Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen

Transkript

1 Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen

2 Übersicht 1 Beispiele Anwendung auf Fragen der dynamischen Wirtschaftstheorie Physikalische Beispiele 2 Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung 3 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 2

3 Modell von Harrod Anwendung auf Fragen der dynamischen Wirtschaftstheorie Physikalische Beispiele S t = αy t (α > 0), I t = β (Y t Y t 1 ) (β > 0), I t = S t, Y 0 sei bekannt. S t : gesparte Summe in der Periode t, I t : beabsichtigte Investition in der Periode t, Y t : Volkseinkommen in der Periode t. Diese Gleichungen bedeuten Folgendes: Ein konstanter Prozentsatz des Volkseinkommens wird gespart. Die beabsichtigten Investitionen stehen in einem konstanten Verhältnis zu dem Zuwachs des Volkseinkommens ((Y t Y t 1 )). Alle Ersparnisse werden investiert. Elimination von : S t, I t αy t = β(y t Y t 1 ) (β α)y t = βy t 1 Y t = β β α Y t 1... Y t = ( β β α) t Y0 Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 3

4 Modell von Baumol I Anwendung auf Fragen der dynamischen Wirtschaftstheorie Physikalische Beispiele Im Unterschied zum vorangegangenen Modell ändern sich jetzt Sparleistung und Investitionsneigung kontinuierlich. Sparleistung, Investitionen und Volkseinkommen werden als kontinuierliche Ströme s(t), i(t), y(t) betrachtet. Der Zusammenhang mit dem oben beschriebenen Modell ergibt sich durch Integration über einen Beobachtungszeitraum T 0. S(t) = I (t) = Y (t) = t t T 0 t t T 0 t t T 0 s(τ) dτ i(τ) dτ y(τ) dτ Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 4

5 Modell von Baumol II Anwendung auf Fragen der dynamischen Wirtschaftstheorie Physikalische Beispiele Die momentane Sparleistung ist proportional zum momentanen Volkseinkommen. s(t) = αy(t) Die momentane Investitionsneigung ist proportional zur momentanen Veränderung des Volkseinkommens. i(t) = β dy = βẏ(t) dt Zur Realisierung der Investition soll die Sparleistung innerhalb eines Zeitraums T 0 gleich der Investition in diesem Zeitraum sein. t t T 0 s(τ) }{{} =αy(t) dτ = t t T 0 i(τ) }{{} =βẏ(t) Für kleine Beobachtungszeiträume müssen die Integranden gleich sein: y(t) = β αẏ(t) y(t) = Ce α β t ; C IR. dτ Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 5

6 Modell von Baumol III Anwendung auf Fragen der dynamischen Wirtschaftstheorie Physikalische Beispiele Das Volkseinkommen in der Periode n ergibt sich durch Integration: Ỹ (n) = n n 1 y(τ)dτ = C n n 1 e α β τ dτ = Cβ α e α β τ n n 1 = Cβ α ( ) 1 e α β e α β n. Aus der Anfangsbedingung Ỹ (0) = E 0 bestimmt sich die Integrationskonstante C und man erhält für das Volkseinkommen in der Periode n die Funktion diskret Ỹ (n) = E 0 e α β n. kontinuierlich ( ) β n ( ) n Y n = E 0 Ỹ (n) = E β α 0 e α β n = E 0 e α β Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 6

7 Radioaktiver Zerfall Anwendung auf Fragen der dynamischen Wirtschaftstheorie Physikalische Beispiele Viele Gesetzmäßigkeiten in der Physik und Technik werden beschrieben durch Differentialgleichungen (DGL). Radioaktiver Zerfall: Anzahl der zerfallenden Atomkerne pro Zeiteinheit ist proportional zur Zahl der vorhandenen Kerne. dn(t) dt = λn(t) n(t) : Teilchenanzahl zur Zeit t; λ : radioaktive Zerfallskonstante Welcher Funktionstyp kommt in Frage? = e-funktion n(t) = e λt erfüllt DGL; auch n(t) = C e λt!! Startbedingung: n(0) = n 0 ergibt die gesuchte spezielle Lösung: n(t) = n 0 e λt Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 7

