6.2. Prüfungsaufgaben zur Lösbarkeit von LGS

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1 6.. Prüfungsaufgaben zur Lösbarkeit von LGS Aufgabe : Lösbarkeit von LGS () Berechne mit Hilfe des Gauß-Verfahrens die Lösungsmengen der drei folgenden inhomogenen Gleichungssysteme. Gib außerdem die Lösungsmengen der entsprechenden homogenen Gleichungssysteme an ,5 4 4,5, 5 und L hom = 4,5 t 7 / / / / t / und L hom = t / Aufgabe : Lösbarkeit von LGS (7) Geben Sie die Lösungsmengen der drei folgenden inhomogenen Gleichungssysteme. Bestimmen Sie außerdem die Lösungsmengen der entsprechenden homogenen Gleichungssysteme an. 4 8,5 8,5, 5 7 und L hom = 4,5 t 7 / / / / t / und L hom = t / Aufgabe : Lösbarkeit von LGS (7) Geben Sie die Lösungsmengen der drei folgenden inhomogenen Gleichungssysteme. Bestimmen Sie außerdem die Lösungsmengen der entsprechenden homogenen Gleichungssysteme an und L hom = 4,4 t,8 7 4 / t 4 / und L hom = t 4 /

2 Aufgabe 4: Lösbarkeit von LGS () Berechne mit Hilfe des Gauß-Verfahrens die Lösungsmengen der drei folgenden inhomogenen Gleichungssysteme. Gib außerdem die Lösungsmengen der entsprechenden homogenen Gleichungssysteme an und L hom = 4, 5 t,8 4 / t 4 / und L hom = t 4 / Aufgabe 5: Lösbarkeit von LGS mit Parameter () t Gegeben sind die Matrix A t = t t und die Vektor b t = t. Bestimmen Sie die Lösungsmenge t t L inhomogen des inhomogenen Gleichungssystems A t * x = b sowie die Lösungsmenge L homogen des homogenen Gleichungssystems A t * x = für t = t = t =. Lösung: t = t, t (), 8,8 t =,, und L hom =, 8,8 (), 5 t = 4, 5 t, t L hom = t, t (4) Aufgabe 6: Lösbarkeit von LGS mit Parameter () t 5t t 4 Gegeben sind die Matrix A t und der Vektor b t durch A t = und b t = t t t Bestimmen Sie die Lösungsmenge L inhomogen des inhomogenen Gleichungssystems A t * x = b t sowie die Lösungsmenge L homogen des homogenen Gleichungssystems A t * x = für t = t = t =

3 Lösung: 4 t = t = 5 t = 5 6 t t, t und L hom = t 8 8 und L hom = / / () (4) () Aufgabe 7: Lösbarkeit von LGS mit Parameter () t 5t t 4 Gegeben sind die Matrix A t = und der Vektor b t = t t t Für welche t hat das inhomogenen Gleichungssystems A t * x = b t keine, eine bzw. unendlich viele Lösungen? Bestimmen Sie die Lösungsmenge L inhomogen des inhomogenen Gleichungssystems A t * x = b t sowie die Lösungsmenge L homogen des homogenen Gleichungssystems A t * x = für t = Lösung t 5t t 4 t t t t t t t (t t)( t ) t t 4 t t (t!) t(t) (t) t t t t 5t t 4 t t t t t t 5t t t(t ) (t ) t(t )(t ) (t )(t ) 5t 4 t (t und t!) viele Lösungen L = / t 5t 4 u 6, u bzw. L = u, u für t {; }, eine Lösung x t = t für t / t \{; ; } und keine Lösung für t =. Aufgabe 8: Lösbarkeit von LGS () t Gegeben sind die Matrix A t = t t und die Vektoren b t = t und c = t t Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen homogenen Gleichungssystems A * x =. Zeigen Sie, daß der Vektor c eine spezielle Lösung des Systems ist. (6) Für welche Werte von t hat das lineare Gleichungssystem A t * x = b t - genau eine Lösung - keine Lösung - unendlich viele Lösungen? Bestimmen Sie im Fall der eindeutigen Lösbarkeit den Lösungsvektor. ()

