Aufgabe 1: (18 Minuten) a) Gegeben seien drei Aktien mit den folgenden Werten für die zugehörigen Einperiodenrenditen

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1 Prüfung Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen 016 Aufgabe 1: (18 Minuen) a) Gegeben seien drei Akien mi den folgenden Weren für die zugehörigen Einperiodenrendien R1, R und R3: E(R1) = 0., E(R) = 0.1, E(R3) = 0.4 Var(R1) = Var(R) = Var(R3) = 0. (R1, R) = (R1, R3) = (R, R3) = 0 Die Invesmengewiche x, y und z seien nich auf den Werebereich 0 x, y, z 1 beschränk, sondern können uner Beachung der Resrikion x + y + z = 1 beliebig variieren. Besimmen Sie uner diesen Voraussezungen die Invesmengewiche der lokal (d.h. bei fixierem Erwarungswer) varianzminimalen Porfolios! (7 min) b) Der effiziene Rand bei einem rein riskanen Anlagespekrum besize die Form μ = (σ ) Die Wahrscheinlichkei, dass die Porfolio-Rendie geringer als -10% ausfäll, soll höchsens 5% beragen. Gehen Sie aus von normalvereilen Rendien. Wie laue die aus der Shorfallresrikion resulierende Shorfallgerade (das 95%-Quanil der Sandardnormalvereilung beräg N0.95 = 1.645)? Besimmen Sie auf dieser Grundlage die (μ, σ)-posiion des opimalen Porfolios, d.h. des Porfolios mi maximaler erwareer Rendie! (5 min) c) Gegeben sei nun ein Porfolio aus zwei Akien, deren Rendien R1 und R perfek posiiv korrelier sind, d.h. für den Korrelaionskoeffizien gil ρ = 1. Es sei weierhin E(R1) = μ1, E(R) = μ, σ(r1) = σ1 und σ(r) = σ. Unersellen Sie, dass μ1 < μ und σ1 < σ gil. Leerverkäufe bei der Porfoliobildung sind erlaub. i) Welche Invesmengewiche weis das global varianzminimale Porfolio in diesem Fall auf? Sind Leerverkäufe erforderlich? Hinweis: Im Fall, dass Leerverkäufe zulässig sind, kann eine Porfoliovarianz in Höhe von null erreich werden. ii) Es exisiere nun eine Anlage mi einer sicheren Verzinsung in Höhe von r0. Welche Rendie weis dann das varianzminimale Porfolio aus Aufgabeneil i) auf? Begründen Sie Ihre Aussage! (6 min) Lösungsskizzen: Lösung 1a: Lagrange-Funkion: L(x 1, x, x 3, λ 1, λ ) = 1 (0.x x + 0.x 3 ) Seie 1 von 1

2 Aufsellung Lagrange-Gleichungen: λ 1 (0.x x + 0.4x 3 μ) λ (x 1 + x + x 3 1) (1) L x1 = 0.x 1 0.λ 1 λ = 0 x 1 = λ 1 + 5λ () L x = 0.x 0.1λ 1 λ = 0 x = 0.5λ 1 + 5λ (3) L x3 = 0.x 3 0.4λ 1 λ = 0 x 3 = λ 1 + 5λ (4) L λ1 = 0.x x + 0.4x 3 μ = 0 (5) L λ = x 1 + x + x 3 1 = 0 Einsezen von (1) - (3) in (4) und (5): 10.5λ λ = 10μ 3.5λ λ = 1 Hieraus folg λ 1 = 30 μ 1 sowie λ 7 = 3 μ. Dies führ zu 10 x 1 = μ, x = μ, x 3 = 5 7 μ 1. Lösung 1b: Shorfall-Gerade: μ = σ Gleichsezen Shorfall-Gerade und effiziener Rand Hieraus folg: (σ 0.01) = σ 0.6(σ 0.01) = ( σ) = σ +.706σ sowie.106σ σ = 0 Lösung der quadraischen Gleichung: Seie von 1

