Versuch 19: Fresnelsche Formeln
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- Guido Ackermann
- vor 7 Jahren
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1 Versuch 19: Fresnelsche Formeln Dieser Versuch behandelt die Polarisation von Licht und das Verhältnis der Lichtintensität vom einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahl. Dieses Verhältnis läßt sich durch die Fresnelschen Formeln beschreiben. Die Aussagen der Fresnelschen Formeln werden für den Fall vernachlässigbarer Lichtabsorption experimentell überprüft. Vorkenntnisse Elektromagnetische Wellen - Maxwellsche Gleichungen - Polarisation - Polarisierbarkeit als Folge der Transversaliät - Brechungsindex - Dielektrizitätskonstanten ε - Permeabilität µ - Snelliussches Brechungsgesetz - Reflexionsgesetz - Totalreflexion - Grenzwinkel der Totalreflexion - Beziehung zum Brechungsindex - Methoden zur Bestimmung des Brechungsindexes - Brewster-Winkel - Methoden der Polarisierung - Fresnelsche Formeln (Grenzfälle für senkrechte Inzidenz) Physikalische Grundlagen Licht als elektromagnetische Welle Aus den Experimenten der Beugung und Interferenz, der Dispersion und der Reflexion folgt, dass das Licht eine Welle ist. Ihre Polarisierbarkeit zeigt weiter, dass es sich (in isotropen Medien) um eine Transversalwelle handeln muss, d. h. die Auslenkung schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Man findet, dass Licht dieselben Eigenschaften wie Radiowellen, insbesondere dieselbe Geschwindigkeit c 0 1/(ε 0 µ 0 ) im Vakuum besitzt und schließt daraus, dass das Licht ebenfalls eine elektromagnetische Welle darstellt (Wellenlänge im sichtbaren Bereich 0,38 µm 0,76µm, Frequenzbereich ν c 0 /λ (3,9 7,9) Hz). Sinusförmige Schwankungen der elektrischen Feldstärke E sind gekoppelt mit sinusförmigen Schwankungen der magnetischen Feldstärke H und bewegen sich mit der Geschwindigkeit c 0 durch den leeren Raum, bzw. mit c c 0 /n, mit n εr µr durch den mit Materie erfüllten Raum. (n ist der Brechungsindex, ε r die relative Dielektrizitätskonstante, und µ r die relative Permeabilität.) Dabei stehen E und H in jedem Punkt aufeinander senkrecht. Sie sind miteinander über die Maxwell-Gleichungen verknüpft. Ihre Beträge sind einander proportional: H ε µ E (1) Es genügt daher, zur Charakterisierung der Lichtwelle nur einen dieser Vektoren zu verwenden; meist wird E gewählt. Der Betrag E 0 heißt Amplitude der Lichtwelle. Ihre Intensität ergibt sich aus dem Poynting-Vektor (Strahlungsflußdichte): S E H mit Gl. (1) folgt (2) 1
