Übungsskript Regelungstechnik 2

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1 Seite 1 von 11 Universität Ulm, Institut für Mess-, Regel- und Mikrotechnik Prof. Dr.-Ing. Klaus Dietmayer /

2 Seite 2 von 11 Aufgabe 1 : In dieser Aufgabe sollen zeitdiskrete Systeme untersucht werden. a) Das zeitkontinuierliche System [ 2 1 ẋ = 0 2 x + [ 0 1 u wird zu den Zeitpunkten t = k T abgetastet. Die Steuergröÿe u(t) sei in den Zeitintervallen der Länge T stückweise konstant. Geben Sie die zugehörige zeitdiskrete Systemdarstellung in der Form x[k + 1 = Φ x[k + H u[k an. Hinweis: Es gilt λ 1 e 0 λ t = e λt [ 1 t 0 1. b) Bestimmen Sie die Steuerbarkeitsmatrix des zeitdiskreten Systems aus Aufgabenteil a). Welcher Bedingung muss T genügen, damit dieses zeitdiskrete System steuerbar ist? c) Im Folgenden soll das das zeitdiskrete System [ 2 2 x[k + 1 = x[k [ 1 1 u[k betrachtet werden. Ist dieses System asymptotisch stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Entwerfen Sie für das System aus c) eine Zustandsrückführung u[k = k T x[k, so dass das geregelte System einen doppelten Eigenwert in Null besitzt. Nach wieviel Abtastschritten k hat dieses System nach einer Anfangsauslenkung x[0 den Endzustand x[k = 0 erreicht? Geben Sie die zugehörigen Zustandsvektoren x[k an.

3 Seite 3 von 11 Aufgabe 2 : Gegeben ist das folgende zeitdiskrete System in Zustandsraumdarstellung, x k+1 = Φ x k + H u k y k = C x k mit den Matrizen [ Φ = [ 1, H = 0 und C = [ 1 1. Es soll ein Zustandsregler der Form entworfen werden. u k = S w K x k a) Bestimmen Sie die Reglermatrix K durch Anwendung des Entwurfs auf endliche Einstellzeit. b) Wie muÿ dazu das Vorlter S gewählt werden, damit für das geregelte System im stationären Zustand y k = w k gilt? c) Entwerfen Sie für das System einen vollständigen Zustandsbeobachter durch Anwendung der modalen Entwurfsmethode. Verschieben Sie den betragsmäÿig gröÿten Eigenwert nach z 1 = 0. Als einzige Meÿgröÿe steht die Ausgangsgröÿe y k zur Verfügung.

4 Seite 4 von 11 Aufgabe 3 : Eigenschaften zeitdiskreter Systeme und vollständige modale Synthese Für ein System mit p = 2 Eingängen, n = 2 Zuständen und q = 1 Ausgängen soll ein Zustandsregler nach der Methode der vollständigen modalen Synthese entworfen werden. * a) Wie viele Freiheitsgrade ergeben sich beim Reglerentwurf für dieses System? Die Eigenschaften des folgenden zeitdiskreten MISO-Systems mit Φ = [ 1, 5 1, H = 1 1 [ 1 0, und c T = [ 1 0, 5 sollen untersucht und ein Zustandsregler nach der Methode der vollständigen modalen Synthese entworfen werden. * b) Untersuchen Sie das zeitdiskrete System auf asymptotische Stabilität, vollständige Steuerbarkeit und vollständige Beobachtbarkeit. Der Reglerentwurf nach der Methode der vollständigen modalen Synthese ergibt folgende von den frei wählbaren Parametern p 1 und p 2 abhängige Reglerverstärkungsmatrix K = [ 2 p1 28 p 1 p (2 p 1 +8 p 1 p 2 +5 p 2 1) 16 p p 1 p 2 4 (2 p 1 +8 p 1 p 2 +5 p 2 1) 14 p 1 52 p 1 p (2 p 1 +8 p 1 p 2 +5 p 2 1) p p 1 p 2 8 (2 p 1 +8 p 1 p 2 +5 p 2 1) * c) Welche Pollage ergibt sich für den geschlossenen Regelkreis für p 1 = 0 und p 2 = 1? * d) Wie ändert sich die Pollage des geschlossenen Regelkreises, wenn die Parameter zu p 1 = 1 und p 2 = 0 gewählt werden? * e) Wie muss p 1 in Abhängigkeit von p 2 gewählt werden, wenn die erste Zustandsgröÿe gemessen wird und die zweite nicht messbar ist, das System zudem nicht beobachtbar ist oder Sie keinen Beobachter entwerfen wollen?.

