Grundlagen der Differentialrechnung: Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik

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1 Grundlagen der Differentialrechnung: Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik István Pál Okt. 2014

2 Gliederung Bekannte Grundbegriffe Geschichte der Differentialrechnung Anwendungsgebiete der Differentialrechnung Anwendungsbeispiele (Physik, Technik) + Theorie Zusammenfassung Dokument: slides-diff.tex,v /10/15 01:48:21 pali Exp(pdfLATEX ed: 15. Oktober 2014)

3 Bekannte Grundbegriffe Newton und Leibniz, Fermat, Descartes, Euler und Dirichlet Sekante, Tangente Konvergenz: lim n x n = x Stetigkeit (ε δ-kriterium: f(x) Stetig in a D(f) ε δ : x a < δ, f(x) f(a) < ε ): Eine Funktion ohne Sprung Sogar... Differenzierbarkeit: Grenzwert der Differenzenquotienten. Eindeutige, lokale, lineare Approximation einer Funktion in einem Punkt f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h I. Pál 15. Okt

4 Geschichte der Differentialrechnung Der Begriff Kurve aus der Antike als geometrisches Objekt. (Mechanik: Durch die Bewegung des Massenpunktes eindeutig bestimmt, aber nicht umgekehrt) Die Aufgabenstellung: Tangentenproblem (die Tangente an eine Kurve durch ihre Sekante zu approximieren) Fermat: im 1628 Methode zur Extremstellen-Bestimmung Descartes: Kreis an eine Kurve Newton u. Leibniz (unabh.): die Grundsteine, Ende d. 17. Jh. Euler und Dirichlet: die Ableitungsregel, allg. Def. I. Pál 15. Okt

5 Anwendungsgebiete der Differentialrechnung In meisten Gebieten der Naturwissenschaften und Technik Von der Zeit abhängige Funktionen: Chemie, Physik (Mechanik, Weg-Zeit-Diagramm, Geschwindigkeit-Zeit-Diagr.) etc. Beispiele für Änderungsraten x y bzw. f(x) Änderungsrate y x Lokale Änderungsrate f (x 0 ) Zeit Weg Durchschnitts-Geschw. Momentan-Geschwindigkeit Zeit Geschwindigkeit Durchschnitts-Beschl. Momentan-Beschleunigung Zeit Flughöhe Durchschnittliche Steig- Momentane Steig- bzw. bzw. Sinkgeschwindigkeit Sinkgeschwindigkeit Zeit Wassermenge Durchschnittliche Momentane Zuflussgeschwindigkeit Zuflussgeschwindigkeit Weg Benzinvolumen Durchschnittliche Momentaner Benzinverbrauch Benzinverbrauch Höhe Luftdruck Durchschnittliche Momentane Luftdruckänderung Luftdruckänderung Minimum, Maximum, Optimumberechnung Lösen von Gleichungen, Gleichungssystemen Automobilindustrie, Schiffbau: Spline I. Pál 15. Okt

6 Anwendungsbeispiele aus der Physik Weg B Stadt B s Signal A t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 Zeit I. Pál 15. Okt

7 Anwendungsbeispiele aus der Physik Beispiel (Weg-Zeit Diagramm): Verlauf der Fahrt eines Objekts Die gekrümmte Kurve ist das Bild der Funktion s = f(t) Dem Abszissen-Unterschied t entspricht der Ordinaten-Unterschied s und die Gerade (Sekante) durch die Punkte P 0 (t 0, s 0 ) u. P 1 (t 1, s 1 ) hat den Anstieg nach den Regeln der anal. Geom., als Quotient der Differenzen Differenzenquotient: s t = s 1 s 0 = f(t 1) f(t 0 ) = f(t 0 + t) f(t 0 ) t 1 t 0 t 1 t 0 t = f(t 0 + h) f(t 0 ) h = tan α Differentialquotient o. Ableitung: Das untersuchte Verhalten der Kurve im P 0 wird umso besser ausgedrückt, je näher P an P 0 liegt. Läuft P gegen P 0 so geht die Sekante [P 0, P ] in eine Grenzlage, in die Tangente im P 0 über s lim t 0 t (falls es existiert) Was haben wir jetzt eigentlich berechnet? I. Pál 15. Okt

8 Anwendungsbeispiele aus der Physik Geschwindigkeit v = s t, v = f (t) nach Leibniz = ds dt nach Newton = ṡ Aufgabe 1: Bestimmen wir die Geschwindigkeit in dem Zeitpunkt t 0 bei dem freien Fall. Wir wissen: s = f(t) = g 2 t2 Plan: Wir verwenden die vorherigen geom. Überlegungen (man s könnte es Definition(en) nennen) lim t 0 t und führen wir die Rechnungen durch, schließlich Kontrolle. Lösung: g s t = 2 (t 0 + t) 2 g 2 t2 0 t lim t 0 = g 2 t(2t 0 + t) t s t = lim t 0 gt 0 + g 2 t = gt 0 v = gt 0 = gt 0 + g 2 t I. Pál 15. Okt