2 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 2 S ε µ E 2. (3) Der zeitliche Mittelwert von S ist die Intensität: I 1 T T S dt 1 ε T T 0 µ E 2 dt (4) 0 E 0 2 ε T T µ sin 2 (ω (t x/v))dt (5) 0 1 ε 2 µ E 0 2. (6) Die Intensität ist also proportional zum Quadrat der Amplitude der Welle. Linear polarisiertes Licht Die Transversalität der Welle impliziert ihre Polarisierbarkeit. Hierzu sind folgende Definitionen üblich: Linear polarisiertes Licht: Der elektrische Feldvektor der Lichtwelle schwingt in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Strahlrichtung). (Es gibt auch die Möglichkeit, dass der elektrische Vektor während des Fortschreitens der Lichtwelle seine Richtung kontinuierlich ändert. Läuft z. B. die Spitze des E-Vektors auf einer elliptisch schraubenförmigen Bahn um die Ausbreitungsrichtung, so spricht man von elliptisch polarisiertem Licht.) Schwingungsebene: Sie ist die Ebene, die von E und dem Vektor der Ausbreitungsgeschwindigkeit aufgespannt wird. Polarisationsebene: Sie ist die Ebene, die von H und dem Vektor der Ausbreitungsgeschwindigkeit aufgespannt wird. Sie steht senkrecht zur Schwingungsebene. Einfallsebene: Sie ist die Ebene, die durch das Lot auf die Grenzfläche mit dem einfallenden und dem reflektierten Strahl gebildet wird. Natürliches Licht enthält zugleich alle möglichen Polarisationsrichtungen, es erscheint daher als nicht polarisiert. Mit Hilfe eines Polarisationsfilters kann man eine bestimmte Polarisationsrichtung herausfiltern. Liegt die Schwingungsebene des Lichtes im Winkel φ gegenüber der Durchlassrichtung des Polarisationsfilters, so läßt dieser nur die Vektor-Komponente in dieser Durchlassrichtung mit dem Betrag E 1 E cosφ durch. Daran sieht man, dass beliebig linear polarisiertes Licht sich vektoriell in zwei zueinander senkrecht polarisierte Wellen E 1 und E 2 mit E 2 E sinφ zerlegen lässt. (Besteht zwischen diesen Komponenten eine Phasendifferenz, so ergibt sich als Resultierende das bereits erwähnte elliptisch-polarisierte Licht).
3 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 3 Brechung und Reflexion Bekanntlich teilt sich der auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien auftreffende Lichtstrahl in einen reflektierten und einen gebrochenen Strahl auf. Für die auftretenden Winkel gilt das Reflexionsgesetz: α e α r (7) und das Snelliussche Brechungsgesetz: sinα sinβ c 1 c 2 n n 2 n 1 (8) mit n > 1 beim Übergang in das optisch dichtere Medium (c 2 < c 1 ) bzw. n < 1 im umgekehrten Fall. Es soll nur der Fall, dass im Medium kein Licht absorbiert wird betrachtet werden. αe αa β c 1 c 2 Dann gelten für die Amplituden des reflektierten und des gebrochenen Strahls die Fresnelschen Formeln: ρ E r E e σ E d E e ρ E r E e σ E d E e sin(α β) sin(α+β) 2 sinβ sin(α+β) tan(α β) tan(α+β) cosβ 1 n 1+n cosβ 2 1+n cosβ n cosβ n+ cosβ 2 sinβ sin(α+β)cos(α β) 2 n+ cosβ (9) (10) (11) (12) E e E e α α Er Er Die Indizes haben dabei folgende Bedeutung: e: einfallender, r: reflektierter und d: durchgehender Strahl : E schwingt senkrecht zur Einfallsebene, : E schwingt parallel zur Einfallsebene. β E d Ed (Diese Formeln sollen nicht auswendig gelernt werden! Man präge sich besser die Kurvenverläufe ein und überlege sich stattdessen, welche physikalischen Gesetzmäßigkeiten und Randbedingungen zu ihrer Herleitung nötig sind!)