4 Lösung 4 L = {k x : x = 4 ist c L. (k = ) t t t t t t t t t t t t4 (t )(t ) (t) für t =. Daraus ergeben sich die Fälle: 4 - genau eine Lösung für t \{, } - keine Lösung für t = - unendlich viele Lösungen für t =. Durch Einsetzen in die Dreiecksform für t erhält man den Lösungsvektor x t = und k }. Wegen c = () x t t für t bzw. t \{,, }. Im Fall t = ergibt sich durch Einsetzen in die zugehörige Dreiecksform x = d.h., die Formel für den Lösungsvektor x t = gilt für t \{, }. t t Aufgabe 9: Lösbarkeit von LGS mit Parameter mit Extremwertaufgabe zunächst nur für t 5t t 4 Gegeben sind die Matrix A t und der Vektor b t durch A t = und b t = t t t Berechnen Sie den Lösungsvektor des inhomogenen linearen Gleichungssystems A * x = b. () Berechnen Sie den Lösungsvektor des inhomogenen linearen Gleichungssystems A * x = b. ()., Für welche t hat das lineare Gleichungssystem A t * x = b t keine, eine bzw. unendliche viele Lösungen? Berechnen Sie den Lösungsvektor für den Fall der eindeutigen Lösbarkeit Berechnen Sie t, x und x so, daß gilt: x = 4. Berechnen Sie t, x und x so, daß gilt: x = 5. () Zeigen Sie: X = (E A T ) * (A E) ist Lösung der Matrizengleichung (A * X ) A T = E X. Berechnen Sie die Matrix X. () d) Für jedes t hat die Funktion f die Ableitungsfunktion f mit f (t) = b t T * b t. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f. (4) 4

5 Lösung Teil siehe Teil Teil t 5t t 4 t t t t t t t (t t)( t ) t t 4 t t t t 5t t 4 t 5t 4 t (t!) t t(t) (t) / t t t t t t t 5t t t(t ) (t ) t(t )(t ) (t )(t ) (t und t!) viele Lösungen für t {; 5t 4 }, eine Lösung x t = t / t 9 6 x = 4 (=Lösung zu Teil bzw. 5 = x = t t = x = 5 (=Lösung zu Teil Teil (A * X ) T A = E X Klammern auflösen T X * A A = E X T X; A X * A E) T = E A * A E) von rechts X = (E A T ) * (A E) A E = =. Berechnung von (A E) : für t \{; ; } und keine Lösung für t =. 4 = x = t t = => (A E) = 5. E A T = = => X = (E A T ) * (A E) = * 5 = Teil d) 4t 8 f (t) = (t4; t; )* t 4 = t 4t 4 > für t ; das Schaubild von f (t) ist eine nach oben geöffnete Parabel, die keine Nullstellen besitzt. Da f (t) >, ist f(t) monoton steigend für t. 5

6 Aufgabe : Lösbarkeit von LGS mit Parameter mit Extremwertaufgabe t t Gegeben sind die Matrix A t und der Vektor b t durch A t = t t und b t = t t t Für welche Werte von t besitzt das homogene lineare Gleichungssystem A t * x =. nichttriviale Lösungen? Geben Sie für einen dieser Werte den Lösungsvektor an. (5) Für welche Werte von t istdas inhomogene lineare Gleichungssystem A t *x = b t. unlösbar eindeutig lösbar? mehrdeutig lösbar? Geben Sie den Lösungsvektor für t = und t = 4 an. (8) Bestimmen Sie t so, daß der Vektor x T = ( ) T Lösung des linearen Gleichungssytems A t * x = b t.ist. (4) d) Bestimmen Sie t so, daß der Vektor x T = (6 4) T Lösung des linearen Gleichungssytems A t * x = b t.ist. (4) e) Zeigen Sie durch Umformen der Matrizengleichung A * X A = (X * A ), daß gilt: X = A * (A A ) und berechnen Sie X. (9) f) Bestimmen Sie den kleinsten Wert, den das Produkt b t T * b t.annehmen kann. (4) Lösung Teil t t (t) ( t ) t t t t t t t(t ) (t )(t ) t t(t ) t t t t t t t t(t ) (t )(t ) (t ) ( t) => - keine Lösung für t {;} - genau eine Lösung für t R\{;; } - unendlich viel Lösungen für t = 5 Für t = ergibt sich mit 9 x = 8 Für t = 4 ergibt sich mit x =

7 Teil Für t R\{;; } erhält man nur die triviale Lösung x = Für t = ergibt sich Für t = ergibt sich => x t = => x t = t mit t t mit t / Für t = ergibt sich => x t = t / mit t Teil t t t 6 t = = t t t * = t = t = t => t = t t t = t = Teil d) Analog zu Teil erhält man t = Teil e) A * X A = (X * A ) Klammern auflösen A * X A = A * X A ; A *X (A A ) * X = A * X von rechts (A A ) A * (A A ) = X = A * X * A von links 4 Berechnung von X: A A = =. Berechnung von A : => A = 4 => X = A * (A A ) = 4 * = Teil f) f(t) = b T t * b t = ( t t) * t = t t 6, f (t) = t, f (t) = relatives Minimum bei t = t mit f( ) =,5, f ( ) = und f ( ) = >. 7