Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS
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- Jonas Kappel
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1 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS Lr Algr Du wolltst doch Algr, d hst du d Slt [Juls Vr, 88 95] E Algr cht hor dr Rchoprto stmmtr mthmtschr Ojkt D Ojkt dr lr Algr sd Vktor ud Mtr Huptl sd ( d rsformto vo Vktor ud ( d Lösug lrr Glchugsstm 6 Wou Iformtkr Lr Algr ruch Vktor schr Pukt m Rum durch Zhltupl Ddurch läßt sch mt Pukt ud dr Ojkt m Rum fft rch Vktor ud Mtr lst kompkt gomtrsch Brchug (ltsch Gomtr Ds ht dr Iformtk wchtg Bdutug dr Computrgrfk, drür hus uch llgmr dm gomtrsch Zusmmhäg tchschr Sstm Mt d wchtgst Dtstruktur sd Arrs Ds mthmtsch Ggstück sd Mtr Zu d wchtgst Hlfsmttl dr Lösug vo Prolm uf dm Computr ghör lr Glchugssstm (LGS B dr forml Lösrkt ud prktsch Lösug vo LGS spl Mtr ud Dtrmt hrusrgd Roll Mtr rucht m uch für dr Dtstruktur dr Iformtk, B für d Drstllug vo Grph m Rchr (Adjmtr >> s Mthmtk 6 Mtr - ssr: Eführug hd vo Mth-Mtr_Vppt - Zwsch w Sstm mthmtschr Größ sth häufg Bhug dr Art:,,,, ud,,, m m m m m D sd dr Rgl d Größ j, vorgg, d sd gsucht E solchs Glchugsstm hßt Sstm vo m lr Glchug Ukt E Bspl dfür st lktrschs twrk, dm d vorgg Spug sd, d j sd d Wdrstäd ds ts ud d sd d u rchd lström W Ko ZDgsmt-tdoc St 8
2 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Für solchs Sstm führt m d Schrws: A ud t ds Kofftschm A Mtr ud Spltvktor gschr wrd d ls Df D 6- Mtr Utr r Mtr A vom p (m, (uch ls us m Zl ud Splt gordts Zhlschm: m cht vrstht m A ( k m m k k k mk m t Zl k- t Splt D hß: k : Mtrlmt, Kofft : Zld k: Spltd m: Ahl dr Zl : Ahl dr Splt (Auch hr glt lso wdr: Zl urst, Splt spätr Df D 6- Vktor E Vktor st Spltvktor st Mtr mt Splthl (= E Zlvktor st Mtr mt Zlhl (m= W Ko ZDgsmt-tdoc St 8
3 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 (,,, -tr Zlvktor (trsportr Vktor M schrt hr ur Agrug dr l Mtrlmt ggdr oft Komm mk k k k-tr Spltvktor Df D 6- Spll Mtr Bgrff Bschrug Bspl rsport Mtr A Vrtuschug Zl Splt ( k ( k ullmtr ll Elmt = Qudrtsch Mtr Spll qudrtsch Mtr: Smmtrsch Mtr Dgolmtr Ehtsmtr Drcksmtr Zlhl = Splthl, m= Huptdgol =,,, A A=A, dh ( k (k ur dr Huptdgol vo vrschd Wrt Dgolmtr, ll Dgolwrt = or/utr Drcksmtr U/L: lls orhl/utrhl dr Huptdgol = u u U u A Huptdgol ht,,6 u u u l L l l l l l Bm: W Ko ZDgsmt-tdoc St 8
4 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Or Drcksmtr spl d trl Roll dr Lösug lrr Glchugssstm D ülch Lösugsstrtg stht dr, vorgg Mtr A Drcksmtr U u ürführ U stht für "uppr", L für "lowr" D rsport s Spltvktors st Zlvktor ud umgkhrt 6 Rchrgl für Mtr Df D 6-4 Glchht wr Mtr Zw Mtr sd glch, gschr A = B, w s Zl- ud Splthl ürstmm (dh w s vom glch p sd ud w glt: k k für ll,k Df D 6-5 Multplkto mt Sklr B pa( k pk für ll,k Sklr Multplkto rfolgt kompotws Df D 6-6 Mtrddto ud -sutrkto Für w Mtr A, B vom glch p glt: C AB( c k k k fürll,k dh d Addto wrd kompotws usgführt D Sutrkto D A B A ( B läßt sch ür d Multplkto mt Sklr - uf d Addto urückführ St S 6- Rchrgl "Sklr mt Mtr" Kommuttvgst: pa Ap Assotvgst: p(q A (pq ApqA Dstrutvgst: p( A B pa pb (p q A pa qa Bmrkug: Aschulch dut ds Gst, dß d ülch Rchrgl für rll Zhl Mtr kompotws uwd sd Für Mtr mt pssdr Zl- ud Splthl läßt sch uch Multplkto dfr, d wdr Mtr lfrt Ds hlgdst wär wohl kompotws Multplkto Ds ht r für d Prs k Bdutug Wr wrd och sh, dß d Multplkto s Vktors (dh r (m-mtr mt r (m-mtr grd u (-Vktor lfrt, lso (sogr lr Aldug vo W Ko ZDgsmt-tdoc St 84
5 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Vktor dr Läg m uf Vktor dr Läg drstllt D Mtrmultplkto wrd u so dfrt, dß s grd dr Htrdrusführug wr solchr Aldug tsprcht Df D 6-7 Multplkto wr Mtr Gg s (m-mtr A ud (r Mtr B, d st ds Mtrprodukt C AB (mr-mtr D Elmt vo C sd dfrt durch: CAB (c j k kj k für =,,m ; j =,r Ü S A, B 5 Bld S AB ud BA Ü S, (Spltmtr = Vktor Bld S, ud St S 6- Egschft ds Mtrprodukts Ds Kommuttvgst glt m Allgm cht, dh m llgm st AB BA Es st sogr oft gr cht möglch, d Fktor u vrtusch, d d Zl- ud Splthl cht mhr usmmpss Es glt Assotv- ud Dstrutvgst: ( AB C A( BC A( B C AB AC Für d trsport Mtr glt: ( AB B A W m Oprto, w hr d Mtrmultplkto dfrt ht, stllt sch mmr d Frg ch dm utrl Elmt (dh ud dm vrs (dh Elmt St S 6- Multplkto mt dr Ehtsmtr Für d (mm -Ehtsmtr E m, d (-Ehtsmtr E ud d (m-mtr A glt: AE = E m A = A W Ko ZDgsmt-tdoc St 85
6 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Bws durch Ausrch! Drus wrd klr, wso d Ehtsmtr so dfrt st, dss s ur uf dr Dgol "" ht Zur vrs Mtr s Kp 66 W Ko ZDgsmt-tdoc St 86