8 Federpendel Anwendung auf Fragen der dynamischen Wirtschaftstheorie Physikalische Beispiele lineares, ungedämpftes Pendel mẍ + cx = 0 x(t) : Auslenkung zur Zeit t; m : Masse; c : Federkonstante Welcher Funktionstyp kommt in Frage? = x 1 (t) = cos(ωt) dx 1 (t) d = ω sin(ωt) 2 x 1 (t) dt dt 2 = ω 2 cos(ωt) eingesetzt in DGL: m ( ω 2 cos(ωt)) + c cos(ωt) = 0 ω 2 = m c bzw. ω = c m Ebenso erfüllt sin(ωt) die DGL; Insgesamt erhält man als Lösung die Gesamtheit aller harmonischen Schwingungen: x(t) = C 1 cos(ωt) + C 2 sin(ωt) C i IR Anpassung an Startwerte x(0) = x 0 ; ẋ(0) = v 0 ergibt Lösung des sogenannten Anfangswertproblems. x(t) = x 0 cos(ωt) + v 0 ω sin(ωt) Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 8

9 Definition Differenzengleichung Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung Eine Gleichung der Form y = y(n + 1) y(n) = a(n)y(n) + b(n) heißt eine lineare Differenzengleichung 1. Ordnung. a(n), b(n) sind auf IN 0 definierte reellwertige Funktionen. Durch die Vorgabe einer Anfangsbedingung y(0) = y 0 wird die Lösung eindeutig bestimmt; man spricht dann von einem Anfangswertproblem. Ist b(n) = 0, so heißt die Differenzengleichung homogen, sonst inhomogen. Man nennt y den Differenzenoperator der Folge {y(n)}. Er beschreibt die Veränderung von y(n) in der folgenden Periode. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 9

10 Rekursive Lösung Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung Oft wird eine solche Gleichung auch in der Form y(n + 1) = [1 + a(n)]y(n) + b(n) ; y(0) = y 0 dargestellt. Die Lösungen lassen sich rekursiv bestimmen. Für den wichtigen Spezialfall, dass a(n) und b(n) konstant sind, also a(n) = a, b(n) = b, lassen sich die Lösungen geschlossen darstellen. y(n + 1) = [1 + a]y(n) + b ; y(0) = y 0 besitzt die Lösung: y 0 (1 + a) n + b (1 + a)n 1 a für a 0 y(n) = y 0 + b n für a = 0 Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 10

11 Lösungsverfahren I Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung Für den Fall, dass a(n) = a konstant ist und bei der Gleichung y = y(n + 1) y(n) = ay(n) + b(n) der Summand b(n) ein Polynom in n oder eine Exponentialfunktion ist, lässt sich ebenfalls eine geschlossene Lösung bestimmen. Dazu sind die folgenden Schritte notwendig: Schritt 1: Lösung des homogenen Problems. Wir bestimmen eine Lösung y h (n) des zugehörigen homogenen Problems y = y(n+1) y(n) = ay(n) y h (n) = C (1+a) n, C IR. alternative Formulierung: y(n + 1) = αy(n) y h (n) = C α n, C IR. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 11

12 Lösungsverfahren II Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung Schritt 2: Spezielle Lösung des inhomogenen Problems. Durch einen gezielten Rateansatz versuchen wir, eine spezielle partikuläre Lösung y p (n) des Ausgangsproblems zu bestimmen. y p = y p (n + 1) y p (n) = ay p (n) + b(n) Inhomogenität Ansatz für eine partikuläre Lösung b(n) = a 0 + a 1 n + a 2 n a m n m y p (n) = B 0 + B 1 n + B 2 n B m n m b(n) = A(1 + α) n y p (n) = B(1 + α) n für α a b(n) = A(1 + α) n y p (n) = B(1 + α) n n für α = a Setzt man diese Ansatzfunktionen in die Differenzengleichung ein, so ergeben sich Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten B 0, B 1, B 2... bzw. B. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 12

13 Lösungsverfahren III Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung Schritt 3: Die Gesamtlösung y(n) ergibt sich dann durch Überlagerung: y(n) = y h (n) + y p (n). Beim Bestimmen der partikulären Lösung y p (n) muss nicht auf Allgemeinheit geachtet werden. Man versucht durch Rateansätze möglichst einfach irgend eine Lösung zu verschaffen. Anschließend wird die Integrationskonstante der homogenen Lösung durch die Anfangsbedingung festgelegt. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 13

