Programmieren für Fortgeschrittene

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1 Technische Universität Braunschweig Dr. Werner Struckmann Institut für Programmierung und Reaktive Systeme Wintersemester 2011/12 Programmieren für Fortgeschrittene Rekursive Spezifikationen Die folgende Darstellung stammt in Teilen aus [2]. Bezeichnungen Die Menge aller partiellen Abbildungen von einer Menge X in eine Menge Y bezeichnen wir mit Pfn(X, Y ). Für den Definitionsbereich einer Abbildung f : X Y schreiben wir D(f) und für die Abbildung mit dem leeren Definitionsbereich. Beispiel 1 Wir betrachten zunächst einige rekursive Spezifikationen. a) f 1 : N N f 1 (n) = f 1 (n 1), n > 0. b) f 2 : N N (Fakultät) c) f 3 : N N f 2 (n) = f 3 (n) = n f 2 (n 1), n > 0. f 3 (n 2), n > 0. d) f 4 : N N N (Ackermann-Funktion) n + 1, m = 0, f 4 (m, n) = f 4 (m 1, 1), m > 0, n = 0, f 4 (m 1, f 4 (m, n 1)), m > 0, n > 0. e) f 5 : N N f) f 6 : N N g) f 7 : N N N f 5 (n) = f 5 (n + 1), n 0. 1, f 6 (n) = f 6 (3n + 1), n > 1, n ungerade, f 6 (n/2), n > 1, n gerade. f 7 (m, n) = 1, m = 0, f 7 (m 1, f 7 (1, 0)), m > 0.

2 h) f 8 : N N i) f 9 : N N 0, n = 0, 1, n > 0, f 8 (n 1) > 1, f 8 (n) = 2, n > 0, f 8 (n 1) = 1, 3, n > 0, f 8 (n 1) = 0. 0, n = 0, 1, n > 0, f 9 (n 1) > 1, f 9 (n) = 2, n > 0, f 9 (n 1) = 1, 3, sonst. Die rekursiven Spezifikationen aus Beispiel 1 können auf zwei Arten betrachtet werden. Algorithmische Sichtweise Wir fassen die rekursive Spezifikation als Vorschrift zur Berechnung von Funktionswerten auf. Beispielsweise erhalten wir f 1 (4) = f 1 (3) = f 1 (2) = f 1 (1) = f 1 (0) = 1. Dieses Verfahren liefert die totale konstante Funktion f 1 : N N, die für jede natürliche Zahl den Wert 1 annimmt, d. h. D(f 1 ) = N und f 1 (n) = 1 für alle n N. Für die Funktion f 5 terminiert das Verfahren für kein n N, d. h. D(f 5 ) =. Ob D(f 6 ) = N gilt, ist ein offenes Problem. Falls mehrere rekursive Aufrufe möglich sind, kann es unterschiedliche Ergebnisse geben. Wenn wir beispielsweise stets das am weitesten außen stehende Funktionssymbol ersetzen (outermost) bekommen wir f 7 (1, 0) = f 7 (0, f 7 (1, 0)) = 1. Falls das innerste Funktionssymbol (innermost) aufgerufen wird, lautet das Ergebnis f 7 (1, 0) = f 7 (0, f 7 (1, 0)) = f 7 (0, f 7 (0, f 7 (1, 0))) =..., d. h. (1, 0) / D(f 7 ). Weitere Strategien (zum Beispiel rightmost, leftmost oder auch abwechselnde Ersetzungen) sind denkbar. Algebraische Sichtweise Wir fassen eine rekursive Spezifikation als Gleichung für unbekannte Funktionen auf. Beispielsweise muss jede Lösung von a) aus Beispiel 1 eine totale Funktion sein. Wäre eine Lösung f 1 nicht total, dann müsste es eine kleinste natürliche Zahl n mit n / D(f 1 ) geben. Aus der Gleichung würde folgen, dass auch n 1 / D(f 1 ) gilt, ein Widerspruch zu Minimalität von n. Offensichtlich gilt dann f 1 (n) = 1 für alle n N. Wir erhalten die gleiche Lösung wie bei der algorithmischen Sichtweise. Die Gleichung e) aus Beispiel 1 hingegen besitzt unendlich viele Lösungen. Die Funktion f 5 mit D(f 5 ) = und alle totalen konstanten Funktionen sind Lösungen. Aufgabe 2 Man berechne f 4 (1, 1) mit der innermost-, der outermost- und einer abwechselnden Strategie. 2