7 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS Vktor E Vktor st ch Df D 6- Zhltupl dr Form (Spltvktor Gomtrsch fsst Vktor ll Pfl usmm, d Läg ud Rchtug ürstmm E sodrr Rprästt für ds Pfl st dr sog Ortsvktor, Pfl, dr d ullpukt mt dm Pukt odr Ort (,, R vrdt Gur: Df D 6-8 Vktor, Ortsvktor Jdr Pfl, dr Läg ud Rchtug ürstmmt mt dm Pfl, dr d ullpukt mt dm Pukt (,, R vrdt, st Rprästt für d Vktor (Spltvktor, Ortsvktor -dm ud -dm Vktor sd sodrs wchtg, r -dm kommt uch vor (LGS >> Kp 66, Umsät Märkt,, Vktor wrd ülchrws ls Pfl (Vktor lt = Pfl m Koordtsstm drgstllt Hr Bspl für Koordtsstm mt Rchtug (-dmsol E: E A I ogr Zchug ch ud w Achs (Rchtug s ud d Ehtsvktor (dh Vktor dr Läg Koordtsstms ud d tsprchd Rchtug (Bssvktor D Ehtsvktor sd Pfl vom Ursprug u d Pukt (, w (,, lso glt d Drstllug W Ko ZDgsmt-tdoc St 87
8 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 88 ud I dr Rgl sth d Ehtsvktor skrcht ufdr (krtssch Bss Dr Vktor st lso durch s Kompot ud vollstädg stmmt Aus dsm Grud wrd Vktor oft mt dr Spltmtr sr Kompot (Df D 6- dtfrt: Es läßt sch lcht g, dss glt D: W us ogr Zchug u sh st, k Vktor ls sog Rchtugsvktor uch durch Afgspukt A ud Edpukt E spfrt wrd M ldt Edpukt Afgspukt ud rhält dsl Koordtdrstllug ds Pfls w m Ortsvktor Dr Btrg (d Läg ds Vktors rgt sch D mt dm St vo Pthgors u: Etsprchd wrd Vktor mt Kompot w folgt drgstllt: St S 6-4 Koordtdrstllug ud Btrg Für Vktor Kompot rhält m d Koordtdrstllug: Für d Btrg rgt sch: D sd türlch Ehtsvktor tlg dr Koordtchs vorgg (Koordtss
9 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Kovto: Sttt wrd uch oft gschr Wr wrd m Folgd häufg d Form m gdruckt t vrwd w, w wr hdschrftlch rt Für d Btrg schrt m oft uch (lso "" oh Vktorpfl, k Fttdruck M sgt (mthmtsch tws l: "Dr Vktor st Ojkt ds R ", wl sch Vktor dutg durch ds Zhltupl (,, R schr läßt Bspl für Vktor sd d phsklsch Größ Krft, Gschwdgkt, Bschlugug, lktrsch Fldstärk Dgg st d mprtur rts durch d Ag hrs Wrts vollstädg stmmt Solch Größ hß Sklr St S 6-5 Rchrgl für Vktor ch Df D 6- kö wr Vktor uch ür d Spltmtr dfr D Rchrgl für Vktor (Glchht, Addto, Sutrkto, Multplkto mt Sklr rg sch dshl sgmäß us d Dfto Df D Df D 6-6 für Mtr Eso glt St S 6- Gomtrsch stllt sch d Summ wr Vktor w folgt dr: c Dr Vktor wrd prlll vrscho, so dß s Afgspukt uf d Edpukt ds Vktors fällt Gomtrsch dutt d Multplkto mt m Sklr p Ädrug ds Btrgs s Vktors um d Fktor p ud ggf Ädrug dr Rchtug (flls p < Ü Üug: Fd S rll Zhl,, so dss Vktorglchht (, 4 ( 4, glt 6 W Ko ZDgsmt-tdoc St 89
10 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Ü Üug: Gg sd d Pukt A,B,C ud D Stll d Pfl AB ud CD dsl Vktor dr? ( A=(,, B=(,, C=(,-, D=(, ( A=(4,, B=(,, C=(,, D=(, 64 Sklr- ud Vktorprodukt Ds Sklrprodukt wr Vktor läßt sch ls Splfll ds Mtrprodukts dfr: Df D 6-9 Sklrprodukt Ds Sklrprodukt wr -kompotgr Vktor ud st dfrt ls Mtrprodukt vo ud Ds Ergs dss Produkts st rll Zhl ( Sklr Bmrkug: Ds Sklrprodukt drf m cht mt dr sklr Multplkto vrwchsl! B dr sklr Multplkto wrd Vktor mt m Sklr multplrt ud lfrt Vktor Bm Sklrprodukt wrd w Vktor mtdr multplrt ud lfr Sklr St S 6-6 Rchrgl Sklrprodukt cos(, cos(, (Produkt dr Bträg ml Cosus Wkl ( c c 4 cos für, I Vorlsug vrtft: D gomtrsch Dutug ds Sklrprodukts st d Projkto Mt Hlf ds Sklrprodukts läßt sch dr Wkl wsch w Vktor rch: St S 6-7 Wkl wsch Vktor Für d Wkl wsch w Vktor ud ds R glt: W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
11 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 cos(, Mchml muss m Vktor kostrur, dr uf w gg Vktor skrcht stht (Bsp ormlvktor Hssschr ormlform, s Df D 6- Du st ds Vktorprodukt gut: Df D 6- Vktorprodukt (ur für drdmsol Vktor c ( c s(, c,,, c ld Rchtssst m gsproch: " kru ", st ls vktorlls Produkt wr Vktor Vktor S Btrg st glch dm Produkt us d Bträg dr d Fktor ud dm Sus ds gschloss Wkls S Rchtug rgt sch us dr Fststug, dß c skrcht uf dr vo ud gldt E stht ud d Vktor,, c dsr Rhfolg Rchtssstm ld (Rcht-Hd-Rgl Folgrug: - Für w prlll Vktor, st ds Kruprodukt ull st d Fläch ds vo, uf gspt - D Läg vo Prlllogrmms (s u St S 6-8 Rchrgl Vktorprodukt c ( c c tkommuttv dstrutv Ds Assotvgst glt ICH! Dh m Allgm st c ( c ( Bspl: Drhmomt: M r F Ds Drhmomt M gt, o d Krft F d Vktor r drh k Gomtrsch Dutug Vorlsug! W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
12 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 r F F F M F Mrkrgl für Kruprodukt: s Kptl 65 (Dtrmt Ü Üug: S, Brch S, cos(,,, ( 4 64 Grd- ud Eglchug Awdugsspl: I m Computrspl fur S mt m Gwhr uf Wd Wo durchschlägt ds Projktl d Wd, wo müss S ds Loch "ch"? Ahm: Projktl flgt lägs r Grd, d Wd st E Wr rkptulr kur Grudlg us dr Altsch Gomtr Frgstllug sd: W schrt m Grd odr E m Rum (D? W rcht m d Schttmg Grd/Grd, Grd/E odr E/E? Atwort uf ds Frg rucht m oft dr Computrgrfk, m CAD ud vl dr Awdug dr Gomtr E Grd g läßt sch schr durch hr Rchtugsvktor r ud (Orts-Vktor, dr vom Ursprug uf lg Pukt dr E gt: r g O g r Ü Bstmm S d Grdglchug dr durch P=[4,,] ud Q=[-,5,8] vrlufd Grd! E E E läßt sch schr durch w Vktor r ud s, d dr E lg ud Vktor, dr vom Ursprug uf lg Pukt dr E gt: W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
