Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2014

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1 Prüfung Grundprinzipien der ersicherungs- und Finanzmahemaik 04 Aufgabe : (0 Minuen) a) Gegeben sei ein einperiodiger Sae Space-Mark mi drei usänden, der aus drei Werpapieren besehe, einer sicheren Anlage zu 0% sowie zwei risikobehafeen Werpapieren. Werpapier weis dabei einen anfänglichen Preis von 4 und den Rückflussvekor (44,44,48) T auf, Werpapier einen anfänglichen Preis von 9 und den Rückflussvekor (,8,) T. i) Besimmen Sie die zugehörige Sae Space-Mari und den anfänglichen Preisvekor w! ii) iii) iv) Weisen Sie nach, dass der vorsehend spezifiziere Sae Space-Mark arbiragefrei is! Wie laue der preiserzeugende ekor? Besimmen Sie die risikoneuralen Wahrscheinlichkeien! Besimmen Sie den arbiragefreien Preis eines Finanziels mi dem Rückflussvekor (0,0,40) T! (5 min) b) Ein Power-Call besize das allgemeine Rückzahlungsprofil PCT ma[(st X),0]. Besimmen Sie für den Fall T durch uplikaion den Preis des Power-Calls mi Ausübungspreis X 0 in der folgenden Siuaion. ie Kursenwicklung {S } des Basisiels folge einem einperiodigen Binomialprozess mi Sarwer s In T kann der Kurs um 0% gefallen oder um 0% gesiegen sein. er Einperiodenzins berage 4%. (5 min) 3 Lösungsskizze: Teilaufgabe a) i) T w (, 4, 9) ii) u überprüfen is, ob das Gleichungssysem T w, wobei (,, 3 ) T, eine srik posiive Lösung besiz.

2 ies führ auf das folgende Lineare Gleichungssysem (dabei muliplizieren wir die erse eile mi 40) (I) (II) (III) Aus (II) (I) folg und aus (I) (III) folg 0.5. Aus (I) folg dann 9/ as Gleichungssysem besiz dami eine srik posiive Lösung, der Sae Space-Mark is somi arbiragefrei. er preiserzeugende ekor laue (9/, 0.5, 0.5) T. iii) er risikoneurale Wahrscheinlichkeisvekor q ergib sich zu: q.(9/, 0.5, 0.5) T (0.45, 0.75, 0.75) T. iv) ie arbiragefreie Bewerung ergib sich durch iskonierung des risikoneuralen Erwarungswers, d.h. P (.) (.) [0(0.45) + 0(0.75) + 40(0.75)] (.75) Teilaufgabe b) Für den Basisiel gil Für den Power-Call mi Ausübungspreis X 0 ensprechend C uplikaion in : (I) y 000 (II) y 0 Aus (I)-(II) folg und dami 5. Für y resulier hieraus

3 3 y [000 0 (5)]/ / er Preis C 0 des Power-Calls ergib sich als Preis des uplikaionsporfolios zu C y 00(5) Aufgabe : (5 Minuen) a) Es seien {,..., T } und {,..., T } zwei ahlungsreihen mi zugehörigen Barweren P und P bzw. Macaulay-uraionen und. on ahlungsreihe werden Einheien, von ahlungsreihe werden y Einheien erworben. Weisen Sie nach, dass für die uraion W der ahlungsreihe W + y die folgende Beziehung gil: (5 min) W P + + yp. P yp b) Ein Invesor möche einen Anlageberag von EUR bei einem derzeiigen Markzins von 0% p.a. und flacher inssrukur in fesverzinsliche Werpapiere invesieren. Ihm sehen Einheis-erobonds mi einer Reslaufzei von einem (erobond ) und sieben Jahre (erobond ) zur erfügung. Wie muss er sein Invesiionsbudge aufeilen, dami sein ermögen nach fünf Jahren gegen mögliche insänderungen, die sich unmielbar nach Anlage realisieren, immunisier is? Wie viele absolue Sückzahlen erwirb der Invesor dabei von erobond sowie von erobond? (ernachlässigen Sie dabei Ganzzahligkeisbedingungen.) Hinweis: Benuzen Sie das Ergebnis von Teilaufgabe a). (0 min) c) Berechnen Sie das ermögen des Invesors nach fünf Jahren, wenn sich der Markzins nach der Invesiion (i) nich änder, (ii) unmielbar nach Anlage auf 8% absink und im Weieren dor verbleib, (iii) unmielbar nach Anlage auf % anseig und im Weieren dor verbleib. Hinweis: Sollen Sie Teilaufgabe b) nich gelös haben, gehen Sie von einer Aufeilung des Invesiionsbudges im erhälnis /3 erobond sowie /3 erobond aus. (0 min) Lösungsskizze: a) orüberlegung: Es gil P ( + r), P ( + r). ami folg:

4 4 W ( ( P P + y )( + r) ( + r) ( + r) + y )( + r) + yp + yp + y + y ( + r) ( + r) b) Invesor erwirb Einheien von ero-bond, sowie y Einheien von ero-bond ielduraion: W 5, 7 P (+r) - (.) - P (+r) -7 (.) -7 Bedingung : Folgerung: I P + y P y P I 0 P Bedingung : (aus Teilaufgabe a) 5 P + (I0 P ) W I0 I0 (5 ) I0(.) P ( ) (.) Invesor erwirb Einheien von erobond mi Invesiionswer in 0 von EUR I0 P Analog: y (.) (.94877) P Invesor erwirb Einheien von erobond mi Invesiionswer in 0 von EUR Fazi: Es erfolg eine Aufeilung des Invesiionsbudges zu /3 erobond und /3 erobond. c) i) (.) (.) (.) (.605) ii) Enwicklung erobond : Rückzahlung zu in, dann Wiederanlage über 4 Jahre zu 8 %, d.h. (.08)

5 Enwicklung erobond : Wer in 5 ensprich abgezinsem Endwer uner 8 %, d.h. (.08) Wer in 5 insgesam somi: ( ) ( ) iii) Analog: (.) (.) (.57359) ( ) Aufgabe 3: (0 Minuen) Gehen Sie aus von der gesuzen Lebensdauer CT CT einer -jährigen Person. Arbeien Sie dabei der Einfachhei halber mi einem unendlichen Werebereich für CT. a) Besimmen Sie den Leisungsbarwer LBW (v) einer lebenslänglichen Todesfallversicherung mi einer ersicherungssumme der Höhe in Termen von CT und in Abhängigkei vom iskonierungsfakor v! ( min) b) Besimmen Sie auf dieser Basis den erwareen Leisungsbarwer A (v) der lebenslänglichen Todesfallversicherung uner Benuzung von aufgeschobenen Serbewahrscheinlichkeien und besimmen Sie die arianz des Leisungsbarwers in Termen von A (v). (3 min) c) Berachen Sie nun eine lebenslängliche Todesfallversicherung mi einer geomerisch wachsenden ersicherungssumme. abei weise die (poenielle) ahlung zum eipunk + die Höhe ( + c) (0 < c < ) auf. Besimmen Sie den Leisungsbarwer LBW I dieser ersicherung. Welche Beziehung beseh zu LBW (v)? (3 min) d) Besimmen Sie den erwareen Leisungsbarwer und die arianz des Leisungsbarwers der lebenslänglichen Todesfallversicherung aus Aufgabeneil c), jeweils in Termen von A (v). (3 min) e) Berachen Sie nun eine im Aler sofor beginnende Leibrene mi einer geomerisch wachsenden Rene. abei weise die (poenielle) Renenzahlung zum eipunk + die Höhe ( + c) (0 < c < ) auf. ie Größe (+c)v sei dabei verschieden von Eins. Besimmen Sie den Leisungsbarwer LBW ILR dieser ersicherung. Welche Beziehung beseh zu LBW (v)? (5 min) f) Besimmen Sie den erwareen Leisungsbarwer und die arianz des Leisungsbarwers der Leibrene aus Aufgabeneil e), jeweils in Termen von A (v). (5 min) Lösungsskizze: a) ie Leisung der lebenslänglichen Todesfallversicherung erfolg im Todeszeipunk, d.h. in. er korrespondierende Leisungsbarwer is daher gegeben durch LBW (v) v.

