Billard auf polygonförmigen Tischen
|
|
- Dennis Messner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Billard auf polygonförmigen Tischen Myriam Freidinger 1 Der Fagnano Billardstrahl im Dreieck Lemma 1. Sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck und P,Q und R die Basispunkte der Höhen von A,B und C, dann beschreibt das Dreieck PQR eine 3-periodische Billardbahn. Beweis. Sei M der Schnittpunkt der Höhen. Das Viereck BPMR hat bei R und P einen rechten Winkel, besitzt also nach der Umkehrung des Satz des Thales einen Umkreis. Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich, also gilt α = β. Analoge Überlegungen mit dem Viereck PCQM liefern γ = δ. β und δ ergänzen jeweils den Winkel η zu 90, also gilt β = δ. Bemerkung 1. Jede n-periodische Bahn gehört zu einer Familie von parallelen periodischen Bahnen mit gleicher Periode und Länge, falls n gerade ist. doppelter Periode und Länge, falls n ungerade ist. 1
2 Bemerkung 2. In jedem rechtwinkligen Dreieck gibt es eine 6-periodische Bahn. 2 Der Billardtisch von Galperin Definition 1. Ein Polygon heißt rational, falls alle Innenwinkel Q-Vielfache von π sind. Satz 2. Für jedes n 4 gibt es ein rationales Polygon P mit einer Billardbahn, die weder periodisch noch dicht in P ist. Beweis. Betrachte den folgenden zentralsymmetrischen Billardtisch mit: α = π 12 und β = π 6 Die Orthogonale bei A auf die Seite AC ist die Winkelhalbierende des Winkels BAC. Die Orthogonale bei B auf die Seite BC ist die Winkelhalbierende der Winkels ABC B C A = 3π 4 Parallele Strahlen zu BA sind nach zwei Reflektionen wieder parallel zu BA. Insbesondere treffen solche Strahlen nie die Seiten BA oder A B 2
3 Betrachte die Projektion p(x i ) der Reflektionspunkte x i, i Z an den Seiten AC und C B einer Billardbahn mit vertikaler Richtung auf die x-achse. Es gilt: p(x i+1 ) = p(x i ) + b, falls 0 < p(x i ) < a und p(x i+1 ) = p(x i ) a, falls a < p(x i ) < a + b. Also p(x i+1 ) = p(x i ) + b mod (a + b). Da b a+b / Q (nachrechnen!), ist die Bahn nicht periodisch. Die Seiten BA und A B werden nicht getroffen und können durch Polygonzüge ersetzt werden, ohne dass sich die vertikale Billardbahn ändert. Der neue Bereich des Polygons wird von der Bahn nie erreicht. Zum Beispiel kann ein Parallelogramm mit spitzem Winkel π 4 durch Verlängerung der Seiten AC, BC, CA und C B erzeugt werden. 3 Rationale Polygone in der Ebene Eine Billardbahn einem rationalen Polygon P kann nur endlich viele Richtungen annehmen. Definition 2. Sei P ein rationales Polygon. Betrachte zu jeder Kante x von P die Ursprungsgerade, die parallel zu x ist. G(P ) ist definiert als die Gruppe der linearen Isometrien, die von den Spiegelungen S x an diesen Geraden erzeugt wird. Satz 3. G(P ) ist eine Diedergruppe. Beweis. S α bezeichne die Spiegelung an der Ursprungsgerade mit Winkel α zur Horizontalen, R β die Rotation um den Ursprung um 2β gegen den Uhrzeigersinn. Die Innenwinkel von P seien α i = πmi mit ggt(m i, ) = 1 für i = 1,..., k, o.b.d.a. sei eine der Seiten von P horizontal. G(P ) = S α1, S α1+α 2,..., S α1+...+α k Erinnerung: (i) S α S β = R α β (iii) R α S β = S α+β (ii) S α R β = S α β (iv) R α R β = R α+β (i) R αi G(P ) ggt(m i,)=1 R π G(P ) Sei ñ = p i = p j n j mit ggt(p i, p j ) = 1), also 1 = rp i + sp j mit r, s Z (R π/ni ) r (R π/nj ) s = R π/ñ G(P ) R π/ G(P ) für = kgv(n 1,..., n k ) (ii) S α1+...+α k R α1... R αk 1 = S αk G(P ) S miπ/ = S xπ/, S xπ/ R (x 1)π/ (ii) = S π/ G(P ) (iii) S kπ/ G(P ) Dass G(P ) von den S kπ/ G(P ) erzeugt wird, folgt wiederum aus (i) und (iii). Damit ist G(P ) die Diedergruppe D d.h. die Symmetriegruppe des regulären -Ecks, bestehend aus Spiegelungen und Drehungen. Bemerkung 3. Wird ein Strahl mit Richtung θ an der Kante x reflektiert, so hat er anschließend die Richtung S x (θ). Die Gruppe G(P ) operiert folglich auf den Richtungen eines jeden Billardstrahls in P. 3