13 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 r s E E r s, (r drf k Vlfchs vo s s, ud r, s Altrtv läßt sch E ls Hsssch ormlform schr durch ormlvktor ud Vktor, dr vom Ursprug uf lg Pukt dr E gt: E E mt ˆ ( ˆ Df D 6- E Vktor ormlvktor st ormlvktor dr E E, w r uf ll Vktor, d dr E lg, skrcht stht I dr Hsssch ormlform fdt dr ormlhtsvktor ˆ Vrwdug Glchug ( t m mplt Glchug, wl s k drkt (kostruktv Brchug vo rlut, dfür k m r für jds umttlr tst, o s dr E lgt W stmmt m d Vktor? W r ud s kt sd, ür ds Kruprodukt: r s Zusmmfssug: Drstllugsform für E Pukt-Rchtugsform r s (= Prmtrform Hsssch ormlform ( mt ˆ Koordtform + + = d mt d W rcht m vo dr Koordtform uf d Prmtrform um? Lös d Koordtform ch uf, d schr utolog-glchug = ud = du: W B d Koordtform lutt: + = 5, d: W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
14 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St D Vrl uf dr rcht St ld d Prmtr = ud = Schttmg (Schttpukt odr Schttgrd stmm: Grd/ Grd r r Glchug Ukt, Grd/E, Mthod s r r g g g Glchug Ukt g,, (mst uötg komplrt Grd/E, Mthod ( g g g r Glchug Ukt g E/E, Mthod s r s r Glchug 4 Ukt,,, (mst uötg komplrt E/E, Mthod ( ( Glchug Ukt =(,, Bspl: Wlch Schttpukt S h : g g ud : E? Üug: Wlch Schttpukt S h : g ud : g? Üug: S } { E ud } { E w E Wlch Schttgrd g h E ud E? 64 Drhug I dr Computrgrphk odr dr gomtrsch Awdug muss m oft Vktor (odr Pukt m Rum drh D wrd j jdr Pukt m Rum drsrtg ( Btrg odr Rchtug vrscho W rcht m ds fft us? M k d trgoomtrsch Glchug r Mtr kompkt usmmfss: Ü Ü
15 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 ' ' '= + Df D 6- Drhmtr E qudrtsch Mtr dr Form Achs durch Mtrmultplkto: cos s O s cos drht Vktor um d - O Es glt für Drhmtr: O = O - D w S d "vrs" Drhwkl st (dr Drhug um Wkl wdr rückgägg mcht, d ld S gu dr trsport Mtr O Wl solch Mtr rcht Wkl (vo Vktor wdr rcht Wkl ürführt, cht m solch Mtr uch ls orthogol Ü Üug: M drh d Vktor gl dr -Achs um o (Es glt cos ud s Mch S ggt Pro: Wo gu fdt sch dr Bhug vo u ' dr Wkl wdr? Lösug Vorlsug! 65 Dtrmt Btrcht wr ds folgd Sstm vo w lr Glchug w Ukt ud : ch Auflösug rgt sch: W Ko ZDgsmt-tdoc St 95
16 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Bd r sd glch Außrdm tschdt (dtrmrt dr Wrt ds rs, o ds Sstm ürhupt lösr st Ist dr r glch ull, st ds Sstm cht (dutg lösr Aus dsm Grud wrd dr r ls Dtrmt cht ud w folgt gschr: D Wr wrd d Bgrff dr Dtrmt dr Utrsuchug dr Lösrkt vo LGS ötg Für -Schm rcht sch d Dtrmt ch dm: St S 6-9 St vo Srrus D Lägs dr dck, gstrchlt L wrd d Produkt mt "+"-Zch ufgschr, lägs dr dr dü, durchgog L wrd d Produkt mt " "-Zch ufgschr Df D 6- Dtrmt, Utrdtrmt E -rhg Dtrmt st Zhl, d us m Schm mt Elmt dr Form W Ko ZDgsmt-tdoc St 96
17 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 D rcht wrd k E -rhg Utrdtrmt st d Dtrmt, d tstht, w m us m (p q-zhlschm (p,q p- Zl ud q- Splt strcht Bmrkug: Dr rst Id s Elmts cht d ughörg Zl, dr wt d Splt (Zl urst, Splt spätr W rcht m u Dtrmt für >? Ds rfolgt mt dm Etwcklugsst vo Lplc: St S 6- Etwcklugsst vo Lplc k k k k cost kcost k k D ( D ( D k D cht Dk d Utrdtrmt, d durch Strch dr -t Zl ud k-t Splt us D tstht D Forml "twcklt" d Dtrmt ch dr Zl, d Forml ch dr k Splt Bmrkug: Im Splfll = rgt sch dsl Forml w dr St vo Srrus, w m durch Ausrch g k I Vorlsug: Bld u Vorch m Etwckl ud Bspl (Drcksdtrmt St S 6- D Dtrmt r Drcksmtr st glch dm Produkt dr Huptdgollmt Dr Bws folgt drkt us St S 6- (Lplc'schr Etwcklugsst Für d Brchug vo Dtrmt glt d folgd Rgl: W Ko ZDgsmt-tdoc St 97
18 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 98 Multplkto mt m Fktor: Wrd ll Elmt r Zl mt m kostt Fktor multplrt, so vrädrt sch dr Wrt dr Dtrmt um ds Fktor Addto vo Zl: Addrt m u r Zl lgs Vlfchs r dr Zl, so ädrt sch dr Wrt dr Dtrmt cht Ethält Zl lutr ull, so st d Dtrmt ull (folgt us St S 6- durch Etwckl ch gu dsr Zl 4 Sd w Zl dr proportol, so ht d Dtrmt d Wrt ull (folgt us Rgl ud durch ggt Addto I ds Rgl k ürll "Zl" gusogut durch "Splt" rstt wrd Üug: M rch mttls dr og Rgl 4 4 D Gomtrsch Bdutug dr Dtrmt: Volum Prlllflch Im R st dr Btrg dr Dtrmt d Fläch ds durch hr Spltvktor ud ufgspt Prlllogrmms Im R st d Dtrmt ds Volum ds durch hr Spltvktor, ud c ufgspt Prlllflchs Wtrr ut dr -Dtrmt: W mrkt m sch d Forml für ds Kruprodukt c? c c c c c c c Rgl: M schrt (ur forml! d Ehtsvktor,, d Splt r Dtrmt, d - ud -Kompot d Splt d ud twcklt d Dtrmt ch dr Splt Ü
19 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Awdugsspl: Woh klckt d Mus? Lt: [Hrtm4, S 87] W m m Zchprogrmm m Computr uf L klckt, wrd ds mrkrt j, gugomm st L udlch dü Gur: E gwssr "schrfr" Brch um d L (Brt, gl Zchug ut führt ur Auswhl dr L W rcht m möglchst fch us, o Klck m gl Rchtck lgt? D L st grt durch Vktor u ud v Musklck Vktor m soll d L gu d mrkr, w m m vrtull Rchtck mt Brt um d L lgt: m v m u Lösug: ( Prüf, o m sch m durch u ud v grt Strf fdt: ud müss spt Wkl s, lso cos(> ud cos(> ( Ds durch v u ud m u ufgspt Prlllogrmm muss klr Fläch h ls v u, d lgt m m gl Rchtck: ( ( m v m v u u Ds lls k m durch Sklr- ud Vktorprodukt vo,, c schll usrch: cos( > cos( > c D Prlllogrmmfläch st dr Btrg dr Dtrmt dr Vktor, : dt(, dt Isgsmt h wr für d Bdgug ( W Ko ZDgsmt-tdoc St 99
