Einführung in die Differentialrechnung

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1 Einfürung in die Differentialrecnung J. Sperling Uni-Rostock, WS 2015/2016

2 Inaltsverzeicnis 1 Differentialrecnung Zur Gescicte Notation und Definition Die Kettenregel Eigenscaften, Recenregeln und Beispiele Weiterfürendes Höere Ableitungen Merdimensionale Ableitungen Lagrange-Multiplikatoren Infinitisimale Darstellung

3 1 Differentialrecnung: Die Ableitung einer Funktion, Recenregeln und Beispiele Änderungen von pysikaliscen Größen spielen eine fundamentale Rolle bei der Bescreibung der Natur. So definieren zeitlice Änderungen neue pysikalisce Größen. Zum Beipiel ist der klassisce, mecanisce Impuls: p(t) = mẋ(t), welcer proportional zur zeitlicen Änderung der Bankurve (t) eines Massenpuktes ist. Die Dynamik von Systemen wird oft durc eine oder merere Differentialgleicungen bescrieben. Zum Beipiel ist die Dynamik des (gedämpften und getriebenen) armoniscen Oszillators mit der Differentialgleicung ẍ(t) + γẋ(t) + ω 2 (t) = A cos(ωt) bescreibbar. Ein komplees, weiteres Beipiel ist die omogene Wellengleicung für ein freies, elektrisces Feld in der Quantenoptik Ê(, t) + ε 0µ 0 t 2 Ê(, t) = 0, mit der sogenannten Coulomb-Eicung Ê(, t) = 0. Literatur zum Tema Differentialrecnung ist zum Beipiel in den Lerbücern [1, 2] aus matematiscer und pysikaliscer Sict zu finden. 1.1 Zur Gescicte Ein paar Worte zur Gescicte. 1 Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, welces die Lösung des antiken Tangentenproblems liefert. Am Ende des 17. Jarunderts wurde das entsprecende Kalkül der Differentialrecnung von Isaac Newton und Gottfried Wilelm Leibniz eingefürt. Im 19. Jarunderts wurde die eutige Form der Teorie insbesonders von Augustin-Louis Caucy und Karl Weierstraß formuliert. Die wictigsten Resultate aus der Differentialrecnung sind: der Fundamentalsatz der Analysis, welcer die Integral- mit der Differetialrecnung verbindet; das Lösen von Etremwertproblemen, um Optimierungen von Prozessen oder Größen zu ermöglicen; die Lösung von Differentalgleicungen, um Vorersagen über die Entwicklung von Systemen zu erlauben; der Satz über Implizite Funktionen, zur Bestimmung impliziter Abängigkeiten von Größen. 1.2 Notation und Definition Aus der Scule ist die Ableitung einer Funktion f(t) oder f() bereits bekannt. Im Laufe des Studiums werden merere Notationen für die Ableitung auftaucen. Hier ist eine kleine Auswal: 2 Notation nac Newton f(t) (meist nur für Zeitabängigkeiten); Notation nac Lagrange f (t); Notation nac Leibnitz df(t) dt Notation nac Euler Df(t) Dt partial Notation f(t) t und weitere... (auc d t f(t)); (auc D t f(t), nac Caucy); (auc t f(t)); Im Folgenden werden wir bis auf Ausnamen die Lagrange sce und die partial Notation verwenden, also f () und f(). Um ein Mindestmaß an Eakteit zu aben, wollen wir zunäcst eine formale Definition der Ableitung geben. 1 Siee: ttp://de.wikipedia.org/wiki/differentialrecnung. 2 Siee: ttp://en.wikipedia.org/wiki/notation_for_differentiation 3