4 4 ZK-Konstruktion Idee: Spiegle das Polygon anstatt der Richtung des Billardstrahls. Sei P wieder ein rationales Polygon mit Winkeln mi π, ggt(m i, ) = 1 und := kgv( ). Betrachte eine generische Richtung θ kπ, d.h. eine Richtung mit maximaler Bahnlänge 2 unter der Operation von G(P ). Erinnerung: Phasenraum X := P S 1 / Billardfluss Φ : (R, +) X X Definition 3. M θ := {(x, v) X g G(P ) : g(v) = e i θ} M θ ist invariant unter Φ M θ kann durch Verkleben von 2 Kopien von P erzeugt werden. Beispiel 1. Betrachte das rechtwinklige Dreieck mit Winkel π 8 : Zum Beispiel kann θ als π/7 gewählt werden. = kgv(8, 2) = 8. M θ ist orientierbar, also gilt nach Vortrag 2 χ = 2 2g, wobei χ die Euler-Charakteristik und g das Geschlecht von M θ bezeichnet. χ ist unabhängig von der konkreten Zellstruktur, also können die inneren Kanten und der innere Punkt für die Berechnung entfernt werden. χ = E K + F = = 2 g = 2 Die Translationsfläche M θ hat einen singulären Punkt. Dort werden 8 Segmente mit Winkel 3 4 π verklebt, die Singularität hat damit Vielfachheit Allgemeine Konstruktion: Seien weiter θ 1,..., θ 2 1 die 2 1 Richtungen auf die θ kπ P 0 := P unter G(P ) abgebildet wird. θ i = g(θ) mit g G(P ) P i := g(p ) Falls g eine Drehung ist hat P i damit die gleiche, andernfalls die entgegengesetzte Orientierung wie P. Verklebung: Ergibt die Reflektion von θ i an einer Seite von P den Winkel θ j, so wird diese Seite von P i mit der gleichen Seite von P j verklebt. Translationsfläche M θ. Bemerkung 4. M := M θ ist für θ kπ unabhängig von θ. 4
5 4.2 Verhalten von M an den Ecken der Polygone: Sei V eine Ecke von P mit Innenwinkel mπ/n, G sei die Gruppe, die von den Spiegelungen an den zu V inzidenten Kanten erzeugt wird. An V werden G = 2n Kopien von P verklebt, was einen Winkel von 2πm ergibt. Da M aus 2 Polygonen verklebt wird, entstehen M insgesamt /n solche Singularitäten der Vielfachheit m aus V. Satz 4. M θ ist für θ kπ mit C Kartenwechseln). homöomorph zu einer topologischen Fläche mit glatter Struktur (d.h. Beweis. Wähle die Karten für das innere der Polygone und die Seiten der Polygone wie durch die Konstruktiompliziert (mit Translationen als Kartenwechsel). An einer Ecke A, die aus einer Ecke von P mit Winkel π m n entstandest, kann eine Umgebung U A von A als disjunkte Vereinigung von 2n Sektoren R k = {z C : z < ɛ, (k 1)m n π arg z km n π} gesehen werden. Definiere die Karte um A als Φ UA : U A C, z m z Die Kartenwechsel mit Φ UA sind glatt, da A von keiner anderen Karte überdeckt wird. Bemerkung 5. Für θ = kπ/ wird M θ zu einer, möglicherweise nicht orientierbaren, topologischen Fläche mit Rand. Beispielsweise wird aus einem gleichseitigen Dreieck mit Richtung θ = 0 ein Möbiusband. Satz 5. Sei P ein k-seitiges rationales Polygon wie oben definiert, dann gilt für das Geschlecht der zugehörigen Translationsfläche M: g = (k 2 i=1 Beweis. Zu jeder Ecke V von P mit Winkel mi π, gehören / Ecken M. Die Gesamtanzahl der Eckest somit k i=1 1/. Außerdem enthält M k Kanten und 2 Facetten. χ(m) = Da M orientierbar ist, gilt χ(m) = 2 2g. 1 ) k 1/ k + 2 i=1 Lemma 6. Für ein Polygon mit Winkeln π/ gibt es für die bis auf Permutation nur folgende Möglichkeiten: (3, 3, 3) (2, 4, 4) (2, 3, 6) (2, 2, 2, 2) Die zugehörige Translationsfläche M ist in jedem Fall ein Torus. Beweis. k i=1 π/ = (k 2)π es gibt nur die vier oben genannten Möglichkeiten. Aus Satz 5 folgt g = 1 + /2(k 2 (k 2)) = 1. Bemerkung 6. Alle obigen Polygone kacheln die Ebene. 5
Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich
Mehr1 Angeordnete Körper und Anordnung
1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG 1 1 Angeordnete Körper und Anordnung Die nächste Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie nicht über jeden Körper möglich ist.
