Aufgabentypen: Spickerblatt: kontextfrei (Typ 2): zusätzlich: u ist eine!"# v 1

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1 Info4 Stoff Aufgabentypen: Grammatik CH einordnen NFA DFA Grammatik Chomsky-NF CYK-Algorithmus: Tabelle / Ableitungsbäume Grammatik streng kf. Grammatik Grammatik Pumping Lemma Beweis, dass Gr. nicht reg, bzw. kf. NFA reg. Ausdruck (KSE-Regeln Sprache Turingmaschine zeige, dass eine Funktion pr. rek. Diagonalisierung Entscheidbarkeit Sortierverfahren Laufzeitbestimmung Induktionsbeweis, dass Sortierung korrekt Heap-Sortierung (schrittweise mit unsortiertem Binärbaum AVL-Baum aufbauen (mit Rotationen Spickerblatt: Grammatik G = (V Variablen, Terminalalphabet V Ø, P Produktionen, S Startvariable V kontextsensitiv (Typ 1: für alle Regeln u v gilt u v. kontextfrei (Typ 2: zusätzlich: u ist eine!"# v 1 regulär (Typ 3: Bei allen 3 Typen ist jedoch die Produktion zusätzlich: v ist entweder ein einzelnes Terminalzeichen, oder ein Terminalzeichen gefolgt von einer einzelnen Variablen. S ε BNF: zur Beschreibung von Typ 2 Grammatiken. $&%('+,-/. -Sonderregelung. Regeln: statt A A b schreibt man A a b statt A ac, A abc schreibt man A a[ b]c A a{ b}c b kann beliebig oft vorkommen. Bei kontextfreien Sprachen sind die Ableitungsgraphen immer Bäume. eindeutige, kontextfreie Grammatik: für jedes Wort w L(G gibt es genau eine Linksableitung. Sonst mehrdeutig! streng kf.: Produktion

2 u DFA M (für CH3 = (Z Zustände, 7 Eingabealphabet, z Startzustand, E Z Endzustände, 8 Übergangsfunktionen NFA kann mehrere Startzustände haben. Umwandlung zu DFA immer möglich (MyHill! Zu jedem DFA M reguläre Grammatik G mit L(G = L(M. regulärer Ausdruck: Beispiel: Alle Worte, die 11 enthalten. {( 1 11( 1 } Umwandlung DFA 9 reg. Ausdruck: - neuen Start- :;<>=?;@< A&:CBED(F;<HGJIKDML -Übergängen - Regel K: - Regel S: - Regel E: Ist die Sprache Pumping Lemma: L Σ durch einen regulären Ausdruck beschreibbar L regulär. zeigen, dass eine Sprache L nicht regulär ist. -> uvw-theorem: n = Pumpingzahl, ε L(G ε L(G x n, x =uvw, v 1, uv n, uv i w L zeigen, dass eine Sprache L nicht kontextfrei ist: uvwxy-theorem: i i x n, vx 1, vwx n, uv wx y L ; i Abgeschlossenheit: Die Menge L von Sprachen ist abgeschlossen unter der Operation, falls gilt: L, L L L v L2 L. zu jeder kontextfreien Grammatik G mit die ε -frei ist. ( äquivalent: L(G = L(G gibt es eine äquivalente Grammatik G, Chomsky-Normalform (CNF: Alle ε -Produktionen und alle Zyklen müssen weg! Am Schluss dürfen nur noch Produktionen der Form AN OQPSRTU&VXWZY [6\+]^`_bac^\de\fhg Ableitungsbäume einer kontextfreien Grammatik in CNF sind immer Binärbäume, also kann ein Wort der Länge n in genau 2n-1 Schritten abgeleitet werden! zu jeder kontextfreien Grammatik G mit CYK-Algorithmus: gibt es eine äquivalente Gr. G in CNF. kein exponentieller Aufwand mehr, sondern O(n 3. Verfahren: zuerst umformen in CNF. Um zu prüfen, ob Wort x in L i Kellerautomat M (für CH2 = (Z Zustände, r z Startzustand, jlk+monpqpn Eingabealphabet, Γ Kelleralphabetst Übergangsfunktionen, # Γ Kellerbodenzeichen. Übergang z.b. δ z, # ( z, A#,( z, # ( 1 A bei deterministischem KA zusätzlich E Z Endzustände Z, außerdem mus gelten: z Z, a Σ, A Γ : δ ( z, A + δ ( z, ε, A 1

