Aussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)

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1 Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5)

2 Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning, Fakultät für Ingeneurwissenschaften und Informatik, Universität Ulm, 28/9 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 2 (von 5)

3 . Einführung Sprachliche Aussagen Aussagenkombination Wahrheitstafeln/-tabellen Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 3 (von 5)

4 Sprachliche Aussagen Es geht darum sprachliche Aussagen durch logische Formeln darzustellen und ihnen den Wahrheitswert (wahr) oder (falsch) zuzuordnen. Die Aussage Ulm liegt in Baden-Württemberg hat den Wahrheitswert wahr (oder ) Die Aussage Schwefel ist ein Metall hat den Wahrheitswert falsch (oder ) Es sind nur Teilausschnitte modellierbar So ist es nicht möglich Dieser Satz ist falsch da die Aussage über sich selbst redet Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 4 (von 5)

5 Aussagenkombination Es geht nun darum Aussagen zu kombinieren Wenn Ulm in Baden-Württemberg liegt und Schwefel ein Metall ist, dann können Pferde fliegen Diese Aussage ist wahr Ziel: Systematische Methoden um Wahrheitswerte von verknüpften Aussagen bestimmen zu können Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 5 (von 5)

6 Wahrheitstafeln/-tabellen Wir verwenden nun Platzhalter/Variable (A, B, C oder x, y, z) anstelle der Aussagen. d. h. der Wahrheitswert seht noch nicht fest In Form von Wahrheitstafeln/-tabellen systematisch alle Möglichkeiten für Wahrheitswerte auflisten A B C Bei 3 Variablen (bzw. n Variablen) ergeben sich 8 Zeilen (bzw. 2 n Zeilen) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 6 (von 5)

7 2. Boolesche Funktionen Boolesche Funktionen Anwendungsfelder Umformungsregeln für Boolesche Formeln Erfüllbarkeit / Tautologie Tautologie Wahrheitstafeln Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) Resolutionskalkül Boolesche Schaltfunktionen Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 7 (von 5)

8 Boolesche Funktionen Es gibt nun mehrere Verbindungen von Aussagen (und, wenn, dann, oder, nicht) Diese stellen wir wie folgt dar: wobei das einschließende Oder gemeint ist wobei die Und-Operation gemeint ist A B (A B) A B (A B) A B (A B) wobei das ausschließende Oder gemeint ist (engl: exclusive-or, kurz: XOR) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 8 (von 5)

9 Boolesche Funktionen () wobei gemeint ist aus A folgt B bzw. wenn A dann B wobei die Nicht-Operation gemeint ist A B (A B) A B (A B) A Ᾱ bzw. A Bem.: Die Umkehrung von A B ist nicht die Aussage B A. Diese beiden Aussagen sind nicht dasselbe. Zu A B äquivalent ist B A (kontraposition) wobei gemeint ist A genau dann, wenn B Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 9 (von 5)

10 Boolesche Funktionen (2) Beispiel: Ein Hundertjähriger wird gefragt nach seinem Geheimnis. Der meint: Ich halte mich immer strickt an meine Diät () Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch (2) Wenn ich Fisch und Bier zu einer Mahlzeit habe, dann verzichte ich auf Eiscreme (3) Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann esse ich keinen Fisch () B F (2) (F B) E (3) (E B) F B F E B () F B E (2) E B F (3) () (2) (3) Kompakt: Zu jeder Mahlzeit B und nie F und E zusammen Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5)

11 Anwendungsfelder Künstliche Intelligenz/ Expertensysteme: Wissensmodellierung Hardware/Logische Schaltungen Logische Programmiersprachen (PROLOG) Automatisches Beweisen Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5)

12 Umformungsregeln für Boolesche Formeln Distributivgesetze x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) De Morgen (x y) = x y (x y) = x y Absorbtionsgesetze x (x y) = x x (x y) = x Überprüfen von (x y)= x y mit Hilfe von Wahrheitstafel x y x y (x y) x y x y Kontraposition x y = y x x y = x y x y = (x y) (y x) = ( x y) (x y) = (x y) ( x y) = Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 2 (von 5)