MehrIntervallaustauschtransformationen, Flüsse und das Lemma von Masur
Intervallaustauschtransformationen, Flüsse und das Lemma von Masur Gregor Bethlen 1 Intervallaustauschtransformationen Stets sei in diesem Abschnitt I := [a, b] ein Intervall und a = a 0 < a 1
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.22 2017/05/15 15:10:33 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit
MehrGeometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie
Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,
MehrKonvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? Haus der Vierecke. Dr.
Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 40 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? 2 / 40 Wir betrachten nur
Mehr1. Elementare Dreiecksgeometrie
1. Elementare Dreiecksgeometrie Die Menge s A1B 2 der Punkte, die von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind, bilden die Streckensymmetrale der Punkte A und B. Ist A B, so ist dies eine Gerade.
MehrMAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.
1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine
MehrGeometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2.
GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite 1 Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe: 2. Mai 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle
MehrLösungen der Übungsaufgaben III
Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion
MehrBestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung
Vektoren - Skalar- und Vektorprodukt ================================================================== 1. Gegeben sind die Punkte A 1 2 3 und B 3 4 1 bzgl. eines kartesischen Koordina- tensystems mit
MehrSeminarvortrag über die Euler-Charakteristik einer Fläche
Dies ist eine Ausarbeitung für einen Seminarvortrag, den ich im Sommersemester 2013/14 an der Humboldt-Universität im Proseminar Differentialgeometrie von Kurven und Flächen bei Christoph Stadtmüller gehalten
MehrElementare Geometrie Vorlesung 4
Elementare Geometrie Vorlesung 4 Thomas Zink 3.5.2017 1. Der Drehwinkel zwischen zwei Strahlen Es seien s und t zwei Strahlen in der Ebene mit dem gleichen Anfangspunkt A. Man legt ein Ziffernblatt um
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.21 2017/05/13 16:28:55 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1
2006 Runde 1 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die ein Produkt zweier einstelliger Zahlen ist. Bestimme
MehrPlan für diese Woche: 1. Geschlossene Flächen 2. Satz von (Gauß-)Bonnet.
Plan für diese Woche: 1. Geschlossene Flächen 2. Satz von (Gauß-)Bonnet. Eine globale eingebettete Fläche nicht-standarde Definition: Def. Eine (globale eingebettete) Fläche ist eine Teilmenge M von R
MehrInvariantentheorie. Vorlesung 24. Die Beziehung zwischen SL 2 (C) und SO 3 (R)
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 24 Die Beziehung zwischen SL 2 C) und SO 3 R) Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der SL 2 C) werden wir die platonische
MehrMusterlösungen Klausur Geometrie
Musterlösungen Klausur Geometrie Aufgabe 1 (Total: 8 Punkte). Seien A, B, C die Eckpunkte eines nichtentarteten Dreiecks in der euklidischen Ebene. Seien D, E, F derart gewählt, dass folgende Teilverhältnisse
Mehr3. Ähnlichkeitsabbildungen
3. Ähnlichkeitsabbildungen 3.1 Definitionen: Ähnlichkeitsabbildungen, Dilatationen Bis jetzt haben wir Isometrien (Kongruenzabbildungen) betrachtet. Diese bbildungen wurden aufgebaut aus den Geradenspiegelungen.
