6. Übung - Differenzengleichungen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "6. Übung - Differenzengleichungen"

Transkript

1 6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf Seite 73 für die explizite Gleichug x + = ax + b hergeleitete Formel: { a x x = 0 + b a für a a x 0 + b für a = Um die Koeffiziete a ud b ablese zu köe, müsse wir also zuerst die beide gegebee Gleichuge auf die explizite Form brige: a) x + 3x + = 0 x + = 3 x a = 3 ud b = b) x + x + 7 = 0 x + = x 7 a = ud b = 7 We wir jetzt i obige Formel eisetze, da bekomme wir die Lösuge: ) 3 a) x = x ) ) [ ) ) = x 0 ] = b) x = x }{{} 0 + 7) =:C ) 3 x 0 ) } {{ + } =:C Da kei bestimmter Afagswert für x 0 gegebe ist, ka x 0 durch C ersetzt werde.

2 Beispiel 03 Gesucht ist die allgemeie Lösug vo x + = 3 x + 3 für 0. I diesem Fall habe wir es mit eier allgemeie lieare Differezegleichug erster Ordug der Form x + = a x + b zu tu, wobei a = 3 ud b = 3 der Störterm der Gleichug ist. Wir gehe ach folgedem Kochrezept vor:. Suche die allgemeie Lösug das ist eie gaze Lösugsschar) der homogee Gleichug x + = a x, die sogeate homogee Lösug x h).. Suche eie ud das heißt eie eizige, beliebige) Lösug der ihomogee Gleichug x + = a x + b, die sogeate partikuläre Lösug x p), z.b. mittels Variatio der Kostate oder mit der Methode des ubestimmte Asatzes. 3. Bilde die Lösugsgesamtheit durch x = x h) + x p). Homogee Lösug Wir möchte die homogee Gleichug x + = 3 x löse. Da folgt idem wir rückwärts immer wieder passed eisetze) aus x = a x = a a x = = x 0 a i, dass usere homogee Lösug x 0 wieder durch C ersetze) durch x h) = C i=0 3i gegebe ist. Wir müsse also och das Produkt ausreche. Dabei verwede wir die Gauß sche Summeformel i=0 i = i= i = ), um folgedes zu bereche: 3 i = ) = 3 i=0 i = 3 i=0 i = 3 ) = 3 i=0 Die homogee Lösug ist also x h) = C 3. Partikuläre Lösug Als ächstes betrachte wir die ihomogee Gleichug x + = 3 x + 3 ud suche eie partikuläre Lösug davo. We wir die Tabelle mit Störfuktioe auf Seite 8 zu Rate ziehe, so sehe wir, dass usere Störfuktio b keiem der ageführte Fälle etspricht, isbesodere icht dem Fall r, da usere Störfuktio vo der Form r ist ud die Versuchslösug icht eifach mal so a user Problem agepasst werde ka! Tatsächlich würde ma etwa mit dem Asatz x p) = Ar auf eie Ausdruck komme, der am Ede, we ma ih wieder i die Differezegleichug eisetzt, auf eie falsche Aussage führt, d.h. keie Lösug dieser ist. Da wir eie Lösug wolle, darf so etwas icht vorkomme! i=0