4 1 Differentialrecnung Definition 1.1 (Differenzierbarkeit). Sei f : R R eine Funktion. Man sagt f ist differenzierbar an der Stelle R, wenn es ein c R gibt, so dass c = lim 0 f( + ) f() gilt. Man bezeicnet mit f () = c die Ableitung von f an der Stelle. Später werden wir auc folgende, äquivalente Definition nutzen: f( + ) [f() + c] () 0 = lim = lim 0 0 (1.1) Dieses kann man auc folgendermaßen lesen: f( + ) = f() + f () () + (), mit lim = 0. (1.2) 0 Die geometrisce Anscauung der Ableitung ist der Anstieg einer Funktion an einer Stelle, siee Abbildung 1.1. Damit kann man die ersten beiden Terme der Gleicung (1.2) als beste Approimation von f mit einem Polynom 1. Ordnung versteen. 8 6 f Abbildung 1.1: Der durcgezogene Grap bescreibt die differenzierbare Abbildung f() = ( 2) 3 + 2( 2) + 4. Der gestricelte Grap, f(2) + f (2)( 2), bescreibt dessen Tangente an der Stelle 2; siee Gleicung (1.2) mit = Die Kettenregel Bevor wir besondere Eigenscaften und Beispiele der Ableitung untersucen, wollen wir noc die Kettenregel der Ableitung beweisen. Eemplarisc wird ier ein rigoroser Beweis erbract um die Arbeitsweise in einer Naturwissenscaft zu demonstrieren. Für die Kettenregel benötigen wir die Hintereinanderausfürung (Komposition) von Funktionen: (g f)() = g(f()). Die Kettenregel sagt nun salopp: Die Ableitung der Hintereinanderausfürung ist äußere Ableitung mal der inneren Ableitung. Satz 1.1 (Kettenregel). Seien f und g in und y = f() differenzierbare Funktionen. Dann ist g f in differenzierbar mit der Ableitung (g f) () = g (f())f (). Beweis. Wir betracten die Darstellung in Gleicung (1.2): f( + ) = f() + f () + (). Da g 4

5 1 Differentialrecnung differenzierbar in y ist, gilt nac (1.1), dass lim k 0 g(y+k) g(y) g (y)k k = 0. Wir können zeigen, dass: g(f( + )) g(f()) f ()g (f()) lim 0 = lim 0 g(f() + f () + ()) g(f()) f () + () f () + () }{{} + f () + () g (f()) f () + () g (f()) } {{ } =0 [ g(f() + f () + ()) g(f()) = lim 0 f () + () [ f ] () + () + lim f () g (f()) 0 =1 f ()g (f()) ] [ g (f()) f () + () ] =f g(f() + k) g(f()) g (f())k () lim + g () (f()) lim = 0, k 0 k 0 wobei wir die Substitution von k = f () + () 0 für 0 und den eistierenden Grenzwert lim ɛ 0 a(ɛ)b(ɛ) = a(0)b(0) genutz aben. 1.4 Eigenscaften, Recenregeln und Beispiele Wir wollen nun einige Eigenscaften der Ableitung betracten. Zunäcst einmal die Additivität, und die Homogenität (λ R), ergeben zusammen die Linearität der Ableitung (κ R): Weiterin ist die Produktregel bekannt [f() + g()] = f () + g (), (1.3) [λf()] = λf (), (1.4) [λf() + κg()] = λf () + κg (). (1.5) [f()g()] = f ()g() + f()g (). (1.6) Wendet man die Kettenregel auf den Kerwert einer Funktion an (f() 0), [ ] ( 1 = 1 ) f() [f()] 2 f (), (1.7) kann man aus der Produktregel die Quotientenregel ableiten: [ ] g() = g 1 () f() f() + g() f () [f()] 2 = f ()g() f()g () [f()] 2. (1.8) Die Kettenregel ist liefert auc die Ableitung der inversen Funktion (nict zu verwecseln mit dem Kerwert) f(f 1 ()) = (f 1 f) () = 1 [f 1 ()] 1 = }{{} f (f 1 ()). (1.9) =f (f 1 ())[f 1 ()] Wir wollen damit eine konkrete Ableitung berecnen. Dazu betracten wir die Eponentialfunktion f() = ep() = e. (1.10) 5

6 1 Differentialrecnung Regel Linearität Produktregel Kettenregel Quotientenregel Umkerfunktion Beispiele Tabelle 1.1: Ableitungsregeln und Beipiele. Formel speziell allgemein speziell allgemein speziell [λf() + κg()] = λf () + κg () ( n ) λ i f i () = i=1 n λ i f i (), mit λ i R i=1 [f()g()] = f ()g() + f()g () ( n ) f i () = i=1 n i 1 f j () f i () j=1 j=1 [g(f())] = g (f())f () allgemein (f 1 f n ) () = Konstante: d j=i+1 f j () d (( f j ) f j 1 f n ) () j=1 [ ] g() = g ()f() g()f () f() [f()] 2, mit f() 0 [ f 1 () ] = 1 f (f 1 ()), mit f (f 1 ()) 0 [c] = 0, mit c R Monome: [ n ] = n n 1, mit n R \ {0} natürlicer Logaritmus: [log()] = 1, für > 0 Eponentialfunktion: [ep()] = ep() affine Transformation: [f(m + n)] = mf (m + n), mit m, n R und m 0 Dessen Ableitung ist wieder die Eponentialfunktion f () = ep(). Die inverse Funktion der Eponentialfunktion ist der natürlice Logaritmus (der Logaritmus zur Basis der Euler scen Zal e) Dessen Ableitung ergibt sic log () = f 1 () = log(), für > 0. (1.11) 1 ep(log()) = 1, für > 0. (1.12) Weitere Eigenscaften der Ableitung und elementare Beispiele sind in Tabelle 1.1 gelistet [3]. 6

