2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

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1 2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a m x + a m2 x a mn x n = b m mit a ij K, b i K ( i m, j n). Die Elemente a ij heißen Koeffizienten des LGS, die Elemente b i die rechten Seiten. Das LGS heißt homogen falls b =... = b m =, andernfalls inhomogen. Eine Lösung dieses LGS ist ein n-tupel (x,..., x n ) K n welches die obigen m Gleichungen simultan erfüllt. Beispiel. (i) Über Q: n = 3, m = 5, x x 2 + x 3 = 3x 2 + 2x 3 = 5 5x 3 = a = a 2 = a 3 = b = a 2 = a 22 = 3 a 23 = 2 b 2 = 5 a 3 = a 32 = a 33 = 5 b 3 = Lösen von unten nach oben ergibt genau eine Lösung: (x, x 2, x 3 ) = (6, 3, 2). (ii) Über C: x + 2ix 2 = 3 3ix 6x 2 = + i Gleichung (2) minus 3i mal Gleichung () ergibt = 8i, also keine Lösung. x + 2x 2 + 3x 3 = 3x x 2 + 2x 3 = Subtrahiere 3 mal Gleichung () von Gleichung (2) = x 2 = x 3, setze dies in Gleichung () ein = x = x 3. Man kann also x 3 frei wählen, z.b. x 3 = a R, und damit sind alle Lösungen von der Form (x, x 2, x 3 ) = ( a, a, a) = a(,, ), a R (anschaulich: die Lösungsmenge ist eine Gerade in R 3 durch den Ursprung).

2 Definition m, n N, K Körper. Eine m n-matrix M mit Koeffizienten in K ist eine rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij K, i m, j n der Form a a 2... a n a 2 a a 2n M =... a m a m2... a mn a ij heißt der ij-te Koeffizient von M oder der Koeffizient in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. m ist die Anzahl der Zeilen, n die der Spalten. M m n (K) bezeichnet die Menge aller m n-matrizen mit Koeffizienten in K (oder über K ). Falls m = n so schreibt man kurz M n (K) statt M n n (K). Eine n-matrix (a... a n ) nennt man auch Zeilenvektor oder genauer n- Zeilenvektor, Eine m -Matrix genauer m-spaltenvektor. a. a m nennt man auch Spaltenvektor oder Bemerkung. Eine m n-matrix besteht aus m n-zeilenvektoren, bzw. aus n m-spaltenvektoren. Die obige Matrix M schreibt man auch kurz als M = (a ij ) i m j n oder einfach M = (a ij ) wenn die Zeilenanzahl m/spaltenanzahl n klar ist (wie z.b. im Ausdruck (a ij ) M m n (K)). Definition Dem LGS über K aus Defintion 2.2. ordnet man die folgende Matrix A M m n (K) und den folgenden m-spaltenvektor b zu: a a 2... a n a 2 a a 2n b A := b :=.... b a m a m2... a m mn und man spricht vom LGS a a 2... a n b a 2 a a 2n b a m a m2... a mn b m 2

3 bzw. vom LGS (A b). Man nennt A die Matrix dieses LGS, und (A b) die erweiterte Matrix dieses LGS. Man definiert die Lösungsmenge dieses LGS als L(A b) := {(x,..., x n ) K n (x,..., x n ) ist eine Lösung des LGS (A b)} Beispiel. Mit den Beispielen vom Anfang von Abschnitt 2.2: (i) (A b) = 3 2 5, L(A b) = {(6, 3, 2)}. 5 ( ) 2i 3 (ii) (A b) =, L(A b) =. 3i 6 + i ( ) 2 3 (iii) (A b) =, L(A b) = {(a, a, a) a R}. 3 2 Satz Sei (A b) ein LGS über einem Körper K mit A M m n (K), b ein m-spaltenvektor. Sei =. der m-spaltennullvektor. (i) L(A ) ist ein linearer Untervektorraum von K n. (ii) Falls das LGS (A b) eine Lösung besitzt, sagen wir c = (c,..., c n ) K n, so gilt L(A b) = c + L(A ) = {c + u u L(A )}, d.h. die Lösungen vom LGS (A b) sind genau die Elemente, die sich als Summe von einer speziellen Lösung von (A b) und den verschiedenen Lösungen des homogenen LGS (A ) schreiben lassen. Beispiel. (i) LGS: 2x x 2 = 2. Hier: (A b) = (2 2). L(A ) = {(x, 2x) x K} = K (, 2), (, ) ist spezielle Lösung von (A b) = L(A b) = (, ) + K (, 2) = {( + a, 2a) a K} (oder auch L(A b) = (, 2) + K (, 2)). (ii) LGS über R: [ x + 2x 2 + 3x 3 = 3x x 2 + 2x 3 = 3 ] ( 2 3, (A b) = L(A ) = R (,, ) (siehe früheres Beispiel), (,, ) ist spezielle Lösung von (A b) = L(A b) = (,, ) + R (,, ) (oder auch L(A b) = (,, ) + R (,, ), oder...). 3 ),