3 Wir versuche also user Glück mit eier Variatio der Kostate, d.h. wir ehme die homogee Lösug ud mache C ebefalls vo abhägig. User Asatz schaut also so aus: x p) = C 3. Diese Ausdruck setze wir jetzt i die ihomogee Differezegleichug ei ud erhalte beachte: auf der like Seite vom Gleichheitszeiche verwede wir de Idex +, auf der rechte Seite de Idex ): x h) + = 3 x h) + 3 eisetze C + 3 +) +) = 3 C C = C : 3 + C + = C + 3 zusammefasse Wir habe also eie eue, aber relativ eifach zu lösede Differezegleichug erhalte vo der wir irgedeie Lösug suche - speziell köe wir also de Startwert C 0 = 0 setze. Beachte, dass wir hier icht die Methode vo Beispiel 00 awede köe, weil dies ur für kostate Koeffiziete a ud b möglich war - hier hägt aber gaz 3 offesichtlich vo ab! Wir löse die Differezegleichug also durch Aufsummiere ud erkee, dass wir hier eie edliche geometrische Reihe vorliege habe, für die wir eie Summeformel kee oder achschlage): C = 3 i = 3 3 i=0 = 3 3 ) Also habe wir eie partikuläre Lösug der Gestalt x p) ) = C 3 = gefude. Lösugsgesamtheit Als allgemeie Lösug ergibt sich x = x h) + x p) = C ) 3 = 3 C )) Zusatz: Was passiert, we ei Afagswert x 0 gegebe ist? Ageomme, wir hätte och x 0 = α R gegebe. Da müsste wir i der allgemeie Lösug jetzt och C bestimme. Dazu betrachte wir die Gleichug α = x 0 = C )) = C 0 Wir müsste also ur das C durch usere Startwert x 0 ersetze.

4 Beispiel 3 Gesucht: Die Lösug folgeder Differezegleichug zweiter Ordug zu vorgegebee Afagsbediguge Homogee Lösug 4x + + x + 7x = 36, x 0 = 6, x = 3 I userem Fall lautet die zu lösede homogee Gleichug 4x + + x + 7x = 0 ) Setzt ma de Asatz x h) Gleichug = λ i Gleichug ) ei, erhält ma die charakteristische 4λ + + λ + 7λ = 0 4λ + λ 7 = 0 λ + 3λ 7 4 = 0 Löse dieser quadratische Gleichug mittels kleier Lösugsformel x + px + q = 0 x = p ± p q) ergibt folgede Lösuge: λ 4 =, λ = 7 Somit lautet die allgemeie Lösug der homogee Gleichug ) x h) = c + c 7. ) Partikuläre Lösug Da die Störfuktio s = 36 kostat ist, ka der Asatz x p) = A siehe Tabelle Seite 8) zur Bestimmug eier partikuläre Lösug verwedet werde. Eisetze des Asatzes i die Differezegleichug ergibt Eie partikuläre Lösug ist somit x p) = 4. 4A + A 7A = 36 = A = 4 Allgemeie Lösug Die Lösug der allgemeie Differezegleichug lautet ) x = x h) + x p) = c + c ) )

5 Afaswerte eisetze Das Eisetze der Afagswerte x 0 = 6 ud x = 3 i ) ergibt: x 0 = 6 = c x = 3 = c ) 0 + c 7 ) = c + c + 4 c = c ) + c 7 ) = c c c = + 7c = c = + 7c = c = = c = 3 Lösug Die gesuchte Lösug ist somit x = 3 ) )

6 Beispiel 38 Sei a die Azahl aller Teilmege der Mege {,,..., }, die keie zwei aufeiaderfolgede Zahle ethalte. Gesucht: Die Rekursio der gesuchte Zahle a ud die Lösug dieser. Gesuchte Rekursio Die gesuchte Rekursio mit dazugehörige Afagswerte lautet a + = a + + a, a 0 =, a =, Diese ist folgedermaße zu erkläre: Die Azahl aller gesuchte Teilmege der Mege {,,..., + } = Azahl aller gesuchte Teilmege ohe das Elemet +, dies etspricht geau der Azahl der gesuchte Teilmege der Mege {,,..., + }) + Azahl aller gesuchte Teilmege mit dem Elemet +, dies etpricht geau der Azahl der gesuchte Teilmege der Mege {,,..., }). Die leere Mege hat geau eie Teilmege sich selbst), dh. a 0 = 0, die eielemetige Mege hat die leere Mege ud sich selbst als Teilmege, daher a =. Lösug der Rekursio Die zu lösede Differezegleichug lautet a + a + a = 0 Es hadelt sich um eie homogee Differezegleichug zweiter Ordug. Das charakteristische Polyom dieser Gleichug ist λ λ = 0 = λ = ± 4 = λ = +, λ = Da es sich um eie homogee Differezegleichug hadelt, ist es icht otwedig eie partikuläre Lösug zu bereche, daher lautet die Lösug der allgemeie Gleichug + ) ) a = c + c Eisetze der Afagswerte ergibt: a 0 = = c + c = c = c + ) ) a = = c + c + ) = = c ) + c = c = 3 = c = 3 + ) = + ) + c + + )