6 6 b) A (v) E [ LBW (v)] 0 ar(lbw v + q ) E E E (v [(v ) ] [(v ) ] A E(v A (v ) A (v) ) (v) 0 ) v + P (CT ) c) er Barwer der ahlung im Todeszeipunk + laue h v, wobei h : +c. Hieraus folg LBW ami gil I LBW LBW (h v) I d) Es gil E (LBWI) E [ LBW ( hv) ] A sowie ar(lbw I ) ar[lbw ] [A (h v ) A ] e) Für den Leisungsbarwer der geomerisch wachsenden Leibrene gil mi h: + c LBW ILR + hv + + hv CT Somi gil LBW ILR LBW hv f) E(LBW ILR [ ] E LBW ) hv A hv

7 7 ar(lbw ILR ) [ LBW ] ar ( hv) A (h v ) A ( hv) Aufgabe 4: (5 Minuen) Ein 55-jähriger ersicherungsnehmer schließe eine AX-gebundene Lebensversicherung auf den Erlebensfall mi einer Laufzei von einem Jahr ab. Eine Todesfallleisung wird nich fällig bzw. wird in der Analyse ausgeblende, ebenso bleiben Beriebskosen außen vor. a) ie ersicherungsleisung bei Erleben berage mindesens 04% bezogen auf einen Berag von EUR Im Falle einer negaiven AX-Enwicklung berage - wenn die Mindesversicherungsleisung hierdurch überschrien wird - die Rückzahlung EUR zuzüglich einer Parizipaion in Höhe von 40% der einjährigen (negaiven) AX-Rendie bezogen auf einen invesieren Berag von EUR Besimmen Sie das Rückzahlungsprofil des Produks zum eipunk! (3 min) b) Gegeben sei nun ein einperiodiges Binomialmodell für die AX-Enwicklung. er Sarwer des AX berage AX(0) Am Ende der Periode is der AX enweder um 40% gesiegen oder um 5% gefallen. er risikolose ins berage 5%. Besimmen Sie die Einmalprämie der AX-gebundenen Lebensversicherung gemäß Teilaufgabe a) durch direke uplikaion des Rückzahlungsprofils! (0 min) c) erlegen Sie nun das Rückzahlungsprofil gemäß Aufgabeneil a) uner ugrundelegung des Binomialmodells gemäß Aufgabeneil b) so, dass die eingebeee Opion eplizier wird. Welche Modaliäen weis diese Opion auf? Welchen fairen Wer besiz diese Opion? ( min) Lösungsskizze: a) L ma{ 8000 (.04), (0.4) } wobei R AX { 870, 8000 ( 0.4 R )} ma, AX() AX(0). AX(0) AX R AX b) AX-Enwicklung: (+40%) ( 5%) 0

8 8 Wenn der AX seig, so beräg die Rückzahlung Wenn der AX fäll, beräg die Rückzahlung ( + 0.4(0.5)) (.) uplikaion in : (I) y 8 70 (II) y Aus (I) (II) folg und dami Aus (I) folg dann y [ (0.7693)] (.05) Wer des uplikaionsporfolios in 0: y (0.7693) ie Einmalprämie beräg dami EP p 55. c) Es gil L 8 000(0.4) ma 8 70, AX(0) ma ma [ AX () AX (0)] { 70+. [ AX(0) AX() ], 0} ma AX(0) AX(), ma { AX() 600, 0} { AX(), 0} Eingebee is ein einjähriger AX-Pu mi einem Ausübungspreis von EUR Faire Bewerung: i) Es muss gemäß b) gelen

9 (.05) - +. P AX (5 400). Hieraus folg P AX ( 5 400) ii) Alernaiv über uplikaion des Pus. as Rückzahlungsprofil des AX-Pu laue: 0 900

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