In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b

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1 Kpitel Numerische Integrtion In diesem Kpitel stellen wir einige wichtige Verfhren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrle f(x)dx vor. Integrtionsufgbe: Zu gegebenem integrierbrem f : [, b] R berechne I(f) = f(x)dx. Schon für reltiv einfche Funktionen läßt sich die Stmmfunktion nicht nlytisch ngeben, etw sinx x und e x. Mn ist dnn uf numerische Integrtionsverfhren ngewiesen. Wichtige numerische Integrtionsverfhren beruhen druf, f mit Hilfe einiger Stützpunkte (x i,f(x i )),x i [,b] durch ein Polynomp n zu interpolieren und dnn dieses zu integrieren. Diese Vorgehensweise liefert die Integrlpproximtion I n (x) = p n (x)dx und wird ls interpoltorische Qudrtur bezeichnet.. Newton-Cotes-Qudrtur.. Geschlossene Newton-Cotes-Qudrtur Wir wählen fürn N die äquidistnten Stützstellen x i = +ih, i = 0,...,n, mit h = b n. 6

2 S. Ulbrich: Mthemtik IV für Elektrotechnik, Mthemtik III für Informtik 7 Dnn lutet ds Interpoltionspolynomp n in Lgrnge-Drstellung p n (x) = f(x i )L i,n (x), L i,n (x) = Wir erhlten nun die numerische Qudrturformel I n (f) = p n (x)dx = f(x i ) Mit der Substitutionx = +sh und s [0,n] ergibt sich die Geschlossene Newton-Cotes Formel: (.) I n (f) = h mit α i,n = n 0 α i,n f(x i ), n s j i j ds. n x x j x i x j. L i,n (x)dx. Die Zhlenα 0,n,...,α n,n heißen Gewichte. Sie sind unbhängig vonf und[,b] und somit tbellierbr. Es gilt stets hα i,n = b. Definition.. Eine Integrtionsformel J(f) = n β if(x i ) heißt exkt vom Grd n, flls sie lle Polynome bis mindestens vom Grdnexkt integriert. Die geschlossene Newton-Cotes Formel I n (f) ist nch Konstruktion exkt vom Grd n. Es ist wichtig, eine Abschätzung für den Fehler E n (f) := I(f) I n (f) zur Verfügung zu hben. Nch Korollr.. gilt f(x) p n (x) f(n+) (ξ) (b ) n+ (n+)! mit einemξ [,b]. Dies ergibt mit einem (unter Umständen nderen) ξ [,b] f(x)dx p n (x)dx f(x) p n (x) dx f(n+) (ξ) (b ) n+. (n+)! Eine verfeinerte Restgliedbschätzung ergibt sich durch Tylorentwicklung. Dies liefert die folgende Tbelle.

3 S. Ulbrich: Mthemtik IV für Elektrotechnik, Mthemtik III für Informtik n α i,n FehlerE n (f) Nme 5 f() (ξ) f() (ξ) 9 9 f() (ξ) h Trpezregel h 5 90 Simpson-Regel h 5 0 /-Regel 5 f(6) (ξ) h 7 95 Milne-Regel Für n 7 treten leider negtive Gewichte uf und die Formeln werden ddurch zunehmend numerisch instbil, d Auslöschung uftritt... Offene Newton-Cotes-Qudrtur Hier wählen wir für n N {0} die in], b[ liegenden äquidistnten Stützstellen x i = +ih, i =,...,n+, mit h = b n+. Geht mn völlig nlog vor, dnn erhält mn wiederum interpoltorische Interpoltionsformeln, die Offene Newton-Cotes Formel: n+ Ĩ n (f) = h α i,n f(x i ), α i,n = i= n+ 0 n+ j= s j i j ds. Für den Qudrturfehler ergeben sich ähnliche Formeln wie im geschlossenen Fll: n α i,n Fehler Ẽn(f) Nme 0 f () (ξ) h Rechteck-Regel f () (ξ) h f () (ξ) h Die summierten Newton-Cotes-Formeln Die Newton-Cotes-Formeln liefern nur genue Ergebnisse, solnge ds Integrtionsintervll klein und die Zhl der Knoten nicht zu groß ist. Es bietet sich wieder n, ds Intervll[,b] in kleinere Intervlle zu zerlegen und uf diesen jeweils mit einer Newton-Cotes-Formel zu rbeiten. Wir zerlegen dzu ds Intervll [,b] in m Teilintervlle der Länge H = b, wenden die m Newton-Cotes-Formeln vom Grd n einzeln uf diese Teilintervlle n und summieren die

4 S. Ulbrich: Mthemtik IV für Elektrotechnik, Mthemtik III für Informtik 9 Teilintegrle uf: Mit ergibt sich wegen die N = m n, H = b m, h = H n x i = +ih,i = 0,...,N, y j = +jh,j = 0,...,m m I(f) = yj+ Summierte geschlossene Newton-Cotes-Formel m S (n) N (f) = h y j f(x)dx α i,n f(x jn+i ). Die Gewichteα i,n ergeben sich wieder us (.). Der Qudrturfehler R (n) N (f) = I(f) S(n) N (f) ergibt sich durch Summtion der Fehler uf den Teilintervllen. Stz.. Sei f C n+ ([,b]). Dnn existiert eine Zwischenstelleξ ],b[ mit { R (n) N (f) = C(n)f (n+) (ξ)(b )h n+ für gerdesn, C(n)f (n+) (ξ)(b )h n+ für ungerdesn. Hierbei istc(n) eine nur von n bhängige Konstnte. Wir geben noch die gebräuchlichsten summierten Formeln mit Qudrturfehler n: Summierte Trpezregel: (geschlossen,n = ) S () N (f) = h m (f(x j )+f(x j+ )), x j = +jh. Fehler: R () N (f) = f (ξ) (b )h. Summierte Simpson-Regel: (geschlossen, n = ) S () N (f) = h m (f(x j )+f(x j+ )+f(x j+ )), x j = +jh.

5 S. Ulbrich: Mthemtik IV für Elektrotechnik, Mthemtik III für Informtik 0 Fehler: R () N (f) = f() (ξ) 0 (b )h Summierte Rechteck-Regel: (offen, n = 0, m = N, h = b N ) S (0) m N (f) = h f(x j ), x j = +jh. j= Fehler: R (0) N (f) = f (ξ) 6 (b )h