3 Formulierung des Problems Die rechte Seite einer rekursiven Spezifikation ist ein Ausdruck ψ(f), der von der gesuchten Funktion f abhängt. ψ kann als totale Funktion der Form ψ : Pfn(X, Y ) Pfn(X, Y ) gesehen werden. Für die Fakultätsfunktion ist ψ : Pfn(N, N) Pfn(N, N) mit ψ(f)(n) = n f(n 1), n > 0, für alle f Pfn(N, N), n N. Entsprechend bekommen wir für die Ackermann-Funktion ψ : Pfn(N N, N) Pfn(N N, N) mit n + 1, m = 0, ψ(f)(m, n) = f(m 1, 1), m > 0, n = 0, f(m 1, f(m, n 1)), m > 0, n > 0, für alle f Pfn(N N, N), m, n N. Aus der algebraischen Sicht sind die Lösungen einer Spezifikation ψ : Pfn(X, Y ) Pfn(X, Y ) die Funktionen f mit f = ψ(f). Wie e) aus Beispiel 1 zeigt, sind unter dem algorithmischen Aspekt die Lösungen mit dem kleinsten Definitionsbereich die interessanten. Niemand, der diese Rekursion programmiert, erwartet schließlich für alle Eingaben zum Beispiel den Rückgabewert Funktionen f mit f = ψ(f) heißen Fixpunkte von ψ. Das Problem kann daher folgendermaßen formuliert werden: Gegeben sei eine Abbildung der Form ψ : Pfn(X, Y ) Pfn(X, Y ). Gesucht ist der Fixpunkt von ψ mit dem kleinsten Definitionsbereich. Beispiel 3 Gegeben sei die zur Fakultätsfunktion gehörende Abbildung ψ : Pfn(N, N) Pfn(N, N). Wir betrachten die Funktionenfolge g 0 =, g 1 = ψ( ), g 2 = ψ 2 ( ) = ψ(ψ( )), g 3 = ψ 3 ( ),... Für ihre Funktionswerte erhalten wir für alle n N g 1 (n) = ψ( )(n) = undefiniert, n > 0, g 2 (n) = ψ(ψ( ))(n) = 1, n = 1, undefiniert, n > 1, g 3 (n) = ψ 3 1, n = 1, ( )(n) = 2, n = 2, undefiniert, n > 2. 3

4 Die Definitionsbereiche dieser Funktionen bilden eine Folge D(g 0 ), D(g 1 ), D(g 2 ),... mit Außerdem gilt im Falle n D(g i ), i 0, D(g 0 ) D(g 1 ) D(g 2 )... g i (n) = g i+1 (n) = g i+2 (n) =... Wir sehen, dass der (eindeutig bestimmte) Fixpunkt von ψ die Funktion g : N N mit D(g) = i 0 D(g i) und g(n) = g i (n) für alle i mit n D(g i ) ist. Offenbar ist g(n) = n! für alle n N. Aufgabe 4 Man zeige direkt, dass die Abbildung g : N N mit g(n) = n! für alle n N der einzige Fixpunkt der Abbildung ψ : Pfn(N, N) Pfn(N, N) mit ψ(f)(n) = n f(n 1), n > 0, ist. Geordnete Mengen Eine Relation auf einer Menge D heißt Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. (D, ) heißt in diesem Fall geordnete Menge. Ein Element d D wird obere Schranke einer Teilmenge M D genannt, falls m d für alle m M gilt. Unter dem Supremum von D versteht man die kleinste obere Schranke von D. Sie ist im Falle der Existenz eindeutig bestimmt und wird mit sup(d) bezeichnet. Falls für jede Teilmenge M D das Supremum existiert, heißt (D, ) vollständig geordnet. Falls das (eindeutig bestimmte) kleinste Element der geordneten Menge (D, ) existiert, bezeichnen wir es mit. Eine Folge g 0, g 1, g 2,... von Elementen einer geordneten Menge (D, ) heißt Kette in D, falls g 0 g 1 g 2... gilt. Eine geordnete Menge (D, ) heißt Domain, wenn D ein kleinstes Element besitzt und wenn für jede Kette g 0 g 1 g 2... das Supremum supg i i 0} existiert. Es seien (D 1, 1 ) und (D 2, 2 ) geordnete Mengen. Eine Abbildung ψ : D 1 D 2 ist monoton, wenn für alle f, g D 1 mit f 1 g die Beziehung ψ(f) 2 ψ(g) gilt. Offenbar bilden monotone Abbildungen Ketten in Ketten ab. Eine monotone Abbildung ψ : D 1 D 2 zweier Domains (D 1, 1 ) und (D 2, 2 ) wird stetig genannt, wenn sie Suprema von Ketten erhält, d. h., wenn für alle Ketten g 0 g 1 g 2... in D 1 die Bedingung ψ(supg i i 0}) = supψ(g i ) i 0} erfüllt ist. f heißt Fixpunkt einer Abbildung ψ : D D, falls ψ(f) = f ist. 4