4 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 4 Für einige Anwendungen braucht man häufiger die in den nebenstehenden Diagrammen, für eine Grenzschicht dargestellten Zusammenhänge zwischen Reflexionskoeffizienten ρ E r /E e bzw. Durchlässigkeitskoeffizienten σ E d /E e und dem Einfallswinkel α. Spezialfälle der Fresnelschen Formeln An den Fresnelschen Formeln, oder einfacher an den Diagrammen erkennt man die beiden folgenden wichtige Spezialfälle: Totalreflexion Der erste Sonderfall betrifft den Winkel α T in den Diagrammen für den Fall n < 1. Hier tritt das Licht vom optisch dichteren Medium (c 1 ) in das optisch dünnere Medium (c 2 > c 1 ) über. Man erkennt bereits am Snelliusschen Brechungsgesetz, dass für die Einfallswinkel ein Grenzwert α T existiert, für den das Licht gerade noch gebrochen wird. Für größere Einfallswinkel wird alles Licht reflektiert (Totalreflexion, α T : Grenzwinkel der Totalreflexion ), es gilt: sinα sinβ n 2 n 1 1 n 1 n sinβ n 1 sinα 1 sinα T 1 n 1 n Diese Erscheinung wird in den sogenannten Refraktometern (siehe z. B. Bergmann-Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. III) zur bequemen Bestimmung des Brechungsindexes verwendet. Brewster-Winkel Beim Einfallswinkel α α p, dem sog. Brewster-Winkel, wird die parallel zur Einfallsebene schwingende Komponente E r des reflektierten Lichts gleich Null, d. h. E e dringt vollständig in das Medium ein. Fällt also natürliches Licht, das alle Polarisationsrichtungen enthält, unter dem Brewster-Winkel auf, so findet man in der Reflexion nur Licht, das senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist, also vollständig polarisiertes Licht. Im durchgehenden Licht fehlt der durch E d /E e nach den Fresnel-Formeln gegebene Teil dieser Komponente, es handelt sich also nur um teilweise polarisiertes Licht. Nach den Fresnelschen Formeln lautet die Bedingung für α p : α p +β p π/2
5 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 5 oder mit dem Brechungsgesetz: tanα p n. Für den Fall des Brewster-Winkels stehen also reflektierter und gebrochener Strahl aufeinander senkrecht. (Die angegebenen Beziehungen sollten nachvollzogen werden!) Diese Erscheinung kann z. B. zur Polarisation des Lichts (siehe Anhang Glasplattensatz-Polarisator) oder zur Bestimmung des Brechungsindexes n aus dem Brewster-Winkel genutzt werden. Eine recht anschauliche Deutung der Brechung und des Brewsterwinkels ergibt sich vom atomistischen Standpunkt aus: Hier wird die Brechung als Streuung des Lichts an den Atomen des zweiten Mediums aufgefaßt, wobei die Atomelektronen dem elektrischen Feld der Lichtwelle folgen und so zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden. Gleichzeitig strahlen sie wie elektrische Dipole wieder elektromagnetische Wellen ab. Wie vom Versuch: Pohlsches Pendel her bekannt, tritt eine Phasenverschiebung zwischen erregender und erregter Schwingung auf, d. h. die Elektronen strahlen das Licht gegenüber der einfallenden Welle verzögert ab. Insgesamt ergibt sich so eine geringere Geschwindigkeit der Welle im Medium, also die Brechung. E Dipol keine Abstrahlung Hinweis: Auch die Erscheinungen der normalen und der anomalen Dispersion sind in diesem Bild verständlich: Die erwähnte Phasendifferenz hängt bekanntlich von der Frequenz ab, somit wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit und damit der Brechungsindex wellenlängenabhängig (Dispersion). Stimmt die Frequenz der eingestrahlten Welle mit einer Eigenfrequenz der schwingenden Elektronen überein (Resonanz), so wird die Welle maximal absorbiert; es tritt anomale Dispersion auf. Experiment Vorbereitende Aufgaben Als Anwendung der Fresnelschen Formeln berechne man mit den Gleichungen 9 bis 12 vorbereitend: 1. ρ und σ für senkrechten Lichteinfall auf eine Grenzfläche (Medium n, n Luft 1, Betrachtung der Feldstärken, nicht der Intensitäten) 2. ρ und σ oder Transmisions- und Reflexionskoeffizienten (T σ 2 und R ρ 2 ) für eine planparallele Glasplatte. (Übergänge an zwei Grenzflächen für senkrechten Lichteinfall. Hinweis: Reihe bis Unendlich bilden, Konvergenz und Grenzwert der geometrischen Reihe beachten, R+T 1). 3. Wann tritt bei einer Reflexion ein Phasensprung um 180 auf? (Bei welchem n? Fallunterscheidungen n 1, Polarisationsrichtung)? 4. Man zeige mit Hilfe der Vektorzerlegung, dass sich nach Reflexion und Brechung einer beliebig linear polarisierten Welle an einer Grenzschicht wieder eine linear polarisierte Welle ergibt, deren Schwingungsebene jedoch im allgemeinen gegen die ursprüngliche verdreht ist.