7 2 Weiterfürendes: Merdimensionale und öere Ableitungen, sowie Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen In diesem Kapitel wollen wir auf öere Ableitungen und Ableitungen nac mereren Variablen eingeen. Weiterin sollen Etremwertprobleme mit Nebenbedingungen betractet werden. Die infitisimale Darstellung der Ableitung wird kurz erläutert. 2.1 Höere Ableitungen Die Ableitung f kann man erneut als möglicerweise differenzierbare Funktion f () auffassen. Dieses erlaubt die sukzessive Bescreibung der zweiten Ableitungen, f () = f (2) () = 2 f(), bezieungsweise der n-ten Ableitung: n f() = [ n 1 f()] oder f (n) () = [f (n 1) ()], mit n N. (2.1) Weiterin definiert man die nullte Ableitung mit der Funktion selbst: f (0) () = f(). Ein Beispiel für öere Ableitungen ist etwa die Ableitung von einem Monom: f() = f (0) () = k f () = f (1) () = k k 1 f (n) () = k! (k n)! k n for n < k, f (n) () = k! for n = k, f (n) () = 0 for n > k. f () = f (2) () = k(k 1) k 2 (2.2) Weiterin kann man natürlic die Recenregeln verallgemeinern, so zum Beipiel ist die Produktregel der n-facen Ableitung nac Leibnitz: n ( ) n [f()g()] (n) = f (n j) ()g (j) (). (2.3) j j=0 Die geometrisce Anscauung der n-ten Ableitung ist analog zum dem Fall der ersten Ableitung, f( + ) =f (0) () + f (1) () + f (2) () (2.4) n = f (j) () j j! + n () n(), mit dem Restglied lim 0 n = 0. (2.5) j=0 Diese sogenannte Taylorentwicklung approimiert die Funktion an der Stelle + durc ein Polynom (öcstens) n-ten Grades, siee auc Abbildung 2.1. So ist für f () > 0 eine nac oben offene Parabel mit einer Linkskrümmung entlang der Kurve zu erwarten, für f () < 0 eine Rectskrümmung und für f () = 0 keine Krümmung (2. Ordnung). Wir wollen nun eemplarisc die Taylorentwicklung von der Eponentialfunktion um die Stelle = 0 bestimmen. Dazu betracten wir die j-te Ableitung [ep()] (j) =0 = ep() =0 = ep(0) = 1. (2.6) Wir eralten daer das Taylorpolynom und im Grenzfall n die Taylorreie: ep() = n j=0 j j! + n() und ep() = j=0 j j!. (2.7) 7

8 2 Weiterfürendes f Abbildung 2.1: Der durcgezogene Grap bescreibt eine differenzierbare Abbildung f() = Der gestricelte Grap, 2, bescreibt die Taylorentwicklung 2. Ordnung (Scmiegeparabel) an der Stelle Merdimensionale Ableitungen Pysikalisce Größen ängen äufig nict nur von einer Variable ab, sonder von einer Vielzal von Variablen. So ist etwa die potentielle Energie, V (r), im Allgemeinen, ein sogenanntes Skalarfeld: jedem Punkt r = (, y, z) wird eine Energie V (r) zugeordnet. Wir betracten nun also Funktionen f : R d R, die einem Punkt = ( 1,..., d ) R d einen reellen Wert zuweisen. Die Änderung dieser Funktion in jeder Rictungen j (j {1,..., d}) kann durc die partielle Ableitung bescrieben werden: f() j f( 1,..., j 1, j +, j+1,..., d ) f( 1,..., j 1, j, j+1,..., d ) = lim. (2.8) 0 Das d-tupel dieser Ableitungen wird mit dem Nabla-Symbol bescrieben, ( f() f() =,..., f() ). (2.9) 1 d In Abbildung 2.2 ist die geometrisce Anscauung zu seen. Die Abbildung f f wird auc als Gradient bezeicnet man screibt auc f() = grad f() f, y y 0.5 y Abbildung 2.2: Die Sattel-Funktion, f(, y) = 2 y 2 2, ist links gezeigt. Dessen Gradientenfeld, f(, y) = (, y), ist rects abgebildet. Der Gradient zeigt an jeder Stelle in die Rictung des größten Anstieges von f. 8