5 Seite 5 von 11 Aufgabe 4 : *a) Beschreiben Sie anschaulich die vollständige Steuerbarkeit eines zeitdiskreten Systems. Die Dynamik des im Folgenden betrachteten Systems ist über die Zustandsdierenzengleichung [ [ x k+1 = x 3 2 k + u 1 k beschrieben. *b) Ist das zeitdiskrete System vollständig steuerbar? *c) Entwerfen Sie eine Zustandsrückführung u k = k T x k, so dass das geregelte System einen doppelten Eigenwert in Null besitzt. d) Nach wie vielen Abtastschritten hat dieses System nach einer Anfangsauslenkung x 0 0 den Endzustand x k = 0 erreicht?

6 Seite 6 von 11 Aufgabe 5 : Ein nichtlineares System sei durch die folgende Zustandsraumdarstellung gegeben: x 1 = x 2 1 x 2 = x 1 x 2 3x x 1 * a) Berechnen Sie die Ruhelage x des Systems und transformieren Sie gegebenenfalls das System so, dass die Ruhelage z des transformierten Systems in 0 liegt. b) Untersuchen Sie mit den Stabilitätssätzen von Ljapunow und der Ljapunowfunktion V (x) = a x a x 2 2, a > 0, die asymptotische Stabilität des transformierten Systems. Geben Sie den maximalen Einzugsbereich B an. Zeichnen Sie diesen Bereich in der Zustandsebene ein. c) Überprüfen Sie die Stabilitätsaussage für die Ruhelage mit der Methode der ersten Näherung.

7 Seite 7 von 11 Aufgabe 6 : Gegeben sei das nichtlineare System ẋ = a(x) + b(x) u y = c(x) mit [ 2x1 a(x) = x 2 2 [ x1 + 1, b(x) = x 1 + 1, c(x) = x 1 x 2. * a) Bestimmen Sie die Dierenzordnung des Systems. b) Geben Sie die Direkte Systembeschreibung nach Freund an. c) Geben Sie das nichtlineare Regelgesetz an, welches das System linearisiert. Als Eigenwerte des geschlossenen Systems sollen s 1 = 1 und s 2 = 3 verwendet werden. * d) Wie lautet die Übertragungsfunktion des geregelten Systems? * e) Bestimmen Sie für das obige ungeregelte System einen nichtlinearen Beobachter. Legen Sie sämtliche Eigenwerte des Beobachters auf s = 2 fest.

8 Seite 8 von 11 Aufgabe 7 : Stabilität nichtlinearer zeitkontinuierlicher Systeme Das nichtlineare dynamische System ẋ 1 = x 1 + 2x 1 x 2 ẋ 2 = x 2 + x 3 ẋ 3 = x 2 4x 3 soll mittels der Direkten Methode nach Ljapunow auf asymptotische Stabilität untersucht werden. Dazu soll die Ljapunow-Funktion mittels des Verfahrens nach Aizerman bestimmt werden. * a) Bestimmen Sie sämtliche Ruhelagen x dieses Systems. * b) Untersuchen Sie die Ruhelagen für die Partitionierung x 1 2x ẋ = x x x mittels das Ansatzes nach Aizerman auf asymptotische Stabilität. c) Bestimmen Sie mittels des Ergebnisses von Teilaufgabe b) die Einzugsbereiche der asymptotisch stabilen Ruhelage. * d) Untersuchen Sie die Ruhelagen für die Partitionierung x 1 0 2x 1 0 ẋ = x x x mittels das Ansatzes nach Aizerman auf asymptotische Stabilität. e) Welcher Einzugsbereich der asymptotisch stabilen Ruhelage lässt sich aus dem Ergebnis der Teilaufgabe d) ermitteln? f) Interpretieren Sie die Resultate der Teilaufgaben c) und e) im Hinblick auf die Gröÿe des Einzugsbereichs der asymptotisch stabilen Ruhelage.

