Kapitel 3: Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie Gliederung

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1 Gliederung 1. Berechenbarkeitstheorie 2. Grundlagen 3. Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie 4. Die Komplexitätsklassen P und NP 5. Die Komplexitätsklassen RP und BPP 3.1. Ressourcenkompression 3.2. Hierarchiesätze 3.3. Nichtdeterministische Komplexitätsklassen 3.4. Beziehungen zur Theorie der formaler Sprachen 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

2 Bestimmungsstücke einer Chomsky-Grammatik ein endliches Alphabet Σ von Symbolen (/* Terminalsymbole */) ein endliche Menge V von Variablen (/* Hilfssymbole */) ein ausgezeichnetes Startsymbol S V eine endliche Menge von Regeln (/* Produktionen */); d.h. Regeln der Art l r mit l (Σ V)* \ { ε } und r (Σ V)* 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

3 Beispiel umgangssprachliche Beschreibung der interessierenden Sprache L: L = { w w ist Binärdarstellung einer durch 4 teilbaren Zahl } L enthält nur Zeichenketten, die die Symbole 0 und 1 enthalten jede Zeichenkette w L mit w 0 hat den Präfix 1 jede Zeichenkette w L hat den Suffix 00 Chomsky-Grammatik G = [Σ,V,S,R] für L Σ = { 0,1 } V = { S,A,B } S S 1A 0 A 1A 0A 00 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

4 Beispiel umgangssprachliche Beschreibung der interessierenden Sprache L: L = { 01,0011,000111, } = { 0 n 1 n n 1 } Chomsky-Grammatik G = [Σ,V,S,R] für L Σ = { 0,1 } V = { S } S S 0S1 S 01 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

5 Beispiel umgangssprachliche Beschreibung der interessierenden Sprache L: L = { 010,001100, , } = { 0 n 1 n 0 n n 1 } Chomsky-Grammatik G = [Σ,V,S,R] für L Σ = { 0,1 } V = { S,A,H } S S 010 S 0A10 A 01H A 0A1H H1 1H H0 00 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

6 Zentraler Hilfsbegriff es sei G = [Σ,V,S,R] eine Grammatik es seien u, v (Σ V)* v ist einem Schritt mit den Regel von G aus u ableitbar (/* Bez.: u G v */), wenn es Zeichenketten x,y (Σ V)* und eine Regel l r R gibt, so daß gilt: u = x l y v = x r y v ist in endlich vielen Schritten mit den Regel von G aus u ableitbar (/* Bez.: u G* v */), wenn es ein n N und Zeichenketten u 0,u 1,,u n (Σ V)* gibt, so daß gilt: u 0 = u, u n = v u 0 G u 1 G G u n 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

7 Zentraler Begriff es sei G = [Σ,V,S,R] eine Grammatik es sei w Σ* w gehört zur Sprache L(G) gdw. sich w in endlichen vielen Schritten aus dem Startsymbol S ableiten läßt, d.h. es gilt: S G* w. 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

8 kontextsensitive Grammatiken/Sprachen Einschränkung an die verwendbaren Regeln, um sicherzustellen, daß die mit Hilfe von Chomsky-Grammatiken definierten Sprachen garantiert entscheidbar sind es sei G = [Σ,V,S,R] eine Grammatik G heißt kontextsensitive Grammatik, falls für alle Regeln l r von G gilt: länge(l) länge(r) (/* d.h. die Regel l r ist nicht verkürzend */) Eine Sprache L heißt kontextsensitive Sprache, falls es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L gibt. 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

9 kontextfreie Grammatiken/Sprachen es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextsensitive Grammatik G heißt kontextfreie Grammatik, falls für alle Regeln l r von G gilt: l V (/* d.h. die linke Seite der Regel ist eine Variable */) Eine Sprache L heißt kontextfreie Sprache, falls es eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L gibt. 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

10 reguläre Grammatiken/Sprachen es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextfreie Grammatik G heißt reguläre Grammatik, falls für alle Regeln l r von G gilt: r = w oder r = wa mit w Σ* \ { ε } und A V (/* die rechte Seite ist eine Wort aus Konstanten, ggf. gefolgt von einer Variablen */) Eine Sprache L heißt reguläre Sprache, falls es eine reguläre Grammatik G mit L(G) = L gibt. 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

11 Bekannte Zusammenhänge alle mit Chomsky-Grammatiken beschreibbaren Sprachen reguläre Grammatiken/Sprachen kontextfreie Grammatiken/Sprachen kontextfreie Sprachen kontextsensitive Sprachen reguläre Sprachen 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