MehrDie Veech-Alternative
Die Veech-Alternative Christian Weiß Freiburg, den 3. Mai 2011 Zusammenfassung Es wird eine kurze Einführung in die Dynamik von Billardtischen gegeben und gezeigt wie man dadurch auf den Begriff der Translationsfläche
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis
MehrAufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks.
Aufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks. (Innenwinkel eines Dreiecks): Sei ABC ein Dreieck. Die Winkel < AB +, AC + ; < BA +, BC + und < CA +,
MehrGrundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM EGNITZ math-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 EGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Grundwissen JS 7: Geometrie 17 Juli 2007 1(a) Wann heißt
Mehr8 Die Riemannsche Zahlenkugel
8 Die Riemannsche Zahlenkugel Wir untersuchen zunächst Geraden- und Kreisgleichungen in der komplexen Ebene C = R 2. Geradengleichungen Die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei Punkte z 1 z 2
MehrDrehung um einen Punkt um Winkel α.
Drehung um einen Punkt um Winkel α. Sei A R 2 und α R. Drehung um A um Winkel α ist eine Abbildung D A (α) : R 2 R 2 welche wie folgt definiert ist: D A (α) = T A D 0 (α) T ( A), wobei die Abbildung D
MehrLösung - Serie 2. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Welche der folgenden Funktionen ( 1, 1) R sind strikt monoton wachsend?
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie.. Welche der folgenden Funktionen (, R sind strikt monoton wachsend? (a (b (c + 3 (d e (e (f arccos Keine. Auf (, 0] ist strikt monoton
Mehr10 Untermannigfaltigkeiten
10. Untermannigfaltigkeiten 1 10 Untermannigfaltigkeiten Definition. Eine Menge M R n heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, 1 k n, falls es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und
MehrTrigonometrische Berechnungen
Trigonometrische Berechnungen Aufgabe 1 Berechnen Sie im rechtwinkligen Dreieck die fehlenden Seiten und Winkel: a) p = 4,93, β = 70,3 b) p = 28, q = 63 c) a = 12,5, p = 4,4 d) h = 9,1, q = 6,0 e) a =
MehrMATHEMATIK-WETTBEWERB 2010/2011 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2010/2011 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN 1. a) L = { 1; 0; 1}, denn: x 2 < 36 25 5 6 < x < 6 5 b) L = {... ; 3; 2; 1}, denn: 1 4 x(9 25x2 ) > 0 Fall 1: x > 0 und (9 25x 2 ) >
MehrLandeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006
Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die
MehrÜBUNGSBLATT 3 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 3 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Beweisen Sie aus den Axiomen für komplexe Zahlen, dass für alle z, w C gilt: zw = z w; b) Schreiben
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
Mehr1.10 Geometrie. 1 Die zentrische Streckung Einführung und Definition der zentrischen Streckung... 2
1.10 Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Die zentrische Streckung 2 1.1 Einführung und Definition der zentrischen Streckung..................... 2 1.2 Flächeninhalte bei zentrischer Streckung............................
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Prof Dr Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 7 Aufgabe 23 9 Punkte In der folgenden Aufgabe sei mit baryzentrischen Koordinaten immer die baryzentrischen Koordinaten
MehrRepetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012
Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
MehrDiskrete Kurven und Flächen
Vorlesung 18 Diskrete Kurven und Flächen 18.1 Polygonale Kurven in der Ebene Definition 18.1. Eine offene, orientierte polygonale Kurve P n im R 2 ist ein ebener Polygonzug bestehend aus 1. n voneinander
MehrLösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt.
Lösungen zum Thema Geometrie Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Höhe h c Winkelhalbierende w α Mittelsenkrechte ms c Seitenhalbierende s c b)
MehrGEOMETRIE (4a) Kurzskript
GEOMETRIE (4a) Kurzskript Dieses Kurzskript ist vor allem eine Sammlung von Sätzen und Definitionen und sollte ausdrücklich nur zusammen mit weiteren Erläuterungen in der Veranstaltung genutzt werden.
MehrPunkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
Mehr7. Klasse. Algebra. 2.1 Kommutativgesetz (KG) der Addition und Multiplikation Für alle rationalen Zahlen a und b gilt: a+b = b+a a b = b a
Algebra 1. Termen mit Variablen Ein Term ist ein Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen kann. Variablen sind Platzhalter für Zahlen oder für Größen. Eine Variable steht immer
MehrZum Einstieg. Mittelsenkrechte
Zum Einstieg Mittelsenkrechte 1. Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius r, der größer ist, als die Länge der halben Strecke AB. 2. Zeichne einen Kreis um B mit dem gleichen Radius. 3. Die Gerade durch
MehrUnkämmbarkeit der Sphäre
Unkämmbarkeit der Sphäre Michela Riganti März 2010 1 2 BEISPIELE 1 Einführung In diesem Text geht es darum, folgenden Satz zu beweisen: Satz 1. Jedes glatte Vektorfeld auf einer Sphäre S n gerader Dimension
MehrLösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn
Mehr37 II.1. Abbildungen
37 II.1. Abbildungen "Abbildung" und "Funktion" sind verschiedene Namen für denselben Begriff, der charakterisiert ist durch die Angabe der Definitionsmenge ("Was wird abgebildet?"), der Wertemenge ("Wohin
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrTrigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß).
Trigonometrie. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0 und 60 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem Bogenmaß,
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 2. Runde 2015/2016
Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen. Runde 05/06 Aufgabe An der Tafel steht eine positive ganze Zahl. Abwechselnd ersetzen Nora und Marius die Zahl an der Tafel durch eine neue
MehrDie Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende
MehrKonstruktionen am Dreieck
Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln
MehrIm Bsp. vorher haben wir die Zahl 8 7
Im Bsp. vorher haben wir die Zahl 8 7 2 2 (1 + 2 2 ) 3 betrachtet. Die Zahl liegt in einer iterierten ( zweifachen ) quadratischen Erweiterung von Q, nämlich in Q( 2)( 3). Diese Erweiterung ist aber in
MehrInvariantentheorie. Bewegungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 21 In den folgenden Vorlesungen werden wir die endlichen Untergruppen G SL 2 (C) und ihre Invariantenringe klassifizieren. Dieses
MehrTrigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus. Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 2013
Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 0 4 5 4 4 Grad- und Bogenmaß Wir betrachten den Einheitskreis (Radius r = ) und einen beliebigen Winkel
MehrBeweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.
Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,
MehrMathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $
$Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 10 Bewegungen Wir haben schon mehrfach die Würfelgruppe betrachtet, also die Gruppe der eigentlichen Symmetrien an einem Würfel.
MehrLösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
(Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei
MehrVorlesungsnotizen Woche 12 Nichteuklidische Geometrie, WS (Weiss)
22.01.2016 Vorlesungsnotizen Woche 12 Nichteuklidische Geometrie, WS 2015-2016 (Weiss) Hier geht es meistens um einen metrischen Raum X, der die Axiome I und II erfüllt, aber Axiom III verletzt. Wir legen
Mehr16. Platonische Körper kombinatorisch
16. Platonische Körper kombinatorisch Ein Würfel zeigt uns, daß es Polyeder gibt, wo in jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenlaufen, und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird. Das Tetraeder
MehrGleichungen fünften Grades
Gleichungen fünften Grades Teil 1 Marc Pollak 11. Juni 2013 Motivation Was ist uns bisher bekannt? Allgemeine Lösung einer Gleichung zweiten Grades durch die Mitternachtsformel Vor zwei Wochen, Lösung
MehrWeitere Ableitungsregeln. Kapitel 4
Weitere Ableitungsregeln Kapitel . Die Kettenregel L f() = u(v()) g() = v(u()) a) + + b) cos [( + ) ] (cos + ) c) sin ( ) [sin ()] d) e) ( = _ ) _ ( f) cos [π( + )] cos (π) + g) ( ) = h) ( + ) + = + +
MehrAnalytische Geometrie
Analytische Geometrie 1 Punkte und Vektoren im Raum G 1.1 Gegeben sind die Vektoren in nebenstehender Abbildung. Drücke die Vektoren AC durch a und b AB durch z und w BC durch c und d DB durch b und u
MehrAufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie
Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin Geometrie Aufgabe G.1 Berechne die Innenwinkelsumme eines n-ecks. Aufgabe G.2 Zeige, dass
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.