14 Beispiel Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung AWP: y = y(n + 1) y(n) = 0.5y(n) + 2n ; y(0) = 1 Schritt 1: homogene Problem: y(n + 1) = 1.5y(n) y h (n) = C (1.5) n. Schritt 2: Ansatz für eine partikuläre Lösung: y p (n) = B 0 + B 1 n die inhomogene Differenzengleichung ergibt: eingesetzt in B 0 + B 1 (n + 1) }{{} y p (n + 1) = 1.5 (B 0 + B 1 n) }{{} y p (n) + 2n. Durch Vergleich der Koeffizienten der Polynome links und rechts vom Gleichheitszeichen erhält man die Bestimmungsgleichungen für B 0, B 1. } n 0 : B 0 + B 1 = 1.5B 0 n 1 B 1 = 4 : B 1 = 1.5B B 0 = 8 y p(n) = 4n 8 Schritt 3: Gesamtlösung: y(n) = y h (n) + y p (n) = C (1.5) n 4n 8. Anfangsbedingung: y(0) = C 8! = 1 C = 9. Lösung des Anfangswertproblems: y(n) = 9 (1.5) n 4n 8 Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 14

15 Definition Differenzialgleichung Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung Eine Gleichung der Form dy (x) = a(x) y(x) + b(x) dx heißt eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung. Durch Vorgabe eine Anfangsbedingung y(x 0 ) = y 0 wird die Lösung eindeutig bestimmt; man spricht dann von einem Anfangswertproblem. Ist b(x) = 0, so heißt die Differenzialgleichung homogen, sonst inhomogen. Für den wichtigen Spezialfall a(x) = a und einfache b(x) lässt sich eine Lösungsfunktion explizit bestimmen. Wir lösen das Problem wieder in drei Schritten. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 15

16 Lösung dy (x) = a y(x) + b(x) Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung dx Schritt 1: homogene Problem: y h = ay h y h (x) = C e ax, C IR. Schritt 2: inhomogene Problem mit Rateansatz: Inhomogenität y p(x) = ay p (x) + b(x) Ansatz für eine partikuläre Lösung b(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n y p (x) = B 0 + B 1 x + B 2 x B n x n b(x) = Ae αx y p (x) = Be αx für α a b(x) = Ae αx y p (x) = Be αx x für α = a b(x) = A cos(ωx) y p (x) = B 1 cos(ωx) + B 2 sin(ωx) b(x) = A sin(ωx) y p (x) = B 1 cos(ωx) + B 2 sin(ωx) Es ergeben sich Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten B i. Schritt 3: Gesamtlösung ergibt sich durch Überlagerung: y(x) = y h(x) + y p (x) Liegt ein Anfangswertproblem vor, wird anschließend die Integrationskonstante durch die Anfangsbedingung festgelegt. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 16

17 Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung Beispiel: dy dx (x) = 0.5 y(x) + 2x; y(0) = 1 Schritt 1: homogene Problems: y = 0.5y y h (x) = Ce 0.5x Schritt 2: Ansatz für eine partikuläre Lösung: y p (x) = B 0 + B 1 x eingesetzt in die inhomogene Differenzialgleichung y = 0.5y + 2x (y p = B 1!!) ergibt: B 1 }{{} y p = 0.5 (B 0 + B 1 x) }{{} y p + 2x. Durch Vergleich der Koeffizienten der Polynome links und rechts vom Gleichheitszeichen erhält man die Bestimmungsgleichungen für B 0, B 1. } x 0 : B 1 = 0.5B 0 x 1 B 1 = 4 y : 0 = 0.5B B 0 = 8 p (x) = 4x 8 Schritt 3: Gesamtlösung: y(x) = y h (x) + y p (x) = Ce 0.5x 4x 8. Anfangsbedingung: y(0) = C 8! = 1 C = 9 Lösung des Anfangswertproblems: y(x) = 9e 0.5x 4x 8 Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 17

18 Lineare Differenzengleichung Lineare Differenzialgleichung ỹ (x) = 0.5 ỹ(x)+2x; ỹ(0) = 1 y = y(n+1) y(n) = 0.5 y(n)+2n; y(0) = 1 Wachstumsverhalten ỹ(x) y(n) n x Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 18

19 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen Differenzen- und Differenzialquotient für die Ordnung 2 y (x) y(n) = y(n + 1) y(n) y (x) = (y (x)) 2 y(n) = y(n + 1) y(n) Beispiel: y 5y + 6y = 0 = [y(n + 2) y(n + 1)] [y(n + 1) y(n)] = y(n + 2) + y(n) 2y(n + 1) [y(n + 2) + y(n) 2y(n + 1)] 5 [y(n + 1) y(n)] + 6y(n) }{{} y(n + 2) 7y(n + 1) + 12y(n) = 0 Differenzialgleichung Differenzengleichung y 5y + 6y = 0 y(n + 2) 7y(n + 1) + 12y(n) = 0 y + ay + by = 0 y(n + 2) + (a 2)y(n + 1) + (b a + 1)y(n) = 0 Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 19