7 Die gesuchte Lösug ist somit a = ) 3 ).

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2

Mehr

Lösungen zu Kapitel 4

Lösungen zu Kapitel 4 Lösuge zu Kapitel 4 Lösug zu Aufgabe : Die folgede Grezwerte köe aalog zu Beispiel 4.(c bestimmt werde: (a lim + = 3 3. (b Die Folge a ist diverget. (c lim + = 0. 3 (d lim ( + 3 = 0. (e lim ( + = 0. Lösug

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati PROF DRDR JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Iformatier I Witersemester 2003/2004 Aufgabeblatt 8 12 Dezember

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

1 Einführende Worte 2

1 Einführende Worte 2 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 1 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 2 1 Eiführede Worte Semiar Grudlegede Algorithme Auflösug vo Rekursioe 1.1 Beispiele Bevor

Mehr

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5 FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe

Mehr

Methode der kleinsten Quadrate

Methode der kleinsten Quadrate Methode der kleiste Quadrate KAPITEL 5: REGRESSIONSRECHNUNG Die Methode der kleiste Quadrate (MklQ) ist ei Verfahre zur Apassug eier Fuktio a eie Puktwolke. Agewadt wird sie beispielsweise, um eie Gesetzmäßigkeit

Mehr

(gesprochen n über k ) sind für n k, n, k N0 wie folgt definiert: n n. (k + 1)!(n k 1)! (n + 1)!

(gesprochen n über k ) sind für n k, n, k N0 wie folgt definiert: n n. (k + 1)!(n k 1)! (n + 1)! Aufgabe.4 Die Verallgemeierug der biomische Formel für (x y ist der Biomische Lehrsatz: (x y x y, x, y R, N. (a Zeige Sie die Beziehug ( ( ( zwische de Biomialoeffiziete. (b Beweise Sie de Biomische Lehrsatz.

Mehr

1. Zahlenfolgen und Reihen

1. Zahlenfolgen und Reihen . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,

Mehr

Tutorium Mathematik I, M Lösungen

Tutorium Mathematik I, M Lösungen Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug

Mehr

4. Reihen Definitionen

4. Reihen Definitionen 4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a

Mehr

1 Vollständige Induktion

1 Vollständige Induktion 1 Vollstädige Idutio 1.1 Idutiosbeweise Das Beweisprizip der vollstädige Idutio ist eies der wichtigste Hilfsmittel der Mathemati icht ur der Aalysis. Es fidet Verwedug bei pratische alle Aussage, die

Mehr

4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat

4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p

Mehr

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1 Istitut für Aalysis ud Algebra Mathematik I für Studierede der E-Techik Prof Dr Volker Bach WiSe 06/7 M Sc Birgit Komader M Sc Christoph Brauer Theme: Groe Übug - Lösuge Vollstädige Iduktio - Teleskopsumme

Mehr

i=0 a it i das erzeugende Polynome von (a 0,..., a j ).

i=0 a it i das erzeugende Polynome von (a 0,..., a j ). 4 Erzeugede Fuktioe ud Polyome Defiitio 4 Sei a = (a 0, a, eie Folge vo atürliche Zahle, da heißt die formale Potezreihe f a (t := i 0 a it i die erzeugede Fuktio vo a Gilt a i = 0 für i > j, so heißt

Mehr

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015 Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie

Mehr

mit (a 1 ) (0,0,,0). Dann ist die Menge,,a n,a 2 eine endliche Menge und besitzt ein grösstes Element ggt(a 1

mit (a 1 ) (0,0,,0). Dann ist die Menge,,a n,a 2 eine endliche Menge und besitzt ein grösstes Element ggt(a 1 Kapitel 1: Reste, Teiler, Vielfache Defiitio Es sei a 0. Die Zahl b 0 ist ei Teiler vo a, we es ei u 0 gibt, sodass ub= a. Ist b ei Teiler vo a, so ist a ei Vielfaches vo b. Bezeichug b a für b ist Teiler

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus www.mathemati-etz.de Copyright, Page 1 of 6 Streifzug durch die Welt der Biome ud darüber hiaus Die biomische Formel sid ützliche Istrumete, welche i viele Gebiete der Mathemati gewibriged eigesetzt werde

Mehr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische

Mehr

Arbeitsblatt A 8-4 Polynom-& Wurzel-& Winkelfunktionen Teil 1/2

Arbeitsblatt A 8-4 Polynom-& Wurzel-& Winkelfunktionen Teil 1/2 Schule Budesgymasiu um ür Berustätige Salzburg Modul Thema Mathematik 8 Arbeitsblatt A 8-4 Polyom-& Wurzel-& Wikeluktioe Teil 1/2 Polyomuktioe Eie wichtige Klasse vo Fuktioe bilde die Polyomuktioe (x =

Mehr

Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium Lösungen 2: Binomialreihen, Exponential- und Logarithmusfunktion

Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium Lösungen 2: Binomialreihen, Exponential- und Logarithmusfunktion Uiversität Zürich, 3. September 0 Vorurs Grudlage für das Mathematistudium Lösuge : Biomialreihe, Expoetial- ud Logarithmusfutio Lösug zu Aufgabe Seie x, y > 0 ud a > 0. Da gilt: a log a z z für alle z

Mehr

A.1 Rekursionsgleichungen

A.1 Rekursionsgleichungen A.1 Rekursiosgleichuge I mache Abzählprobleme ist es icht eifach, die Lösug auf direktem Wege zu fide. Oft ist es jedoch möglich, die Lösug eies Problems mit eier bestimmte Größe durch die Lösug desselbe

Mehr

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD. ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede

Mehr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr. 4002 Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

1 Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt

1 Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt Das Skalarprodukt ud das Kreuzprodukt Wir betrachte zu x = de Ausdruck y t x : = x Grud: Die rechte Seite der Gleichug ist: y t x = (y tx +... + (y ty { t x } y +... + x y x + x y (x y +... + x y x x t

Mehr

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach! Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud

Mehr

Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik. 1 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.1 Um was geht es?

Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik. 1 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.1 Um was geht es? Uiversität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof Dr C Hesse PD Dr P H Lesky Dipl Math D Zimmerma Msc J Köller FAQ 4 Höhere Mathematik 724 el, kyb, mecha, phys Lieare Abbilduge ud Matrize Um was geht es?

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

Nennenswertes zur Stetigkeit

Nennenswertes zur Stetigkeit Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit

Mehr

2 Differentialrechnung und Anwendungen

2 Differentialrechnung und Anwendungen Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug

Mehr

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre

Mehr

KAPITEL 2. Zahlenfolgen

KAPITEL 2. Zahlenfolgen KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07.

