Musterlösung Nachklausur Gundlagen der Regelungstechnik WS0506 vom

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1 Msterlösng Nachklasr Gndlagen der Regelngstechnik WS0506 vom Afgabe : Das folgende Blockschaltbild ist z vereinfachen nd zsammenzfassen: G G G Schritt : G nd G zsammenfassen soie die Smmationsstelle hinter G vor G verschieben: / G G G G Schritt : Hintere reisschaltng mit G zsammenfassen soie Verzeigngsstelle vor (G G ) hinter (G G ) verschieben: G (G G ) G G G G

2 Schritt : Vordere reisschaltng soie Parallelschaltng zsammenfassen: G G G G G G (G G ) G Schritt 4: Reihenschaltng zsammenfassen: G G G G G G G ( G G ) Ein eiteres Asmltiplizieren ist hier schierig nd sollte in der Prais erst erfolgen, enn die Übertragngsfnktionen Gi drch konkrete Fnktionen in s ersetzt orden sind. Afgabe : Ein Totzeitsystem mit der Übertragngsfnktion G(s) e Tts stellt keine gebrochen rationale Fnktion in s dar. Deshalb ist eine Asertng der Pole der Übertragngsfnktion des geschlossenen reises (der dann ebenfalls keine gebrochen rationale Fnktion ist) nicht möglich. Desegen kommt ach eine Anendng algebraischer Stabilitätskritereien (z.b. Hritzriterim oder eplizite Berechnng der Pole des geschlossenen reises) nicht in Frage. Einziges riterim ist daher das Nyqistriterim, elches für Freqenzgänge jeder Art (ach real pnkteise gemessene) geeignet ist. Um die bekannten einfachen Tools der MATLAB Control System Toolbo ntzen z können müssen Übertragngsfnktionen als gebrochen rationale Fnktionen dargestellt erden, also als Zähler nd Nennerpolynome in s. Dies ist (s.a. Afgabenteil ) für ein Totzeitsystem endlicher Ordnng nicht möglich. Oft genügt es für einen Reglerentrf, das Totzeitsystem drch ein Allpasssystem z approimieren. Dies führt af die sog. PadèApproimation von Totzeitsystemen. Bekanntlich zeigen Allpasssysteme im nteren Freqenzbereich ein ähnliches Verhalten ie Totzeitsysteme. Drch hinreichend hohe Wahl der Ordnng der PadèApproimation (meist sollte Ordnng n genügen) kann Amplitde nd Phase des originalen Totzeitsystems bis z hinreichend hoher Freqenz nachgebildet erden. Ein eine z große Ordnng (z.b. größer n 0) sollte jedoch as nmerischen Gründen vermieden erden. c) Die phasenabsenkende Wirkng des Totzeitglieds kann schnell zr Instabilität eines Regelkreises führen, insbesondere, eil das Totzeitglied (anders als z.b. ein Tiefpass) die Amplitde des Freqenzgangs nverändert belässt. Dadrch bleibt der Amplitdengang eines offenen Regekreises nverändert, ährend der Phaseninkel absinkt. Dies geht gemäß dem Freqenzlinienverfahren direkt einher mit eine Redzierng der Phasenreserve des Regelkreises bis hin zr Instabilität bei hinreichend großer Totzeit. Um bei Regelkreisen mit Totzeit dennoch Stabilität sicherzstellen mss die reisverstärkng redziert nd damit die Drchtrittsfreqenz ω D soeit redziert erden, dass der drch die Totzeit verrsachte Phasenverlst akzeptabel ist.

3 d) Ein Totzeitsystem ist dadrch gekennzeichnet, dass es sein Eingangssignal in der Form nverändert, aber verzögert an seinem Asgang ieder asgibt. Erst nach Ablaf der Totzeit kann man am Asgang des Systems eine amm Eingang stattgefndene Signaländerng (z.b. Sprng) ahrnehmen. Da sich eine Signaländerng vor Ablaf der Totzeit in keiner Weise af dem Asgang des Totzeitgliedes bemerkbar macht, besteht keine Möglichkeit, vor Ablaf der Totzeit die Sigaländerng z erkennen. Anders asgedrückt müsste ein System zr ompensation einer Totzeit in die Zknft schaen können, as bekanntlich nicht geht. Dies steht im Gegensatz zm Verhalten von Tiefpasssystemen (z.b. PT n ), elche zar langsam, aber doch nmittelbar ohne Verzgszeit am Asgang eine (.U. sehr kleine) Signaländerng zeigen, die z.b. drch eine differenzierende Operation asgeertet erden kann (Pol/Nllstellenürzng). e) In der Prais geht Totzeitverhalten mit Transportprozessen einher, z.b. Förderbänder Temperatr eines fließenden Medims in Rohrleitngen (Wärmeleitng im Medim bz. über die Rohrleitng sei vernachlässigt) Signalasbreitng mit begrenzter Geschindigkeit Schall Licht / Fnk / Radarsignale So stellt z.b. die endliche Asbreitngsgeschindigkeit von Fnkellen im Weltram ein echtes Problem dar. Bei zeitlichen Verzögerngen im Mintenbereich ist z.b. ein geregeltes Fahren eines Landefahrzegs af dem Mars nr sehr langsam ( mit kleiner Regelkreisverstärkng) vom ontrollzentrm af der Erde möglich. Die für den Landevorgang notendigen Regelngsvorgänge setzen daher ein atonomes Verhalten solcher Fahrzeg voras, eine Regelng von der Erde as ist nicht möglich.