20 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 ur 5 Multplkto ud Wurl u rch Ü Üug: S =, u, 5 v, 6 m Lgt m rhl odr ussrhl? 4 66 Lr Glchugssstm Lt: [Hrtm4, Kp 8: Guß'schr Algo ud LGS rppform; Ppul, Bd II, Kp 4: Rg r Mtr ud Kp 4: Lr Glchugssstm] W rts dr Eltug u Kptl gdutt, st wchtgs Zl dr lr Algr d Lösug lrr Glchugssstm, d dr Prs shr häufg uftrt, B dr Brchug sttschr Sstm (B Sttk vo Butl, sttoärr Btr vo Chmlg, lktrschr t odr trswrtschftlchr Optmrugsufg B dr mthmtsch och wstlch ufwdgr Brchug komplrtr dmschr Sstm (B Schwgugsvrhlt vo Brück, Dämpfugs- ud Schwgugsvrhlt vo Achskostrukto, Crshsmulto vo Fhrugkrossr, Brchug vo rgflächprofl, A- ud Afhrvrhlt vo Chmlg, Wttrrchug müss häufg groß lr Glchugssstm (g s g hudrttusd Glchug ls lprolm dr ürgordt Aufgstllug utr Umstäd hudrt vo Ml glöst wrd Etsprchd groß st ds Itrss dr umrsch Mthmtk lstugsfähg Vrfhr ur Lösug lrr Glchugssstm Wchtg Frg sd lso: W löst m LGS? Wr wrd m Folgd ds fchst Vrfhr, ds Gußsch Elmtosvrfhr, dskutr Utr wlch Vorusstug st LGS ürhupt lösr? W stt s, w mhrr, w udlch vl Lösug? 66 Lösrkt vo Glchugssstm Gg st lso (m-mtr A ud Spltvktor dr Läg m Utr r Lösug ds LGS A vrstht m Spltvktor dr Läg mt: m m m = Agkürt schrt m dss LGS durch d Mtr A w A : m m Glchug, Ukt W Ko ZDgsmt-tdoc St
21 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 A m m m ( A m m m m Zl ds Gußvrfhrs st s, durch äquvlt Umformug (s ut, Kptl 66 ds Sstm A d folgd rppform A* * odr uch Zl-Stuf-Form u ürführ: Hr müss d Zhl d rppstuf, d sog Ltkofft (hr: * * *,,, rs, sämtlch uglch ull s, ll dr Vrl sd lg Utrhl dr rpp sd ll * j Schu wr us uächst m Kptl Äquvlt Umformug ml, w m rppform mt Guß rrcht * * * D Zhl r, r,, m tschd ür d Lösrkt ds LGS: Ist uch ur dsr Zhl uglch ull, so st LGS ulösr, d ds * tsprcht r Glchug dr Form r, wlch für ll urfüllr st * * * W rm ud r r m, d st ds LGS lösr Im Fll r< gt s sogr udlch vl Lösug M ht d Vrl f(, f(,, f(r ( d Splt oh Ltkofft ls fr Prmtr ud k ür d Zl r s rkursv d Vrl r,, ( dsr Rhfolg! ls Fukto dr fr Prmtr stmm (Bsp s ut Aus dr rppform k m sofort d Lösug ds Glchugssstms kostrur: Zu jdr Splt OHE Ltkofft ghört fr Vrl D Vrl MI Ltkofft kö dutg ls Zhl odr lr Glchug d fr Vrl gg wrd M gt mt dr * utrst Vrl s (r / rs ud rtt sch lws ch o vor W Ko ZDgsmt-tdoc St
22 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W r=m= st, d wrd d rppmtr ur Drcksmtr Ds LGS k dutg, gd mt Zl r, rkursv glöst wrd (s Bspl ut Es thält k fr Vrl Df D 6-4 Rg r Mtr Dr Rg r (m-mtr A st d mml Zhl r, für d s vo ull vrschd, r- rhg Utrdtrmt (s Df D 6- gt M schrt: Rg(A = r Bspl: D og Mtr A* ht d Rg r (Ahl dr rppstuf * * * W r r m, d ht uch d og Mtr * * Rg r * * * Ist uch ur dr Zhl r, r,, m uglch ull, so ht d Mtr A* * d Rg r+ Bws Vorlsug! A d Wr kö lso d og Rgl ur Lösrkt vo LGS folgdm St usmmfss: St S 6- Lösrkt lrr Glchugssstm Gg s (m,-lgs A, dh m Glchug ud Ukt D rgt sch d Lösrkt us folgd Dgrmm: Ist Rg(A Rg(A Rg(A=Rg(A =r r= r< k Lösug gu Lösug BEACHE: s gt IE LGS mt, odr 4 Lösug! vl Lösug, mt -r fr Prmtr Splfll m=: W dt(a glt, d lgt dr Fll r= vor, dh wr h gu Lösug Im Fll dt(a = kö wr r oh wtr Utrsuchug chts ür d Lösrkt ds LGS ussg W Ko ZDgsmt-tdoc St
23 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W stmmt m Rg(A ud Rg(A? u, gu ch dm og Vrfhr, ds ur rppform A* * führt D s glt dr chfolgd St S 6-, dss sog äquvlt Umformug d Rg r Mtr cht vrädr: 66 Äquvlt Umformug ud Guß-Vrfhr A* * u rhlt, müss wr us och klrmch, ws Um d rppform m lr Glchugssstm äquvlt, dh d Lösugsmg cht vrädrd Umformug sd D glt dr wchtg St: Ich drf r Glchug uf d St ds Glch tu! St S 6- Äquvlt Umformug r Mtr A sd: Zw Glchug dürf mtdr vrtuscht wrd Ds ädrt j ur d Rhfolg, dr d Glchug ufgschr wrd Jd Glchug drf mt r vo ull vrschd Zhl multplrt wrd Rll Vlfch r Glchug dürf u r dr Glchug ddrt wrd (uf d St ds Glch gt Äquvlt Umformug ädr d Rg dr Mtr cht Bschrug ds Gußsch Elmtosvrfhr durch rkursv Fukto Guss(,j, d =j= gt: Guss(,j: Flls =Zlhl odr j>splthl: Ed Flls j =: such Splt j kj, k>, w s ks gt: Guss(,j+, Ed vrtusch Zl mt Zl k kj Addr u jdr Glchug k> jwls ds - fch dr -t Glchug j (Ddurch wrd ll Glchug k> dr Kofft vor j u ull 4 Guss(+,j+, Ed Ds gt d Mächtgkt rkursvr Algorthm, d dr gtlch rcht vl Sodrfäll umfssd Algorthmus läßt sch so wg Zl mplmtr H wr d rwtrt Mtr rppform, d kö wr d Lösug schrttws vo ut ls: Jd Splt oh Ltkofft (oh rppstuf stllt fr Vrl dr Es gt mhrr (udlch vl Lösug, d sch durch Whl lgr Wrt d fr Vrl utrschd [I dr og rppform A* * sd umdst, s+, s+,, fr Vrl] Jd Splt mt Ltkofft k Ahäggkt vo d fr Vrl usgrcht wrd M gt mt dr utrst Zl mt Ltkofft ud rtt sch schrttws ur Zl vor [I dr og rppform A* * gt m lso mt s, dss Wrt sch us Zl r rgt] W Ko ZDgsmt-tdoc St