3 deterministisch: Automat hat zu jedem Zeitpunkt höchstens eine Alternative! eine kontextfreie Grammatik G heißt deterministisch kontextfrei, falls es einen deterministischen KA M gibt mit L(G = L(M. Ch2-Grammaktik G=(V, Σ, P, S w xyz{} (~ &ƒ ˆ Š +Œo &Ž Σ, V Σ, δ, z, S : - Für jede Regel aus P: δ ( z, ε, S ( z, a - zusätzlich für alle a Σ : δ ( z, a ( z, ε nichtdet. KA M = (Z, Σ, Γ, δ, z, # -Grammatik G=(V, Σ, P, S : - V := { S } Z Γ Z - S, #, z] für alle z Z - [z, A, z ] š für alle δ ( z, A ( z', ε - [z, A, y] œ žÿ für alle δ ( z, A ( z', B und alle y Z - [z, A, y ] œ žÿ, B, y][y, C, y ] für alle δ ( z, A ( z', BC und alle y, y' Z LR(k-Grammatik: Eine kontextfreie Grammatik ist eine LR(k-Grammatik, wenn man durch Lookaheads der Länge k erreichen kann, dass bei einer Reduktion von Links nach rechts in jedem Schritt genau eine Regel anwendbar ist. Jede kontextfreie Sprache, für die es eine LR(k-Grammatik gibt, ist det. k-frei., Turingmaschine (für CH1 und CH = (Z Zustände, Eingabealphabet, Γ Bandalphabet, Übergangsfunktionen, z Startzustand, Γ \ Σ Leerzeichen, E Z Endzustände. Übergang δ ( z, a δ ( z', b, x ; d.h. wenn sich M im Zustand z befindet und unter dem Schreib-/Lesekopf das Zeichen a steht Übergang zu z, schreibe anstatt des a s das Zeichen b und bewege den Schreib-/Lesekopf in Richtung x (R, oder L Konfiguration: ( ª@«+ª : liegt auf dem Band, Maschine befindet sich im Zustand z, Schreib-/Lesekopf auf erstem Zeichen von. ( α, β Γ Startkonfiguration einer Turingmaschine bei Eingabe x : ε, x, z. linear beschränkte Turingmaschine: Sie darf nur Positionen beschreiben, an denen zu Beginn die Eingabe x stand. ( Die von Turingmschinen akzeptierten Sprachen sind vom Typ CH. Die von linear beschränkten Turingmaschinen akzeptierten Sprachen sind vom Typ CH1.

4 Abschlusseigenschaften: Typ Schnitt Vereinigung Komplement Produkt Stern CH3 det kf / / / / Entscheidbarkeit: CH2 / / CH1 CH / Typ Wortproblem Leerheitsproblem Äquivalenzproblem Schnittproblem ist Wort x in L(G? ist L(G=Ø? L(G 1 =L(G 2? L(G 1 ±³²µ 2? CH3 det kf / CH2 / / CH1 / / / CH / / / / Turing-Berechenbarkeit: Es gibt eine Turingmaschine, die für alle Eingaben bin(n 1 #bin(n 2 #...#bin(n k nach endlich vielen Schritten mit bin(f(n 1,..., n k auf dem Band stoppt. Jede k-band Turingmaschine kann man durch eine 1-Band Turingmaschine simulieren. Loop-Programme: x i :=c, x i :=x j +c, x i :=x j -c (=, falls c>x j sind Loop-Programme. Beispiel: IF x= THEN A END y :=1; nicht Loop-berechenbar: Ackermann-Funktion LOOP x DO y:= END; LOOP y DO A Ist eine Funktion While- oder Goto-berechenbar, so ist sie auch Turing-berechenbar. Klasse der primitiv-rekursiven Funktionen (entspr. Loop: - alle konstanten Funktionen - Nachfolgefunktion s(n = n+1 - Projektionen f(n 1,..., n k =n j für alle j {1,..., k}. Bsp.: p 3 ( ad( x, y, x, - Komposition: Sei f, g pr.rek., so ist auch f(g(n pr.rek. n N 1 y

5  - Funktion, die aus pr. rek. Funktionen entsteht. Sei F : N k N und g, h pr.rek, dann F(n, x 2,..., x k = Bsp.: mult (x,y = g( x 2,... x k h( F( n 1, x 2,..., x k, n 1, x 2,..., x add( mult( x 1, y, y, sonst k, falls x =, falls n =, sonst º¹» ¼ ¼e½6¾½& À -rekursiven Funktionen (entspr. While, Goto: zusätzlich À -Operator. Sei f Á : N k N, dann ( x 1,..., x k min{ n N f ( n, x1,... xk = } ( undefiniert, falls f ( m, x1,..., xk def. m n, sonst Menge A Σ heißt entscheidbar, wenn: semi-entscheidbar, wenn: ℵ A (w entspr. = 1, w A, w A charakteristische Fkt. ℵ A (w für alle = 1, w, Σ w A undefinier t, w A semi-charakteristische Fkt. Eine Sprache A Σ ist genau dann entscheidbar, wenn sowohl A als auch A Σ \ A semientscheidbar sind. rekursiv aufzählbar: Für die Sprache A Σ gibt es eine berechenbare Fkt. f : N Σ, so dass A={f(, f(1, f(2,...}. Genau dann ist die Sprache auch semi-entscheidbar! spezielles Halteproblem: Sprache H S ={w {,1} M w angesetzt auf w hält} allg. Halteproblem: Sprache H={w#x {,1} M w angesetzt auf x hält}; # = Trennzeichen Halteprobleme sind nicht entscheidbar! Reduzierbarkeit: Sei A Σ und B Γ. A heißt reduzierbar auf B (in Zeichen AÃÄ, falls eine totale, berechenbare Fkt f: Σ Γ existiert. Mit: x Σ : x A f ( x B Heap und AVL-Bäume sind binäre Suchbäume. Heap: - alle inneren Knoten bis auf max. einen haben genau zwei Kinder - alle Nachfolger haben höchstens gleich großen Schlüssel - Knoten mit weniger als 2 Kindern befinden sich auf Level größer Tiefe - Baum unten von links nach rechts aufgefüllt Sortierverfahren mit Heap: - beginne auf unterster Ebene.

6 - falls Kind(er größer Knoten, vertausche (größeres Kind mit Knoten - evtl. Wurzel weiter absenken (auch durch vertauschen eine Ebene nach oben AVL-Baum: Höhe des lub und rub unterscheiden sich höchstens um eins. Rechts-/Linksrotation: Einfachrotation: Doppelrotation: evtl. Def. von (b-bäumen & Hashing (wenn noch Platz ist