MehrAufgabe 1. Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = 1). Es gilt det(λa) = (λ) n det(a).
Aufgabe Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = Es gilt det(λa = (λ n det(a det I n = n? Nein (außer für n = Es gilt deti n = det(ab = det A det B? Ja det(a =
MehrElemente in Φ werden Wurzeln genannt. Bemerkung 3.2. (a) Zu einem Wurzelsystem können wir immer eine Spiegelungsgruppe definieren
3. Wurzelsysteme Als erstes führen wir den Begriff eines Wurzelsystems ein. Definition 3.1 (Wurzelsystem). Eine endliche Teilmenge Φ V {0} heißt Wurzelsystem falls gilt: (R1) Φ Rα = {±α} für α Φ, (R2)
Mehr8. Konvexe Polytope. Tobias Boelter. Mittwoch, 5. März TopMath Frühlingsschule
1 / 31 8. Konvexe Tobias Boelter TopMath Frühlingsschule Mittwoch, 5. März 2014 2 / 31 Es können auch nicht konvexe untersucht werden, wir beschränken uns hier aber auf konvexe. Mit einem Polytop ist hier
MehrErweiterter Euklidischer Algorithmus
Erweiterter Euklidischer Algorithmus Algorithmus ERWEITERTER EUKLIDISCHER ALG. (EEA) EINGABE: a, b N 1 If (b = 0) then return (a, 1, 0); 2 (d, x, y) EEA(b, a mod b); 3 (d, x, y) (d, y, x a b y); AUSGABE:
Mehr12 Übungen zu Gauß-Algorithmus
Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4
MehrAufgabe E 1 (8 Punkte)
Aufgabe E (8 Punkte) Auf einem Billardtisch (bei dem die Koordinatenachsen x = 0 und y = 0 als Banden dienen) liegen zwei Kugeln P( ) und Q(3 ) Die Kugel P soll so angestoßen werden, dass sie nach Reflexion
MehrUmfangswinkelsatz. 1. Wie groß ist der Umfangswinkel in einem 2 Kreisbogen? Begründe deine Antwort anhand einer Skizze.
Umfangswinkelsatz 1 Wie groß ist der Umfangswinkel in einem 2 Kreisbogen? egründe deine ntwort 5 anhand einer Skizze 108, Zusammenhang zwischen ittelpunkts- und Umfangwinkel 2 Gegeben ist die Strecke []
MehrÊ 2 = {(x, y) : x, y Ê}.
Komplee Zahlen.1 Der Körper der kompleen Zahlen Sei Ê = {(, y :, y Ê}. Ê können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit Komponenten und y auffassen. Für (, y, (, y Ê definieren wir die Summe
MehrEbene Elementargeometrie
Ebene Elementargeometrie Im Folgenden unterscheiden wir neben Definitionen (Namensgebung) und Sätzen (nachweisbaren Aussagen) so genannte Axiome. Axiome stellen der Anschauung entnommene Aussagen dar,
MehrWaben-Sudoku. Günter Aumann und Klaus Spitzmüller. Sudoku ist in. Oder ist es schon wieder langweilig? Es gibt Alternativen.