6 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 6 Hilfestellungen zur Bearbeitung der oben genannten Aufgaben sind in den meisten gängigen Lehrbüchern der Physik zu finden. Siehe z. B. D. Meschede, Gerthsen Physik oder W. Demtröder, Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik. Versuchsaufbau Das Versuch ist gemäß der Abbildung aufgebaut. Zur Justierung des Strahlenganges sind folgende Punkte durchzuführen: Polarisator Lampe 6V Glasplatte α γ Photographisches Objektiv kurzer Brennweite mit Blende 180 γ α 2 Linse langer Brennweite Photoelement 1. Grundeinstellung Die Glühwendel der Lampe ist bei zunächst geradlinigem Strahlenverlauf auf das Photoelement abzubilden. (Im neueren Versuchsaufbau ist der Spalt scharf auf der Linse vor der Photozelle abzubilden.) Die Lampe L und das Objektiv O sind so anzuordnen, dass die Glasplatte und der Polarisator von Parallelstrahlen durchsetzt werden. Das Bild der Wendel sollte deutlich kleiner sein als die Fassung des Photoelements. Die Drehachse der Glasplatte ist möglichst genau derart einzustellen, dass sie mit der Achse des Nachweissystems zusammenfällt. Man prüfe, ob die Abbildung der Wendel bei allen Winkeln in der Mitte des Photelements liegt. 2. Auffinden der Polarisationsrichtungen des Polarisators Für einen von Null verschiedenen Einfallswinkel wird der Ausschlag des Messinstruments auf ein Minimum eingestellt, indem man den Polarisator dreht (Messung am reflektierten Licht). Welcher Schwingungsrichtung entspricht diese Polarisationsrichtung? 3. Einstellen des Messgeräts Mit Hilfe der Blende am Objektiv wird die geeignete maximale Lichtintensität eingestellt. Der am Messgerät eingestellte Messbereich sollte im Laufe der Messung nicht verändert werden! 4. Prüfung der Linearität der Photozelle Da im folgenden Intensitäten verglichen werden sollen, muss garantiert sein, dass die Photozelle in ihrem linearen Bereich arbeitet, sie darf also nicht zu stark belichtet werden. Dies läßt sich
7 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 7 leicht prüfen, indem die Blende am Objektiv stufenweise zugezogen wird. Die Blendenstufen an Photoobjektiven sind derart eingestellt, dass die Apertur und damit die Intensität von Stufe zu Stufe halbiert wird. Man trage die Messwerte sofort auf Millimeterpapier auf! Versuchsaufgaben 1. Messung des relativen Intensitätsverlaufes Nach der Prüfung der Linearität der Photozelle (s. o.) wird der relative Intensitätsverlauf I/I 0 im reflektierten und durchgehenden Licht als Funktion des Einfallswinkels α gemessen. (I ist die Intensität in Skalenteilen des Messinstruments,I 0 die Intensität ohne Glasplatte beiα 90.) Die Messungen sind für parallel und senkrecht zur Einfallsebene polarisiertes Licht durchzuführen und graphisch aufzutragen. Man zeichne dabei alle gemessenen und physikalisch festgelegten Punkte (φ 0 bzw. 90 ) in die Diagramme ein. 2. Bestimmung des Brechungsindexes der Glasplatte Der Brechungsindex der Glasplatte ist auf zwei Arten zu bestimmen: 1. aus dem Brewster-Winkel und 2. aus dem Verhältnis der durchgegangenen zur eingefallenen Lichtintensität bei senkrechtem Einfall (Übungsaufgabe 2). 3. Messung des Polarisationsgrades Der Polarisationsgrad I I Q I +I des durchgehenden Lichts bei unpolarisiertem einfallenden Licht soll für α 0 und α α p mit Hilfe des jetzt nach der Glasplatte in den Strahlengang gebrachten Analysators untersucht werden. Bemerkung: Alle Kurvenverläufe sind zu diskutieren und zu erklären!
