Highway Hierarchies. Kristian Dannowski, Matthias Hoeschel

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1 Highway Hierarchies Kristian Dannowski, Matthias Hoeschel

2 Gliederung Einleitung / Bidirektional Dijkstra Intuition / Naive Strategie Konstruktion der Highway Hierarchie Suche in der Highway Hierarchie Experimente / Ergebnisse

3 Einleitung Kürzeste Wege zu berechnen ist ein alltägliches Problem Anwendung: Navigationssysteme uvm...

4 Ziele exakte kürzeste Wege in großen Straßennetzen schnelle Suche schnelle Vorbearbeitung geringe Speicheranforderung dimensions-invariant ( optimiert (z.b. nicht nur für lange Strecken

5 Dijkstra Algorithmen nicht praktikable für große Straßennetze (z.b. Westeuropa: ( Knoten ca verbesserte Laufzeit, aber immer noch zu langsam

6 Bidirektionaler Dijkstra simultanes Suchen vorwärts von s aus rückwärts von t aus treffen sich die Grenzen, ist der kürzeste Weg gefunden Beschleunigung bis zu einem Faktor 2 möglich

7 Naive Routenfindung (Beispiel Karsruhe-Palma) 1. Wir schauen nach der nächsten sinnvollen Autobahnauffahrt.

8 Naive Routenfindung (Karsruhe-Palma) 2. Wir fahren auf der Autobahn zum einem Ort nahe des Ziels.

9 Naive Routenfindung (Karsruhe-Palma) 3. Suche das Ziel von der Autobahnabfahrt aus.

10 Intuition Sind wir auf dem Weg zu einem entfernten Ziel, lohnt es sich meist nicht, die Autobahn bei einer Stadt zu verlassen, um eine Abkürzung durch diese hindurch zu suchen,statt sie auf der Autobahn zu umfahren. D.h. wir können guten Gewissens alle unwichtigen Stadtwege vernachlässigen und uns auf die Autobahnen konzentrieren, weil wir wissen, dass sie sowieso schneller sind.

11 Kommerzielle Variante 1. Suche von Quelle und Zielknoten ( bidirektional ) innerhalb eines bestimmten Radius (z.b. 20 km),wobei alle Straßen in Betracht kommen. 2. Setze die Suche fort in einem größeren Radius (z.b. 100 km), wobei nur Bundesstraßen und Autobahnen in Betracht kommen. 3. Setze die Suche fort, wobei nur Autobahnen in Betracht kommen.

12 Kommerzielle Variante Hierarchie wird bestimmt von Klassifizierung der Straßen nach Straßentypen (Autobahn, Bundesstraße, (. etc Landstraße,...,Feldweg, Diese manuelle Einordnung birgt eine heikle Abwägung zwischen Geschwindigkeit und Suboptimalität des gefundenen Weges.

13 Lösung mittels Highway Hierarchie Preprocessing eindeutige Definition der Umgebung automatische Klassifizierung der Straßen Anzahl der Hierarchielevel unabhängig von Straßentypen Highway Hierarchie bewahrt exakte kürzeste Wege

14 Voraussetzungen Graphentheorie 1 Definition Kanonische Kürzeste Wege Eine Menge kürzester Wege SP enthält für jedes Paar (s,t) von Punkten genau einen kürzesten Weg von s nach t. Solch eine Menge heißt kanonisch, falls für alle Wege P=<s,..,s',..,t',..,t> gilt, dass auch P'=<s'...t'> in dieser Menge ist. Alle diese Wege heißen kanonische kürzeste Wege. Definition Dijkstra-Rang Während einer Dijkstrasuche werden die Knoten in einer festen Reihenfolge angeordnet. Der Dijkstra-Rang R_s(v) ist der Rang von v in einer solcher Anordnung mit dem Startknoten s. ( ist (R_s(s)=0 und R_s(n)=1, wenn n der nächste Nachbar von s

15 Voraussetzungen Graphentheorie 2 Definition H-Umgebung

16 Konstruktion der Highway Hierarchie 1

17 Konstruktion der Highway Hierarchie 2 Einfaches Highway-Netzwerk G1 ( Highway-Kanten betont / Länge ( Kosten der Kanten steht für die

18 Konstruktion der Highway Hierarchie 3 Der Kern des Highway-Netzwerk (2-core) mit an r angehängtem Baum

19 Konstruktion der Highway Hierarchie 4 In einer Liste werden die Wurzeln der angehängten Bäume gespeichert und direkte Abkürzungen durch das Weglassen der inneren Knoten erzeugt.