9 Anwendungsbeispiele aus der Physik Weg B B Stadt Signal s Geschwindigkeit Zeit A Zeit t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 Geschwindigkeit Zeit Die Geschwindigkeitskurve v = ṡ = f (t) scheint,,günstig zu sein. Was passiert, wenn wir es nochmal differenzieren? Welche physikalische Größe erhalten wir? (Beschleunigung) Eine Funktion heißt zweimal differenzierbar, wenn f differenzierbar ist und die Ableitung f := (f ) = d2 f von f dx 2 heißt zweite Ableitung von f. Allgemein k-mal differenzierbar, wenn f (k) := (f (k 1) ) = dk f existiert. dx k I. Pál 15. Okt

10 Anwendungsbeispiele aus der Physik Ableitungsregeln (a) Additionsregel: (f + g) (x) = f (x) + g (x) (b) Produktregel: (f g) (x) = f (x 0 )g(x) + f(x)g (x)) (c) Quotientregel: (f/g) (x) = (f (x)g(x) f(x)g (x)) g 2 (x) (d) Kettenregel: (g f) (x) = g (f(x)) f (x) Ableitung der Grundfunktionen Grundfunktion Typ Allg. Bezeichnung erste Ableitung Konstant f(x) = c (c R) f (x) = 0 Linear f(x) = cx f (x) = c Potenz f(x) = cx n f (x) = cn x n 1 Sinus Trig.Fn. f(x) = sin x f (x) = cos x Cosinus Trig.Fn. f(x) = cos x f (x) = sin x Exponential f(x) = a x (a R) f (x) = a x ln a Logarithmus f(x) = log a x = ln x f (x) = 1 ln a x ln a Beispiel: Bei freiem Fall aus s = f(t) = g 2 t2 erhält man durch Differenzieren ṡ = gt und nochmal Differenzieren s = g. Dabei ist die Konstante g, die Erdbeschleunigung. Der freie Fall ist danach eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung. I. Pál 15. Okt

11 Anwendungsbeispiel: Harmonische Schwingung Die Harmonische-Schwingung wird beschrieben durch y(t) = A sin(ω t + ϕ 0 ) mit Amplitude A, Nullphasenwinkel ϕ 0, Kreisfreq. ω = 2π f Aufgabe 2: Bestimmen wir die maximale Geschwindigkeit der harmonischen Schwingung bei bekannten Amplitude y 0. Plan: Ableitung der Amplitudenfunktion nach t mit Hilfe von Ableitungsregeln (f (c x) = c, (sin x) = cos x, Kettenregel (g f) (x) = g (f(x)) f (x) = dg df df dx ) Schwingungsgeschwindig.. Wir analysieren die erhaltene Funktion und Kontrolle. I. Pál 15. Okt

12 Anwendungsbeispiel: Harmonische Schwingung Lösung: y(t) = y 0 sin(ω t + ϕ 0 ) v = ẏ(t) = y 0 cos(ω t + ϕ 0 ) ω v = y 0 ω cos(ω t + ϕ 0 ) }{{} max 1 v max = y 0 ω I. Pál 15. Okt

13 Extremalaufgaben Bestimmung von Extremwerten (Minimum, Maximum) Mittelwertsätze (Roll, Lagrange, Cauchy) Monotonie der Ableitung und lokale Extrema x x 0 f (x) f(x) M x x 0 f (x) f(x) m f hat ein lokales Minimum (Maximum) an der Stelle x, falls f (x) = 0 und f (x) > 0 (bzw. f (x) < 0) gilt. (f (x) = 0?) I. Pál 15. Okt

14 Anwendungsbeispiel: Wurfparabel Aufgabe 3: Bei Parabelwurf ist die Formel für die Entfernung s(α) = v2 0 sin 2α, g wobei v 0 der Anfangsgeschwindigkeit des Wurfobjekts und α ist der Winkel zwischen Anfangsgeschwindigkeit und Waagerecht (α 0, α 90 ) Plan: Bild skizzieren. HB: s =! max. Ableitungen und Rechnungen durchführen, schließlich Kontrolle. Lösung: ds dα = v2 0 g 2 cos 2α (v 0 0, g > 0) 2α = π 2 + kπ k = 0, ±1, ±2... α = π 4 + k π 2 d 2 s = 2v2 dα 2 0 g ( 2 sin 2α) = 4v2 0 g sin 2α < 0 α = 45. I. Pál 15. Okt

15 Tangente Tangente an die Funktion f im Punkt P (x 0, f(x 0 )) : (Hilfe y = y 0 + m(x x 0 )) y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) (x x 0 ) f(x) f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) f(x) = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) I. Pál 15. Okt