8 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 8 Anhang Im folgenden werden Möglichkeiten zur Herstellung von linear polarisiertem Licht vorgestellt. Reflexion und gewöhnliche Brechung Die Grundlagen dazu wurden oben besprochen: Bei Einfall unter dem Brewsterwinkel ist das von einer Glasplatte (Brechungsindex n) reflektierte Licht vollständig, das durchgehende teilweise polarisiert. Zur praktischen Verwendung ist jedoch die reflektierte Komponente zu schwach. Um die lichtstarke durchgehende Komponenente vollständiger zu polarisieren, läßt man an einem Glasplattensatz den Vorgang der Reflexion und Brechung unter dem Brewsterwinkel wiederholt ablaufen. Nach den Fresnelschen Formeln gilt für α α p, β 90 α für die 1. Grenzfläche: E d 1 n 2 E e E d 2 1+n 2 E e E e E e (unpolarisiert) Damit folgt für den Polarisationsgrad: Q (1+n2 ) 2 (2 n) 2 (1+n 2 ) 2 +(2 n) 2 Nach der 2. Grenzfläche (1. Platte) ist: αp Q 1 (1+n2 ) 4 (2 n) 4 (1+n 2 ) 4 +(2 n) 4 und allgemein nach m Platten: Q m (1+n2 ) 4m (2 n) 4m (1+n 2 ) 4m +(2 n) 4m Zum Beispiel ergibt sich für n 3/2 nach einer Platte Q 1 0,16, nach zwei Platten Q 2 0,31, nach 5 Platten Q 5 0,66 usw. Q nähert sich mit zunehmender Plattenzahl asymptotisch dem Wert 1 was vollständiger Polarisation entspricht. Doppelbrechende Substanzen Alle nicht amorphen und nicht kubisch kristallinen Substanzen sind optisch anisotrop, d. h. Licht verschiedener Polarisation pflanzt sich in verschiedenen Kristallrichtungen mit verschieden Geschwindigkeiten fort (außer in Richtung der optischen Achse ), wobei nur ganz bestimmte Schwingungsrichtungen möglich sind. Daher spaltet z. B. beim Kalkspat ein auftreffender Strahl im Kristall in zwei Lichtstrahlen auf, die senkrecht zueinander polarisiert sind. Der eine wird ordentlicher (o) Strahl ( E schwingt senkrecht zur Einfallsebene), der andere, außerordentliche (e) Strahl ( E schwingt parallel zur Einfallsebene) genannt. Wegen ihrer verschiedenen Geschwindigkeiten (verschiedene Brechungsindizes) treten die beiden Strahlen räumlich versetzt wieder aus. Beim Nicolschen Prisma wird diese Erscheinung zur Herstellung von linear polarisiertem Licht benutzt: Durch einen geeigneten Schnitt der Flächen und Zusammenkitten zweier Kristallteile mit einem Kitt passenden Brechungsindexes erreicht man, dass der e-strahl (n e > n o, n e n Kitt ) ohne Richtungsänderung durch das Prisma hindurchtritt, der o-strahl dagegen (n o < n Kitt ) an der Kittfläche totalreflektiert und von der geschwärzten Seitenfläache absorbiert wird.
9 Versuch 19: Fresnelsche Formeln 9 ordentlicher Strahl Richtung d. opt. Achse 68 außerordentlicher Strahl Doppelbrechung Nicole sches Prisma Polarisationsfilter Heute werden vorwiegend Polarisationsfilter benutzt, die künstlich hergestellt sind, indem in einer Trägerschicht anisotrope Moleküle gleichmäßig orientiert eingelagert werden; etwa indem man sie vor dem Aushärten der Schicht mit Hilfe starker elektrischer Felder (Kerr-Effekt) einheitlich ausrichtet. Die Trägerschicht wird so eingefärbt, dass eine der beiden polarisierten Komponenten absorbiert wird. Künstliche Doppelbrechung Auch in normalerweise optisch isotropen Stoffen kann man Doppelbrechung künstlich erzeugen und so Licht polarisieren z. B.: (a) durch Spannungsdoppelbrechung (b) durch elektrische oder magnetische Felder Dichroismus Liegt Dichroismus vor, so hat das Material einen für ordentlichen und außerordentlichen Strahl unterschiedliches Absorptionsvermögen. Wird ein Strahl nahezu vollständig absorbiert, kann man solche Materilaien zur Polarisation benutzen.
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