24 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 4 Bspl : Z - ( 4 Z - ( ( 4 ( A D rst Glchug wrd üromm Zur wt wrd ds --fch dr rst Zl ddrt, ur drtt wrd ds --fch dr rst Zl ddrt Es rgt sch: Z (' 7 (' 5 ( 7 5 ( A Zur Zl wrd u ds -fch dr Zl ddrt: (" (' 5 ( 5 * * ( A Dmt h wr ds Sstm uf Drcksform grcht Aus ( folgt u uächst St wr u d Wrt für dr Glchug ( folgt = - ud schlßlch us dr rst Glchug = Bspl : Wr schr wtrs (,4-LGS drkt dr Form A uf: Zl ( A Zl ( A * * ( A
25 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Hr h wr d Sodrfll vorlg, dss dr Splt lutr ull uftrt Hr müss wr gmäß Schrtt "Guss(," wähl ud lmr d mt "+Zl " d - dr Zl Wr rhlt d rppform, d wr u vo ut ch o uflös: = lg ( Splt st oh Ltkofft 4 = (us Zl = (us Zl = - (us Zl Ü Üug: Bstmm S d Lösugsmg ds LGS ( A Brchug dr Ivrs Mtr Df D 6-5 Ivrs, rgulär ud sgulär Mtr Ist ds Produkt wr qudrtschr Mtr glch dr Ehtsmtr E, so t m d Mtr d vrs Mtr (kur Ivrs dr dr ud schrt: A A AA E E Ivrs strt gu d, w dt A D Mtr A hßt d rgulär, drflls lso dt A = hßt A sgulär W d Ivrs strt, d st s dutg stmmt D Ivrs vo A läßt sch us dr smult Lösug vo Glchugssstm rch: d k-t Splt k dr Ivrs A - rgt sch us dr Glchug: A, wo k d Ehtsvktor mt r dr k-t Zl drstllt (Guß-Jord- Algorthmus k k Bspl: Brch d Ivrs u A >> Lösug Vorlsug 4 Mt Hlf dr Ivrs läßt sch d Lösug s lr Glchugssstms drkt g: W Ko ZDgsmt-tdoc St 5
26 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 A A A A A Allrdgs läßt d Ivrs sch cht g lcht rch Dr Aufwd stgt mt dr drtt Pot dr Zl- w Splthl D Brchug dr Ivrs loht sch r d, w m vl LGS dr Form A mt glchm A, r vrschd rcht St u rch ht St S 6-4 Ds Bld dr Ivrs ud ds rspor sd vrtuschr, dh: ( A ( A Bws: ( AA E ( AA E E (St S 6- ( A A E Also st A ( divrsu A 664 Lr Uhäggkt Vktor hß lr uhägg, w s ll vrschd Rchtug g c, c j R, j=,, u fd, d Gur: w s cht möglch st, lr Vlfch usmmddrt d ullvktor rg, mt Aushm dr trvl Lösug c =c =c = Ds läßt sch ls lrs Glchugssstm formulr: Schr d Vktor spltws Mtr V ud such Lösug für vj c v j V c c v Kj W ds Glchugssstm dutg lösr st (trvl Lösug c =c =c =, d sd d Vktor lr uhägg W s mhrr (udllch vl Lösug gt, d sd d Vktor lr hägg v j j 665 Awdugsspl Ausglchsgrd (Lst Squr Dr chfolgd Awdugsfll gt, wou m d trsport Mtr ud d Kovrmtr v v für Vktor v ruch k Wr schr d Grd durch G v v p Hr st p dr (strkt Prmtrvktor, dr d Grd schrt W Ko ZDgsmt-tdoc St 6
27 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 7 Wlchs sd d rchtg Prmtr ud? u, dlrws sollt jdr Dtpukt v uf dr Grd lg, dh jdr Dtpukt lfrt Bstmmugsglchug + = Ds lfrt Bstmmugsglchug, w wr Dtpukt h, d wr Mtrform c p A ufschr: c A Dss Glchugssstm ht dr tschdd chtl: Es st (uötg komplrt, w groß st (B st = dr Prs k Sltht Es wrd für k Lösug h (!! ussr m Sodrfll, dss ll Pukt schö ordtlch uf dr Grd lg W s scho k kt Lösug gt, hätt wr gr möglchst gut, d, d d rd m st wdrgt [Wr wrd Mth gur dfr, ws "möglchst gut" hßt >> Guss'sch Mthod dr klst Qudrt, Lst Squr] u kommt wchtgr ud trm prktschr rck, dr ll dr Prolm uf Schlg löst: Wr multplr vo lks mt A durch: A A A C Auch w's komplrt ussht: Ds st jtt kls, hdlchs -LGS, ds (fst mmr lösr st Wlch Lösug lfrt s? M k g (s Kp 86, Mth, dss s gu d Lst-Squr-Lösug st (! - hr Mpl-Bspl us fucto-plotsmws, w Zt! - D Mthod st sogr och vl llgmr: Immr w ch Prolm ftt wll, ds lr vo lg vl Prmtr (,,c,d,,f, hägt, k ch d Mthod ud / / + =
28 Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 8 d og rck vrwd Awdugsspl: Wrpg ud Rgstrrug dr Bldvrrtug, Stchwort GooglErth D Mtr C hßt Kovrmtr dr Dtpukt, s ht groß Bdutug v v v v v v C M k dr Kovrmtr rk (Stchwort Egwrt, o d Dtpukt grmß uf r Grd lg odr wt vrstrut sd Ds st r Kptl für d wtrführd Lr Algr 67 Ft Lr Algr I dsm Kptl h wr d Grudlg dr Lr Algr (LA kglrt: Vktor, Sklrprodukt, Vktorprodukt (ur für =, Dtrmt, Mtr Mt Mtr lss sch mhrr lr Glchug kompkt usmmfss E LGS ht twdr k, odr udlch vl Lösug Wlchr Fll vorlgt ud w d Lösug ussht, fdt m mt dm Guß'sch Elmtosvrfhr hrus, ds d Mtr A durch äquvlt Umformug rppform ürführt E Zl mt lutr ull A ud k ull m -Kofft dutt: "k Lösrkt" D Ivrs A - r Mtr A rcht m, dm m (A E durch äquvlt Umformug (E A - ürführt (Guß-Jord-Vrfhr Grd- ud Eglchug, dr Schttmg Wtr wchtg Bgrff dr Lr Algr (Bsswchsl, Vktorrum, lr Aldug, Egwrt wrd wr m wtrführd Kptl dr Lr Algr klr ( Spll Mthmtk m Mstr
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS6 6 6 Lr Algr Du wolltst doch Algr, d hst du d Slt [Juls Vr, 88 95] E Algr cht hor dr Rchoprto stmmtr mthmtschr Ojkt D Ojkt dr lr Algr sd Vktor ud Mtr Huptl sd ( d rsformto
Höhere Mathematik 1 Kapitel 2 Lineare Algebra
Höhr Mthmtk Kptl Lr lgr Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus Höhr Mthmtk Kptl Ihltsvrzhs Lr lgr...-. Vktor m...-.. ddto vo Vktor...-.. Multplzr s Vktors mt m Sklr...-.. Btrg s Vktors...-6.. Vktor m Koordtsystm...-7..