Waben-Sudoku Günter Aumann und Klaus Spitzmüller Sudoku ist in. Oder ist es schon wieder langweilig? Es gibt Alternativen. Eine Vorüberlegung Reguläre Vierecke und Sechsecke zeichnen sich vor allen anderen
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 2. Runde 2014/2015
Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen. Runde 04/05 Aufgabe Pauline findet einen Tetraeder. Auf jeder seiner vier Flächen steht eine natürliche Zahl. Pauline führt nun folgende Zahlenspielereien
MehrSeminar Kohomologie von Gruppen und Mannigfaltigkeiten. Felicitas Lindner Dozent: Andreas Lochmann
Seminar Kohomologie von Gruppen und Mannigfaltigkeiten Poincaré-Dualität Felicitas Lindner Dozent: Andreas Lochmann Das Poincaré-Theorem besagt, dass für eine n-dimensionale geschlossene, orientierbare
MehrAnalytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Analytische Geometrie Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG Wird erweitert Lösungen nur auf der Mathe CD Datei Nr. 0050 Stand November 005 F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 0050 Dreiecke
Mehr1. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik
Bundeswettbewerb Mathematik Wissenschaftszentrum, Postfach 0 4 48, 5344 Bonn Fon: 08-377 4 Fax: 08-377 43 e-mail: info@bundeswettbewerb-mathematik.de www.bundeswettbewerb-mathematik.de Korrekturkommission
Mehr6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
MehrKlausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul 2,
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul, GHPO I vom.7.00, RPO vom 4.08.00 Einführung in die Geometrie Wintersemester 1/1, 1. Februar 01 Klausur zur ATP, Modul, Einführung
MehrMATHEMATIK-WETTBEWERB 2009/2010 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2009/2010 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN 1. a) L { 1; 0; 1} b) L {... ; 1; 0; 1; 2} c) L {2; 3; 4}, denn: x 4 0 oder falls x 4 > 0 dann x + 3 5 oder falls x 4 < 0 dann x + 3
MehrVierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist
7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d
Mehr5. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1965/1966 Aufgaben und Lösungen
5. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1965/1966 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 5. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit
MehrSymmetrien und Winkel
1 10 Symmetrien 301 Zeichne Grossbuchstaben des Alphabets, sortiert nach vier Typen: achsensymmetrisch punktsymmetrisch achsen- und punktsymmetrisch weder achsen- noch punktsymmetrisch Trage bei den symmetrischen
MehrA B. Geometrische Grundbegriffe zuordnen. Geometrische Grundbegriffe zuordnen.
Hinweis: Dieses Geometrieheft wurde im Zuge einer ergänzenden Lernbegleitung für die Jahrgangsstufe 4 erstellt und erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit, bzw. wird fortlaufend weiterentwickelt Das
MehrElementare Geometrie - Die Gerade & das Dreieck Teil I
Proseminar zur Linearen Algebra und Elementargeometrie Elementare Geometrie - Die Gerade & das Dreieck Teil I Eingereicht von: Alexandra Kopp 178294 alexandra.kopp@tu-dortmund.de Eingereicht bei: Prof.
MehrÜbungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller
Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungsblatt 13 Dieses Übungsblatt wird nicht mehr zur Abgabe vorgesehen. Es dient der Wiederholung
Mehr1. Grundlegendes in der Geometrie
1. Grundlegendes Geometrie 1. Grundlegendes in der Geometrie 1. 1 Übliche ezeichnungen Punkte bezeichnen wir mit Grossbuchstaben:,,,D,... P 1,P 2,P 3,...,,,... Strecken und deren Masszahl, sowie Geraden
MehrBeispiel einer Zerlegung in vier Schritten (Zerlegungszahl n = 51)
Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 9. November 2013 Klassenstufen 9, 10 Beispiel einer Zerlegung in vier Schritten (Zerlegungszahl n = 51) Aufgabe 1 (6+4+4+3+3 Punkte). In dieser Aufgabe geht es
MehrKapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke
edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke
MehrKonstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote :
GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe:. September 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle
MehrDer Fundamentalsatz der Algebra
Der Fundamentalsatz der Algebra Vortragsausarbeitung im Rahmen des Proseminars Differentialtopologie Benjamin Lehning 17. Februar 2014 Für den hier dargelegten Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
MehrInstitut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel
Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.5 2013/08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder
Mehr8 Tangenten an Quadriken
8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung
MehrKapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke
Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,
MehrMatrikelnummer. Klausur 1
Klausur 1 Pro Aufgabe sind maximal vier Punkte zu erreichen. Auf jedem Klausurblatt sind mindestens der oder die anzugeben, auf dem obersten Blatt beides. Aufgabe 1. Richtig oder falsch? (1 Punkt pro richtige
MehrGrundwissen 7 Bereich 1: Terme
Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 T (1) = 6 T (2) = 7 T ( 2) 3 = 12 1 4 = 12, 25 1.2 S1 m 2 0, 5 0 1 2 1 3 6 6 2 A(m) 7 11 5 0 1 Setzt man die Zahl 5 ein, so entsteht im Nenner die Zahl 0. Durch 0 zu teilen
Mehr6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /08/12 09:49:46 hk Exp $ c a b = 1 3. tan(2φ) =
Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 $Id: quadratischtexv 18 13/08/1 09:49:46 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen Nachdem wir in der letzten Sitzung die Hauptachsentransformation
Mehr