20 Konstruktion der Highway Hierarchie 5

21 Konstruktion der Highway Hierarchie 6 Der Kern des HN beinhaltet 5 Linien. Endpunkte und innere Knoten einer Linie sind markiert. Beide Endpunkte einer Linie werden mit einer Abkürzung verbunden

22 Konstruktion der Highway Hierarchie 7 Kontrahiertes Highway Netzwerk

23 Konstruktion der Highway Hierarchie 8 Die komplette Highway Hierarchie erhält man durch das iterative alternierende Ausführen von Entfernen von Kanten die nur auf kürzesten Wege nahe des Start- oder Zielknoten auftauchen Entfernen von Knoten niedrigen Grades

24 Konstruktion der Highway Hierarchie 8 Quelle: Originaldefinition aus der Dissertation von Dominik Schultes [1]

25 ( Karlsruhe Europa Highway Hierarchie (Beispielausschnitt

26 Suchen in der Highway Hierarchie Start Dijkstra in Level 0 mit Knoten s Einschränkung 1: Verlasse kein H-Nachbarschaft über eine horizontale Kante ( 1 s1 wird statt u verfolgt (Übergang in Level Einschränkung 2: Einmal im Kern, dann nur noch Abkürzungen ( 2 s2 wird statt v verfolgt (Übergang in Level

27 Suchen in der Highway Hierarchie 2 Problem Werden vorwärts und rückwärts gleichmäßig Knoten fixiert, treffen sich die Wege in a Durch die flexible Definition der Nachbarschaft ist aber auch der untere Fall möglich, in dem b gleichzeitig mit a erreicht wird, allerdings kann von c niemals nach b gelangt werden. Die Vorwärtsuche von c aus wird abgebrochen und die Rückwärtssuche weiter verfolgt bis zum Treffer (der Suchfronten). Es werden alle Wege zum Treffer verfolgt; der kürzeste gewählt.

28 ( Mallorca Beispiel (Karlsruhe Palma de zurich.pdf Folie 41

29 Beispielroute Adlershof Glockenturm 1

30 Beispielroute Adlershof Glockenturm 2

31 Beispielroute Adlershof Glockenturm 3

32 Beispielroute Adlershof Glockenturm 4

33 Beispielroute Adlershof Glockenturm 5

34 Anfrage-Algorithmus

35 Beweis der Korrektheit Satz: Der Algorithmus wird beendet. Beweis. Die for-schleife in Zeile 9 bricht immer ab wegen Lemma 2. Die for-schleife in Zeile 8 bricht ab, da die Menge der Kanten endlich ist. Die (Haupt-) while-schleife in Zeile 3 bricht ab, weil jeder Knoten v höchstens einmal in jede Prioritätenliste eingefügt wird und zwar wenn er unreached ist (Zeile 13); wenn er reached ist, dann gehört er entweder schon zur Prioritätenliste oder er wurde schon settled. In letzterem Fall wissen wir, dass δ(v) δ(u) δ(u) + w(e) (Kantengewichte sind nicht-negativ) so that no priority queue operation is performed due to the specification of the decreasekey operation.

36 Fazit Exakte kürzeste Wege auf riesigen Straßennetzen qualitativer Vorteil, Vermarktungsargument Schnelle Suche 2.5 ms günstige, energie effiziente Processoren für mobile Geräte Schnelles, automatisches 'preprocessing' 18 Mio. Knoten 30 Min.

37 Vorteile der einzelnen Verfahren

38 Vergleich zweier Verkehrsnetze

39 Entwicklung der Graphen in den Leveln

40 Performance für das Europäische Straßennetz in Abhängigkeit von der Kontraktionsrate und der Nachbarschaft

41 Performance in Abhängigkeit von der Nachbarschaft

42 Zukünftige Aufgaben Handhabung riesiger Mengen von Updates Arbeiten mit zeitabhängigen Scenarien ( Tageszeitabhängigkeiten (zum Beispiel Erlaube die Optimierung nach verschiedenen Kriterien

43 Quellen a. D.Schultes. Route Planning in Road Networks. Dissertation,February b. P. Sanders and D. Schultes. Engineering Highway Hierarchies. full paper, submitted for publication, preliminary version, September c. D. Schultes. Fast and exact shortest path queries using highway hierarchies. Master's thesis, Department of Computer Science, Universität des Saarlandes, July d. Dominik Schultes. Highway hierarchies:

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