Technische Mechanik I
Isttut für Tchsch ud Num. chk Prof. Dr.-Ig. Prof. E.h. P. Ebrhrd Tchsch chk I Prof. Dr.-Ig.. Hss WS 4/5. Tchsch chk I Prof. Dr.-Ig. Ptr Ebrhrd Prof. Dr.-Ig. chl Hss Vorlsug: D Vorlsug wrd für d Studrd
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 2, SS2015 06.05.2015
Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS05 06.05.05. Komlx Zahl Dr kürst Wg wsch w Wahrht m Rll führt übr das Komlx. [Jacus Hadamard, fra. Mathmatkr, 865-96] Am Afag stad w so oft b wssschaftlch Etdckug d Nchtlösbarkt
3.1 Definition, Einheitsvektoren, Komponenten, Rechenregeln, Vektorraum
. Vktorn. Dfnton, Enhtsvktorn, Komponntn, Rchnrgln, Vktorrum Nn sklrn (Zhln mt Mßnht w Mss, Enrg, Druck usw.) wrdn n dr Physk vktorll Größn ("Pfl" mt Rchtung und Läng) vrwndt: Ortsvktor, Gschwndgkt, Vrschung,
3. Vektoren. Definition: Vektoren im dreidimensionalen Raum sind geordnete Zahlentripel, y z. 2 usw., a a.
Vtor Wo_Vtor_-5-6-Srpt Dfto, Ehtsvtor, Rchrgl N slr Größ, lso Zhl mt Mßht w Mss, Erg, Druc usw vrwd wr dr Phys vtorll Größ, zb Ortsvtor, Gschwdgt, Krft, Fldstär usw Vtor stz Läg, d Btrg ds Vtors (Slr),
1.Zum Vektor soll ein Vielfaches des Vektors addiert werden, so daß die Summe von und auf dem Vektor senkrecht steht.
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4. Allgemeine Kraftsysteme: Gleichgewicht des starren Körpers
4. llgm Krftsstm: Glchgwcht ds strr Körprs 4. Momt lg vrtltr Kräftgrupp dr E 4.. Zw udr prlll Kräft Wr trcht ds ldug 4... ggt Prolm: r Sch grf w utrschdlch groß udr prlll Kräft ud. Ds Prolm soll dr sth
zu den 100 wichtigsten deutschen Wörtern
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Analyse metrischer Merkmale
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Es ist dann nämlich 2 2 2
Ege Bemerkuge zum Sklrprodukt See U,V,W Vektorräume üer eem Körper K. Ee Aldug ϕ :U V W heßt ler, we λ, λ, µ, µ K, u, u U, v, v V : ϕ( λ u + λ u, µ v + µ v ) = λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u,
Die mathematischen Formeln für den Geldentstehungsprozeß durch private Kredite 1. Das mathematische Rüstzeug:
D thtsch Forl ür d Gldtsthusprozß durch prvt rdt. Ds thtsch Rüstzu: E thtsch Utrsuchu sollt r so ch s dß cht studrt h uß u d thtsch Utrsuchu zu vrsth. Sollt tws utzt wrd ws cht ll kt st d sollt s vorhr
StudiumPlus- SS 2017 Torsten Schreiber
StudiumPlus- SS 07 Torst Schribr 44 Dis rg sollt Si uch oh Skript btwort kö: N Si di wichtigst Eigschft vo Mg! Wi kö Si i Itrvll dfiir? Wi fuktioirt di Modulo-Oprtio? Wofür brucht m ds d Morg Gstz? Ws
Wir feiern 25jähriges Jubiläum feiern Sie mit!
W f 25jähgs Juläum f S mt Zhlch Juläums-Akto, gussoll Vkostug, Fchtug, Gwspl ud l gut Lu wt S d Edlwss-Apothk. Ut dm Motto GESUND VON KOPF BIS FUSS wd 1.2.2014 gz Woch lg usgg gft. Nütz S us Juläumswoch
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS
Pof D Wolfgg o thmtk, WS 6 L lg Du wolltst doh lg, d hst du d Slt [Juls V, 88 95] E lg ht ho d Rhopto stmmt mthmtsh Ojkt D Ojkt d l lg sd Vkto ud t Huptl sd ( d sfomto vo Vkto ud ( d Lösug l Glhugsstm
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Das &sh KOzt für Aläss mt achhaltgr Wrkug Lass S us gmsam guts Tu. catrg solutos a r o v b y & s h a r o v b y & s h Usr acht Ltsätz Um usr Abscht kokrt lb u mss zu kö, hab wr acht Ltsätz frt. Ds Ltsätz
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Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann. Technical Reports and Working Papers Leuphana Universität Lüneburg
3 Jhrgg H Oor 3 ISSN 939-88 FIAL Mh ür Wrschsor Ulrch Ho Tchcl Rors d Worg Prs Luh Uvrsä Lüurg Hrsg dr Schrrh FINAL: Ulrch Ho Schrhorssrß D-335 Lüurg Mh ür Wrschsor Pro Dr rr Ulrch Ho Ürr Fssug Oor 3
Handout zum Vortrag Josephsonkontakt
Hadout zum Vortrag Josphsokotakt Thor ud Awdug ds Josphso - Effkts / Kotakts: Dr Josphso - Effkt st makroskopschr mssbarr kohärtr Tulffkt. Durch tuld Elktro bzw. Coopr-Paar wrd d bd Supraltr mtadr gkopplt.
3 Allgemeine lineare Gleichungssysteme über R. Superposition
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MST Übung 3 Mathematik 2 Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
MST Übug Mthemtk Prof.Dr.B.Grbowsk e-ml: grbowsk@htw-srld.de Tel.: 87- Iverse Mtrze ufgbe : Bereche Se de Iverse Mtr zu folgede Mtrze. Prüfe Se Ihr Ergebs, dem Se - bereche! b dg-,,-,,-, c 7 d ufgbe :
L Hospital - Lösungen der Aufgaben B1
L Hospital - Lösug dr Aufgab B Gsucht: = Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf Für ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg = da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir: ' =
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Rekurrenz. Algorithmen rufen sich selbst (rekursiv) auf.
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Lineare Algebra Formelsammlung
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Grundlagen Kreditrisikomodelle
Grudlag Krdtrsomodll Grudlag Krdtrsomodll (Fassug Aprl 6) /39 Marus Schch Emal: Marus.Schch@gmx.d Hompag: www.marus-schch.d Grudlag Krdtrsomodll Vorwort Dsr Artl stllt Eführug d Grudlag vo Krdtrsomodll
Bewegungsgrößen. s(t): Ortskoordinate. v(t): Geschwindigkeit. a(t): Beschleunigung. s (t ) v (t )= ds(t ) dt dv (t ) = s(t )
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7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
Carl Friedrich Gauß (Deutscher Mathematiker, 1777 bis 1855) formulierte die folgende Formel n
mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe
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SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Inhalt. Beschreibung von DNA- Sequenzen als Markov-Ketten. DNA-Sequenz. Markov-Ketten. X: Stochastische Sequenz. P(X): Wahrscheinlichkeit der Sequenz
shrbung von D- Sunzn ls Mrkov-Kttn En Enführung Inhlt Mrkov-Kttn für -Islnds Hddn Mrkov Modls HMM für - Islnds usblk Uw Mnzl Rudbk bortory Usl Unvrsty D-Sunz D Rhnfolg dr sn m D -Molkül bstmmt dn uln ns
2.8 Das Bohrsche Atommodell (Wiederholung und Fortsetzung)
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d Beweis. Knoten 1 den Grad k hat.