4 Afgabe : Bei der Reihenschaltng zeier Übertragngsfnktionen sind bekanntlich die Übertragngsfnktionen der beiden Systeme G PI (s)nd G PT (s)miteinander z mltiplizieren. Da das Bodediagramm die logarithmierten Größen darstellt ird as der Mltiplikation der Amplitdengänge deren Addition nd ach die Phaseninkel können direkt zm Gesamtphaseninkel addiert erden. In der nachfolgenden Abbildng ist das Ergebnis dieser grafischen Addition als dritte rve eingezeichnet. Beispielseise ergibt sich für Freqenz ω 0, rad/s die folgende Rechnng (siehe eingekreiste Stützstelle im Diagramm): G PI (ω ) 8 db abgelesen G PT (ω ) 6 db abgelesen G 0 (ω ) 4 db G PI (ω ) 78 abgelesen G PT (ω ) abgelesen G 0 (ω ) 80 ω D Die Drchtrittsfreqenz ω D des offenen Regelkreises liegt bei ca. 50 rad/s. Die Phase des offenen Regelkreises liegt hier bei ca. 87. Damit besitzt der Regelkreis eine Phasenreserve von 87 (80 ) 9. Der Regelkreis ist daher stabil.

5 Afgabe 4: Die folgende Befehlsfolge erledigt diese Afgabe (andere Lösngen sind möglich): nm conv([ 5],[ ]) ; den conv([ ],[ ]) ; t 0:0.0:5 ; step(nm,den,t) ; % Zählerpolynom definieren % Nennerpolynom definieren % Zeitvektor festlegen % Sprngantort plotten 8 Das System ist dritter Ordnng nd besitzt damit Pole, die das Stabilitätsverhalten bestimmen. Der erste Pol kann direkt am Nenner der Übertragngsfnktion z s abgelesen erden nd ist damit stabil. 5 Die beiden anderen Pole können nicht ohne eiteres direkt abgelesen erden. Es gibt zei Möglichkeiten, die Stabilität des Teilsystems. Ordnng z überprüfen: Mit Hilfe der pqformel (oder einfach drch Raten/Probieren) erhält man die beiden geschten Polstellen z s s. Diese Doppelpole sind beide stabil, damit ist das gesamte System stabil. Noch schneller ist die Anendng des Hritzriterims, elches für ein System.Ordnng Stabilität vorassagt, enn alle oeffizienten vorhanden sind nd gleiches Vorzeichen besitzen. Dies ist hier gegeben, so dass man ach ohne eplizite Berechnng der Pole die Stabilität der beiden Pole nd damit die Stabilität des Gesamtsystem bestätigen kann. c) Das System hat eine Nllstelle in der rechten kompleen Halbebene bei s nd besitzt daher Allpassverhalten. Afgabe 5: In einem ersten Schritt mss die gegebene Übertragngsfnktion in Standardform (negative Potenzen in z) mgeformt erden, indem Zähler nd Nenner drch die höchste positive Potenz in z dividiert erden: ( z) ( z) 5( z z, ) ( z) z,5 z 0,5 ( z, z ) e 5,5 z G R 0,5z Im nächsten Schritt ist die Gleichng aszmltiplizieren: ( z) (,5 z 0,5z ) e( z) ( 5( z, z )) ( z),5 z ( z) 0,5z ( z) 5( e( z) z e( z), z e( z) ) Nn kann die Rücktransformation in den Zeitbereich stattfinden nd man erhält nach Aflösen nach (k) die benötigte Differenzengleichng: ( k),5 ( k ) 0,5( k ) 5( e( k) e( k ), e( k ) ) ( k) 5( e( k) e( k ), e( k ) ),5 ( k ) 0,5( k )

6 Im letzten Schritt kann nn die Berechnng des Zeitverhaltens erfolgen, indem die Werte beginnend bei k0 skzessive in die Differenzengleichng eingesetzt erden, obei nach Berechnng der neen Stellgröße (k) die aktellen nd vergangenen Ein nd Asgangsgrößen im Schieberegister m einen Schritt erschoben erden. Es ergibt sich dann die folgende Tabelle: k e(k) e(k) e(k) (k) (k) (k) , ,5 7,5 5 4,5 9,5 7,5 5,474,5 9,5 6 0,7875,474,5 5 Afgabe 6: Z betrachtender Regelkreis: R T s N T s N R s s Die einzelnen reise einer askadenregelng erden von innen nach aßen geschlossen, denn für den Entrf des nächstäßeren Regelkreises müssen alle im reis liegenden omponenten (nd damit ach alle inneren Regler) zahlenmäßig bekannt sein. Im Beispiel heißt dies, dass erst R des inneren reises berechnet oder gegeben sein mss, bevor der PI Regler des äßeren reises asgelegt erden kann. Deseiteren ist z beachten, dass die Regler von innen nach aßen langsamer asgelegt erden. Bevor mit der Regleraslegng begonnen erden kann, mss der innere reis zsammengefasst erden. Mit der gegebenen Reglerverstärkng R gilt: G () s R s R s R s R ks s T s s s cl Die für den Entrf nach symmetrischem Optimm benötigten Parameter der Regelstrecke können so direkt abgelesen erden. Es gilt (vgl. Skript S. 05): Streckenverstärkng: k S 4/ Streckezeitkonstante: T / Integrationszeitkonstante der Strecke: T 0 / (s. Integrator in Blockschaltbild)

7 Damit folgt für die Parameter des PIReglers gemäß symmetrischem Optimm: soie R k T N a T a S T0 a T 4 a 8 a Der freie Parameter a mss größer geählt erden, obei ein Wert von a ein sinnvoller Wert für gtes Störverhalten des reises ist, bei noch akzeptablem Überschingen des Führngsverhaltens. Damit folgt schließlich für die geschten Reglerparameter der äßeren Reglerkaskade: soie T N a 8 a R 8 6