5 Die geordnete Menge Pfn(X,Y) Es seien Mengen X und Y gegeben. Auf der Menge Pfn(X, Y ) der partiellen Abbildungen wird durch g h D(g) D(h) und g(x) = h(x) für alle x D(g) eine Ordnungsrelation definiert. Diese Ordnung ist nicht vollständig. Für zwei Funktionen f, g : X Y existiert das Supremum supf, g} genau dann, wenn für alle x D(f) D(g) die Gleichheit f(x) = g(x) herrscht. Pfn(X, Y ) ist ein Domain mit als kleinstem Element. Es sei g 0 g 1 g 2... eine Kette partieller Funktionen. Man zeigt leicht, dass das Supremum einer solchen Kette wie in Beispiel 3 berechnet wird, d. h. für die Funktion g mit D(g) = i 0 D(g i) und g(n) = g i (n) für alle i mit n D(g i ) gilt g = supg i i 0}. Definition 5 Es sei (D, ) ein Domain mit dem kleinsten Element. Eine rekursive Spezifikation auf der Menge D ist eine totale Funktion ψ : D D mit ψ( ) ψ 2 ( )... Die Folge, ψ( ), ψ 2 ( ),... heißt Kleene sche Folge von ψ und ihr Supremum wird Kleene sche Semantik von ψ genannt. Beispiel 6 Für die Abbildung ψ : Pfn(X, Y ) Pfn(X, Y ) von e) aus Beispiel 1 erhalten wir die Kleene sche Folge,,,,... und daher wie gewünscht die Funktion als Kleene sche Semantik. Aufgabe 7 Man berechne die Kleene sche Semantik für die Fälle c) und h) aus Beispiel 1. Man zeige außerdem, dass im Fall i) keine rekursive Spezifikation vorliegt. Satz 8 Es sei (D, ) ein Domain mit dem kleinsten Element. Weiter sei ψ : D D eine monotone totale Abbildung. Dann ist ψ rekursive Spezifikation auf D. Beweis 1 Da das kleinste Element von D ist, gilt ψ( ). Aus der Montonie von ψ folgt ψ( ) ψ 2 ( ). Die Behauptung ergibt sich hieraus durch vollständige Induktion. Satz 9 Es seien (D, ) eine geordnete Menge und ψ : D D eine monotone totale Abbildung. Weiter sei H = g D g ψ(g)}. Dann gilt: Wenn f = sup(h) existiert, dann ist f ein Fixpunkt von ψ. Beweis 2 Es sei f = sup(h). Für alle h H ist h ψ(h). Da f eine obere Schranke von H ist, gilt h f. Aus der Monotonie von ψ folgt h ψ(h) ψ(f) für alle h H. Da f die kleinste obere Schranke von H ist, folgt hieraus f ψ(f). Die Monotonie von ψ liefert ψ(f) ψ(ψ(f)). Nach Definition von H ist daher ψ(f) H, so dass ψ(f) f gilt. Aus f ψ(f) und ψ(f) f folgt f = ψ(f), d. h., f ist ein Fixpunkt von ψ. Wie die Überlegungen zur Funktion f 5 aus Beispiel 1 gezeigt haben, reicht die Existenz eines Fixpunkts nicht aus. Es ist wünschenswert, einen eindeutigen Fixpunkt mit kleinstem Definitionsbereich zu garantieren. Der nächste Satz liefert hierfür ein Kriterium. 5