13 Erfüllbarkeit / Tautologie Definition Erfüllbarkeit Eine Boolesche Formel F (besteht aus den Aussagevariablen A, A n ) heißt erfüllbar, falls es eine Werte-Belegung für A,,A n gibt, so dass F den Wahrheitswert erhält A,,A n F F ist erfüllbar Definition Tautologie d. h. Wahrheitswerteverlauf von F in der Wahrheitstabelle enthält eine d. h. Wahrheitswerteverlauf von F besteht nur aus en Formel F heißt gültig (oder Tautologie) falls für alle Werte-Belegungen für A,,A n, die Formel F den Wahrheitswert erhält. A,,A n F F ist Tautologie Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 3 (von 5)

14 Tautologie unerfüllbare Formeln alle Formeln Tautologien erfüllbare Formeln Anwendung der Negation bedeutet Spiegelung an der gestrichelten Achse Satz F ist Tautologie F ist unerfüllbar F F Erfüllbarkeitstest ja nein d. h. F ist Tautologie Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 4 (von 5)

15 Einige elementare Boolesche Funktionen und Konjunktion oder Disjunktion nicht Negation daraus folgt Implikation wenn dann XOR Antivalenz genau dann wenn Äquivalenz nor not-or nand not-and x y x y x y x x y x y x y nor(x,y) nand(x,y) Wahrheitstafel mit n Booleschen Variablen (auch: atomare Aussage) Besitzt 2 n Zeilen Es gibt 2 (2n ) viele verschiedene n-stellige Boolesche Funktionen (manche davon triviale Funktionen, z. B. Konstant) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 5 (von 5)

16 Wahrheitstafeln Bisher: Gegeben Boolesche Formel, danach dann Wahrheitstafel aufstellen Jetzt: Gegeben Wahrheitstafel, finde dazu die Boolesche Formel Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 6 (von 5)

17 Disjunktive Normalform (DNF) Beispiel mit 3 Variablen vollständig = jeder Klammerausdruck enthält alle Variablen x y z F ( x y z) ( x y z) ( x y z) ( x y z) ( x y z) (vereinfacht DNF) Dies ergibt die (vollständige) disjunktive Normalform: F = ( x y z) ( x y z) (x y z) (x y z) (x y z) = ( x y) ( y z) (x y) (x z) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 7 (von 5)

18 Konjunktive Normalform (KNF) Anhand der Zeilen der Wahrheitstafel mit. Wahrheitswert = führt jetzt zur Negation der Variablen: F = (x y z) (x y z) ( x y z) = (x y) ( y z) Klammerausdrücke bei KNF heißen auch Klauseln 2 Klauseln, die sich im Verzeichnis genau einer Variablen unterscheiden, können verschmelzen, wobei diese Variable dann weggelassen wird. Jede Boolesche Funktion besitzt eine Darstellung in DNF und KNF. Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 8 (von 5)

19 Konjunktive Normalform (KNF) () Da DNF (KNF) nur die Operatoren,, enthalten kann mit diesen Operatoren jede Boolsche Funktion ausgedrückt werden. d. h. Die Menge {,, } bildet eine vollständige Basis schon {, } ist eine vollständige Basis, denn: x y = ( x y) (wegen de Morgan) Analog: {, } ist vollständige Basis. Weitere vollständige Basen: {, }, { nor }, { nand } Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 9 (von 5)

20 Resolutionskalkül Gegeben sei Formel in KNF ( Klauselformel ) (ggf. muss zunächst KNF hergestellt werden) Resolutionsregel: Wenn es bei 2 Klauseln genau eine Variable gibt, in der eine Klausel positiv, in der anderen negativ auftritt, dann darf ein Resolvent gebildet werden: F = (x z) (x y z) ( x y z) ( x y) ( y z) (x y) ( y z) ( x z) ( x z) (y) ( y) ( x) (überflüssig) Symbol für leere Klausel beide Klauseln zusammenfügen, die Variable entfernen Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 2 (von 5)

21 Resolutionskalkül () Satz: Eine Formel F in KNF ist unerfüllbar genau dann, wenn aus den Klauseln von F mittels der Resolution sich die leere Klausel ableiten lässt. Anwendung: Feststellung, ob F Tautologie ist: Erzeuge F und forme in KNF um. Dann Resolution anwenden. Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 2 (von 5)