9 Seite 9 von 11 Aufgabe 8 : Reglerentwurf für nichtlineare zeitkontinuierliche Systeme Gegeben sei das nichtlineare dynamische System ẋ 1 = x 1 + x 2 ẋ 2 = 3x 2 1x 2 + x 1 + u mit der Ausgangsgleichung y = x 3 1. * a) Bestimmen Sie die Dierenzordnung des Systems. * b) Geben Sie die Direkte Systembeschreibung nach Freund an. c) Entwerfen Sie ein nichtlineares Regelgesetz, welches eine exakte Ein-/Ausgangslinearisierung für dieses System realisiert, so dass das geregelte System stationär genau ist. Legen Sie sämtliche Eigenwerte des linearisierten Systems auf den Wert λ = 1 fest. d) Erläutern Sie die Wirkungsweise der exakten Ein-/Ausgangslinearisierung in eigenen Worten an Hand des Resultats der vorhergehenden Teilaufgabe. * e) Welche Übertragungsfunktion besitzt der geschlossene Regelkreis mit obiger Zustandsrückführung? f) Bestimmen Sie aus der Zustandsraumdarstellung des geregelten Systems die stationären Zustand x (t ), wenn für die Führungsgröÿe w = 2 = const gilt.

10 Seite 10 von 11 Aufgabe 9 : * a) Für das lineare dynamische System ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 x 2 + u soll ein optimales Steuergesetz berechnet werden, welches das Gütekriterium J = 1 2 T 0 ( ) x 2 1 (t) + x 2 2 (t) + u 2 (t) dt mit der endlichen Vorgangsdauer T minimiert. Zur Lösung dieses Optimierungsproblems soll das Maximumprinzip von Pontrjagin verwendet werden. Geben Sie das zur Lösung des Optimierungsproblems benötigte System von kanonischen Gleichungen einschlieÿlich aller Randbedingungen an. Der Anfangszustand des Systems sei zu x(0) = [1 0 T sowie der Endzustand zu x(t ) = [0 0 T fest vorgegeben. Eine explizite Berechnung der Lösung ist nicht nötig. * b) Bestimmen Sie mittels des Maximumprinzips von Pontrjagin eine zeitoptimale Steuerung für das doppelt integrierende System ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = u mit u 1 und x(0) = [1 0 T sowie dem Endzustand x 1 (T ) = 0, x 2 (T ) = frei.

11 Seite 11 von 11 Aufgabe 10 : Optimale Steuerung und Regelung linearer Systeme Es werde nun das lineare System mit a 0 untersucht. ẋ 1 = ax 2 ẋ 2 = u * a) Berechnen Sie für u [ 1 ; 2 und a = 1 ein zeitoptimales Regelgesetz, welches den Anfangszustand x(0) = [1 1 T in kürzester Zeit in den Koordinatenursprung überführt. Geben sie zusätzlich die minimale Vorgangsdauer an. b) Skizzieren Sie die optimale Trajektorie aus der vorhergehenden Teilaufgabe. * c) Wie lauten die Gleichungen aller Zieltrajektorien, mit Hilfe derer Zustände unter Verwendung einer konstanten Steuerung in minimaler Zeit in den Koordinatenursprung überführt werden können? d) Skizzieren Sie die Zieltrajektorien in einem neuen Diagramm. Tragen Sie in dieses Diagramm zusätzlich das für die komplette Zustandsebene gültige zeitoptimale Steuergesetz ein. e) Nehmen Sie nun an, dass der Parameter a frei wählbar ist. Welchen Wert muss der Parameter a annehmen, dass der Anfangszustand x(0) = [1 1 T in minimaler Zeit ohne Umschaltung der Stellgröÿe in den Koordinatenursprung überführt werden kann? Vergleichen Sie die resultierende Vorgangsdauer mit der optimalen Lösung für a = 1.