( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

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1 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion ist eine Stmmfunktion von f d.h. es gilt: = f für [,] oder ( ) ( ) f ( t) dt = f ( ) integr4 7../ul

2 Beweis des Huptstzes unter der zusätzlichen Vorussetzung: f() Sei m ds Minimum, M ds Mimum der stetigen unktion f im Intervll [, + h] ür die Integrlfunktion ( ) = f ( t) dt) gilt dnn die folgende Aschätzung: mh ( + h) ( ) Mh Division durch h ( + h) ( ) m M Grenzüergng h ( + h) ( ) limm lim lim M f ist stetig h h h h f ( ) ( ) f ( ) = f ist eine Stmmfunktion von f uf [,] ( ) ( ) Ds Prolem der Differentilrechnung: (Aleiten, Derivtion) Gegeen ist eine unktion, gesucht ist die.aleitung ' = f Ds Umkehrprolem der Integrlrechnung: ("Aufleiten", Antiderivtion) Gegeen ist eine unktion f, gesucht ist eine unktion mit ' = f integr4 7../ul

3 Als olgerung us dem Huptstz in der. orm ergit sich nun ein einfches Verfhren zur Berechnung estimmter Integrle. Die Idee wird m folgenden Beispiel erläutert: Ist etw sin d zu erechnen, so etrchte mn die zugehörige Integrlfunktion ( ) sin = d ( ) = cos ist eine Stmmfunktion des Integrnden ( ) = sin f ist nch dem Huptstz (. orm) eine Stmmfunktion von f, unterscheidet sich lso von einer elieigen Stmmfunktion des Integrnden f höchstens in einer Konstnten, d.h. es gilt: ( ) = cos + c mit c R Die Konstnte c ist ddurch estimmt dss () = ist: () = cos + c und dmit c = cos = Wegen ( ) = cos folgt + ( ) d ( ) = sin = cos = üerträgt mn ds Vorgehen uf den llgemeinen ll so erhält mn den Huptstz (. orm) Ist eine Stmmfunktion der im Intervll [,] stetigen unktion f, dnn gilt: f ( ) d = ( ) ( ) Die Berechnung von estimmten Integrlen esteht dmit us zwei Schritten:. Suche zum Integrnden f eine elieige Stmmfunktion. Bilde die Differenzen der unktionswerte von n oerer und unterer Grenze. Beweis des Huptstzes (.orm) Die Integrlfunktion ( ) = f ( t) dt ist eine Stmmfunktion von f. Sie unterscheidet sich von einer elieigen Stmmfunktion von f höchstens in einer Konstnten c, d.h. es gilt: = + c ( ) ( ) D n der unteren Grenze verschwindet gilt: c c ( ) = ( ) + = = ( ) oder lso ( ) = ( ) ( ) ür = erhält mn schliesslich ( ) = f ( ) d = ( ) ( ) Dmit ist der Huptstz ewiesen. Bem.: ür Differenz () - () schreit mn zur Akürzung ( ) ( ) = ( ) integr4 7../ul

4 3 Bem.: Die Stmmfunktion knn durch eine elieige ndere Stmmfunktion ersetzt werden, denn eine llfällige Konstnte wird n der oern Grenze ddiert und n der untern wieder sutrhiert. Beispiele: e d =? () = e ist eine Stmmfunktion von f() = e e d = e = e e = e Bem.: Nicht jedes estimmte Integrl muss mit dem Huptstz erechnet werden. Eine geometrische Interprettion knn die Berechnung vereinfchen wie im folgenden Beispiel: r r r d = Inhlt eines Viertelskreises mit Rdius r 4 vgl. uch in Aschnitt 3. ds einführende Beispiel eines lineren Integrnden. Aufge: Bestimme > so, dss die läche zwischen y =, der -Achse und der Gerden = den Inhlt 9 ht d = = = 9 = 3 integr4 7../ul

5 4 Ergänzungen:. Die Aussge des Huptstzes in der. orm knn m folgenden einfchen Beispiel illustriert werden: Die Aufge ds estimmte Integrl ( + ) d zu erechnen (geometrisch: den Inhlt des gefärten Dreiecks zu erechnen) knn nch dem Huptstz folgendermssen gelöst werden: Zunächst ist zum Integrnden f eine Stmmfunktion zu suchen: In der Skizze sind dzu 4 verschiedene Stmmfunktionen von f drgestellt. D ihre Aleitungen üereinstimmen hen ihre Grphen gleiche Tngentensteigungen, drgestellt n der Stelle -, wo die Aleitung f(-) = - eträgt. Mssgeend ist nun die Stmmfunktion, die n der untern Grenze (-) den Wert ht, lso ( ) = + +. Der Wert des estimmten 9 Integrls stimmt mit ( ) = üerein. Nch der. orm des Huptstzes knn der Wert des estimmten Integrls uch erechnet werden, indem mn für eine elieige Stmmfunktion z.b. ( ) = + die Differenz der unktionswerte () (-) = 4 (- / ) = 9 / (den lächenzuwchs erechnet). Bem.: D (zufälligerweise) f(-) = hen die Preln ls Grphen der Stmmfunktionen den Scheitel n der Stelle - integr4 7../ul

6 5. Der Huptstz edeutet uch, dss durch Integrtion us stetigen unktion differenzierre unktionen entstehen. Integrtion ht lso wie ds folgende Beispiel zeigt eine glättende Wirkung. c integr4 7../ul

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