6 Satz 10 Es seien (D, ) ein Domain und ψ : D D eine stetige totale Abbildung. Dann gilt: ψ besitzt einen kleinsten Fixpunkt f ψ, und dieser ist gegeben durch f ψ = supψ k ( ) k 0}. Beweis 3 Wir beginnen mit einer kleinen Vorüberlegung. Es sei f 0 f 1 f 2 f 3... eine Kette in D. Dann ist auch f 1 f 2 f 3 f 4... eine Kette in D. Beide Ketten besitzen die gleichen oberen Schranken und daher auch die gleichen Suprema. Es sei f die kleinste obere Schranke der Kette ψ( ) ψ 2 ( )... Nach der Vorüberlegung ist f auch das Supremum der Kette ψ( ) ψ 2 ( ) ψ 3 ( )... Aus der Stetigkeit von ψ folgt, dass auch ψ(f) ein Supremum ist. Daher gilt f = ψ(f), d. h., f ist ein Fixpunkt von ψ. Sei g = ψ(g) ein beliebiger Fixpunkt von ψ. Aus g und der Monotonie von ψ folgt ψ( ) ψ(g) = g. Analog erhalten wir ψ 2 (g) g und durch Induktion ψ n (g) g für alle n N. g ist also eine obere Schranke von ψ n n N}. Da f die kleinste obere Schranke dieser Menge ist, folgt f g, d. h., f ist der kleinste Fixpunkt von ψ. Aufgabe 11 Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass nicht jede monotone Abbildung stetig ist. Aufgabe 12 Man zeige, die Stetigkeit der zur Fakultätsfunktion gehörenden Abbildung ψ : Pfn(X, Y ) Pfn(X, Y ). Rekursive Spezifikationen Als Spezialfall dieses Satzes erhalten wir für den Domain Pfn(X, Y ) und für stetige Abbildungen ψ : Pfn(X, Y ) Pfn(X, Y ) die Existenz eines eindeutigen kleinsten Fixpunkts f ψ Pfn(X, Y ), d. h. einer eindeutigen Lösung der zu ψ gehörenden Gleichung mit kleinstem Definitionsbereich. Produktdomain Es seien (D 1, 1 ),...,(D n, n ), n 1, Domains mit den kleinsten Elementen 1,..., n. Das kartesische Produkt D = D 1... D n wird durch (f 1,..., f n ) (g 1,..., g n ) f i i g i, i = 1,..., n und = ( 1,..., n ) zu einem Domain (D, ) mit dem kleinsten Element. Er heißt Produktdomain von (D 1, 1 ),...,(D n, n ). Aufgabe 13 Wir betrachten die folgende simultane rekursive Spezifikation zweier Funktionen: h(n, n), n = 0, g(n) = 5, n > 0. h(m, n) = 0, m = 0, g(n), m > 0. 6

7 Für die zugehörige Abbildung ψ : Pfn(N, N) Pfn(N N, N) Pfn(N, N) Pfn(N N, N) gilt ψ(t, u) = (ψ 1 (t, u), ψ 2 (t, u)) mit u(n, n), n = 0, ψ 1 (t, u)(n) = 5, n > 0. ψ 2 (t, u)(m, n) = 0, m = 0, t(n), m > 0. für alle t Pfn(N, N), u Pfn(N N, N), m, n N. Pfn(N, N) Pfn(N N, N) ist hier der Produktdomain von Pfn(N, N) und Pfn(N N, N). Man zeige, dass ψ stetig ist. Semantik einer While-Schleife Wir betrachten eine einfache imperative Programmiersprache. Die Bedeutung einer Anweisung kann als Zustandstransformation gesehen werden, d. h. als Abbildung, die einen Zustand σ Σ in eine Zustand σ Σ überführt. Ein Zustand gibt σ dabei die Werte σ(v) aller Variablen v V zu einem festen Zeitpunkt an. Wenn wir uns auf natürliche Zahlen beschränken, ist σ : V N. In diesem Modell ist die Bedeutung einer Anweisung s eine Abbildung der Form M[s] : Σ Σ. Gegeben sei die While-Anweisung t = while b do s od, wobei b ein Ausdruck ist, der einen logischen Wert in Abhängigkeit von einem Zustand σ liefert, d. h. E(b) : Σ true, false}. s ist eine weitere Anweisung. Die Bedeutung der While-Anweisung t wird durch σ, E(b)(σ) = false, M[t](σ) = M[t](M[s](σ)), E(b)(σ) = true für alle σ Σ definiert. Hierbei handelt es sich um eine rekursive Spezifikation der Funktion M[t], d. h. der Semantik der While-Anweisung t. Auch hier lässt sich Satz 10 anwenden (s. zum Beispiel [1]). Ausführlich wird dieses Thema in der Veranstaltung behandelt. Literatur Semantik von Programmiersprachen [1] Alber, Klaus; Struckmann, Werner: Einführung in die Semantik von Programmiersprachen. Mannheim Wien Zürich: BI-Wissenschaftsverlag, 1988 [2] Manes, Ernest G.; Arbib, Michael A.: Algebraic Approaches to Program Semantics. 1. Auflage. New York Berlin: Springer Verlag,