4 Bäum un Mnmlrüst Dnton 4.. Es n G = (V, E n zusmmnännr Grp. H = (V, E ßt Grüst von G w. wnn H n Bum st un E E lt. Bmrkun 4.. En Grüst st lso n zusmmnännr, zyklnrr, uspnnnr Untrrp von G. Bspl 4.. Gr üst
Regressionsanalyse. Analyse der Residuen Feststellung der Größe Feststellung der Verlaufsform. Nichtlineare einfache Regression. Mehrfachregression
Rgrssosaalys Aalys dr Rsdu Fststllug dr Größ Fststllug dr Vrlaufsform Nchtlar fach Rgrsso Mhrfachrgrsso Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II Bblograf: Prof. Dr. Kück Uvrstät Rostock
Numerische Methoden in der Strömungstechnik
Nmrsch Mthod dr Strömgstch WS 004/05 Dr.-Ig. Irs atl/dr.-ig. Fraco Magagato Fachgbt Strömgsmasch I. führg d Nmrsch Mthod CFD II. Grdglchg dr Strömgsmcha III. Dsrtsrg: Ft-Dffrz Mthod IV. Ft-Volm Mthod V.
Polynomprodukt und Fast Fourier Transformation
Polomrodut ud Fst Fourer Trsformto Polome Reelles Polom eer Vrble...... R : oeffzete vo Grd vo : höchste Potez Besel: 3 3 5 8 Mege ller reelle Polome: R[] 3 Oertoe uf Polome. Addto b b b q b b b b b q
Konfliktpotential Wasser Versuch einer globalen Analyse als Grundlage zur Entwicklung eines thematischen Atlasses
Kflktpttl Wss Vsuch glbl Alys ls Gudlg zu Etwcklug s thmtsch Atlsss Pästt d stbt m Studfch Gdtfssug ud -vsulsug - Fchchtug Ktgph v J Schulz 06. 2013 Gldug 1 EIltug 2 Bdutug v Wss 3 Ausgwählt Kflktg 4 Etlug
Fourier-Transformation und Wavelets
Fourr-Trsforto ud Wvlts Otto Forstr, Joch Whlr Vorlsug Wtrsstr /, LMU Müch, Vrso Ihlt HILBET-ÄUME 6 DEFINITION (PÄ-HILBET-AUM) 6 SATZ (UNGLEICHUNG VON CAUCHY-SCHWAZ) 6 3 DEFINITION (HILBET-AUM) 7 4 DEFINITION
Metrische Probleme und das Skalarprodukt
V Mtrisch Prolm und ds Sklrprodukt Bishr: Prolm wi Schnittgrd, usw. könnn glöst wrdn. Jtzt: Winkl, Astnd von Grdn und zwir Punkt, usw. durch Einführung ds: Astnd zwir Punkt - Btrg ins Vktors Sinnvoll Fordrungn
durchschnittliche Zinsen (je Periode) durchschnittliche Kapitalrückgewinnung (je Periode)
BWL-Vorlsug Forlslug Std: Otobr 999 St sttsch Gwrchug E B Übrschuß / ttsächlch Erlös Prodzhl E Prodh / Erlös B Produsgb E x p s E Prodh / Erlös x Stüczhl / Mg p s Prs Stüc (Vrbruchr) Prod B x p s B Produsgb
R. Brinkmann Seite Achsenschnittpunkte von e- Funktionen und Exponentialgleichungen
R. Brikma http://brikma-du.d Sit 08..009 Achsschittpukt vo - Fuktio ud Epotialglichug Eiführugsbispil Bispil : Zu bstimm sid di Achsschittpukt vo s + f = D Schittpukt mit dr y y=f 0 Achs fidt ma übr d
SS 2017 Torsten Schreiber
SS Torsten Schreber e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene
Mathematische Hilfsmittel
Mthmtish Hilfsmittl Ltiish Shrift d f g h i j k l m o p q r s t u v w ß ä ö ü B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Ä Ö Ü Grihish Shrift α β γ δ ε ς η ϑ ι κ µ lph Bt Gmm Dlt Epsilo Zt Et Tht
Arithmetische Schaltkreise
Kptel Arthmetsche Schltkrese. Adderer. Sutrherer Multplzerer ALU Berd Becker Techsche Iformtk I Wederholug: Se -... ee Folge vo Zffer, {,} Bärdrstellug: Zweerkomplemet: [ -... ] Recheregel: mt [ ] [
Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
Die Kraft der guten Worte
! k h c s l l o iv Ds Büchr, C chmck, ft Ptsch A trß PLZ / Ort L A ll i sivoll schk möcht! mit vil Fr f ll it rit. Wi k ich hlf? Dis Frg h sich sichr scho vil vo s gstllt. Zm Bispil mit sr Gschk, r Erlös
Kommunikation. Begriffsdefinitionen aus dem Web
Kommuikatio 28 I usrr Gsllschaft ist Kommuikatio shr wichtig. Oft vrstädig sich Msch problmlos mitiadr. Erst w s Schwirigkit gibt, mrk wir, dass Kommuikatiosprozss zimlich komplizirt si kö: Kommuikatio
Bis zu 20 % Ra. b b. a h
btt! Bis zu 20 % R www.gvb.ch h? ic s b b d d u W s s d ich t lück lo s s u H Ih h ic s W i v Mit us kö Si Ih Hus udum vsich Mit us Zustzvsichug ist Ih Vsichugsschutz i ud Sch W glichzitig i Lück i d Gbäudvsichug
Schleswig-Holstein 2009 Leistungskurs Mathematik Thema: Analysis. ( x) . (14 P) g mit ( ) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f a und
Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis Aufg Ggn ist di Funktionnschr f mit f ( ) = (, IR ) ) Untrsuchn Si di Funktionnschr f uf Nullstlln, ds Vrhltn im Unndlichn,
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
Franziskusmesse. 1. Von Gott gerufen. Eingangslied. Text: Raymund Weber Musik: Klaus Wallrath 2012/13. q. = 72
Franzskusmss 1. Von Gott grun Tromt I (ad lb.) q. = 7 8 m Engangsld Txt: Raym Wbr Musk: Klaus Wallrath 01/1 Tromt II (ad lb.) 8 m Posaun I (ad lb.) 8 m Posaun II (ad lb.) 8 m Chor unsono q. = 7 8 m (SA)
31. März 2009 Aalyst Tlfokofrz zum Gschäftsjahr 2008 Agda Eltug Ürlck zu d Sgmt Gschäftszahl für 2008 Etwcklug dr Akt Auslck EM.SPORT MEDIA AG I Aalyst Tlfokofrz 31. März 2009 2 Wstlch Ergss st dm 1. Sptmr
Sommerbaustellen 2015
Sommbull 05 Gzch (Roch) Mkplz Blfo Lb Fhgä U Gl- ud Fhluglg pflg w gu dm S ch ud bqum Tm ud Bu fh kö. D bdu, d w uch glmäg z mü. Bull kö Umllug, Echäkug ud uch Läm m ch bg. E u go Alg, d Ih w uch d Awoh
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
Märkte. Südseiten 3/10
Märkt 12 Südst 3/10 Blck S durch? CO2-Hadl: Auf d Strat kommt s a! Südst 3/10 13 Märkt. d hm m. a r lt zu ä m f h l h sc v l d r s rt l d d a a H t t u t tt tra ka s S f z D rt a Z 2 F O C d ch u A B Dr
ev. Jugend Böckingen Freizeit Programm 2015