22 Boolesche Schaltfunktionen Hardware-Realisierung von Booleschen Formeln und oder xor nicht nand nor Aus jeder Formel kann eine Schaltung entstehen: F = ( (x y) z ) (x y) Mehrfachverwendung einer Teilformel (x y) x y z Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 22 (von 5)

23 3. Boolesche Schaltungen Einführung Boolesche Schaltungen Wahrheitstafel Disjunktive / Konjunktive Normalform (DNF / KNF) Flimmerschaltung Schaltungen mit Hilfe boolescher Basen XOR (Exklusives ODER) Halbaddierer Volladdierer Karnaugh-Diagramm

24 Einführung (Schaltfunktionen, Logische Schaltungen, ) Boolesche Formeln oder Funktionen F : {, } n als Schaltungen realisiert werden. {, } können Logische Werte, werden umgesetzt in Strom fliesst, Strom fliesst nicht. Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 24 (von 5)

25 Schaltbild AND-Gatter: Einführung () Physikalische Umsetzung binärer Zustände ( Strom fließt oder Strom fließt nicht ) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 25 (von 5)

26 Einführung (2) Hardware-Realisierung von Booleschen Formeln und Schaltelemente heissen auch Gatter oder nicht (alternativ ) nand nor xor Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 26 (von 5)

27 Alternative Darstellungen Einige Schaltzeichen nach DIN 49 bzw. DIN EN 667 Verknüpfung a b a b a a b a b Schaltzeichen nach DIN 49 bzw. DIN EN 667 b a b a a b a b a & & a b a b _ a a b a b Benennung UND-Element (AND) ODER-Element (OR) NICHT-Element (NOT) UND-Element mit negiertem Ausgang (NAND) ODER-Element mit negiertem Ausgang (NOR) negierter Eingang negierter Ausgang Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 27 (von 5)

28 Boolesche Schaltungen x y z = F = F (x, y, z) x y F z (x y) (x z) = F = F (x, y, z) x y z F Mehrfachverwendung einer Variablen Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 28 (von 5)

29 Boolesche Schaltungen () F = ( (x y) z ) (x y) Mehrfachverwendung einer Teilformel (x y) x y z F Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 29 (von 5)

30 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 3 (von 5) Wahrheitstafel F = ( (x y) z ) (x y) z y F = v w w = (x y) z v = x y x Wahrheitstafel:

31 Disjunktive / Konjunktive Normalform (DNF / KNF) Disjunktive Normalform (beschreibt alle in Ergebnisspalte) F = ( x y z ) 6 weitere Klammerausdrücke Konjunktive Normalform (beschreibt alle in Ergebnisspalte) F = ( x y z ) keine weiteren Klauseln = ( ( x y) z ) = ( ( (x y) z ) = ( w z ) = (w z) = (x y z) w = x y Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 3 (von 5)

32 Disjunktive / Konjunktive Normalform () Negation eines Klammerausdrucks F = ( x y z ) x y z F x UND x NAND keine Verzweigung Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 32 (von 5)

33 Disj. / Konj. Normalform (2) Beispiel: Signal soll rot () zeigen, wenn Zug über falsch gestellte Weiche fährt, ansonsten grün() Weiche nach innen/aussen gestellt / Weiche a Weiche b Weiche c Signal x Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 33 (von 5)

34 Disjunktive / Konjunktive Normalform (3) Schaltfunktion in DNF F signal = = = [( a b c) ( a b c) ] ( a b c) 4243 w 4243 w ( a c) b ( a c) b ( a b c) ( w b) ( w b) ( a b c) = ( w ( b b) ) ( a b c) = w ( a b c) = ( a c) ( a b c) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 34 (von 5)

35 Disjunktive / Konjunktive Normalform (4) Schaltung: a F signal b c Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 35 (von 5)

36 Flimmerschaltung Beispiel: Aus Schaltelementen kann folgende Schaltung aufgebaut werden: x y F x y F sog. Flimmerschaltung entspricht nicht irgendeiner Booleschen Funktion y = y = y = y = y = y = y = y = Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 36 (von 5)

