Die chaotische Inflation

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1 Die chaotische Inflation Melanie Pfeuffer 23. Januar 2008 Abbildung 1: Abbildung entnommen aus [9] Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Die Theorie des expandierenden, homogenen und isotropen Universums Die Friedmann-Gleichungen Bewegungsgleichungen eines skalaren Feldes Was ist Inflation? 5 4 Das Szenarium der chaotischen Inflation 6 5 Das selbstreproduzierende Universum 9 6 Spontane Symmetriebrechung und Strahlungskorrekturen 11 7 Literatur und Abbildungsverzeichnis 16 1

2 1 Einführung Ein eindeutiges Indiz dafür, dass das Urknallmodell allgemein akzeptiert worden ist, war wohl der Artikel How the universe began auf der Titelseite der britischen Tageszeitung Independent am 24. April 1992, in dem die endgültige Bestätigung des Urknallmodells durch die Analyse der kosmischen Hintergrundstrahlung verkündet wurde. Doch es gibt Schwierigkeiten mit diesem Bild: Die Entstehung der kosmischen Hintergrundstrahlung stützt das Urknallmodell, nicht jedoch dessen Homogenität. Entropiebetrachtungen ergeben, dass es heute etwa 10 5 kausal unabhängige Bereiche geben müsste. Infolgedessen ist eine derartige großräumige Homogenität nicht erklärbar, es sei denn das Universum ist schon von Beginn an homogen gewesen. Viel natürlicher wäre es allerdings in kausal unabhängigen Bereichen chaotische Anfangsbedingungen anzunehmen. Ein weiteres Problem ergibt sich aus der Flachheit des Raumes. Um die Flachheit des heutigen Universums Ω s die Krümmung Ω , also extrem klein gewesen sein. Die genannten Schwierigkeiten sind lediglich Beispiele einer ganzen Reihe von Probleme, die extrem genau gewählte Anfangsbedingungen erfordern um die Entstehung der heutigen Daten durch das Urknallmodell erklären zu können. Viel natürlicher wäre es, die scheinbar durch Zufall entstandenen heutigen Daten durch einen zugrundeliegenden Mechanismus beschreiben zu können. Es stellt sich also die Frage ob es eine Theorie gibt, der es ohne fine-tuning gelingt, das heutige Universum zu erklären. Ein sehr vielversprechender Kandidat hierfür ist das inflationäre Universum. Die inflationäre Kosmologie ersetzt das Urknallmodell jedoch nicht, sondern ist vielmehr ein Zusatzeffekt, der zu sehr frühen Zeiten auftritt ohne jedoch die Erfolge des Urknallmodells zu gefährden. zu erreichen, müsste zur Planck-Zeit t p M 1 p 2 Die Theorie des expandierenden, homogenen und isotropen Universums 2.1 Die Friedmann-Gleichungen Um die Dynamik des Universums quantitativ beschreiben zu können, müssen auf diesen Skalen ebenfalls Gravitationseffekte berücksichtigt werden. Aus der Allgemeinen Relativitätstheorie ist bekannt, dass Materie die Raum-Zeit beeinflusst. Die Eigenschaften der Raum-Zeit werden durch den metrischen Tensor bestimmt. Ist der Raum gekrümmt, so ist der metrische Tensor koordinatenabhängig. Nach dem Äquivalenzprinzip werden die Gravitationsfelder durch eine koordinatenabhängige Metrik g µν beschrieben, was geometrisch der Krümmung eines vierdimensionalen Raumes entspricht. Die Einsteingleichung für g µν liefert den quantitativen Zusammenhang zwischen dieser Krümmung und den Quellen des Gravitationsfelds (also insbesondere den Massen) G µν = 8πGT µν, (1) die bereits in dem früheren Vortrag von Prof. Dr. Andreas Schäfer hergeleitet wurde [7]. Dabei bezeichnet T µν den Energie-Impulstensor und G die Newton sche Gravitationskonstante. Wird der Einsteintensor G µν ausgedrückt durch den Ricci-Tensor R µν und den Krümmungsskalar R = g αβ R αβ, so lautet eine äquivalente Formulierung der Einsteingleichung: R µν 1 2 Rg µν = 8πGT µν, (2) Die Einsteingleichung kann durch einen in g µν linearen Zusatzterm verallgemeinert werden. Die dabei auftretende kosmologische Konstante Λ = 8πGV (φ) kann beim Auftreten eines konstanten und homogenen Skalarfeldes durch die Vakuumenergiedichte V (φ) erklärt werden. R µν 1 2 Rg µν + Λg µν = 8πGT µν, (3) Sobald also die Metrik des Raumes bekannt ist, lässt sich die Krümmung und somit der Zusammenhang zu Druck und Dichte der Materie (Energie-Impuls-Tensor T µν = diag (ρ, p, p, p)) beschreiben. 2