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07. Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 040703 Datum 03.07.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich:

Mehr

4.6 Berechnung von Eigenwerten

4.6 Berechnung von Eigenwerten 4.6 Berechug vo Eigewerte 4.6 Berechug vo Eigewerte I diesem Abschitt befasse wir us mit dem Eigewertproblem: zu gegebeer Matrix A R sid die Eigewerte (ud gegebeefalls Eigevektore) gesucht. Wir erier a

Mehr

1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome

1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome 1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n, f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug

Mehr

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014 Karlsruher Istitut für Techologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 3/4 Prof. Dr. J. Schmalia Blatt 7 Dr. P. P. Orth Abgabe ud Besprechug 3..3. Tayloretwicklug I 5 + 5 + 5 + 5

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

A D A E B D D E D E D C C D E

A D A E B D D E D E D C C D E ie Kombiatori beschäftigt sich mit der Zusammestellug vo lemete eier Mege. s werde 2 Kugel ohe Zurüclege aus zwei Ure gezoge. ie erste Ure ethält 3 Kugel ; ; ud die zweite Ure 2 Kugel ;. ie erste Kugel

Mehr

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per

Mehr

Finanzmathematik. = K 0 (1+i) n = K 0 q n

Finanzmathematik. = K 0 (1+i) n = K 0 q n Fiazmathematik 1. Kapitalverzisug: Beispiel 1: Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% verzist. Wie viel bekommt ma am Ede eies Jahres samt Zise? Die Zise Z werde so berechet: Z = K 0 p/100 = 3000 5/100 = 0. Das

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8 1 Lösuge ausgewählter Übugsaufgabe zum Buch Elemetare Stochastik (Spriger Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgabe zu de Kapitel 7 ud 8 Aufgabe zu Kapitel 7 Zu Abschitt 7.1 Ü7.1.1 Ω sei höchstes abzählbar, ud X,

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Numerische Integration (s. auch Applet auf

Numerische Integration (s. auch Applet auf Numerische Itegratio (s. auch Applet auf www.mathematik.ch) Voraussetzuge ud Zielsetzug Voraussetzug: Eie Fuktio f sei auf dem abgeschlossee Itervall I = [a,b] stetig. b Gesucht: Bestimmtes Itegral J =

Mehr

Einige wichtige Ungleichungen

Einige wichtige Ungleichungen Eiige wichtige Ugleichuge Has-Gert Gräbe, Leipzig http://www.iformatik.ui-leipzig.de/~graebe 1. Februar 1997 Ziel dieser kurze Note ist es, eiige wichtige Ugleichuge, die i verschiedee Olympiadeaufgabe

Mehr

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis

Mehr

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009 Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen

5.7. Aufgaben zu Folgen 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

2 Konvergenz von Folgen

2 Konvergenz von Folgen Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 13. DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 13. DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN Mathematik: Mag. Schmi Wolgag Arbeitsblatt 3 6. Semester ARBEITSBLATT 3 DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN Mit em Itervallschachtelugsverahre Siehe Arbeitsblatt habe wir bereits ei Verahre kee gelert, mit

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 2 Signale, Codes und Chiffren II Sommersemester 2009 Übung vom 26. Mai 2009

Lösungen zu Übungsblatt 2 Signale, Codes und Chiffren II Sommersemester 2009 Übung vom 26. Mai 2009 Uiversität Karlsruhe TH Istitut für Kryptographie ud Sicherheit Willi Geiselma Vorlesug Marius Hillebrad Übug Lösuge zu Übugsblatt 2 Sigale, Codes ud Chiffre II Sommersemester 2009 Übug vom 26. Mai 2009

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

mathphys-online GANZRATIONALE FUNKTIONEN y-achse x-achse

mathphys-online GANZRATIONALE FUNKTIONEN y-achse x-achse GANZRATIONALE FUNKTIONEN 7 0 7 7 Gazratioale Futioe Ihaltsverzeichis Kapitel Ihalt Seite Eiührug. Das Pascal sche Dreiec. Verschobee Potezutioe Verlau der Graphe gazratioaler Futioe im Koordiatesystem.