20 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen Ansatz für homogene Differenzialgleichung y(x) = e λx Beispiel: y 5y + 6y = 0 Der Ansatz y(x) = e λx in die Differenzialgleichung eingesetzt ergibt: λ 2 e λx 5λe λx + 6e λx = 0. Da e λx 0 für alle x IR, ergibt sich für den Parameter λ eine quadratische Gleichung: λ 2 5λ + 6 = 0 λ 1,2 = 5 ± λ 1 = 2, λ 2 = 3. Mit den beiden Lösungen y 1 (x) = e 2x, y 2 (x) = e 3x ist auch jede Linearkombination Lösung der Differenzialgleichung. y h (x) = C 1 e 2x + C 2 e 3x, C 1, C 2 IR. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 20

21 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen Ansatz für homogene Differenzengleichung y(n) = q n Beispiel: y(n + 2) 7y(n + 1) + 12y(n) = 0 Der Ansatz y(n) = q n in die Differenzengleichung eingesetzt ergibt: q n+2 7q n q n = 0. Für q 0 kann man die Gleichung durch q n dividieren, und es ergibt sich wieder für den Parameter q eine quadratische Gleichung: q 2 7q + 12 = 0 q 1,2 = 7 ± q 1 = 3, q 2 = 4. Mit den beiden Lösungen y 1 (n) = 3 n, y 2 (n) = 4 n ist auch jede Linearkombination Lösung der Differenzengleichung. y h (n) = C 1 3 n + C 2 4 n, C 1, C 2 IR. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 21

22 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen homogene Differenzen- und Differenzialgleichung Besitzt die quadratische Gleichung λ 2 + aλ + b = 0 die beiden reellen Lösungen λ 1, λ 2 mit λ 1 λ 2, so ergibt sich die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung y + ay + by = 0 y(x) = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x. Für die zugehörige homogene Differenzengleichung erhält man als Lösung: 2 y(n) + a y(n) + by(n) }{{} y(n+2)+(a 2)y(n+1)+(b a+1)y(n) = 0 y(n) = C 1 q n 1 + C 2 q n 2 mit q i = 1+λ i. Sind λ 1,2 = a ± a 2 4b 2 Lösungen der quadratischen Gleichung λ 2 + aλ + b = 0, so sind q 1,2 = 2 a ± (a 2) 2 4(b a + 1) 2 = 2 a ± a 2 4b 2 = 1 + λ 1,2 die Lösungen der quadratischen Gleichung q 2 + (a 2)q + (b a + 1) = 0. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 22

23 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen inhomogene Differenzen- und Differenzialgleichung Für die partikulären Lösungen der inhomogenen Gleichungen y + ay + by = f (x) bzw. 2 y(n) + a y(n) + by(n) = f (n) führen analoge Ansätze wie im vorangegangenen Abschnitt zum Ziel. Da die Lösungen jeweils zwei beliebig wählbare Konstanten C 1, C 2 enthalten, wird die Lösung durch die Vorgabe von zwei Anfangsbedingungen festgelegt. Im Falle der Differenzialgleichung geschieht das durch die Vorgabe von Funktionswert und erster Ableitung an einer Stelle x 0. Bei der Differenzengleichung müssen zwei aufeinander folgende Werte, z. B. y(0) und y(1), vorgegeben werden. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 23

24 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen Beispiel Differenzen- und Differenzialgleichung Differenzialgleichung Differenzengleichung Gleichung y y 12y = 24x y(n+2) 3y(n+1) 10y(n) = 24n hom. Lsg. y h (x) = C 1 e 4x + C 2 e 3x y h (n) = C 1 5 n + C 2 ( 2) n part. Lsg. y p (x) = 2x y p (n) = 2n Gesamt y(x) = C 1 e 4x + C 2 e 3x 2x y(n) = C 1 5 n + C 2 ( 2) n 2n Start y(0) = 1 6, y (0) = 5 y(0) = 1 6, y(0) = y(1) y(0) = 5 AWP y(x) = e 4x e 3x 2x y(n) = 5 n ( 2) n 2n Die Diskretisierung der Differenzialgleichung und Interpretation als Differenzengleichung entspricht bei Gleichungen erster Ordnung dem Eulerverfahren bei der numerischen Lösung von Differenzialgleichungen, wenn man die Schrittweite h = 1 setzt. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 24