v. Jugd Böckig Fzt Poga 2015 Zltlag fü 9-13 Jähig 2. - 15. August 2015 Wi sog fü gaos ud uvgsslich Fzt i Mt ds Hohloh Walds, i Etthaus kl gütlich Dof. Dikt vo Bauhof ba gibt s täglich fischst Milch du
Ableitungsregeln. Produkte- und Quotientenregel. Ableitung einiger wichtiger Funktionen. Kettenregel. Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
Reihenentwicklung die Taylorentwicklung
Rihtwicklug di Taylortwicklug Motivatio: Es lig i Potrih olgdr Form vor: Durch Umorm rgibt sich: s s s s s K K K Für udlich groß rgibt sich im Wrtbrich < < i dlich Summ s. Dis lässt sich als Fuktio vo
Training 4: Sparen. Zinsen und Zinseszinsen
Trag 4: Spar Z ud Zz r Wa bkommt du Z? C: W du Gld algt. B: D: r A: W du gut r kat. Trag 4/Erwtrug: Spar Z ud Zz/Prätato/St 2 W du dr Gld lht. W du Gld vo dr Bak brt. W Bak ud Sparka Gld vrd 2. Da gammlt
Nr. 15 11.04.2016 9. Jahrgang. Näher betrachtet: Worauf freuen sich die Südpfälzer am meisten im Frühling? PFALZ-ECHO-Umfrage: Seite 2
fo@smsk-bu.d www.smsk-bu.d MEISTERBETRIEB AUGENOPTIK + HÖRAKUSTIK + MEISTERBETRIEB Kögstrß Bd Brgzbr Kögstr. Bd Brgzbr Tl. 0 00 Am Gäxwld 0 Hrxhm Tl. 0 / 0 0-0 WOHNMOBIL - VERMIETUNG prästrt d Wttrusscht
e = lim ( n n) und Folgerungen
= lim + ud Folgrug Ergäzug zur Vorlsug Aalysis I, Dail Grisr, Dz. 2005 Satz: Si x = +, y = + +. Da gilt lim x = lim y = x ist strg mooto wachsd, y ist strg mooto falld. Isbsodr gilt für all x < < y. Bmrug:
9 Integration von Funktionen in mehreren Variablen
9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 9 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen Der Integrlegrff für Funktonen n mehreren Vrlen st wesentlch velfältger ls der e Funktonen n ener Vrlen. Dem unestmmten
Anhang B Ergänzungen II: Vektor- und Matrizenrechnung
Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug Ahg B Ergäug II: Vktor- ud trirhug B Grudlgds ur Vktorrhug Im Folgd stll di Smol,, ud d iht witr stglgt Vktor dr, ist i Eihitsvktor ud C i liig ostt Diitio Zu d olgd Diitio
7.5. Aufgaben zu Skalarprodukt und Vektorprodukt
7.. Aufgbe zu Sklrprodukt ud Vektorprodukt Aufgbe : Sklrprodukt Bereche die folgede Produkte: ) Aufgbe : Läge eies Vektors Bestimme die Läge ud de etsprechede Eiheitsvektor der folgede Vektore. =, b =,
Numerische Methoden in der Strömungstechnik
Nmrsch Mthod dr Strömgstch WS 004/05 Dr.-Ig. Irs Patl/Dr.-Ig. Fraco Magagato Fachgbt Strömgsmasch I. führg d Nmrsch Mthod CFD II. Grdglchg dr Strömgsmcha III. Dsrtsrg: Ft-Dffrz Mthod IV. Ft-Volm Mthod
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
3. Kräfte in einem Angriffspunkt
3. Kräft m Agrffspukt 3. Zusammstz vo Kräft Btracht Abbldug 3... Zw Kräft, gat ud, grf m Pukt A s Körprs a. D Erfahrug zgt, dass ds Kräft durch zg Kraft, d sogat sultrd, rstzt wrd kö. Dslb rmttlt ma dadurch,
Tag der letzten Fachprüfung des Rigorosums: 15. Dezember 1999. Univ.-Prof. Dr. Peter Kleinschmidt
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Herzlich willkommen!!!
vvcm v2c Wb- Vdkfzsfw Ds Kzp VENIMUS VIDEMUS COMPREHEDEMUS KOMMEN SEHEN VERSTEHEN Hzlch wllkmm!!! 2009, vvcm GmbH, Bm www.vvcm.d flgch m V2C b Ds Uhm VIVICOM» Sd: Bm D s U h m V I V I C O M» Ewcklug v
r = 2 y p = 1 und z p = 1 P(3; 1; 1) bzw. PS linear abhängig ist. 7 PS ist Höhe der Pyramide 14
Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik www.mth-schul.d Sit vo 5 P Gomtri A(5;-;), B(;5;-) C(-;7;), D(-;;), S(;;5). Zichug: (Usichtbr Kt: AD, DS, CD ) A, B, C, D sid Eckpukt is Prlllogrmms, w j wi dr Vktor AB,
Analysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Wichtige Nummern. Ihre Meinung zählt! August 2012. Spitzenleistung Energieeffizienz im Opernhaus. Teilnehmen und gewinnen! Sparangebot.
3 Füf r m Pr AbOopsr zu für d! gw StartKlar Lb Lsr ud Lsr, Eugè Iosco hat st fstgstllt: D Kust st uütz, abr dr Msch ka auf das Uütz b cht vrzcht. Vor allm hat Kust hr Prs. Hut sd Kulturbtrb gut brat, so
smart BRABUS tailor made >> Vom Original zum Unikat.
smr BRABUS lor md >> Vom Orgl zum Uk. smr BRABUS lor md 02 03, l l Für r d l ö prs m. o u A E smr forwo s mmr ws Bsodrs. M smr BRABUS lor md wrd us m bsodr Auo zgrgs: Gsl S Ir gz prsöl smr forwo ud sz
Erläuterungen zu Leitlinien zum Umgang mit Markt- und Gegenparteirisikopositionen in der Standardformel
Erläutrungn zu Ltlnn zum Umgang mt Markt- und Ggnpartrskopostonn n dr Standardforml D nachfolgndn Ausführungn n dutschr Sprach solln d EIOPA- Ltlnn rläutrn. Währnd d Ltlnn auf Vranlassung von EIOPA n alln
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
Programmierung und Angewandte Mathematik
Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk C++ /Sclb Progrmmerug ud Eführug ds Kozept der objektoreterte Aweduge zu wsseschftlche Reches SS Ihlt Folge Rehe Verfhre zur Kovergez Bestmmug Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Vs Am. i. a. ein Tensor. Lenz sche Regel, Kreisstrom erzeugt Gegenfeld. (Sonderfall Supraleiter: idealer Diamagnetismus Kap. 9)
6. Magtsus auu: H 4π0 7 s A Matal: H M H ( χ ). a. s Magtsug M Dcht agtsch Mt M D.: H ( äußs Magtl ) Magtsch Suszptbltät χ M χ H χ < χ > 0 0 aagtschs halt paaagtschs halt. a. ttt bs au: χ χ χ p χ : Lz
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Bezahlbarer Wohnraum für Frankfurt.
Zls Fal Bas Rdrwald a d Srvc drbac drwald Ndr-Escbac Sss Höcst Ndrrad Grs Sacsaus a d Nrdwststadt r w Zls Fal Bas s Rdrwald z wa Nd Srvc Utrldrbac Rdrwald Ndr-Escbac Sss Höcst Ndrrad Grs Sacsaus Zls Fal