4 Definition und Satz Zwei LGS (A b) und (A b ) mit A, A M m n (K) heißen äquivalent, (A b) (A b ), wenn sie durch eine Kette von sogenannten elementaren Umformungen der folgenden Art ineinander übergeführt werden können:. Vertauschen zweier Gleichungen; 2. Multiplizieren einer Gleichung mit einem a K ; 3. Ersetzen der i-ten Gleichung durch die Summe der i-ten Gleichung plus α mal der j-ten Gleichung, wobei α K und i j. Falls (A b) (A b ), so gilt L(A b) = L(A b ) (äquivalente LGS haben die gleiche Lösungsmenge). Beispiel. Gl.(3)+Gl.() Gl.(3)+3 Gl.(2) Gl.(2) 2 Gl.() Gl.(2) Gl.(3) /4 Gl.(3) /4 Dies liefert (von unten nach oben): x 3 = 3 4, x 2 = x 3 = 4, x = (2x 2 x 3 ) = 5 4, also L(A b) = {( 5 4, 4, 3 4 )}. Beispiel. Gl.(2) 2 Gl.() Gl.(3) 3 Gl.(2) Gl.() Gl.(2) 4 Gl.(2) Gl.(3) /5 Gl.(3) /5 7/5

5 Die Variable x 4 kann somit frei gewählt werden, z.b. x 4 = a R. Damit ergibt sich (von unten nach oben): x 3 = 7 4a, x = 3 a, x 5 5 = a, und somit 5 5 (in Spaltenform) x x 2 x 3 x 4 = a a R. Also: L(A b) = (6, 3, 7, )+R(3,, 4, 5), insb. ist (6, 3, 7, ) eine spezielle 5 5 Lösung und L(A ) = R(3,, 4, 5). Satz (Gauß-Verfahren, Stufenform) (a) Jedes LGS (A b) (mit A M m n (K) läßt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes LGS (Â b) in folgender Stufenform überführen: x k â n x n = b x k â 2n x n =.... b 2. x kr â rn x n = b r = b r+.. = b m mit k < k 2 <... < k r n, r m, wobei â iki = für i r, â ij = für j < k i und ebenfalls â ij = für i > r. (b) LGS (Â b) (und damit LGS (A b)) hat eine Lösung genau dann, wenn b r+ =... = b m =. In dieser Situation erhält man alle Lösungen, indem man die x j mit j {k,..., k r } frei wählt, und die übrigen x kr, x kr,..., x k2, x k sukzessive von unten nach oben aus den r oberen Gleichungen berechnet. Beispiel. Gl.(3) Gl.() Gl.(4) 2 Gl.() Gl.() Gl.(2) Gl.(3) Gl.(2) Gl.(4)+Gl.(2)

6 Gl.() Gl.(3) Man hat drei freie Variablen x 2, x 4, x 5. Nun lassen sich x, x 2 in Abhängigkeit der freien Variablen bestimmen: x 3 = 2 3x 4 3x 5, x = 2x 2 x 4 oder mit x 2 = a, x 4 = b, x 5 = c: x x 2 x 3 x 4 = 2 + a x b 3 + c 3 Bemerkung. Die Zahl r in bezeichnen wir mit Rang des LGS. Wir werden sehen: egal wie man (A b) mittels elementarer Umformungen in Stufenform umwandelt, der so erhaltene Rang ist immer der gleiche. Definition Sei A M m n (K). Die folgenden Umformungen der Matrix A heißen elementare Zeilenumformungen (Spaltenumformungen):. Vertauschen zweier Zeilen (Spalten); 2. Multiplizieren einer Zeile (Spalte) mit α K ; 3. Addieren des α-fachen der j-ten Zeile (Spalte) zur i-ten Zeile (Spalte), wobei i j und α K. 6