3 σ 1 = 0.103, σ = σ ensprich der Sandardabweichung σ OPT des opimalen Porfolios. Zugehörige erwaree Rendie: μ OPT = (0.1311) = Lösung 1c: i) Die Porfoliovarianz σ P laue im Falle ρ = 1: σ P = xσ 1 + (1 x)σ + x(1 x)σ 1 σ = (xσ 1 + (1 x)σ ) Nach Hinweis is die varianzminimale Posiion gegeben durch σ P = 0. Hieraus folg: und somi: xσ 1 + (1 x)σ = 0 Fazi: Die Akie is leer zu verkaufen. x = σ σ 1 σ = σ σ σ 1 1 x = σ 1 σ σ 1 Alernaiv: Besimmung des varianzminimalen Porfolios über 0 dσ xσ1 (1 x)σ Cov(R 1,R) 4xCov(R 1,R ). dx Mi ρ = 1 folg hieraus x σ Cov(R 1,R) σ σ1σ = σ1 σ Cov(R 1,R) σ1 σ σ1σ σ σ σ 1. ii) Das varianzminimale Porfolio aus i) weis eine Rendievarianz von null auf. Dami is das varianzminimale Porfolio eine sichere Anlage. Dessen Rendie muss der sicheren Verzin- Seie 3 von 1

4 sung r 0 ensprechen, denn aus Gründen der Arbiragefreihei (Law of One Price) is die sichere Verzinsung eine eindeuig besimme Größe. Aufgabe : (7 Minuen) a) Besimmen Sie die sochasische Differenialgleichung des Prozesses X = exp [-(m+σw)], wobei W den Sandard-Wienerprozess bezeichne, in kanonischer Form! (5 min) b) Berachen Sie den sochasischen Prozess X = 1 (W ), wobei {W } den Sandard-Wienerprozess bezeichne. i) Besimmen Sie die sochasische Differenialgleichung dieses Prozesses! ii) Besimmen Sie auf der Basis von b i) explizi die Lösung des sochasischen Inegrals W s dw s. 0 (8 min) Hinweis: Sammfunkion! c) Berachen Sie ein selbsfinanzierendes Porfolio aus x() Einheien einer Akie mi Kursprozess {S } und y() Einheien eines Einheis-Zerobonds mi Werenwicklung B = exp[ r(t )]. Für die Werenwicklung V() dieses Porfolio gil dv = x() ds + y() db. i) Besimmen Sie die Differenialgleichung für die Werenwicklung {B }! ii) Die Werenwicklung von {S } folge einer geomerischen Brownschen Bewegung mi Drif μ und Diffusion σ. Wie laue (uner Berücksichigung von Aufgabeneil c i)) die sochasische Differenialgleichung für V? iii) Welcher sochasischen Differenialgleichung folg die Werenwicklung C(, S ) eines Calls auf die Akie mi Werenwicklung {S }? iv) Wir wollen das selbsfinanzierende Porfolio mi Werenwicklung {V } nun so gesalen, dass es die Werenwicklung von {C(, S )} duplizier. Welchen Wer muss dann x() annehmen? Inerpreieren Sie die gefundene Lösung! Hinweis: Führen Sie einen Koeffizienenvergleich durch! (14 min) Seie 4 von 1

5 Lösungsskizzen: Lösung a: Io s Lemma mi F(, x) = exp(-m-σx). Zunächs gil: F = mf, F x = σf, F xx = σ F. Io: μ X = F + F x μ W + F xx σ W ; σ X = F x σ W Mi μ W = 0 und σ W = 1 (Sandard-Wienerprozess) folg: μ X = mf + σ F ; σ X = σf Dami gil für die sochasische Differenialgleichung in kanonischer Form: dx = ( σ m) X d σx dw Lösung b: i) Io s Lemma mi F(, x) = 1 (x ). Zunächs gil: F = 1/, F x = x, F xx = 1. Io: μ X = F + F x μ W + F xx σ W ; σ X = F x σ W Mi μ W = 0 und σ W = 1 (Sandard-Wienerprozess) folg: μ X = = 0 ; σ X = x Dami gil für die sochasische Differenialgleichung dx = W dw bzw. in kanonischer Form dx = X dw. ii) Gemäß i) is X = 1 (W ) die Lösung des sochasischen Inegrals W s dw s, d.h. es gil mi W 0 = 0 W s dw s = 1 (W s s) 0 = 1 (W ) = X. 0 Seie 5 von 1

