Um den Frequenzgang zu erhalten, wird in der Übertragungsfunktion für die Laplace- Variable s der Ausdruck j ω eingesetzt, wobei ω [ 0; [

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1 . zur Voreung Regeungtechnk Frequenzgang, Ortkurve und Bode-Dagramm Vorbemerkung I: Frequenzgangortkurve De Frequenzgangortkurve t de grafche Darteung de Frequenzgang ene Sytem, wobe ch mt etzterem de Reakton de Sytem auf enen nuförmgen Engang charaktereren ät. Denn egt man an en beebge tabe Sytem ene Snuchwngung an, o antwortet da Sytem (nach Abkngen der Egenchwngungen) ebenfa mt ener gechfrequenten Snuchwngung, de aber ene andere Amptude aufwet und zum Enganggna phaenverchoben t. De Amptudenvertärkung von En- zu Auganggna und de Phaenverchebung werden durch den Betrag (Amptude) und den "Wnke" (Phae) de Frequenzgang be der entprechenden Frequenz bechreben. Aufgabe 8: Ortkurve a) Agemener Frequenzgang de PT-Ged: G ( PT k tat ) T + tatonäre Vertärkung: k (oft auch Symbo K oder etc.) tat k Nenner-Zetkontante: T e gt: ae "PTn-Geder" begnnen be k tat und enden m Urprung m (5 mnu n)-ten Quadranten PT-Ged äuft m 4.Quadranten n den Urprung (Verauf habkreförmg) der Wert von T ändert ncht am Auehen der Kurve, be Änderung von T gehören de enzenen Punkte der Kurve aber zu anderen Frequenzen Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann Um den Frequenzgang zu erhaten, wrd n der Übertragungfunkton für de Lapace- Varabe der Audruck j ω engeetzt, wobe ω [ ; [ gt, ehe Voreung. Werden nun für jede Frequenz von ω b ω de Amptude und de Phae der kompexen Frequenzgangfunkton ermttet und n de kompexe Ebene engetragen, erhät man de Ortkurve.

2 .5 Ortkurve PT-Ged. Quadrant. Quadrant Imagnärte k tat G PT - 3. Quadrant 4. Quadrant Reate b) Typche Ortkurven weterer (Standard-)Geder Ortkurve PT-Ged Ortkurve "PT3"-Ged Imagnärte - - k tat Imagnärte - - k tat Reate Reate Ortkurve I-Ged Ortkurve D-Ged 8 Imagnärte Imagnärte Reate Reate Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann

3 .5 Ortkurve Totzetged.5 Ortkurve P-Ged Imagnärte Imagnärte k p - k tat Reate Reate Vorbemerkung II: Agemene zur Zetkontantenform (ZK-Form) Be der ZK-Form wrd de Übertragungfunkton oder der Frequenzgang o dargetet, da de ZK de Sytem drekt abebar nd. De ZK denen a Maß für de "Schnegket" der Poe und Nuteen, de ncht m Urprung egen. (Mehr dazu n Voreung und päteren Übungen). a) Reee Poe und Nuteen: De ZK-Form tet ch für reee Poe und Nuteen agemen o dar: G( ) k ( ) m n ~ ( T ( T G( ) k ( ) m n ~ ( T ( T Poe m Urprung Nuteen m Urprung Erkärung der Varaben: T ~ T k m n - Zäher-ZK - Nenner-ZK - tatonäre Vertärkung - Anzah der Nuteen (geamt) - Anzah der Poe (geamt) - Anzah der Poe oder Nuteen m Urprung Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann

4 b) Kompex konjugerte Poe und Nuteen: Für kompex konjugerte Popaare und Nuteenpaare würden ch gemäß obger Darteung auch kompex-konjugerte ZK ergeben. Dehab mutpzert man für kompex-konjugerte Paare de Kammern au. Für en kompex-konjugerte Popaar erhät man dann n der ZK-Form antatt T ( T ) den Term (, kk, kk + T ( ) + dt +, wobe d da Lehrche Dämpfungmaß (oder kurz de Dämpfung) und T de Zetkontante de Popaar bezechnen. Be der weter unten bechrebenen Approxmaton de Bode-Dagramm können kompex konjugerte Popaare we Doppepoe mt T T T behandet werden, für Nuteenpaare gt Anaoge. Aerdng ote m Hnterkopf behaten werden, da e für d << hohe Reonanzüberhöhungen n der Nähe der Eckfrequenz geben kann. Im Po-Nuteen-Bd aen ch de Zetkontanten we fogt darteen: Kompex konjugerte Popaar: reee Poe: Im Im /T ϕ d mt ω Eck / T und d co( ϕ d ) Re / T / T Re Vorbemerkung III: Agemene zum Bode-Dagramm Da Bode-Dagramm t ene aternatve Darteungform de Frequenzgang ene Sytem. Im Gegenatz zur Ortkurve werden her Amptude und Phae n zwe getrennten Tedagrammen über der Frequenz engezechnet, man prcht von Betragkennne (bzw. Amptudengang) und Phaenkennne (bzw. Phaengang). Dadurch aen ch de Amptuden- und Phaenwerte auch expzt für enzene Frequenzen abeen. Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann

5 Da m Bode-Dagramm de Frequenz- und Amptudenachen ogarthmch kaert nd, ät e ch recht enfach durch genge Aymptoten approxmeren. En weterer Vorte der ogarthmchen Skaerung t, da ch n Sere gechatete Syteme (deren Geamtübertragungfunkton ch durch Mutpkaton der Teübertragungfunktonen ergbt) m Bode-Dagramm bzg. Amptude und Phae enfach adderen aen. Bp.: 5 G ( ) P I PT Für kompexere Syteme wrd ene Superpoton der Teyteme chne unüberchtch, n dem Fa empfeht ch en ytematche Kontruktonvorgehen we n Aufgabe 9, be dem man ch "von Eckfrequenz zu Eckfrequenz hanget". Aufgabe 9: Bode-Dagramm ene PT-Ged Zetkontantenform: G ( ) PT-Ged mt ( + k und T tat Eckfrequenz: / T /. ω Eck Approxmaton de Bode-Dagramm ene PT-Ged: Der Amptudengang tartet (waagrecht) be k und knckt be ω mt db / Dekade nach unten ab. (Anmerkung: Der tatächche Amptudenwert be der Eckfrequenz egt bem PT-Ged mmer ca. 3 db unter dem Startwert.) Der Phaengang (Fenverauf) tartet be, begnnt ene Dekade vor mt 45 / Dekade zu faen und errecht ene Dekade nach enen Endwert -9. tat ω Eck Eck ω Eck Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann Im obgen Bepe ät ch da Sytem G() n en P-Ged, en I-Ged und en PT- Ged (etztere beden mt k tat ) aufpaten. De Amptuden- und Phaengänge deer Standard-Eemente nd enfach zu zechnen und müen nur addert werden, um da Bode-Dagramm von G ( ) zu erhaten. Da Bode-Dagramm ene PT-Ged wrd n der fogenden Aufgabe 9 behandet.

6 ( k ) db Eckge Approxmaton Reatcher Verauf ω Eck /T Grobe Approxmaton Fene Approxmaton Aufgabe a: Bode-Dagramm - Sytematche Kontrukton (. Ü-Bebatt!) + 5 ( + 5) Geg.: G ( ) + + ( + ) ZK-Form m Frequenzberech: Reevant für Startwert nd nur k tat.5 und (, da ene Nutee m Urprung,. Ü-Bebatt ) G ( ) ( + 5) ( + ) 5 (. (..5 (. (. Eckfrequenzen: ~ ~ ω / T /. 5 (Nutee) ω ω / T /. (doppeter Po) / Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann

7 Startwert Amptudengang: kente Frequenz m Dagramm t ω mn. e extert Nutee m Urprung (. A( ω. ) G( ).5 ω. (. k tat ω ω..5 {. { og(.5) db 6 db k ω tat mn ω. k tat ω. Anmerkung zur Berechnung de Startwert: Für de Berechnung de Startwert nd nur de tatonäre Vertärkung und de Poe oder Nuteen m Urprung reevant, da ae anderen Poe und Nuteen ert m Berech hrer Eckfrequenzen merkch an Enfu gewnnen. A Frequenz wrd enfach de kente m Bode-Dagramm engezechnete Frequenz verwendet, weche ja zum Startwert gehört. Für en agemene Sytem m ~ ( T G( ) k ergbt ch: n ( ) ( T k A( ω > mn ) og ( k ) A( ωmn ) og ω mn Für en agemene Sytem m ~ ( T G( ) k ( ) ergbt ch: n ( T mn k ( ) A( ω ) og ( k ) > A( ω ) og ω mn mn Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann

8 3 / Aufgabe b: Aueen de Bode-Dagramm Engang: u( t) 5 n(3 t + π / 4) Anregungfrequenz t ω 3 Augang: t Snugna mt gecher Frequenz, aber anderer Amptude und Phae, e gt: y( t) A 5 n(3 t + π / 4 + φ) De Amptudenvertärkung A ( ω) G( ) und de Phaenverchebung φ G( ) können be ω 3 drekt au dem Bode-Dagramm heraugeeen werden! ehe orange Lne und Schnttpunkte mt approxmertem Verauf m Bd Ergebn: A 4dB 4 /. 6 φ 8 b π / y( t).6 5 n(3 t + π / 4 π / ) 8 n(3 t + π / 5) Technche Unvertät München Lehrtuh für Regeungtechnk Regeungtechnk Prof. Dr.-Ing. hab. B. Lohmann