3 Das Wegelement eines homogenen und isotropen expandierenden Universums ist gegeben durch ds 2 = g µν x µ x ν = dt 2 a 2 (t) [ dr 2 + f 2 (r) ( dθ 2 + sin 2 dφ 2)]. (4) f(r) bestimmt wie sich die Fläche der Sphäre r =konst. mit dem Radius r ändert, ist also vom Vorzeichen der Krümmung abhängig: sin r, k=+1; f(r) = r, k=0; (5) sinh r, k=-1. Der metrische Tensor lautet folglich: (g µν ) = diag ( 1, a 2 (t), a 2 (t)f 2 (r), a 2 (t)f 2 (r) sin 2 (θ) ) (6) Der Ricci-Tensor lässt sich über folgende Beziehung R µν = Γρ µρ x ν Γρ µν x ρ + Γσ µργ ρ σν Γ σ µνγ ρ σρ (7) aus den Christoffel-Symbolen berechnen. Diese lassen sich direkt aus dem metrischen Tensor ableiten [7]: Γ κ µν = 1 ( gµλ 2 gκλ x ν + g νλ x µ g ) µν x λ (8) Setzt man nun den aus dem metrischen Tensor Gl. (6) berechneten Ricci-Tensor und Krümmungsskalar in die Einsteingleichung Gl. (2), so erhält man die Friedmann-Gleichungen: ä(t) = 4π 3 G(ρ + 3p) a(t) + 1 Λ a(t) (9) 3 (ȧ(t) ) 2 H 2 = = 8π a(t) 3 Gρ Λ k a(t) 2 (10) Die Entwicklung des Skalenfaktors a(t), der die Größe des Universums beschreibt, ist also durch die Friedmanngleichungen festgelegt. 2.2 Bewegungsgleichungen eines skalaren Feldes Im vorhergenden Abschnitt wurde gezeigt, dass die Feldgleichungen eines homogenen und isotropen expandierenden Universums parametrisiert werden können durch den Skalenfaktor a(t). Dieser beschreibt die Krümmung der Raum-Zeit, die von den Quellen des Gravitationsfeldes hervorgerufen wird. Was aber sind im frühen Universum die Quellen, die die inflationäre Expansion verursachen können? Kandidaten dafür liefert die Elementarteilchenphysik. In der Teilchenphysik werden die elektromagnetische, die schwache und die starke Wechselwirkung durch die drei Eichgruppen U(1), SU(2) und SU(3) beschrieben. In den 60er Jahren gelang es Glashow, Weinberg und Salam eine einheitliche Theorie der schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkung zu konstruieren, für die sie 1979 dann den Nobelpreis erhielten. Diese elektroschwache Vereinheitlichung beruht auf spontaner Symmetriebrechung eines skalaren Feldes, dem Higgsfeld. Betrachtet man beispielsweise ein Potential der Gestalt Abb. 3 wie V (φ) = µ 2 φ 2 +λφ 4, so ist das Potential bei hohen Energien V (φ) λφ 4 symmetrisch. Bei niedrigen Energien allerdings entspricht der Vakuumerwartungswert dem Minimum und hat eine willkürliche Phase. Diese Symmetriebrechung führt dazu, dass bei niedrigen Energien die schwache und elektromagnetische Wechselwirkung entkoppeln, bei hohen Energien allerdings konsistent beschrieben werden. Analog dazu versucht man in den sogenannten GUT-Theorien (Grand Unified Theories) die starke, schwache und elektromagnetische Wechselwirkung mit einer höheren Symmetriegruppe wie beispielsweise SU(5) zu vereinheitlichen. Die Entkopplung der starken Wechselwirkung und erfolgt wiederum durch spontane Symmetriebrechung des Potentials der skalaren Higgsfelder. Demzufolge genießen skalare Felder in der Elementarteilchenphysik eine große Bedeutung. 3

4 Abbildung 2: Die Abbildung (aus [8]) zeigt die Vereinheitlichung der elektromagnetischen und schwachen WW zur elektroschwachen WW und zusammen mit der starken WW bei noch höheren Energien zur GUT Grand Unified Theory. Bei Energien im Bereich der Planckmasse wird eine vereinheitlichte Theorie aller vier Wechselwirkung zur TOE Theory of Everything vermutet. Abbildung 3: Ein Potential der Form V (φ) = µ 2 φ 2 + λφ 4 ist bei hohen Energien V (φ) λφ 4. Bei niedrigen Energien allerdings entspricht der Vakuumerwartungswert dem absoluten Minimum φ 0. (Abbildung aus [1]) Es ist naheliegend bei derart hohen Energien wie sie nach dem Urknall herrschten skalare Felder anzunehmen. Ein skalares Feld trägt auch als Quelle des Gravitationsfeldes zum Energie- Impulstensor bei. Aus der Lagrangedichte eines skalaren Feldes φ mit Potential V (φ) mittels der Euler-Lagrange-Gleichung L = 1 2 g µν µ φ ν φ V (φ) (11) 1 ( µ gg µν ν φ ) + V g φ wobei g = det g µν die Bewegungsgleichung des Feldes mit H = ȧ(t) a(t) : = 0, (12) φ(t) + 3H φ 1 φ = V a2 φ (13) Peter Graf zeigte in seinem Vortrag [5], wie die Dichte und der Druck aus der Lagrangedichte folgt: ρ = 1 2 φ 2 + V (φ) ( φ)2 (14) p = 1 2 φ 2 V (φ) 1 6 ( φ)2 (15) 4

5 Abbildung 4: Zwei Möglichkeiten, die Voraussetzung zur Inflation, die slow-roll-bedingung, zu erfüllen: Ein größtenteils sehr flaches Potential (linke Abbildung) ermöglicht es, den kinetischen Term zu kontrollieren. Nach Linde ist Inflation allerdings auch in Potentialen der Form V (φ) φ n möglich, in denen die Expansion des Kosmos die Geschwindigkeit des Feldes bremst. Beide Abbildungen entnommen aus [2] Für ein homogenes skalares Feld ergeben sich eine leicht modifizierte Bewegungsgleichung: φ(t) + 3H φ = V φ (16) Ebenso lässt sich die zweite Friedmannsche Gleichung vereinfachen: 3 Was ist Inflation? H 2 = 8π 3 GV (φ) + 4π 3 G φ 2 k a(t) 2 (17) Die wesentliche Annahme der Inflationsmodelle ist eine Zeitspanne im frühen Universum, in der sich der Kosmos sehr schnell ausdehnt. Die mathematische Definition der Inflation ist sehr einfach. Inflation ist eine Ära beschleunigter Expansion: INFLATION ä > 0 (18) Nach der ersten Friedmann-Gleichung Gl. (9) bedeutet dies aber gerade bei verschwindender kosmologischen Konstante eine Einschränkung für die Zustandsgleichung: INFLATION ρ + 3p < 0 (19) Wird ein homogenes skalares φ-feld als Quelle des Gravitationsfeldes angenommen, so liefern die in Gl. (14) gegebenen Ausdrücke, die sogenannte slow-roll-bedingung: INFLATION φ 2 < V (φ) (20) Aufgrund dieser slow-roll-bedingung waren anfangs die Potentiale ziemlich flach um den kinetischen Energieterm zu beschränken. Erst A. Linde wählte einen komplett anderen Ansatz um die slow-roll- Bedingung zu erfüllen: Er zeigte, dass sogar in den einfachsten Potentialen der Form V (φ) φ n Inflation auftreten kann. Dazu betrachtet man die Bewegungsgleichung eines φ-feldes in einem homogenen und isotropen, expandierenden Universum nach Gl. (16) φ(t) + 3H φ = V φ. Die Expansion des Universums wirkt als Reibungsterm 3H φ und reduziert daher die Geschwindigkeit des Feldes. 5

6 4 Das Szenarium der chaotischen Inflation Die ursprüngliche Idee des inflationären Paradigmas stammt von Alan Guth wurde von Albrecht, Steinhardt und Linde das Modell der neuen Inflation, das auf einem Phasenübergang zweiter Ordnung beruht, vorgeschlagen. Allerdings ist auch dieses Modell unbefriedigend, als hierin Inflation erst in Domänen mit Massen, die 6 Größenordnungen höher als M p liegen, einsetzt und außerdem das Flachheits- und Entropieproblem nur unzureichend gelöst wird. Das heute bevorzugte Modell, die chaotische Inflation wurde von A. Linde 1983 vorgestellt. Linde zeigt, dass unter Annahme chaotischer Anfangsbedingungen Inflation prinzipiell in jedem Modell mit einem ausreichend flachen effektiven Potential möglich ist. Linde betrachtet Potentiale der Form (siehe Abb. 5) V (φ) = λφn nm n 4 p (21) In den allerersten Entwicklungsstadien des Universums könnten prinzipiell H und ρ beliebig groß gewesen sein. Man geht davon aus, dass bei Energiedichten Mp 4 Quantengravitationseffekte so wichtig sind, dass Quantenfluktuationen der Metrik größer als die klassischen Werte von g µν werden. Eine klassische Beschreibung des Universums ist dann nicht möglich. Eine solche ist erst nach der Planck-Zeit t t p 1 6M p möglich, wenn die Energiedichte kleiner als Mp 4 ist. Es ist natürlich anzunehmen, dass das Universum vor der Planck-Zeit t p in einem chaotischen Quantenzustand ist. Wenn nun das Potential ausreichend flach ist, also λ genügend klein ist, gibt es keinen Grund anzunehmen, dass zur Planck-Zeit t p überall das Feld im Potentialminimum bei φ = 0 ist. Im Gegenteil: Vielmehr wird jeder Wert zwischen M p /λ 1 4 und M p /λ 1 4 in unterschiedlichen Gebieten angenommen. Denn von dem Zeitpunkt aus, ab dem das Feld klassisch beschrieben werden kann, geht man natürlicherweise davon aus, dass typische Anfangsbedingungen V (φ) Mp 4 herrschten. Mit dem Potential V (φ) = λφ n /nmp n 4 ist ein typischer Wert für das Feld φ 0 M p /λ 1 4, so dass V (φ 0 ) = λφ n 0 /nmp n 4 Mp 4. Grundsätzlich gibt es also kein physikalisches Gesetz, das Felder der Größenordnung φ M p /λ 1 4 verbietet. Daher sollte es unendlich viele lokal homogene und isotrope Domänen der Größe l 1/M p geben, die ein lokal homogenes Feld φ mit M p φ M p /λ 1 4 enthalten. Betrachtet man nun eine derart homogene und isotrope Domäne mit M p φ M p /λ 1 4, so rollt nun keineswegs, wie man intuitiv erwarten würde, das φ-feld in das Potentialminimum ab. Im Folgenden wird gezeigt, dass die Expansion des Raumes einen Reibungsterm bewirkt, der gerade das Abrollen des Feldes verhindert. Eliminiert man in der Bewegungsgleichung und in der zweiten Friedmanngleichung H, so erhält man für ein hinreichend homogenes und langsam veränderliches φ-feld φ dv/dφ und große a(t), so dass k a(t) 3H φ = V φ (22) H 2 = 8π 3 GV (φ) + 4π 3 G φ 2 (23) eine quadratische Gleichung für φ 2 (t) 4 3 Gπ φ πgv (φ) φ 2 = 1 ( ) 2 V (24) 9 φ mit der Lösung φ 2 = 8πGV/3 + (8πGV/3) πGV 2 /9. (25) 8πG/3 Mit V (φ) = nv (φ)/φ und für ein ausreichend hohes φ (G = M 2 p ) φ n 6 π M p (26) 6

7 Abbildung 5: Das Potential des φ-feldes in den chaotischen Inflationsmodellen. Die Inflation beginnt bei hohen φ-werten und endet bei φ M p. Dann rollt das Feld in das Potentialminimum hinab und die Phase der Wiederaufheizung beginnt. Abbildung aus [10] ergibt sich 1 2 φ 2 V (φ), (27) also Inflation! (ρ p und damit mit Gl.(19) ρ + 3p < 0) Diese starke Abschätzung zeigt, dass der Energieimpulstensor T µν = µ φ ν φ g µν L = T µν + g µν V (φ) [5] des φ-feldes von dem Potential V (φ) dominiert wird. Was aber bedeutet dies für die Expansion des ( Universums? Ein ) Blick auf die Einsteingleichung Gl. (2) R µν 1 2 Rg µν = 8πGT µν = 8πG Tµν + g µν V (φ) zeigt, dass somit die Ausdehnung a(t) des Universums nahezu ausschließlich durch das Potential V (φ) bestimmt wird. Die Geschwindigkeit, mit der sich das φ-feld und V (φ) ändern ist für φ M p viel kleiner als die Expansionsrate des Universums. Denn aus 1 2 φ 2 V (φ) folgt aus den Gleichungen (22), (23) 1 2 φ 2 = M p 2 ( ) 2 V = n2 Mp 2 V (φ) (28) 48πV (φ) φ 48πφ2 Verwendet man diese Relation und die zweite Friedmannsche Gleichung Gl. (9), so erhält man für große φ, φ M p ȧ 8 π 64π = H (φ (t)) = a 3 Mp 2 V (φ) = 2 φ 4 φ n 2 Mp 4 φ φ (29) φ Die Idee der chaotischen Inflation ist also folgende: Ein hohes φ-feld bewirkt einen hohen Hubble- Parameter H = ȧ/a. Ein hoher Hubble-Parameter wiederum zieht eine große Reibung nach sich, Folglich ändert sich das φ-feld lediglich langsam, wohingegen die Expansionsrate des Universums sehr viel größer ist. Über Zeiträume t H/Ḣ H 1 (ä/a = Ḣ + H2 0) gilt daher das Expansionsgesetz: a(t) = e Ht, (30) wobei H (φ (t)) mit der Zeit allmählich abnimmt. Wie sich der Skalenfaktor a(t) in Abhängigkeit von φ verhält lässt sich leicht ableiten: Nach der zweiten Friedmanngleichung Gl. (10) gilt mit l = 8πG/3 = 8π/3M 2 p und der Bewegungsgleichung H = l V und 3H φ = V (φ). (31) 7

8 Abbildung 6: Die Abbildung (aus [3]) zeigt den Temperaturverlauf des Universums. Der Inflation muss eine Phase der Wiederaufheizung folgen. Äquivalent dazu sind die Gleichungen woraus folgende Gleichung resultiert: d dt ln a = l V und dφ dt = V (φ) 3l V, (32) d ln a dφ = 3l2 V/V (33) Nun ist V/V = φ/n und nach Integration erhält man: a(φ) = a 0 exp { 3l2 ( φ 2 φ 2 ) } { 0 = a 0 exp 4π ( φ 2 2n nmp 2 φ 2 ) } 0 (34) Damit findet man für den Anfangszustand V (φ 0 ) = λφ n 0 /nmp n 4 ) } 2/n P = exp { 4π n ( λ n M 4 p einen Inflationsfaktor von Für eine λφ 4 /4-Theorie gilt also { } π P = exp (36) λ Die Theorie der Galaxienbildung erfordert Dichteinhomogenitäten. Allerdings muss die relative Amplitude der Dichtefluktuationen hinreichend klein sein δρ(k) ρ (35) (37) Dagegen liefern Abschätzungen für die Dichtefluktuationen in der λφ 4 /4-Theorie zu δρ(k) ρ 10 2 λ, (38) 8

9 was zu einer Abschätzung der Kopplungskonstante λ führt: λ (39) Die Kopplungskonstante muss also extrem klein sein. Wählt man beispielsweise für die Kopplungskonstante λ 10 14, so lässt sich daraus der Inflationsfaktor von Gl. (36) berechnen: { } π P = exp (40) λ Ein Gebiet der ursprünglichen Größe l p M 1 p cm wird somit während der Inflation auf l M 1 p P cm (41) wachsen. Inflation tritt wie in obigem Abschnitt gezeigt bei sehr hohen Werten des φ-feldes auf. Aus der Voraussetzung hoher φ-felder in Gl. (26) lässt sich im Gegenzug das Ende der inflationären Phase finden. Für φ nm p /12 (42) ist 1/2 φ 2 = n 2 M 2 p V (φ)/48πφ 2 1/2πV (φ) und die inflationäre Phase endet. Der Hubble-Parameter H = ȧ/a ist nicht mehr groß genug um ein rasches Hinabrollen des φ-feldes in das Minimum des Potentials zu verhindern. Das φ-feld beginnt um das Minimum des Potentials V (φ) zu schwingen und überträgt seine Energie auf die erzeugten Teilchen. Die Teilchen führen Stöße aus und ein thermisches Gleichgewicht wird erreicht. Das Universum heizt sich also auf. Erfolgt das Wiederaufheizen schnell genug, geht praktisch die gesamte Schwingungsenergie des Feldes in Wärme über und die Temperatur des Universums nach dem Wiederaufheizen ist gegeben durch ( ) 1/4 30 T rh π 2 V (φ end nm p /12) 1/4. (43) N(T rh ) Für die V (φ) = λφ 4 /4-Theorie erhält man mit N(T ) 10 3 die Temperatur T rh = cλ 1/4 M p mit c Für λ kann die charakteristische Temperatur nach dem Wiederaufheizen nicht größer als T rh = GeV (44) sein. Das chaotische Inflationsmodell sagt also nach einer stattgefundenen Inflation eine Phase der Wiederaufheizung vorher (siehe Abb. 6). 5 Das selbstreproduzierende Universum Greifen wir nochmals die entscheidende Folgerung aus den von Linde geforderten chaotischen Anfangsbedingungen auf. Zur Planckzeit t p muss es unendlich viele lokal homogene und isotrope Domänen der Größe l 1/M p geben, deren Felder ausreichend hoch sind M p φ M p /λ 1 4. Eine jede dieser Domänen erfüllt die Bedingungen für Inflation. Eine inflationäre Phase löst gerade die Feinabstimmungsprobleme, die mit dem Urknallmodell verbunden sind. Das heutige beobachtbare Gebiet des Universums entwickelte sich aus einer Domäne. Durch die inflationäre Phase ist dieses Gebiet lokal flach. Allerdings lassen sich aus diesen lokalen Eigenschaften keine Schlussfolgerungen über den Aufbau und die Struktur des gesamten Universums ziehen. Wie aber sieht die globale Struktur des Universums aus? Eine genauere Betrachtung eines einfachen Modells eines skalaren Feldes, der λφ 4 -Theorie, enthüllt einige überraschende Aspekte bezüglich dieser Frage. Eine Analyse der Bewegungsgleichung 16 zeigt, dass sich das Feld φ in λφ 4 -Theorie für hohe φ wie folgt verhält: ( ) λ φ(t) = φ 0 exp 6π M pt 9

10 Abbildung 7: In einer λφ 4 -Theorie spielen für φ λ 1/4 M p Quantengravitationseffekte eine Rolle. Eine klassische Beschreibung ist demnach erst für φ λ 1/4 M p möglich. Inflation tritt auf für M p /3 φ λ 1/4 M p. Dies lässt sich nochmals unterteilen in einen Bereich, in denen Quantenfluktuationen vernachlässigt werden können φ λ 1/6 M p und in einen Bereich λ 1/6 M p φ, in denen Quantenfluktuationen wichtig werden. (Abb. modifiziert (!) entnommen aus [6]) Somit nimmt das Feld φ also in der charakterist. Zeit 3 t = H 1 M p (φ) = 2πλ φ 2 (45) um φ = M 2 p 2πφ ab. Nun werden zusätzlich noch Quantenfluktuationen des Feldes φ betrachtet. Während der inflationären Phase werden aus den kurzwelligen Quantenfluktuationen langwellige Fluktuationen. Überschreitet die Qellenlänge der Fluktuation δφ den Ereignishorizont H 1, so wird deren Amplitude quasi eingefroren. Es lässt sich zeigen, dass während der Zeit t die mittleren Amplituden der Quantenfluktuationen des φ-feldes mit Wellenlängen l H 1 (46) δφ(x) H(φ) λ 2π = φ 3 (47) 6π M p sind. Nun ist sofort ersichtlich, dass für kleine φ λ 1/6 M p die Quantenfluktuationen gegenüber der Abnahme des φ-feldes φ vernachlässigbar klein sind δφ(x) φ. Dagegen bewegen sich für φ λ 1/4 M p die mittleren Amplituden der Quantenfluktuationen in der Größenordnung von φ: δφ(x) 2π/3λ 1/4 φ. Berücksichtigt man weiterhin, dass für allzu große φ Quantengravitationseffekte berücksichtigt werden müssen, das Feld also noch nicht klassisch beschrieben werden kann, sowie bei allzu kleinen φ die inflationäre Phase abbricht und die Phase der Wiederaufheizung beginnt, so lässt sich das typische Verhalten des skalaren Feldes folgendermaßen unterteilen (siehe Abb. 7): φ λ 1/4 M p : M p /3 φ λ 1/4 M p : λ 1/6 M p φ λ 1/4 M p : Quantengravitationseffekte φ ȧ φ a δφ(x) φ 10

11 Abbildung 8: In der Abbildung wird gezeigt wie eine Domäne (A) der Größe H 1 innerhalb der Zeit t = H 1 anwächst auf die Größe eh 1 (B). Für φ λ 1/6 M p liefern die Quantenfluktuationen δφ den entscheidenden Beitrag zur Änderung des skalaren Feldes. Es entstehen somit etwa zur Hälfte neue Domänen der Größe H 1, in denen φ größer ist als in der ursprünglichen Domäne A, sodass auch hierin wiederum Inflation möglich ist! (entnommen aus [6]) M p /3 φ λ 1/6 M p : φ M p /3: δφ(x) φ Reheating Fasst man nun ein inflationäres Gebiet der Größe l H 1 und φ λ 1/6 M p ins Auge, so ist also die Größenordnung der Quantenfluktuationen vergleichbar mit der Abnahme des skalaren Feldes φ in t = H 1. Während dieser Zeit ist das Gebiet um den Faktor e gewachsen. Dessen Volumen ist folglich um das e 3 20-fache angestiegen. Dieses Gebiet lässt sich nun wiederum in ungefähr 20 neue homogene Gebiete der Größe l H 1 unterteilen, deren φ-felder sich von dem ursprünglichen Feld um den Wert δφ(x) φ δφ(x) unterscheidet. In e 3 /2 Gebieten nimmt also das skalare Feld während der inflationären Phase um δφ(x) φ zu (siehe Abb. 8)! Es entstehen folglich aus einer inflationären Domäne mehrere neue Gebiete, in denen wiederum Inflation stattfinden kann. Das chaotische Modell der Inflation führt zu einem sich reproduzierenden Universum! Dies ist in Abb. 9 dargestellt. 6 Spontane Symmetriebrechung und Strahlungskorrekturen Durch das Szenarium der chaotischen Inflation kennt man also einen Mechanismus, der es für (nahezu) allgemeine Potentiale ermöglicht, Inflation unter chaotischen Anfangsbedingungen zu erhalten. Die Forderung chaotischer Anfangsbedingungen ist viel natürlicher als bestimmte feinabgestimmte Parameter zu fordern, wie es in den früheren Inflationsmodellen nötig war. Doch nicht nur sind derart feinabgestimmte Parameter schwierig zu motivieren, sondern wie im Folgenden gezeigt wird werden diese auch noch durch Strahlungskorrekturen beeinflusst. Strahlungskorrekturen können das fine-tuning wieder zunichte machen. Um zu verstehen, was Quantenkorrekturen zum Potential bewirken können, betrachten wir wiederum die λφ 4 -Theorie. Es stellt sich im Folgenden heraus, dass dort durch Strahlungskorrekturen die Symmetrie des Potentials gestört wird. Dazu gehen wir zunächst auf die spontane Symmetriebrechung in der klassischen Feldtheorie ein. 11

12 Abbildung 9: Künstlerische Darstellung der Entwicklung der Globalstruktur des inflationären Universums. Aus einem inflationären Bereich entstehen ständig neue Bereiche, in denen Inflation stattfinden kann. (entnommen aus [10]) Spontane Symmetriebrechung in klassischer Feldtheorie Abbildung 10: Abbildung aus [1] Betrachtet man ein Potential V (φ) mit einem negativen Massenterm so weist die zugehörige Lagrangedichte :V (φ) = 1 2 µ2 φ 2 + λ 4! φ4, (48) L = 1 2 ( µφ) µ2 φ 2 λ 4! φ4 (49) eine diskrete Symmetrie unter φ φ auf. Bei niedrigen Energien allerdings entspricht der Vakuumerwartungswert dem absoluten Minimum des Potentials. Das System muss sich also für eines 12

13 der beiden Minima 6 φ 0 = ±v = ± λ µ (50) entscheiden. Auch wenn das Feld φ anfangs null ist, erfährt es einen Übergang zum einen der beiden absoluten Minima, was als spontane Symmetriebrechung bekannt ist. Die diskrete Symmetrie φ φ ist nun gebrochen. Nach der spontanen Symmetriebrechung ist es nur natürlich, sich Schwingungen σ(x) um den Vakuumerwartungswert v anzusehen: φ(x) = v + σ(x) (51) Setzt man diese Transformation in obige Lagrangedichte Gl. (49) ein, so erhält man L = 1 2 ( µσ) 2 1 λ 2 (2µ2 )σ 2 6 σ3 λ 4! σ4 (52) Diese Lagrangedichte beschreibt einfaches skalares Feld der Masse 2µ mit σ 3 - und σ 4 -Wechselwirkungen. Strahlungskorrekturen Im letzten Abschnitt wurde das Auftreten spontaner Symmertriebrechung in der klassischen Feldtheorie analysiert. Die Suche nach dem Vakuumerwartungswert war insofern geometrisch als diesem der tiefste Punkt des Potentials entspricht. Allerdings können gemäß Quantenmechanik und Relativitätstheorie Teilchen aus dem Vakuum entstehen, und können wechselwirken bevor sie wieder ins Vakuum verschwinden. Diese Quantenfluktuationen liefern ebenfalls einen Beitrag zum Potential. Wünschenswert wäre also wiederum eine Größe, deren Minimum den Vakuumerwartungswert unter Berücksichtigung aller Quantenkorrekturen bestimmt. Eine solche Größe gibt es tatsächlich: das effektive Potential V eff (φ). In der Quantenfeldtheorie wurde ein Formalismus entwickelt, der es ermöglicht mithilfe Feynman-Diagrammen V eff (φ) zu berechnen. Demzufolge ist das effektive Potential durch alle ein-teilchen irreduziblen Vakuumdiagramme in der L(φ c + φ) gegeben. Dies entspricht der Trennung der Quantenfluktuationen φ vom klassischen Feld φ c ähnlich wie in Gl. (51). Zur Berechung des effektiven Potentials wird dann das Quantenfeld φ ausintegriert. Als Beispiel dient ein weiteres Mal das λφ 4 /4!-Potential. Bei diesem Potential ist das absolute Minimum bei φ = 0. Nach klassischen feldtheoretischen Betrachtungen ist auch bei niedrigen Energien stets die ganze Symmetrie erhalten, es tritt keine spontane Symmetriebrechung auf. Wie wir im Folgenden sehen werden gilt dies nicht mehr für das resultierende Potential nach Hinzunahme der Quantenkorrekturen. Die Lagrangedichte dieser Theorie ist gegeben durch L = 1 2 ( µφ) 2 λ 4! φ A( µφ) Bφ2 λ 4! Cφ4, (53) wobei A, B und C für die Renormierung notwendige Konterterme sind. Um nun das effektive Potential V eff (φ) exakt zu berechnen, müssten unendlich viele Feynman-Diagramme aufsummiert werden. Coleman und Weinberg schlugen deshalb in [4] als Näherungsmethode die Entwicklung nach der Anzahl der Schleifen, die in den Feynman-Diagrammen auftreten, vor: Zuerst werden alle Graphen aufsummiert, die keine geschlossene Schleife enthalten, dann all jene mit einer Schleife, Abbildung 11: Beitragende Diagramme in der Einschleifennäherung (entnommen aus [4]) 13

14 usw. Der entscheidende Punkt dieser Methode liegt nicht darin, dass die Schleifenentwicklung eine Entwicklung nach einer kleinen Parameter ist. Vielmehr entspricht sie einer Entwicklung in einen Parameter, die die totale Lagrangedichte multipliziert und ermöglicht daher alle möglichen Vakuumzustände sofort zu sehen (siehe [4]). Angewandt auf das λφ 4 /4!-Potential ergeben sich bis zur Einschleifennäherung die Beiträge gegeben in Gleichung (57). In niedrigster Ordnung (keine geschlossene Schleife) trägt lediglich ein Graph mit V = λφ c /4! bei. Die ersten beitragenden Graphen in der Einschleifennäherung sind in Abb. 11 gezeigt. Darin entsprechen die äußeren Linien dem klassischen Feld φ c, die Linien der Schleifen dem Quantenfeld φ. An jedem Vertex sind also zwei φ und zwei φ c. In dem n-ten Einschleifengraph hat man somit an jedem Vertex durch ( V (φ+φ ) c ) = λ(φ+φ c ) 4 /4! die Kombination 4 aus zwei klassischen und zwei Quantenfeldern genau -mal 2 ( 1 4! ( 4 2 ) λφ 2 c) n = ( ) n ( ) n λφ2 c (54) Durch die Entwicklung der Exponentialfunktion bis zur n-ten Ordnung (Wicksches Theorem) erhält man einen Faktro n! (55) Außerdem kommt noch ein kombinatorischer Faktor hinzu. In der n-ten Ordnung der Einschleifennäherung gibt es für φ am ersten Vertex genau (n 1) 2 Möglichkeiten mit einem der Quantenfelder der anderen Vertices kontrahiert zu werden (obda wird es mit einem φ am zweiten Vertex kontrahiert). Nun gibt es für das verbleibende φ-feld des zweiten Vertex nur mehr (n 2) 2 Möglichkeiten wiederum mit einem Feld an einem beliebigen der restlichen Vertices zu kontrahieren.... Es ergibt sich also ein kombinatorischer Faktor von 2(n 1) 2(n 2)... 2(n (n 1)) = 2 n 1 (n 1)! (56) Zusammen mit den n Propagatoren erhält man letztendlich für die Summe über alle Einschleifendiagramme für die Gleichungen (54)-(56) den zweiten Summand in nachstehendem Ausdruck für das effektive Potential. V eff = λ 4! φ4 c 1 2 Bφ2 c λ 4! Cφ4 c + i d 4 k (2π) 4 n=1 1 ( 1 2 λφ2 c )n 2n k 2 + iɛ Auf den ersten Blick erscheint der zweite Summand hoffnungslos infrarot-divergent, jedoch lässt sich nach einer Wickrotation k 0 ik 4, k 2 k 2 die Reihe summieren V eff = λ 4! φ4 c 1 2 Bφ2 c λ 4! Cφ4 c + 1 d 4 ( ) k 2 (2π) 4 ln 1 + λφ2 c 2k 2 und die Infrarotdivergenz ist verschwunden! Allerdings ist das Integral immer noch ultraviolettdivergent. Da die Physik nur bis zu Energien in der Größenordung von der Planckmasse M p bekannt ist, führt man in dem Impulsintegral einen Cutoff ein, ab dem die Integration beendet wird. Nach der Bestimmung der Konterterme (siehe hierzu [4] erhält man schlussendlich für das effektive Potential: V eff = λ 4! φ4 c + λ2 φ 4 c 256π 2 ( ln φ2 c M Da der Wert des Logarithmus eines kleinen Argumentes negativ ist, scheint es so als ob die Einschleifenkorrekturen das Minimum am Ursprung in ein Maximum verwandelt und ein neues Minimum geschaffen hätten. Das wiederum bedeutet, dass die Quantenkorrekturen Spontane Symmertriebrechung erzeugt haben! ) (57) 14

15 Einen interessanten Aspekt bietet die analoge Berechnung des effektiven Potentials in Einschleifennäherung für das Higgsmodell. Dessen Lagrangedichte ist gegeben durch: L = 1 4 (F µν) 2 + ( µ + iea µ )χ 2 + µ 2 χ χ λ(χ χ) 2 Daraus lässt sich folgendes effektive Potential in Einschleifennäherung berechnen (siehe [6], [4]) V eff = µ2 φ 2 ) ) (1 3e4 2 16π 2 + (1 λφ4 9e4 λ 4 32π 2 + 3e4 φ 4 ( ) λφ 2 λ 64π 2 ln µ 2 Der Verlauf des effektiven Potentials wird für vier verschiedene Werte von λ in Abb. 12 gezeigt. Die für den Higgsmechanismus erforderliche spontane Symmetriebrechung kann nur stattfinden, wenn es ein neues Minimum gibt, das tiefer als das Minimum am Ursprung ist. Dies ist folglich der Fall, wenn λ < 3e4 32π 2. (58) Aus dieser Forderung an λ lässt sich grundsätzlich eine Forderung an die Masse des Higgsteilchens stellen: m 2 A = e 2 µ 2 /λ, m 2 φ = 2µ 2 :m 2 φ = m 2 A/e 2 λ (59) und somit folgt für das Glashow-Weinberg-Salam-Modell m φ 7GeV (60) Abbildung 12: Das effektive Potential im Higgsmodell für verschiedene λ. Spontane Symmetriebrechung ist nur für ausreichend große λ möglich. (modifiziert entnommen aus [6]) Dass Quantenkorrekturen einen erheblichen Einfluss auf die Form des effektiven Potentials haben können wie soeben gezeigt wurde, unterstreicht nochmals wie sehr sich das chaotische Inflationsmodell von den vorherigen Modellen abgrenzt: Es ist kein fine-tuning notwendig, das möglicherweise sogar instabil gegenüber Strahlungskorrekturen ist. Stattdessen wurde dargestellt, dass es möglich ist für ein (nahezu) beliebiges Potential unter der natürlichen Annahme chaotischer Anfangsbedingungen Inflation zu erzeugen. Für ein bis jetzt noch unbekanntes Potential der Großen Vereinheitlichten Theorie ist es also Inflation nicht unwahrscheinlich! 15

16 7 Literatur und Abbildungsverzeichnis [1] ftp://info.oeaw.ac.at/pub/web ppts/horizonte der Teilchenphysik.ppt. [2] tremaine/ast541/das.ppt. [3] casa.colorado.edu/ ginsbura/astronomy/inflation%20presentation.ppt. [4] S. Coleman and E. Weinberg. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. Phys. Rev., D7: , [5] P. Graf. Kosmische Inflation - Eine Einführung, [6] A. Linde. Particle physics and inflationary cosmology. JHEP, [7] Prof. Dr. A. Schäfer. Some elements of classical gravitation theory, [8] lg. jpg. [9] ig/060915/cmb Timeline150.jpg. [10] alinde/. 16