9 2 Weiterf urendes 2.3 Lagrange-Multiplikatoren Aus der Scule ist bekannt, dass ein Etremalpunkt einer differenzierbaren Funktion in einer Umgebung durc f 0 () = 0 bestimmt werden kann. In der Pysik treten mancmal Bewegungsgleicungen mit Nebenbedingungen auf, zum Beispiel um Kr afte einer Acterban zu berecnen mit der Restriktion, dass die Gondel auf der Sciene f art. Daer betracten wir im Folgenden eindimensionale Optimierungsprobleme f ur Funktionen f mit der Nebenbedingung g: f () min / ma, (2.10) g() = 0. Dies bedeutet, dass wir die 0 sucen die die maimalen bzw. minimalen Werte f ur f liefern und die gleiczeitig die Nebenbedingung g(0 ) = 0 erf ullen. Anders formuliert eisst dies, dass wir den Etremwert von f (0 ) f ur zul assige L osungen 0 N = { g() = 0} bestimmen wollen. In Abbildung 2.3 ist ein zweidimensionaler Fall skizziert. Abbildung 2.3: Die unbescr ankte Funktion f (, y) = y ist gezeigt. Die Nebenbedingung sei die Kreisgleicung g(, y) = 2 + y 2 1 = 0 (scwarz). Das Minimum(sowie das Maimum) unter dieser Einscr ankung findet man grafisc bei (, y) {(1/ 2, 1/ 2), ( 1/ 2, 1/ 2)} (sowie bei (, y) {(1/ 2, 1/ 2), ( 1/ 2, 1/ 2)}) Um dieses Problem anzugeen definiert man eine Lagrange Funktion: L(, λ) = f () λg(), (2.11) wobei λ R der sogenannte Lagrange Multiplikator ist. Die Idee ist, dass mit diesem zus atzlicen Freieitsgrad λ L die gleicen Optima wie f at, wenn die Nebenbedingung erf ullt ist: N : L(, λ) = f (), d.. gleices Optimum mit erf ullter Nebenbedingung, 0 6= sign λ = sign g() L(, λ) = f () λg() < f () kein Minimum, /N: 0 6= sign λ = sign g() L(, λ) = f () + λg() > f () kein Maimum. Damit aben wir gezeigt, dass die Lagrange Funktion minimal wird, wenn g() = 0 (d.. N ) und f () ein Minimum/Maimum ist. Jetzt kann das Optimierungsproblem (2.10) durc das folgende Optimierungsproblem ersetzt werden: L(, λ) = 0 und λ L(, λ) = 0, (2.12) wobei die Ableitung bez uglic λ bis auf das Vorzeicen gleic der Nebenbedingung ist, 0 = λ L(, λ) = g(), und die Ableitung bez uglic die modifizierte Optimierungsbedingung 0 = f () λ g() (2.13) liefert. Analog kann man in merdimensionalen Systemen mit m Nebenbedingungen vorgeen; etwa 0 = f () λ1 g1 ()... λm gm (). 9 (2.14)

10 2.4 Infinitisimale Darstellung 2 Weiterfürendes Ein ilfreices Werkzeug zur Differentialrecnung liefert die Nictstandardanalysis [4]. 1 Im Ramen dieser Teorie ist es möglic infitisimale Zalen zu bescreiben. Zum Beispiel gibt es ier nictnegative (yperreelle) Zalen, 0 < d R, die kleiner sind als alle nictnegativen, reellen Zalen; ɛ R : ɛ > 0 d < ɛ. Ableitungen können somit als ecte Differenzenquotienten gescrieben werden: dy d = f () mit y = f() und dy = f( + d) f(), (2.15) oder auc f( + d) = f() + f ()d. Die Kettenregel ist damit auc ser einfac ableitbar. Wenn z = g(y) ist, dann gilt: (g f) () = dz d = dz dy d dy = dz dy dy d = g (y)f () = g (f())f (). (2.16) Es ist vorsict geboten. Der Formalismus der Nictstandardanalysis ist kein elementares Kalkül. 1 ttp://de.wikipedia.org/wiki/nictstandardanalysis. 10

11 Literaturverzeicnis [1]. Forster, Analysis 1 (Friedr. Vieweg & Son Verlag, 2006). [2] H. Sculz, Pysik mit Bleistift: das analytisce Handwerkszeug des Naturwissenscaftlers (Verlag Harri Deutsc, 2001). [3] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mülig, Tascenbuc der Matematik (Verlag Harri Deutsc, 2001). [4] A. Robinson, Nonstandard Analysis (Studies in Logic and te Found. of Mat., 1966). 11

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