von Sylvester und Gallai Satz 1: Für jede Anordnung von endlich vielen Punkten in der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen, gibt es eine Gerade, die genau zwei der Punkte enthält. Anleitung zum Finden/Konstruieren der Geraden l 0, die genau 2 der Punkte enthält betrachte alle Paare (P,l), für die l eine Gerade durch mindestens 2 Punkte ist und P ein Punkt ist, der nicht in l liegt wähle das Paar, bei welchem der Abstand zwischen P und l minimal ist. Diese Gerade l 0, des Paares ist die Gesuchte. Beweis durch Widerspruch, dass l 0 tatsächlich nur genau 2 Punkte enthält 1

2 Widerspruchsannahme: l 0 enthält mindestens 3 Punkte satz 1.PNG l 1 hat von P 1 einen kleineren Abstand, als l 0 von P Satz von Erdös und Bruijn als Folgerung von Satz 1 Satz 2: Sei P eine Menge von n 3 Punkten in der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen. Dann besteht die Menge L der Geraden, die durch mindestens zwei Punkte in P gehen, aus mindestens n Geraden. Beweis durch Induktion: Induktionsanfang: n=3 Induktionsannahme: Sei Satz 2 für n Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen bereits gezeigt. Induktionsschluss: Für eine Menge von n+1 Punkten gibt es mit Satz 1 eine Gerade, die genau zwei Punkte P und Q enthält. Entferne Q Fall 1: die übrigen n Punkte liegen auf einer Geraden satz 2.PNG Fall 2: sie liegen nicht auf einer Geraden, d.h. Induktionsannahme ist anwendbar 2

3 3 Verallgemeinerung von Satz Formulierung des Satzes Satz 3: Sei X eine endliche Menge von n 3 Elementen, und seien A 1,..., A m echte Teilmengen von X, so dass jedes Paar von Elementen in X in genau einer der Mengen A i enthalten ist. Dann gilt m n. 3.2 Inzidenzgeometrien Im Beweis von Satz 1 und somit auch in Satz 2 wurden zum Beispiel Ordnungsaxiome ( P 1 liegt zwischen Q und P 2 ) verwendet, oder metrische Axiome ( kleinster Abstand ). Dinge, die durch Anschauung klar sind und vor 1900 auch nicht mathematisch exakt (im heutigen Sinne) definiert waren. Hilbert formulierte dann um 1900 erstmals ein Axiomensystem in der Geometrie. Die von Hilbert verwendeten Begriffe Punkt, Gerade, Ebene etc. haben keinen Bezug zur Anschauung mehr, wie es noch Euklid (300 v. Chr.) versucht hatte (z. B. Ein Punkt ist, was keine Teile hat. ), sondern sind rein axiomatisch definiert. Gruppe 1: Axiome der Inzidenz Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte. Gruppe 2: Axiome der Anordnung Die abgebildete Graphik erfüllt gehört zur Gruppe 1. Erfüllt aber nicht die Axiome der Anordnung, daher sind die Voraussetzungen von Satz 1 nicht erfüllt. Satz 3 dagegen verwendet nur die Inzidenzaxiome. Beim Beweis kann daher nicht auf Satz 1 zurückgegriffen werden. ebene.png 3

4 3.3 Anwendung auf die Graphentheorie Satz 4: Wenn wir den vollständigen Graphen K n so in m kleinere Cliquen zerlegen, dass jede Kante in genau einer der Cliquen liegt, dann ist m n. 4 Weiterer Satz über Zerlegung von Graphen Satz 5: Wenn man den vollständigen Graphen K n in vollständige bipartite Subgraphen H 1,..., H m zerlegt, dann ist m n 1. Und es existiert eine Zerlegung, für die Gleichheit gilt. 1. Existenz: zerlegt.png 2. Besser geht es nicht: Bezeichne die Knotenmenge V von K n mit 1,...,n Ordne jedem Knoten i eine Variable x i zu Bezeichne die unabhängigen Mengen, der bipartiten Graphen H j, j=1,...,m mit L j und R j dann gilt: m x i x j = ( x a x b ) (1) i<j k=1 a L k b R k 4

5 Widerspruchsannahme: m < n-1 Betrachte folgendes LGS: x x n = 0 (2) a L 1 x a = 0 (3)... (4) a L m x a = 0 (5) dieses LGS besitzt eine nichttriviale Lösung c 1,..., c n Einsetzen von(3) bis (5) in (1) liefert: daraus ergibt sich nun folgender Widerspruch: 0 (2) = (c c n ) 2 = c i c j = 0 (6) i<j n i=1 c 2 i + 2 i<j c i c j (6) = n c 2 i > 0 (7) i=1 Literatur: Prof. Dr. Martin Aigner, Prof. Günter M. Ziegler Das BUCH der Beweise,