6 Lösung c: i) Es gil B = exp[ r(t )]. Hieraus folg db d = r exp[ r(t )] = rb bzw. db = rb d. ii) Mi ds = μs d + σs dw und db = rb d gil: iii) Nach Io s Lemma folg: dv = x()[μs d + σs dw ] + y()rb d = [μx()s + r y()b ] d + σx()s dw dc = ( C + C S μs + 1 C C σs) d + S S σs dw iv) Koeffizienenvergleich: Hieraus folg: σx()s dw = C S σs dw x() = C S Die Funkion x() ensprich dem Call-Dela. Aufgabe 3: (4 Minuen) a) Gegeben sei ein einkommensfreies Basisobjek mi Werenwicklung {K, 0 T}. Ferner berachen wir in T fällig werdende Fuurekonrake, jeweils bezogen auf eine Einhei des Basisobjeks. Das Marking-o-Marke von Fuures blenden wir aus. Des Weieren besehe die Möglichkei einer Kapialanlage bzw. Kapialaufnahme zum sicheren (zeidiskreen) Einperiodenzinssaz r. i) Besimmen Sie den Cos of Carry-Preis F(, T) des Fuures in < T. Explizieren Sie dabei die Arbirageüberlegung, die der Ableiung des Cos of Carry-Preises zugrunde lieg! ii) Weisen Sie nach, dass zu jedem Zeipunk der Cos of Carry-Preis F aus Aufgaben- Seie 6 von 1

7 (7 min) eil a i) perfek mi dem Wer K des Basisiels korrelier is! b) i) Zum Zeipunk τ = -1 halen Sie ein Porfolio aus m Einheien eines Basisobjeks mi Kursenwicklung {Kτ; τ 0}. Wie viele Fuures (jeweils bezogen auf eine Einhei des Basisobjeks) sind in τ = -1 zu verkaufen, dami die Gesamposiion (Hedge- Posiion) zum Zeipunk τ = varianzminimal is? Besimmen Sie dabei die Anzahl der in τ = -1 zu verkaufenden Fuures im Rahmen einer explizien Überlegung! Hinweis: Es genüg die Überprüfung der nowendigen Bedingung für das Vorliegen eines Opimums. ii) Uner welcher Bedingung weis die varianzminimale Hedge-Posiion aus Aufgabeneil b i) im Zeipunk ses eine geringere Varianz auf als die (nich gehedge) Originalposiion? Führen Sie den ensprechenden Nachweis explizi durch! (7 min) c) In = 0 sei ein Callable Bond mi Nennwer N = 5000, einem Nominalzins von i = 5%, einer Laufzei von T = 4 Jahren sowie einem möglichen Kündigungsermin zu = gegeben. Besimmen Sie (explizier Nachweis!) einen geeigneen Finanziel in der Weise, dass gil Callable + Finanziel = Sandardbond, wobei der Sandardbond die gleichen Aussaungsmerkmale besize wie der Callable bis auf das Kündigungsrech. Gehen Sie dabei einheilich von jährlichen Zinszahlungen aus. Welches sind die genauen Modaliäen des gesuchen Finanziels? (6 min) d) Ein Versicherungsunernehmen habe einen Feszinsiel mi Nennwer N, Laufzei T und Nominalzins i im Besand. Durch welches Finanzgeschäf in Form eines Swaps kann man erreichen, dass Feszinsiel + Swap = Reverse Floaer, wobei der Reverse Floaer ein Zinsiel is, dessen Zinserrag seig, wenn die Geldmarkzinsen (die variablen Zinsen) fallen? (4 min) Lösungsskizzen: Lösung 3a: i) Berache werden die beiden folgenden Invesiionen, die zum Zeipunk T idenisch sind: (I) Kauf des Basisobjeks zum Zeipunk auf Kredi, Ablösung des Kredis in T. Gewinn-/Verlusposiion in T: K T T K (1 r). (II) Erwerb des Basisobjeks über eine zum Zeipunk eingegangene Fuure Long- Posiion. Gewinn-/Verlusposiion in T: Seie 7 von 1