37 Flimmerschaltung () Logische Schaltungen können als azyklische (kreisfreie) gerichtete Graphen aufgefasst werden (Kantenrichtung nicht gezeichnet) Logische Schaltung physikalischer Schaltkreis (ansonsten kreisfreie Schaltkreise ) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 37 (von 5)

38 Schaltungen mit Hilfe boolescher Basen Mit NAND lassen sich alle Booleschen Funktionen realisieren ({ nand } ist vollständige Basis) Realisation von UND, NICHT, ODER: x x y F x F y F x y x x y es genügt Typ von Schaltelement Analog: NOR genügt. Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 38 (von 5)

39 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 39 (von 5) XOR (Exklusives ODER) XOR (Ausschließendes ODER / Exclusive OR) F (x y) ( x y) y x x y F x y F

40 Halbaddierer Halbaddierer zweier Bits x y a Summenbit b Übertragsbit x y a = x y b = x y x y HA a b Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 4 (von 5)

41 Volladdierer Volladdierer für 2 Bits und Übertrag aus niedrigerer Stelle s Summenbit x y z c Übertragsbit x y z VA s = x y z c = ((x y) z) (x y) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 4 (von 5)

42 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 42 (von 5) Volladdierer () c = ((x y) z) (x y) (x y) z x y s = x y z x y z y x

43 Volladdierer (2) Addierwerk für zwei Binärzahlen mit 4 Bits x 3 x 2 x x y 3 y 2 y y x y HA s c x y VA s c Ergebnis: c3 s3 s2 s s x 2 y 2 VA s 2 c 2 x 3 y 3 VA s 3 c 3 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 43 (von 5)

44 Vereinfachung von Schaltungen mittels Karnaugh-Diagramm Zwei Grundideen:. Umstellung der Wahrheitstafel in Rechteckform (Variablen horizontal und vertikal angeordnet) 2. Suche nach Blöcken von statt einzelnen DNF: ( x x 2 x 3 x 4 ) ( x x 2 x 3 x 4 ) (x x 2 x 3 x 4 ) = ( x x 3 x 4 ) (x x 2 x 3 x 4 ) x x 2 x 3 x 4 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 44 (von 5)

45 Konstruktion von Karnaugh-Diagrammen (generell) Werte von Variablen werden so angeordnet, dass benachbarte Änderungen nur in Bit bestehen x x 2 x 3 x 4 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 45 (von 5)

46 Konstruktion von Karnaugh-Diagrammen (generell) () Auch bei mehr als vier Variablen kann die Wahrheitstafel so aufgebaut werden, dass sich benachbarte Kombinationen auf beiden Achsen nur um Bit unterscheiden. Beispiel, fünf Variablen: x x 2 Graycode x 3 x 4 x 5 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 46 (von 5)

47 Konstruktion von Karnaugh-Diagrammen (generell) (2) Blöcke (Rechtecke) von haben Größe von 2er Potenzen, dürfen überlappen und dürfen zyklisch ( außen herum ) geschlossen sein x x 2 x 3 x 4 x 4er Block x 2er Block Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 47 (von 5)

48 Konstruktion von Karnaugh-Diagrammen (generell) (3) Für jeden Block identifiziert man die Variablen, die dort konstant sind. Die anderen entfallen. 4er Block: x x 2 x 3 x 4 x =, x = kommt vor x entfällt x 2 = konstant x 2 beschreibt Block x 3 =, x 3 = kommt vor x 3 entfällt x 4 = konstant x 4 beschreibt Block F 4er Block = x 2 x 4 2er Block: x = konstant x beschreibt Block x 2 =, x 2 = kommt vor x 2 entfällt x 3 = konstant x 3 beschreibt Block x 4 = konstant x 4 beschreibt Block F 2er Block = x x 3 x 4 Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 48 (von 5)

49 Konstruktion von Karnaugh-Diagrammen (generell) (4) DNF: F = F 4er Block F 2er Block = ( x 2 x 4 ) (x x 3 x 4 ) Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 49 (von 5)

50 Konstruktion von Karnaugh-Diagrammen (generell) (5) Blockbildung über 2 Ränder möglich! x x 2 x 3 x 4 F = x 2 x 4 Anderes Beispiel, Torus-Animation: bethard.steven/torus.mov oder bethard.steven/torus.avi Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie 5 (von 5)

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