25 Schwingungsdifferenzialgleichung I Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen Was tun, wenn die zur Differenzialgleichung gehörende quadratische Gleichung keine reelle Lösung besitzt? y + ω 2 y = 0 λ 2 + ω 2 = 0 Lösung: y(y) = C 1 cos ωx + C 2 sin ωx Nachrechnen! Wie verhält sich System bei einem linearen Glied? y = D y k y D y : Rückstellkraft Interpretation k y : Reibung Physik = gedämpfte Schwingung Darstellung: y = A e δx cos(ωx α) = e δx [C 1 cos ωx + C 2 sin ωx] Restproblem: Wie hängen D und k mit δ und ω zusammen? Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 25

26 Schwingungsdifferenzialgleichung II Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen y = 13y 6y bzw. y + 6y + 13y = 0 charakteristische Gleichung: λ 2 + 6λ = (λ + 3) }{{} = 0 = 13 Versuch y = e 3x cos 2x y = e 3x [ 3 cos 2x 2 sin 2x] y = e 3x [9 cos 2x + 6 sin 2x + 6 sin 2x 4 cos 2x] = e 3x [5 cos 2x + 12 sin 2x] Einsetzen in DGL: y : e 3x [5 cos 2x + 12 sin 2x] 6y : e 3x [ 18 cos 2x 12 sin 2x] 13y : e 3x [13 cos 2x +0 sin 2x] = 0 e 3x sin 2x erfüllt ebenso DGL! Fazit: y + 6y + 13y = 0 y(x) = e 3x [C 1 cos 2x + C 2 sin 2x] Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 26

27 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen nichtlösbare quadratische Gleichung y + ky + Dy = 0 charakt. Gleichung: λ 2 + kλ + D = 0 Ergänzung der beiden ersten Summanden der Gleichung zum vollständigen Quadrat: λ 2 + kλ + D = λ 2 + 2δλ + δ 2 + ω 2 = (λ + δ) 2 + ω 2 = 0 Zusammenhang: k = 2δ D = δ 2 + ω 2 bzw. δ = k 2 ω 2 = D k2 4 Grundlösungen: y 1 (x) = e δx cos ωx y 2 (x) = e δx sin ωx allgemeine Lösung: y(x) = e δx [C 1 cos ωx + C 2 sin ωx] Behandlung der Inhomogenitäten und Anpassung an Anfangsbedingungen wie zuvor! Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 27

28 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen doppelte Nullstelle der quadrat. Gleichung y + 6y + 9y = 0 charakteristische Gleichung: λ 2 + 6λ + 9 = 0 λ 1,2 = 6 ± = 3 1. Grundlösung: y = e 3x 2. Grundlösung? Versuch y = e 3x x y = e 3x [ 3x + 1] y = e 3x [9x 3 3] = e 3x [9x 6] Einsetzen in DGL: y : e 3x [9x 6] 6y : e 3x [ 18x + 6] 9y : e 3x [9x + 0] = 0 e 3x x erfüllt ebenso DGL! Fazit: y + 6y + 9y = 0 y(x) = e 3x [C 1 + C 2 x] x-trick funktioniert bei allen doppelten Nullstellen! Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 28

29 Homogene Gleichung Inhomogene Gleichung Ergänzungen Ausblick: Nullstellen der quadrat. Gleichung Jede quadratische Gleichung soll lösbar werden durch Erweiterung des Zahlbereichs! x = 0 x =? Keine reelle Zahl kann Gleichung erfüllen. Wir erfinden eine Zahl, deren Quadrat -1 ergibt. Definition der imaginären Einheit: j : j 2 = 1 oder j = 1 Diese neue Zahl genügt, damit alle quadratischen Gleichungen lösbar werden. x 2 + 6x + 13 = 0 x 1.2 = 6 ± = 6 ± 16 2 Wurzelgesetze! = 3 ± 4 = 3 ± ( 1) 4 = 3 ± ( 1) 4 = 3 ± 2j Kombination von reeller Zahl und Viefachen der imaginären Einheit macht Sinn. Definition der komplexen Zahlen C: z = a + jb; a, b IR Die vier bürgerliche Grundrechenarten lassen sich auf diese Zahlen übertragen. Die reellen Zahlen sind mit b = 0 in den komplexen Zahlen enthalten. Fakultät Grundlagen Differenzen- und Differenzialgleichungen Folie: 29