8 K T F(,T). Da die Invesiionen in T idenisch sind, muss gelen: K T T F(,T) KT K (1 r) und daher insgesam T (1 r) F(, T) K. ii) Es bezeichne wieder {K} den Werverlauf des Basisiels und {F(,T)} ensprechend den Werverlauf des Fuures mi Lieferermin T. Im Falle von Cos of Carry- Preisen gil: F T,T K (1 r F ) K und dami,f Cov (1 (1 K,F Cov K F T r) Cov K,K T r) K K T K,K (1 r) T K (1 r) K Var K Var K 1. Lösung 3b: i) Hedge-Posiion: G = G (x) = m(k - K-1) - x(f - F-1) Var(G) = m Var(K) + x Var(F) - mx Cov(K, F) Varianzminimales Hedge: dvar(g)/dx = mvar(k) mcov(k, F). Aus dvar(g)/dx = 0 folg x = m Cov(K, F)/Var(F). ii) Seze x = m Cov(K, F)/Var(F), es folg: Var(G) = m Var(K) + m Cov(K, F) /Var(F) - m Cov(K, F) /Var(F) = m {Var(K) - Cov(K, F) /Var(F)} = m Var(K){1 - Cov(K, F ) Var(K ) Var( F ) } = m Var(K){1 - ρ Var(K ) Var(F ) } Var(K ) Var(F ) = m Var(K)(1 - ρ ) = Var(mK)(1 - ρ ). Seie 8 von 1

9 Es gil somi ses Var(G) < Var(mK), wenn ρ(k, F ) 0. Lösung 3c: Rückzahlungsreihe Sandardbond: {50, 50, 50, 550}. Rückzahlungsreihe des Callable bei Kündigung in =: {50, 550}. Durch die vorzeiige Rückzahlung seh in = ein Berag in Höhe von 5000 zusäzlich zur Verfügung. Dieser Berag kann für zwei Jahre (ewa) zum 1-Monas-LIBOR angeleg werden. Kann im Rahmen eines Receiver Swap mi Umfang 5000 mi Jahren Laufzei der 1- Monas-LIBOR gegen den Nominalzins 5% eingeausch werden, so lauen die Zahlungssalden: = = 3 = (Eablierung Geldmarkanlage) LIBOR(Geldmark) LIBOR(Swap) + 50 (Swap) LIBOR(Geldmark) LIBOR(Swap) + 50 (Swap) (Auflösung Geldmarkanlage). Insgesam ensprich dies dann der Rückzahlungsreihe des Sandardbonds. Da diese Operaionen jedoch nur bei Kündigung erforderlich sind, is der benöige Finanziel eine Receiver Swapion mi Laufzei Jahre, die das Opionsrech beinhale, in einen zweijährigen Receiver Swap im Umfang von 5000 und einen Srike-Swapsaz von 5% einzureen. Lösung 3d: Bei Einri in einen Receiver Swap im Umfang von N und einer Laufzei von T erhäl das Versicherungsunernehmen einen Feszins i und zahl einen variablen Zins iv. Der Saldo is gegeben durch: i SALDO i i i. Durch den Einri in einen Receiver Swap wird somi der gewünsche Effek erziel. V Seie 9 von 1

10 Aufgabe 4: (1 Minuen) a) Die Posiion eines Collars beseh aus dem Besiz eines Basisiels bei gleichzeiigem Kauf einer Verkaufsopion (Long Pu) mi Ausübungspreis X1 und Verkauf einer Kaufopion (Shor Call) mi Ausübungspreis X > X1. Es bezeichne P = P(X1) den Preis des Pu und C = C(X) die erhalene Call-Prämie, jeweils zum Zeipunk. Die Werposiion des Collars zum Zeipunk T > laue bei Annahme eines frisigkeisunabhängigen einheilichen Soll- und Habenzinses r : VT = ST + max (X1 ST, 0) max(st X, 0) (P C)(1 + r) (T-) Weisen Sie vor diesem Hinergrund die Pu-Call-Pariä, d.h. den arbiragefreien Preiszusammenhang zwischen Call und Pu, zum Zeipunk nach! (6 min) b) Ein Invesor besiz ein anfängliches Vermögen W 0, das er benuz, um einerseis Zerobonds der Laufzei T = 7 zu erwerben und andererseis siebenjährige Calls auf die Dorin-Akie. Welches Mindes-Endvermögen W min kann der Invesor auf diese Weise erreichen? Unersellen Sie dabei, dass die siebenjährige Spo Rae r 7 beräg. Besimmen Sie die korrespondierende annualisiere Mindesrendie r min bezogen auf das anfängliche Vermögen W 0 und vergleichen Sie diese mi r 7. Welche Konsequenz ha die Konsellaion r min = r 7? (5 min) c) Die Black/Scholes-Formel für eine Europäische Pu-Opion mi Ausübungspreis X auf ein einkommensfreies Basisobjek mi Kursenwicklung {S} laue P Xexp ( r(t )) N( d()) S N( d1()), wobei N(x) die Vereilungsfunkion der Sandardnormalvereilung bezeichne. Besimmen Sie auf dieser Grundlage den Wer V eines synheischen 1:1 Hedges zum Zeipunk! (4 min) d) Berachen Sie ein Porfolio mi Anfangswer V 0 = 100 in = 0, für welches eine CPPI- Sraegie mi dem Muliplikaor m = 5 und der konsanen Werunergrenze (Floor) F = 90 umgesez werden soll. Gehen Sie aus von einem risikolosen Zins in Höhe von null. Die realisiere Werenwicklung des riskanen Asses is gegeben durch s 0 = 8000, s 1 = 8800 sowie s =8360. Besimmen Sie die folgenden Were, die aus der Umsezung der CPPI-Sraegie resulieren: Die Were C 0 und C 1 bzw. E 0 und E 1 von Cushion und Exposure sowie die Were V 1 und V des CPPI-Porfolios. (6 min) Lösungsskizzen: Lösung 4a: Collar-Posiion: VT = ST + max (X1 ST, 0) max(st X, 0) (P C)(1 + r) T- X - ST X = ST - für X1 ST X, X1 - ST X1 Seie 10 von 1

11 wobei := (P C)(1 + r) T- Am Mark herrsche ein frisenunabhängiger einheilicher Soll- und Habenzins r. Gegeben in : Vermögen S i) Invesmenalernaive A: Sichere Anlage von S über T- Perioden Vermögen in T: S(1+r) T- ii) Invesmenalernaive B: Erwerb Basisiel zu S; ferner Pu Long (X) und Call Shor (X); finanziere P C auf Kredi. Vermögen in T: X (P C) (1 + r) T- = X + (C P) (1 + r) T- Fazi: C P = S X(1 + r) -(T-). Lösung 4b: Der Invesor erwerbe n Calls zum Preis C0. Dami kann er W0 - n C0 in Zerobonds anlegen. Korrespondierende Werenwicklung: W7 = (W0 - n C0)(1 + r7) 7 + n max(x - S7, 0), wobei {S} die Werenwicklung der Dorin-Akie und X den Ausübungspreis des Call bezeichne. Da max(x S7, 0) 0 folg: W7 (W0 - n C0)(1 + r7) 7 =: Wmin Besimmung der Mindesrendie: W0 (1 + rmin) 7 = Wmin = (W0 - n C0)(1 + r7) 7. Hieraus folg: 1 + rmin = 7 1 n(c 0 /W0 ) (1 + r7) Es muss gelen rmin r7. Im Falle rmin = r7 werden keine Calls erworben (n = 0) und das gesame anfängliche Vermögen wird in den Zerobond invesier. Lösung 4c: Synheische 1:1 Pu Hedge-Posiion V S P, wobei S der Kurs des Underlying und P der Wer der ensprechenden Pu-Opion. Dami gil V S P = S Xexp[-r(T-)]N(-d())-SN(-d1()) = S[1-N(-d1()]+Xexp[-r(T-)N[-d()] Seie 11 von 1

12 Lösung 4d: Es gil C 0 = V 0 F = 10 und somi E 0 = 5C 0 = 50. Hieraus folg V 1 = E 0 (1 + r 1 ) + (V 0 E 0 ), wobei r 1 = ( ) 8000 = 0.1, also V 1 = 50(1.1) + 50 = 105. Hieraus folg C 1 = V 1 F = 15 und somi E 1 = 5C 1 = 75. Es folg weier V = E 1 (1 + r ) + (V 1 E 1 ), wobei r = ( ) 8800 = 0.05, also V = 75(0.95) + 30 = = Seie 1 von 1