12 Beziehungen zwischen Klassen formaler Sprachen und Komplexitätsklassen Reguläre Sprachen es sei REG die Menge aller regulären Sprachen über dem Alphabet Σ = { 0,1 } REG DSPACE(s(n)) mit s(n) = 1 für alle n N. REG DTIME(t(n)) mit t(n) = n für alle n N. eine Sprache L ist regulär gdw. es gibt einen endlichen deterministischen Automaten A mit L(A) es gilt L REG und L DTIME(t(n)) mit t(n) = n für alle n N für die Sprache L = { 0 n 1 n n 1 } endliche deterministische Automaten sind spezielle offline-akzeptor-turing-maschinen 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

13 Beziehungen zwischen Klassen formaler Sprachen und Komplexitätsklassen Kontextfreie Sprachen es sei KF die Menge aller kontextfreien Sprachen über dem Alphabet Σ = { 0,1 } KF P. mit Hilfe des Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus kann man zeigen, daß man jede Sprache L KF in Zeit O(n 3 ) entscheiden kann es gilt L KF und L DTIME(t(n)) mit t(n) = n für alle n N für die Sprache L = { 0 n 1 n 0 n n 1 } 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

14 Beziehungen zwischen Klassen formaler Sprachen und Komplexitätsklassen Kontextsensitive Sprachen es sei KS die Menge aller kontextsensitiven Sprachen über dem Alphabet Σ = { 0,1 } KS = NSPACE(s(n)) mit s(n) = n für alle n N. um zu zeigen, daß KS NSPACE(s(n)) mit s(n) = n für alle n N gilt, benutzt man, daß kontexsensitive Grammatiken keine verkürzenden Regeln haben (/* siehe Beweisidee + Beispiel */) es ist ein wenig anspruchsvoller, die umgekehrte Richtung zu zeigen es ist ein zentrales offenes Problem, ob KS DSPACE(s(n)) mit s(n) = n für alle n N gilt 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

15 Beziehungen zwischen Klassen formaler Sprachen und Komplexitätsklassen Beweisidee es sei L Σ* eine kontextsensitive Sprache es seien (l 1,r 1 ),, (l n,r n ) die Regeln einer kontextsensitiven Grammatik G mit L(G) = L bei Eingabe w Σ* arbeitet eine nichtdeterministische 1-Band- Akzeptor-Turing-Maschine M mit L(M) = L wie folgt: 1) M wählt eine Regel (l k,r k ) aus 2) M sucht auf dem Band ein Vorkommen von r k falls die Suche erfolgreich war, so ersetzt M das Vorkommen von r k durch l k und beseitigt die Lücken falls die Suche nicht erfolgreich war, geht M in den verwerfenden Endzustand 3) falls auf dem Band nur noch das Startsymbol S steht, so geht M in den akzeptierenden Zustand; andernfalls geht M zu 1) 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

16 Beziehungen zwischen Klassen formaler Sprachen und Komplexitätsklassen Illustration (/* Arbeitsweise von M */) L = { 0 n 1 n 0 n n 1 } S 010 S 0A10 A 01H A 0A1H H1 1H H0 00 w = B B B B B H 0 B B H 0 B B H 1 0 B B H 1 0 B B 0 A 1 0 B B 0 A 1 0 B B B B S B B B B S B B B B B B 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

17 Beziehungen zwischen Klassen formaler Sprachen und Komplexitätsklassen Beweisidee (cont.) falls w L, so gibt ein n N und Zeichenketten u 0,u 1,,u n (Σ V)*, so daß gilt: u 0 = S, u n = w u 0 G u 1 G G u n offenbar gibt es eine mögliche Berechnung von M, bei der nacheinander die Zeichenketten u n,u n-1,,u 0 auf dem Band stehen da die kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L nur Regeln l k r k enthält, für die länge(l k ) länge(r k ) gilt, gilt: länge(u n ) länge(u n-1 ) länge(u 0 ) also besucht M bei Eingabe w höchstens O(länge(w)) viele Zellen (/* das gilt natürlich auch, wenn w L gilt */) 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

18 Beziehungen zwischen Klassen formaler Sprachen und Komplexitätsklassen Ergänzung es seien L Σ* und co(l) = Σ* \ L Wenn L KS, so gilt co(l) KS. es sei s(n) = n für alle n N wegen L NSPACE(s(n)) folgt auch co(l) NSPACE(s(n)) und damit co(l) KS 3/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie

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