Mehr

Mathematik 2 für Informatik Drmota ( )

Mathematik 2 für Informatik Drmota ( ) Mathematik 2 ür Iormatik Drmota (113.060) Vektoreld 1. Itegrabilitätsbedigug: we erüllt, eistiert Stammuktio. Beides i Agabe ableite ud we beide Ergebisse gleich sid, Bedigug erüllt. 2. c ausreche idem

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Rekursionsgleichungen. Übersicht. Vorlesung 6: Mastertheorem (K4) Joost-Pieter Katoen

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Rekursionsgleichungen. Übersicht. Vorlesung 6: Mastertheorem (K4) Joost-Pieter Katoen Übersicht Datestrukture ud Algorithme Vorlesug 6: (K) Joost-Pieter Katoe Lehrstuhl für Iformatik 2 Software Modelig ad Verificatio Group 1 Substitutiosmethode Rekursiosbäume http://moves.rwth-aache.de/teachig/ss-15/dsal/

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

Fundamentale Prinzipien der Kombinatorik und elementare Abzählkoeffizienten Wolfram Koepf

Fundamentale Prinzipien der Kombinatorik und elementare Abzählkoeffizienten Wolfram Koepf Fudametale Prizipie der Kombiatori ud elemetare Abzähloeffiziete Wolfram Koepf Die abzählede Kombiatori beschäftigt sich vor allem mit der Auswahl eier Teilmege, die ma häufig eie Stichprobe et (aus Wahrscheilicheitsrechug

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

Einführung in die Grenzwerte

Einführung in die Grenzwerte Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der

Mehr

Wirksamkeit, Effizienz

Wirksamkeit, Effizienz 3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 6

Aufgaben zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge x ) 2 mit x 2)/ + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we a) ε 0, b) ε 00 ist. Aufgabe

Mehr

Determinante und Resultante Azadeh Pasandi

Determinante und Resultante Azadeh Pasandi Determiate ud Resultate 07.01.2009 Azadeh Pasadi Defiitio ud Grudeigeschafte: sei U, V, W ud Vektor-Raum über Körper F ud beachte eie Abbildug f ( u,v ) vo kartesische Produkt: f: U x V W Diese Abbildug

Mehr

Statistik I Februar 2005

Statistik I Februar 2005 Statistik I Februar 2005 Aufgabe 0 Pukte Ei Merkmal X mit de mögliche Auspräguge 0 ud, das im Folgede wie ei kardialskaliertes Merkmal behadelt werde ka, wird a Merkmalsträger beobachtet. Dabei bezeichet

Mehr

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege

Mehr

Folgen und Reihen Glege 03/01

Folgen und Reihen Glege 03/01 Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen Mathematik Fuktioe Grudwisse ud Übuge Potezfuktio Hyperbel Epoetialfuktio Umkehrfuktio Stefa Gärter 004 Gr Mathematik Fuktioe Seite Grudwisse Potezfuktio Defiitio Durch die Zuordugsvorschrift f: Æ mit

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 1

Ü b u n g s b l a t t 1 Mathe für Physier I Witersemester 03/04 Walter Oevel 16 10 003 Ü b u g s b l a t t 1 Abgabe vo Aufgabe am 310003 i der Übug Aufgabe 1*: (Aussagelogi 5 Bouspute) Vo de folgede drei Aussage ist geau eie

Mehr

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassug vom 13. Februar 2006 Mathematik für Humabiologe ud Biologe 129 9.1 Stichprobe-Raum 9.1 Stichprobe-Raum Die bisher behadelte Beispiele vo Naturvorgäge oder Experimete

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

Zählterme (Seite 1) Aufgabe: Wie viele Nummernschilder kann es theoretisch im Raum Dresden geben? Wann müsste die 4.Ziffer eingeführt werden?

Zählterme (Seite 1) Aufgabe: Wie viele Nummernschilder kann es theoretisch im Raum Dresden geben? Wann müsste die 4.Ziffer eingeführt werden? Bemerkug: I Mathematik sollte ma keie Fahrpläe verwede, i der Stochastik erst recht icht. Zitat vo S.L. Das Baumdiagramm ist aber fast immer ei geeigetes Hilfsmittel. Produktregel Aufgabe: Wie viele Nummerschilder

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr