6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen).

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1 6- Funktionen 6 Die Eponentialfunktionen (und Logaritmen) Eine ganz wictige Klasse von Funktionen f : R R bilden die Eponentialfunktionen f() = c ep( ) = c e, ier sind, c feste reelle Zalen (um Trivialfälle auszuscließen, wird noc vorausgesetzt, dass beide Zalen, c von Null verscieden sind) Diese Funktionen dienen dazu, Wacstumsprozesse (und Zerfallsprozesse) zu bescreiben Dabei ist e = 2, 7828 eine ganz bestimmte Zal (genauso wictig wie etwa π) Die Eponentialfunktion ep() ist eine bijektive Funktion R {r R r > 0}, die zugeörige Umkerfunktion wird mit ln: {r R r > 0} R bezeicnet und eißt der (natürlice) Logaritmus Die Eponentialfunktionen sind gerade die Funktionen der Form f() = c a, wobei a, c reelle Zalen sind, und wobei a > 0 vorauszusetzen ist (zusätzlic wird vorausgesetzt: c 0, und a ) Um die Funktion c ep( ) in der Form c a zu screiben, muss man nur a = ep() setzen, denn ep( ) = ( ep() ) = a Umgekert ist also = ln(a) 6 Die Eponentialfunktionen ep a Zur Erinnerung: Die Definition von a (mit a > 0), und die wictigsten Eigenscaften dieser Potenzbildung Für alle reellen Zalen, gilt () (2) (3) a > 0, a a = a +, (a ) = a Zuerst wird a für natürlice Zalen definiert: es ist a = a, a 2 = a a, a 3 = a a a, und so weiter (also a n = a a mit n Faktoren) Man setzt a 0 = und a n = Man a n zeigt unmittelbar, dass für alle ganzen Zalen, die beiden Aussagen (), (2), (3) gelten Nun betractet man Stammbrüce, etwa, wobei n eine natürlice Zal ist, und n man setzt a n = n a (also a 2 = 2 a, a 3 = 3 a, und so weiter) Entsprecend definiert man a m n = n a m für jede ganze Zal m und jede natürlice Zal n Wieder siet man, dass die Aussagen (), (2), (3) gelten Scließlic wird eine beliebige reelle Zal durc rationale Zalen, 2, (etwa duc abbrecende Dezimalbrüce) approimiert, man bildet a, a 2, und zeigt, dass die Folge dieser Zalen gegen eine wolbestimmte

2 Leitfaden 6-2 positive reelle Zal konvergiert, die man dann als a bezeicnet Man zeigt, dass die Regeln (2), (3) ganz allgemein gelten Für a > ist die Eponentialfunktion ep a () = a streng monoton wacsend Beweis: Man zeigt dies zuerst im Fall = 0, mit Hilfe der Definition von a Der allgemeine Fall folgt daraus: Es ist a a = a (a ) > 0 Entsprecend ist die Eponentialfunktion ep a () = a für a < streng monoton fallend Hier zeigen wir links die Grapen der Funktionen a mit a = 3 2, 2, 5, 3, rects die 2 entsprecenden Grapen für a = 2 3, 2, 2 5 und 3 3 ( 5 2 ) ( 2 ( 2 ( 2 ) 5 ) 3 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) Berecnung der Ableitung der Funktion f() = a im Punkt : wir aben den folgenden Differenzenquotienten zu berecnen f( + ) f() = a+ a = a (a ) = a a und müssen gegen Null geen lassen: f () = lim 0 a a = a lim 0 a = f() f (0) Es fällt folgendes auf: Die Funktion f ist proportional zur Funktion f, mit dem Proportionalitätsfaktor f (0) Von besonderem Interesse ist der Fall f (0) = Dieser Fall ist gerade für a = e mit der Euler scen Zal e = 2, gegeben Hier die genaue Definition von e: e = n 0 ( n! = lim + n n n)

3 6-3 Funktionen Hier müsste einiges bewiesen werden: dass das letzte Gleiceitszeicen gilt, und dass die so definierte Zal gerade die Eigenscaft at, durc die e definiert wird, nämlic lim 0 e = Beweise: [felen] Für a = e screibt man einfac ep() = ep e () und nennt dies die Eponentialfunktion Nac Definition gilt: f () = f() für alle R Hier der Grap der Funktion ep(), mit der Tangente im Punkt (0, ); sie at, wie wir wissen, die Steigung Bei der Gleicung f () = f() andelt es sic um eine Differentialgleicung Differentialgleicungen spielen in vielen Anwendungen der Matematik eine ganz entsceidende Rolle, in den Naturwie in den Wirtscaftswissenscaften Im Anang wird darauf kurz eingegangen Die Eponentialfunktion ep() ist die (eindeutig bestimmte) Lösung der Differentialgleicung f () = f() mit dem Anfangswert f(0) = Man erält eine effektive Recenvorscrift durc die Reienentwicklung ep() = n 0 n! n = ! 5 +

4 Leitfaden 6-4 (Wenn wir die recte Seite mit g() bezeicnen, also g() = n 0 n! n, so stellt man als erstes fest, dass diese unendlicen Summen für alle reelle Zalen wirklic reelle Zalen liefern (man sagt, dass die Reie konvergiert) Funktionen, die durc derartige konvergente Reien gegeben sind, sind differenzierbar, und man erält die Ableitung wie bei Polnomen durc gliedweises Differenzieren Nun ist aber die Ableitung von n durc n n gegeben, also ist die Ableitung von n! n gerade n n! n = (n )! n, also eralten wir als Ableitung der recten Seite g () = = g() Wir seen also, dass g() eine Lösung der Differentialgleicung = ist Da auc die Anfangswert-Bedingung g(0) = erfüllt ist, folgt g() = ep()) Insbesondere folgt aus der Reienentwicklung für =, dass gilt: e = ep() = n 0 n! 62 Logaritmen Sei a > 0 und a Die Eponentialfunktion ep a : R R bildet R auf R + = {r R r > 0} ab Die Funktion ep a : R R + ist injektiv und surjektiv, besitzt also eine Umkerfunktion; diese wird mit log a bezeicnet, also log a : R + R (man nennt diese Funktion den Logaritmus zur Basis a) Es gilt also Insbesondere ist also log a ep a () = für alle, ep a log a () = für alle > 0 lne = für alle und e ln = für alle > 0 Recenregeln für die Logaritmus-Funktionen (dabei seien,, 2 > 0): log a ( 2 ) = log a + log a 2 log a ( 2 ) = log a log a 2 log a ( ) = log a log a (a) = und log a () = 0

5 6-5 Funktionen Alle Logaritmenfunktionen log a sind zueinander proportional und zwar gilt log a = ln für alle > 0 lna (Beweis: Setzen wir = log a, so ist = ep a = a Demnac ist ln a ln = ln a lna = ln a lna = ) Für die speziellen Werte a = 2, e, 0 gibt es besondere Bezeicnungen für log a : ld = log 2 ln = log e lg = log 0 der dadisce Logaritmus (oder Logaritmus dualis) der natürlice Logaritmus der gewönlice Logaritums Hier sind, in der oberen Reie, die Grapen der Epontentialfunktionen 2, e, 0, und, in der unteren Reie, die zugeörigen Umkerfunktionen ld, ln, lg skizziert: 2 e 0 ld() ln() lg() 63 Momentane Wacstumsrate, Zuwacsrate pro Zeiteineit und die Verdoppelungszeit Jede Eponentialfunktion f(t) = c ep(t) ist durc die beiden Parameter c, festgelegt

6 Leitfaden 6-6 Nun ist c nicts anderes als der Anfangswert, denn f(0) = c ep( 0) = c In den üblicen Beispielsituationen ist dieser Anfangswert gegeben (allerdings andelt es sic ier wieder um ein Skalierungs-Problem: welcen Wert auf der Zeitacse wält man als Nullpunkt? Im Beispiel des Bevölkerungswacstums werden wir 970 als Nullpunkt wälen Genauso gut könnte man 900 als Nullpunkt wälen; natürlic wären dann alle Werte entsprecend umzurecnen!) Wir betracten nun den Parameter, dies ist der wirklic interessante Parameter Statt selbst zu betracten, interessiert man sic äufig für die folgenden beiden Zalen e und ln 2, die durc eindeutig bestimmt sind, aus denen sic aber auc umgekert wieder berecnen lässt! Dies ist ser wictig: Ist eine der Zalen, e ln2, bekannt, so lassen sic die beiden anderen ganz einfac berecnen Ist = e bekannt, so ist = ln( + ) Entsprecend berecnen wir bei Vorgabe von d = ln2 ln2 den Wert von durc = d Die Bedeutung dieser drei Zalen:, = e und d = ln2 Wir betracten zuerst den Fall >, in diesem Fall andelt es sic bei f(t) um eine Funktion, die ein ectes Wacstum bescreibt; es ist f(t) < f(t ) für t < t (die Funktion f ist also streng monoton wacsend) Die Zal ist die (momentane) Wacstumsrate, denn, wie wir wissen, gilt: f (t) = f(t) (die Ableitung f (t) bescreibt ja das Wacstum der Funktion f(t); aus der Gleicung lesen wir ab, dass das Wacstum proportional zum Bestand f(t) ist, wobei gerade die Proportionalitätskonstante ist) Was ist die Bedeutung von = e? Dies ist die Zuwacsrate pro Zeiteineit, denn es gilt f(t + ) f(t) = f(t) die Differenz f(t+) f(t) besceibt die Zuname pro Zeiteineit; die Gleicung besagt ein weiteres proportionales Veralten: Zuname pro Zeiteineit ist zum Bestand f(t) proportional, und zwar mit der Proportionalitätskonstante Also: Die Zuname pro Zeiteineit ist das -face des Bestands Der Beweis ist ganz einfac: f(t + ) f(t) = ce (t+) ce t = ce t (e ) = (e )f(t)

7 6-7 Funktionen Die Zal d = ln2 scließlic ist die Verdoppelungszeit, denn es gilt f(t + d) = 2 f(t), also, in Worten: Der Wert verdoppelt sic, wenn statt des Zeitpunkts t der Zeitpunkt t + d betractet wird Eine andere Formulierung: Nac Ablauf der Zeit d at sic der Bestand verdoppelt Auc dies ist eine einface Recnung: Wegen d = ln 2 = ln 2 gilt e d = 2, und daer: f(t + d) = c e (t+d) = c e t+d = c e t e d = f(t) e d = 2 f(t) Hier muss man untersceiden, ob positiv oder negativ ist: Ist positiv, so ist auc d() positiv: der Zeitpunkt, an dem der Bestand sic verdoppelt at, liegt also in der Zukunft Ist dagegen negativ, so ist die Verdoppelungszeit d() negativ Man betractet daer lieber () = d() und nennt dies die Halbwertszeit Für < 0 bescreibt f(t) einen Zerfallsprozess: die Zuwacsrate ist negativ, (und ist ja eigentlic eine Scwundrate ) Für die Halbwertszeit () = d() = ln2 gilt wirklic f(t + ) = 2 f(t) Hier noc einmal die Umrecnungsformeln: Ist gegeben, so ist = e und d() = ln 2 Ist gegeben, so ist Ist d() gegeben, so ist = ln( + ) und d() = ln 2 = ln 2 d() und = e Wir werden im näcsten Abscnitt das Auftreten von Eponentialfunktionen f(t) = a e t diskutieren, dabei stellt sic immer die Frage, wie man den Parameter bestimmt - als momentane Wacstumsrate kann man selbst nict messen,

8 Leitfaden 6-8 also bestimmt man meist entweder oder die Verdoppelungs- oder Halbwertszeit Beacte: Ist 0 < na bei Null, so sind die Zalen und ser änlic: ier einige Werte 0, 0 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 0, 0 0, 50 0, , , , , , 057 0, Beispiele für das Auftreten von Eponentialfunktionen () Zinseszins Beispiel: Der Anfangsbetrag von 200 EUR wird järlic mit 5 % verzinst, nac einem Jar besitzt man 200 (,05) EUR = 20 EUR, im zweiten Jar werden nun diese 20 EUR mit 5 % verzinst, also besitzt man am Ende des zweiten Jares 20 (,05) EUR, usw One Zwiscenrecnung kann man notieren: am Ende des zweiten Jares besitzt man 200 (, 05) (, 05), also 200 (, 05) 2 EUR Entsprecend besitzt man am Ende des t-ten Jares 200 (, 05) t EUR Die allgemeine Formel lautet demnac: Ist K 0 der Anfangsbetrag, und p der Prozentsatz, so besitzt man nac t Jaren den Betrag K(t) K(t) = K 0 ( + p ) t 00 Es ist also ( K(t) = K 0 ep( t) mit = ln + p ) 00 Anders ausgedrückt: Es ist e = + p 00, also = e = p 00 Der Zinssatz p ist die Zuwacsrate pro Zeiteineit (was denn sonst?); die Formel = ln ( + 00) p besagt gerade, wie man die momentane Wacstumsrate aus der Zuwacsrate pro Zeiteineit berecnet (2) Inflation Verteuern sic Waren im Wert von 00 EUR inneralb eines Jares durcscnittlic um 3 EUR, so sprict man von einer Inflationsrate von 3 % Betractet man einen durcscnittlicen Warenkorb im Wert von 200 EUR, so kostet er nac einem Jar 200 (,03) (= 206) EUR Liegt die Inflationsrate im folgenden Jar erneut bei 3 %, so kostet dieser Warenkorb nac zwei Jaren 200 (, 03) (, 03) EUR Allgemein gilt also: Ist P 0 der Preis eines durcscnittlicen Warenkorbs zum Zeitpunkt t = 0, und ist die Inflationsrate über Jare inweg konstant p %, so kostet dieser Warenkorb nac t Jaren den Preis P(t) = P 0 ( + p ) t, 00

9 6-9 Funktionen also ( P(t) = P 0 ep( t) mit = ln + p ) 00 (Auc ier berecnen wir also aus der Zuwacsrate pro Zeiteineit: die Zuwacsrate pro Zeiteineit ist wieder p 00 ) Zu (2) und (3): Kaufkraft-Vergleic Das Grundkapital K 0 = EUR werde zwei Jare lang festgelegt, der Zinssatz betrage 3 % Im ersten Jar sei die Inflationsrate 2 %, im zweiten Jar 4 % Dann gilt: K(2) = 0000 (, 03) 2 EUR = EUR Entsprecend betracten wir einen Warenkorb mit Preis P 0 = EUR Nac zwei Jaren zalt man für diese Waren P(2) = (, 02) (, 04) EUR = EUR Man siet: Die Kaufkraft des festgelegten Geldes at sic (wenn auc nur geringfügig) eröt Bei einem drartigen Kaufkraft-Vergleic betractet man für festes K 0 = P 0, welce der beiden Zalen K(t), P(t) größer ist; man könnte also die Differenzfunktion K(t) P(t) betracten, aber Warnung: Auc wenn die beiden Funktionen K(t) und P(t) Eponentialfunktionen sind, so ist die Funktion K(t) P(t) im allgemeinen keine Eponentialfunktion, sondern eben eine Differenz zweier Eponentialfunktionen (also zum Beispiel von der Form e t e t ); es gelten für die Differenzfunktion nict ganz so einface Recenregeln! (Sei etwa der Zinssatz 3 %, die Inflationsrate 2 %, und der Anfangsbetrag sei K 0 = P 0 = EUR Dann ist K() P() = 00, also %, und dies ist auc gerade die Differenz der Prozentsätze Für t = 2 erält man dagegen K(2) P(2) = 205, wärend die Multiplikation mit (, 0) 2 den Ausgangsbetrag EUR nur um 20 EUR eröt) (3) Bevölkerungswacstum Im Jar 970 lebten auf der Welt rund 3,7 Mrd Menscen, im Jar 985 rund 4,8 Mrd Unterstellt man, dass es ierbei um eponentielles Wacstum andelt, so bescreibt folgende Funktion die Weltbevölkerung im Jar t K(t) = 3, e 0,07t Die Verdoppelungszeit ist demnac d = ln2 verdoppelt sic die Weltbevölkerung = 0,693 0,07 4, d alle 4 Jare (4) Wacstum einer Zellkultur Sei n die Anzal der Zellen einer Zellkultur zum Zeitpunkt t = 0, in jedem Zeitscritt verdopple sic die Anzal Sei f(t) die Anzal der Zellen zum Zeitpunkt t Es ist also f() = n 2, f(2) = n 2 2 = n 2 2, f(3) = n = n 2 3, und so weiter Also allgemein oder, anders gescrieben: f(t) = n 2 t f(t) = n 2 t = n ep( t) mit = ln 2

10 Leitfaden 6-0 (Dies entsprict der allgemeinen Formel zur Bestimmung von, wenn die Verdopplungszeit bekannt ist: wir aben ier die Verdopplungszeit als Zeiteineit gewält, also d = und demnac = ln2 = ln 2) (5) Radioaktiver Zerfall Ist N(t) die Anzal radioaktiver Atome eines Atoms zur Zeit t, so gilt N(t) = N(0) e t ; dabei ist N(0) die Anzal dieser Atome zum (willkürlic gewälten) Zeitpunkt t = 0 und < 0 ist die momentane Zerfallsrate Beispiele: Die Halbwertszeit von Jod 3 liegt bei etwa 8 Tagen, die von Caesium 37 bei etwa 30 Jaren, die von Plutonium 239 bei Jaren Aus diesen Halbwertszeiten lässt sic sofort mit Hilfe der Formel = ln2 bestimmen (6) Bescränktes Wacstum: Bertalanff-Funktionen Bertalanff (90-972) sclug vor, bescränktes Wacstum durc Funktionen f(t) = B (B a) ep( t) zu simulieren B a t Die Bedeutung der Parameter ist die folgende: B ist die Wacstumsscranke, a = f(0) ist der Anfangswert, also der Bestand zum Zeitpunkt t = 0 und scließlic ist f (0) = (B a), also = f (0)/(B a) (7) Die barometrisce Höenformel Der Luftdruck p() nimmt bei gleicbleibender Temperatur mit zunemender Höe über dem Meeresspiegel eponentiell ab, es gilt also p() = p 0 e mit einer geeigneten Konstanten ( 8 ); dabei ist p 0 der Luftdruck auf Meeresöe NN Umgekert kann man diese Formel verwenden, um die Höe über NN zu berecnen, wenn man den Luftdruck kennt (8) In Seen und im Meer kann pflanzlices Leben nur in der obersten Wasserscict, ungefär bis 0 Meter Tiefe eistieren, da das Tageslict vom Wasser nac und nac absorbiert wird Nac dem Gesetz von Bouguer-Lambert berecnet sic die Intensität I() eines vertikalen Lictstrals, der mit der Lictintensität I 0 ins Wasser eintritt, in einer Tiefe von Metern durc I() = I 0 e µ,

11 6- Funktionen dabei eißt µ der Absorptionskoeffizient (er ist von der Reineit des Wassers und der Wellenlänge des Licts abängig) Für reines Meerwasser und Sonnenlict at µ ungefär den Wert,4 m 45 Logaritmisces Papier Ist man an Werten einer Eponentialfunktion interessiert, so versagt die üblice Visualisierung durc den Funktionsgrapen ser scnell Betracten wir zum Beispiel die Funktion f() = 5 e 3 2 Hier der Grap dieser Funktion über dem Intervall [ 5; 5] Ist man am Wert f(5) interessiert, so brauct man auf der -Skala den Bereic bis 0000 (denn f(5) 9040); Funktionswerte für negative (selbst Werte für 2) kann man dann keinesfalls ablesen Es ist f( 5) 0, 0028, wie sollte man das seen? Statt der Funktion f() betracten wir die Funktion g() = lg f(), es wird sic zeigen, dass der Grap dieser Funktion g() ser viel mer Information liefert Wegen e 3 2 = 0 0,65 (der Eponent 0, 65 ist 3 2 lg e) gilt f() = 5 e3 2 = 5 0 0,65 Demnac ist g() = lg f() = lg(5 0 0,65 ) = lg 5 + 0, 65,

12 Leitfaden 6-2 dies ist also eine lineare Funktion g() = a + b mit a = lg 5 und b = 0, 65(= 3 2 lg e) Da g() eine lineare Funktion ist, ist der Grap von g() eine Gerade, also etwas ser Übersictlices! Wir können mit Hilfe dieser Geraden unproblematisc alle Funktionswerte über dem Intervall [ 5, 5] ablesen Zum Beispiel eralten wir g( 5) 2, 55 und g(5) 3, 96 Will man nun mit dem Grapen von g() arbeiten, um Werte der Funktion f() zu bestimmen, so empfielt es sic, die -Acse anders zu bescriften: Es ist f() = 0 g() ; die -Werte, die wir durc die Funktion g() eralten, sind also gerade die Eponenten zur Basis 0 der gesucten Funktionswerte von f() Wir ersetzen die biserige Bescriftung der -Acse 3, 2,, 3, 4 durc die entsprecenden Zenerpotenzen 0 3, 0 2,, 0 3, 0 4 und eralten folgendes Bild: dabei wurde eine Feinrasterung durc orizontale Punktreien eingearbeitet, die es erlaubt, auc Zwiscenwerte abzulesen Zum Beispiel gibt es zwiscen den Werten

13 6-3 Funktionen und 0 auf der -Acse act derartige Punktreien, sie entsprecen gerade den Werten 2, 3,, 8, 9 (also eigentlic lg 2, lg 3,, lg 8, lg9) Man nennt eine derartige Skalierung der -Acse eine logaritmisce Skala Betractet man eine logaritmisce Skala, so fällt auf, dass die Bescriftung durc Zenerpotenzen erfolgt, in unserem Beispiel von 0 3 bis 0 4 (die entsprecenden Logaritmen sind 3 bis 4) Wärend bei einer normalen linearen Skala der Abstand zwiscen den ganzen Zalen z und z + jeweils gleic ist, ist ier der Abstand zweier benacbarter Zenerpotenten 0 z und 0 z+ gleic, man nennt diesen Abstand eine Dekade (unser Beispiel zeigt also 7 Dekaden) Zur Verwendung von logaritmiscem Papier Man verwendet logaritmisces Papier zum Eintragen von Versucsdaten, wenn man annimmt, dass die Abängigkeit der Versucsdaten ( i, i ) durc eine Eponentialfunktion f() = c e bescrieben wird (dabei nimmt man als -Acse eine lineare Skala, als -Acse eine logaritmisce Skala) Liegen die Versucsdaten ( i, i ) auf einer Geraden, so bestätigt dies die Anname Liegen die Versucsdaten ( i, i ) zumindest in der Näe einer Geraden, so suct man zuerst eine entsprecende Ausgleicsgerade Wir geen nun davon aus, dass eine Gerade auf unserem logaritmiscen Papier gegeben ist Diese Gerade bescreibt eine Funktion f() = c e und wir sucen die Parameter c und Den Parameter c liest man sofort ab, zumindest wenn die -Acse den Eintrag = 0 entält, denn es ist c = f(0) Wie findet man? Dafür gibt es merere Möglickeiten Meist wird vorgesclagen, ein zugeöriges Steigungsdreieck zu bestimmen Einfacer ersceint folgender Weg: Wir geen davon aus, dass c = f(0) scon bestimmt ist Suce 0 mit f( 0 ) = 0 c Für µ = 0 gilt dann f() = c 0 µ Oder auc: man nimmt sic einen -Wert 0 und den zugeörigen -Wert 0 = f( 0 ) und löst die Gleicung 0 = c e 0 nac auf: = 0 (ln 0 lnc) Die Werte auf der recten Seite sind bekannt: c durc vorangegangene Überlegungen, 0, 0 durc Ablesen eines Punktes auf unserer Geraden Hinweis: Man siet, dass man zur Bestimmung der Parameter c, nur zwei Wertepaare (, ) brauct; aber das ist klar: jede Gerade ist durc zwei irer Punkte bestimmt, jede Eponentialfunktion f ist durc zwei Punkte auf dem Grapen von f bestimmt Dass man üblicerweise viele Datenpaare ( i, i ) bestimmt, dient vor allem dem Zweck, dass man feststellen will, ob überaupt eine eponentielle Abängigkeit der -Werte von den -Werten vorliegt! Das logaritmisce Papier, das wir ier verwendet aben, ist einfac-logaritmisc : eine der beiden Acsen ist linear, die andere logaritmisc, und wir aben es biser nur auf folgende Weise eingesetzt: als -Acse aben wir die lineare Acse genommen, als -Acse die logaritmisce, und zwar zur Darstellung von Eponentialfunktionen Natürlic

14 Leitfaden 6-4 kann man das Blatt auc dreen, so dass die -Acse logaritmisc und die -Acse linear ist dies empfielt sic, wenn eine Logaritmus-Funktion gegeben ist Es gibt auc doppelt-logaritmisces Papier, ier sind beide Acsen logaritmisc; derartiges Papier werden wir einsetzen, um Potenzfunktionen darzustellen Zusatz Das Ablesen bei logaritmiscen Skalen muss man üben! Wegen lg() = 0, lg(3) 0, 49, lg(0) = siet man, dass der Wert 3 ziemlic genau in der Mitte zwiscen und 0 liegt Wegen lg() = 0, lg(2) 0, 3, lg(5) 0, 6, lg(0) = liefern die Werte 2 und 5 zumidnest ungefär eine Drittelung des Intervalls zwiscen und 0 Hier folgen zwei tpisce Abscnitte logaritmiscer Skalen, links mit 3 Zwiscenstricen zwiscen und 0, rects mit 6 langen (und sosätzlic zwei kurzen) Ziwscenstricten zwiscen und 0 Wir notieren jeweils die Werte, die diesen Stricen entsprecen: ,5 2,5

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