16 Newton Verfahren Lösen von Gleichungen der Form f(x) = 0, bzw. die Schnittpunkte eines Funktionsgraphen y = f(x) mit der Abszisse y = 0. Keine Formel (Satz von Ruffini-Abel) Näherung Annahme: Gleichung f(x) = 0 hat nur eine Lösung auf (a, b) Sei y = f(x) differenzierbar auf (a, b) und der Differentialquotient f (x) 0 Der Tangente im Punkt a: f(x) f(a) = f (a) (x a) Die Tangente schneidet die x-achse im Punkt x 1 (y 1 = 0) 0 f(a) = f (a) (x 1 a) f(x) = x 1 f (a) af (a) af (a) f(x) = x 1 f (a) x 1 = a f(a) f (a), x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ),..., x n+1 = x n f(x n) f (x n ) die Newtonsche Iterationsformel I. Pál 15. Okt

17 Differenzieren mit dem Computer Zwei Möglichkeiten: Symbolisch Numerisch f (x) = df dx f(x + ε) f(x) ε f (x) = df f(x + ε) f(x ε) = dx 2ε Anwendung: Genauigkeit überprüfen z.b. mit f(x) = tan x Höhere Ableitungen ( Stärkerer Genauigkeitsverlust) f (x) = df 2 dx = f (x + ε) f (x ε) 2 2ε I. Pál 15. Okt

18 Taylor Reihenentwicklung Vor,,Computer-Zeit war das Rechnen mühsam,,rechenschieber. Dann kamen die elektrischen Taschenrechner und plötzlich konnte man Sinus rechnen. Wie war es doch möglich, da sin = cos( π 2 x) nicht-algebraisch, bzw. transzendent sind. Lösung: Dank u.a. Taylor die transzendenten Funktionen mit algebraischen Funktionen (Potenzreihen) beliebig genau angenähert werden kann Die fundamentale Formel: ( x x 0 klein genug, < 1) f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2 (x x 0 ) , wobei x 0 die Anschlussstelle und die Zahl k! die Fakultät ist. Methoden der Kleinsten Quadrate x [f(x) t(x)]2 x [f(x 0) + f (x 0 )(x x 0 ) t(x)] 2 I. Pál 15. Okt

19 Zusammenfassung Anwendungsgebiete, Beispiele + Theorie der Differentialrechnung Differenzieren mit dem Computer, Newton Verfahren, Taylor Reihenentwicklung Die Idee, eine nichtlineare Funktion durch ihre lineare Approximation lokal zu ersetzen, ist absolut zentral in Analysis. NICHT VERGESSEN! Literatur: siehe auch (suche: Analysis) I. Pál 15. Okt

20 Ende Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! I. Pál 15. Okt

21 Anwendungsbeispiel: optimal Volumen Aufgabe: Der Schlosser soll aus einem quadratischen Metallstück mit Seitenlängen a eine von oben offene Kiste verfertigen, so dass aus den Ecken des originalen Arbeitsstückes ein Quadrat mit Seitenlängen x ausgeschnitten wird. Wie soll x gewählt werden, damit das Volumen der Metallkiste maximal wird? Plan: Bild skizzieren. HB: Volumen maximal. Ableitungen und Rechnungen durchführen, schließlich Kontrolle. Lösung: V = (a 2x) 2 x = (a 2 2a2x + 2x 2 ) x = a 2 x 4ax 2 + 4x 3 = 2x 3 4ax 2 + a 2 x dv dx = 2x 2 8ax + a 2 x 1,2 = 8a± 64a 2 48a 2 24 x 1 = a 2, x 2 = a 6 I. Pál 15. Okt

22 Anwendungsbeispiel: Elektrotechnik Aufgabe: Der innere Widerstand R b einer Batterie ist unveränderbar. Der externe Widerstand R kann geändert werden. Wie soll R gewählt werden, damit die Leistung P daran maximal wird. Plan: Nebenbedingung (NB): Ohm Gesetz U = I R I = Hauptbedingung (HB): P = U I = I 2 R! = maximal Rechnungen durchführen und zum Abschluss Kontrolle. Lösung: P dp dr = ( E R b +R )2 R = =... = E 2 R b R (R b +R) 3 E2 R (R b +R) 2 d 2 P = E 2 1(R b +R) 3 (R b R) (R b +R) 2 dr 2 P (R b ) = 1 4 E 2 R b (R b +R) 6! < 0 E R b +R I. Pál 15. Okt

23 Anwendungsbeispiel: Geometrische Optik Aufgabe: Es gilt die Linsengleichung 1 f = 1 t + 1 k. Bei gegebener Brennweite f auf welchem Objektabstand t und Bildweite k wird ihre Summe minimal? Plan: y = t + k minimal; NB 1 f = 1 t + 1 k ; Rechnungen + Kontrolle Lösung: 1 f = 1 t + 1 k tkf tk = fk + tf k = tf t f y(t) = t + tf t f (f konstant) dy dt = 1 + f(t f) tf (t f) 2 = 1 f 2 (t f) 2! = 0 (t f t 1, t 2 ) Minimum ( d2 y dt 2 ) t 1,2 > 0 I. Pál 15. Okt